Transcript la ecuación de Schrodinger independiente del tiempo

La ecuación de Schrodinger
Mapa conceptual de la Física Moderna
La ecuación de Schrodinger


2
2m
  ( x)
2
x
2
 V ( x) ( x)  E ( x)
A manera de recordatorio…
La constante de Planck h:
Valor
Valor
6.626 068 96 x 10-34 J s
4.135 667 33 x 10-15 eV s
Constante de Planck sobre 2 pi
Valor
1.054 571 628 x 10-34 J s
Valor

h
2
6.582 118 99 x 10-16 eV s
Fue utilizada por primera vez por Max
Planck para explicar “El problema de la
radiación de cuerpo negro”.
Los fenómenos cuánticos…
 Fueron inicialmente observados en los niveles molecular,
atómico y subatómico…
 Se manifiestan en el comportamiento de los electrones,
protones, positrones, fotones, partículas subatómicas,..
La ecuación de Schrodinger independiente
del tiempo (en una dimensión)
En general
Constante de Planck dividida por
2

depende de x, y y z por lo que se deben
tomar derivadas parciales.
La función de estado representa a la
partícula de masa m.
Esta ecuación es
fundamental y no es
derivable de otro
principio
fundamental


2
d
2 m dx
2
2
 ( x)  V ( x) ( x)  E ( x)
El valor numérico de la
energía de la partícula
Identifica la masa de la partícula (por ejemplo
la masa del electrón) que es representada por
la función de estado 
Representa la energía potencial que
afecta a la partícula
Regla:
La función de estado evoluciona en el tiempo de acuerdo a la ecuación de Schrodinger
dependiente del tiempo:
i

 (r , t )
t

ˆ
 H  (r , t )
Donde el operador Hamiltoniano es obtenido de la expresión clásica
Hˆ 
p
2
2m
 V (r )
reemplazando el momento y la posición por sus correspondiente operadores
y
.
Interpretación…
La ecuación de Schrodinger desempeña el papel de las
Leyes de Newton y la conservación de energía en la
mecánica clásica - es decir, predice el futuro
comportamiento de un sistema dinámico. Es una
ecuación de onda en términos de la función de onda
que predice analítica y en forma precisa la probabilidad
de eventos o resultados. Los resultados detallados no
están estrictamente determinados, pero dado un gran
número de eventos, la ecuación Schrodinger puede
predecir la distribución de los resultados.
Notas traducidas por Armando Euceda
Fuente: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
Ejemplo del Oscilador Armónico Simple
Energía Cinética + Energía Potencial = E
Clásicamente
Cuánticamente
Conservación de la Energía
Se utiliza el operador del Hamiltoniano
Leyes de Newton
Ecuación de Schrodinger
Para hacer la transición de lo clásico a lo cuántico -transición hacia la ecuación de onda de Schrodinger- las variables
dinámicas toman la forma de operadores cuánticos.
Ecuación de Schrodinger
En lugar de la Energía se
utiliza el “Operador del
Hamiltoniano” para un
Oscilador Armónico
Cuántico
es la función de onda
representa “autovalores”
de la energía para este
sistema
Fuente:Elaboración propia a partir de http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
… interpretación.
Las energías cinéticas y potenciales se
transforman en el Hamiltoniano que actúa sobre
la función de onda para generar la evolución de
la función de onda en el tiempo y el espacio. La
ecuación Schrodinger da las energías cuantizadas
del sistema y da la forma de la función de onda,
de tal manera que otras propiedades se pueden
calcular.
Notas traducidas por Armando Euceda
Fuente: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
Operadores en la Mecánica Cuántica
•Asociados con cada parámetro medible en un sistema físico
se tiene un operador mecánico cuántico.
•Tales operadores aparecen porque en la mecánica cuántica
usted describe a la naturaleza con ondas (la función de onda)
en lugar de usar partículas discretas cuyo movimiento y
dinámica se puede describir con las ecuaciones deterministas
de la física de Newton.
•Parte del desarrollo de la mecánica cuántica consiste en el
establecimiento de los operadores asociados con los
parámetros necesarios para describir el sistema.
•Algunos de estos operadores se listan a continuación.
Notas traducidas por Armando Euceda
Fuente: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
Operadores en la Mecánica Cuántica
Operadores en la Mecánica Cuántica
Es en parte debido a la estructura básica de la
mecánica cuántica que las funciones de posición
permanecen sin cambio en la ecuación de
Schrodinger, mientras que el momento toma la
forma de derivadas espaciales. El operador del
Hamiltoniano contiene ambas derivadas de espacio
y tiempo.
Mapa conceptual para la ecuación de Schrodinger
es una
en términos
de la
Ecuación
de onda
Función
de onda
de la que
se obtiene la
de variable
físicas en
términos de
basada en los
es una
de la que
se obtiene la
Ecuación
independiente
del tiempo
Valores
esperados
Útil para calcular
Autovalores
de la energía
trata con
ideas tales como
como una
Postulados de la
Mecánica Cuántica
Ecuación
Dependiente del tiempo
Probabilidad
Ecuación de
Schrödinger
como una
Ecuación de
Schrödinger en 1-D
Partícula
en una caja
Penetración
de una barrera
Oscilador
Armónico cuántico
Notas preparadas por Armando Euceda, Ph.D.
Fuente: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/hframe.html
Ecuación de
Schrödinger en 3-D
Principio de
Incertidumbre
Principio de
correspondencia
es aplicada al
Partícula
libre
Átomo
de Hidrógeno
Electrónica
de Estado Sólido
Teoría de Átomo,
moléculas y sólidos
Aplicaciones
tecnológicas
Partícula Simple de masa m en un

