Transcript Document

>
BC
BB + ≈ BA
>
>
BB
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Gugus Bilangan Nyata
>
BC
BB + ≈ BA
>
>
BB
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
 Bilangan Asli (BA) : A = {1, 2, 3, ……………….}
 Bilangan Bulat (BB) : B = {…..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ……}
Bilangan Cacah (BC) : C = {0, 1, 2, 3, ……………….}
Bilangan Rasional (BR) :
16
= R
7
GBN 13-2
7 x R = 16
Adakah bilangan bulat R yang dikalikan 7 akan menghasilkan 16 ?.
Nilai R merupakan bilangan pecahan.
Untuk mendapatkan gugus tertutup (habis dibagi) maka :
x
y
atau
x
x
1
y
xε B
yεA
R = {perpaduan bilangan bulat & bilangan pecahan}
GBN 13-3
Jadi gugus bilangan rasional terdiri dari :
 Semua bilangan bulat positif (bilangan asli) dan bilangan
pecahan positif,
 Bilangan nol,
 Semua bilangan bulat negatif dan bilangan pecahan negatif.
Pecahan dimaksud, bila dalam bentuk desimal memperlihatkan
(ditemukan) pengulangan sampai pada angka desimal tertentu.
1
= 0,1....
9
7
= 0,63…..
11
2
= 0,2....
9
4
= 0,4....
9
16
= 2,285714....
7
3
= 0,4285....
7
8 = 8,0…..
GBN 13-4
Bilangan Irrasional :
Bila dalam bentuk desimalnya (pecahan) tidak diperoleh
pengulangan, maka dinyatakan sebagai bilangan irrasional
π=
√3 =
√5 =
e = 2,71828
3,14285714285714
1,73205080756888
√2 =
2,23606797749979
x tidak habis ditarik akar
√x dimana
sesuai dengan nilai akarnya
y
1,4142135623731
Berarti Bilangan Nyata merupakan perpaduan
Bilangan Rasional dan Bilangan Irrasional.
B
R
∩
C
∩
∩
A
∩
Secara keseluruhannya dapat dinyatakan dengan notasi :
N
GBN 13-5
Gugus bilangan nyata N secara ringkas dinotasikan sebagai :
N = { x ; -∞ < x < +∞}
ε
ε
Bila a R dan b R, untuk a < b, maka diperoleh 4 anak-gugus
dalam bentuk selang sbb :
 { x ; a ≤ x ≤ b} ; selang tertutup ((a;b))
a
b
((a;b))
Misal “nilai mata dadu bersisi enam”
1
6
((1;6))
GBN 13-6
 { x ; a < x ≤ b} ; selang setengah terbuka, tertutup di kanan
a
b
(a;b))
Misal “bilangan bulat negatif”
-∞
-1
(-∞;-1))
 { x ; a ≤ x < b} ; selang setengah terbuka, tertutup di kiri
a
b
((a;b)
Misal a. “bilangan cacah”
0
+∞
((0;+∞)
GBN 13-7
Misal b. “bilangan asli”
1
+∞
((1;+∞)
 { x ; a < x < b} ; selang terbuka
a
b
(a;b)
Misal “bilangan nyata”
-∞
+∞
(-∞;+∞)
GBN 13-8
Pengolahan + dan x pada gugus bilangan nyata
tertutup akan membentuk kaidah-kaidah medan :
K1. Kaidah komutasi atau pertukaran tempat pada
penjumlahan
ε R, a + b = b + a
Untuk setiap a dan b
K2. Kaidah komutasi pada penggandaan
Untuk setiap a dan b
ε R, ab = ba
K3. Kaidah asosiasi atau penghimpunan pada penjumlahan
ε
Untuk setiap a, b dan c R, a + (b + c) = (a + b) + c
K4. Kaidah asosiasi pada penggandaan
ε
Untuk setiap a, b dan c R, a (bc) = (ab) c
GBN 13-9
K5. Kaidah keidentikan untuk penjumlahan
ε
Untuk setiap a R, ada unsur keidentikan z untuk
z=0
penjumlahan sehingga a + z = z + a = a
K6. Kaidah keidentikan untuk penggandaan
ε
Untuk setiap a R dan a ≠ 0, ada unsur keindentikan e untuk
penggandaan sehingga ae = ea =a.
Untuk bilangan nyata e (einheit) adalah bilangan 1
K7. Kaidah invers untuk penjumlahan
ε
Untuk setiap a R, ada unsur invers untuk penjumlahan –a
sehingga a + (-a) = z = 0
Unsur invers untuk penjumlahan ini, yaitu –a disebut juga
lawan unsur a
GBN 13-10
K8. Kaidah invers untuk penggandaan
ε
Untuk setiap a R dan a ≠ 0, ada unsur invers untuk
penggandaan a-1, sehingga
aa-1 = a-1a = e = 1
Unsur bilangan nyata a-1 lazim ditulis 1 .
a
Unsur invers untuk penggandaan ini disebut kebalikan a.
K9. Kaidah penyebaran penggandaan melalui penjumlahan
ε
Untuk setiap a, b dan c R ;
 a (b + c) = ab + ac ; sifat menyebar ke kiri
 (b + c) a = ba + ca ; sifat menyebar ke kanan
GBN 13-11
Bila diperhatikan kaidah-kaidah untuk suatu gugus, maka :
 Gugus bilangan asli A hanya berlaku pada kaidah : K1, K2, K3,
K4, K6 & K9
 Gugus bilangan cacah C hanya berlaku pada kaidah : K1, K2,
K3, K4, K5, K6 & K9
 Gugus bilangan bulat B hanya berlaku pada kaidah : K1, K2,
K3, K4, K5, K6, K7 & K9
 Gugus bilangan nyata R memenuhi kesembilan kaidah dan
dinyatakan sebagai medan.
GBN 13-12
CL GBN-01
SL GBN-01
a. Gambarkan selang-selang berikut pada garis bilangan
nyata yang sama :
-3,0 < x < -1,5
-0,5 ≤ x < 2,0
(12,0 ; 14,5))
b. Gambarkan pula selang-selang berikut :
{ (2 ; 3)) , (4 ; 8) }
{ (-2 ; 0) , (0 ; 2)) }
JCL
GBN-01A
JCL
GBN-01B
c. Gambarkan selang-selang berikut :
{x ; x
ε R, |x| > 0}
{x ; x
ε R, |x-1| < 0}
JCL
GBN-01C
GBN 13-13