Transcript Document
>
BC
BB + ≈ BA
>
>
BB
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Gugus Bilangan Nyata
>
BC
BB + ≈ BA
>
>
BB
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Bilangan Asli (BA) : A = {1, 2, 3, ……………….}
Bilangan Bulat (BB) : B = {…..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ……}
Bilangan Cacah (BC) : C = {0, 1, 2, 3, ……………….}
Bilangan Rasional (BR) :
16
= R
7
GBN 13-2
7 x R = 16
Adakah bilangan bulat R yang dikalikan 7 akan menghasilkan 16 ?.
Nilai R merupakan bilangan pecahan.
Untuk mendapatkan gugus tertutup (habis dibagi) maka :
x
y
atau
x
x
1
y
xε B
yεA
R = {perpaduan bilangan bulat & bilangan pecahan}
GBN 13-3
Jadi gugus bilangan rasional terdiri dari :
Semua bilangan bulat positif (bilangan asli) dan bilangan
pecahan positif,
Bilangan nol,
Semua bilangan bulat negatif dan bilangan pecahan negatif.
Pecahan dimaksud, bila dalam bentuk desimal memperlihatkan
(ditemukan) pengulangan sampai pada angka desimal tertentu.
1
= 0,1....
9
7
= 0,63…..
11
2
= 0,2....
9
4
= 0,4....
9
16
= 2,285714....
7
3
= 0,4285....
7
8 = 8,0…..
GBN 13-4
Bilangan Irrasional :
Bila dalam bentuk desimalnya (pecahan) tidak diperoleh
pengulangan, maka dinyatakan sebagai bilangan irrasional
π=
√3 =
√5 =
e = 2,71828
3,14285714285714
1,73205080756888
√2 =
2,23606797749979
x tidak habis ditarik akar
√x dimana
sesuai dengan nilai akarnya
y
1,4142135623731
Berarti Bilangan Nyata merupakan perpaduan
Bilangan Rasional dan Bilangan Irrasional.
B
R
∩
C
∩
∩
A
∩
Secara keseluruhannya dapat dinyatakan dengan notasi :
N
GBN 13-5
Gugus bilangan nyata N secara ringkas dinotasikan sebagai :
N = { x ; -∞ < x < +∞}
ε
ε
Bila a R dan b R, untuk a < b, maka diperoleh 4 anak-gugus
dalam bentuk selang sbb :
{ x ; a ≤ x ≤ b} ; selang tertutup ((a;b))
a
b
((a;b))
Misal “nilai mata dadu bersisi enam”
1
6
((1;6))
GBN 13-6
{ x ; a < x ≤ b} ; selang setengah terbuka, tertutup di kanan
a
b
(a;b))
Misal “bilangan bulat negatif”
-∞
-1
(-∞;-1))
{ x ; a ≤ x < b} ; selang setengah terbuka, tertutup di kiri
a
b
((a;b)
Misal a. “bilangan cacah”
0
+∞
((0;+∞)
GBN 13-7
Misal b. “bilangan asli”
1
+∞
((1;+∞)
{ x ; a < x < b} ; selang terbuka
a
b
(a;b)
Misal “bilangan nyata”
-∞
+∞
(-∞;+∞)
GBN 13-8
Pengolahan + dan x pada gugus bilangan nyata
tertutup akan membentuk kaidah-kaidah medan :
K1. Kaidah komutasi atau pertukaran tempat pada
penjumlahan
ε R, a + b = b + a
Untuk setiap a dan b
K2. Kaidah komutasi pada penggandaan
Untuk setiap a dan b
ε R, ab = ba
K3. Kaidah asosiasi atau penghimpunan pada penjumlahan
ε
Untuk setiap a, b dan c R, a + (b + c) = (a + b) + c
K4. Kaidah asosiasi pada penggandaan
ε
Untuk setiap a, b dan c R, a (bc) = (ab) c
GBN 13-9
K5. Kaidah keidentikan untuk penjumlahan
ε
Untuk setiap a R, ada unsur keidentikan z untuk
z=0
penjumlahan sehingga a + z = z + a = a
K6. Kaidah keidentikan untuk penggandaan
ε
Untuk setiap a R dan a ≠ 0, ada unsur keindentikan e untuk
penggandaan sehingga ae = ea =a.
Untuk bilangan nyata e (einheit) adalah bilangan 1
K7. Kaidah invers untuk penjumlahan
ε
Untuk setiap a R, ada unsur invers untuk penjumlahan –a
sehingga a + (-a) = z = 0
Unsur invers untuk penjumlahan ini, yaitu –a disebut juga
lawan unsur a
GBN 13-10
K8. Kaidah invers untuk penggandaan
ε
Untuk setiap a R dan a ≠ 0, ada unsur invers untuk
penggandaan a-1, sehingga
aa-1 = a-1a = e = 1
Unsur bilangan nyata a-1 lazim ditulis 1 .
a
Unsur invers untuk penggandaan ini disebut kebalikan a.
K9. Kaidah penyebaran penggandaan melalui penjumlahan
ε
Untuk setiap a, b dan c R ;
a (b + c) = ab + ac ; sifat menyebar ke kiri
(b + c) a = ba + ca ; sifat menyebar ke kanan
GBN 13-11
Bila diperhatikan kaidah-kaidah untuk suatu gugus, maka :
Gugus bilangan asli A hanya berlaku pada kaidah : K1, K2, K3,
K4, K6 & K9
Gugus bilangan cacah C hanya berlaku pada kaidah : K1, K2,
K3, K4, K5, K6 & K9
Gugus bilangan bulat B hanya berlaku pada kaidah : K1, K2,
K3, K4, K5, K6, K7 & K9
Gugus bilangan nyata R memenuhi kesembilan kaidah dan
dinyatakan sebagai medan.
GBN 13-12
CL GBN-01
SL GBN-01
a. Gambarkan selang-selang berikut pada garis bilangan
nyata yang sama :
-3,0 < x < -1,5
-0,5 ≤ x < 2,0
(12,0 ; 14,5))
b. Gambarkan pula selang-selang berikut :
{ (2 ; 3)) , (4 ; 8) }
{ (-2 ; 0) , (0 ; 2)) }
JCL
GBN-01A
JCL
GBN-01B
c. Gambarkan selang-selang berikut :
{x ; x
ε R, |x| > 0}
{x ; x
ε R, |x-1| < 0}
JCL
GBN-01C
GBN 13-13