Potencial V (r )
 El operador del Hamiltoniano es
2
2
pˆ



2
ˆ
H 
 V (r )  
  V (r )
2m
2m
 La ecuación de autovalores es


Hˆ  ( r )  E  ( r )
Esta es la ecuación de Schrödinger independiente del
tiempo.
 De ella se obtienen los posibles valores de la Energía E.

Técnica de separación de variables
 Para encontrar una ecuación de Schrödinger
independiente del tiempo se asume una solución de la
forma


 ( r , t )   ( r )T ( t )
Luego

 dT ( t )
  (r )
.
t
dt

   T (t )  ( r ) ;
2

De donde
2
i
1 dT ( t )
T
dt

Hˆ 

   cons tan te
Técnica de separación de variables
 Se obtienen dos ecuaciones diferenciales. La primera es:

(1.)
Hˆ 



   Hˆ  ( r )    ( r )
Esta es la ecuación de Schrödinger independiente del
tiempo.
E es un autovalor de Hˆ
LOS AUTOVALORES DE
PARA LA ENERGIA.
Hˆ
SON LOS VALORES PERMITIDOS
Técnica de separación de variables
 La segunda ecuación que se obtiene es:
(2.)

 
 i T ( t )  0


 t
 Cuya solución es:
 i t 
T ( t )  A exp  

 

 Utilizando la técnica de separación de variables hemos obtenido dos
ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de una ecuación
diferencial parcial.
Técnica de separación de variables para una
partícula que se mueve en una dimensión
 Para encontrar una ecuación de Schrödinger independiente
del tiempo se asume una solución de la forma
 ( x , t )   ( x ) f (t )
Luego

2
x
d 
2
 f
;

t
Dividiendo por    f
2
dx
2

df
dt
.
 i 
df
 
dt

2
d 
2
2 m dx
f  Vf
2
se obtiene:
i
1 df
f dt
La ec. de la izquierda es solamente función de t.
La ec. de la derecha es solamente función de x.
 

2
1 d 
2
2 m  dx
2
V
Técnica de separación de variables para obtener la ecuación de
Schrodinger independiente del tiempo en una dimensión

Se obtienen dos ecuaciones diferenciales. La primera es:

(1.)
i
1 df

f dt

(2.)


2
df
dt
1 d 

i

2
2 m  dx
2
V    
f  f (t )  e

2
d 
 i t / 
2
2 m dx
2
 V  
Utilizando la técnica de separación de variables hemos obtenido dos
ecuaciones diferenciales ordinarias a partir de una ecuación
diferencial parcial.
Técnica de separación de variables:
¿Qué ventajas tiene?
1. Estados Estacionarios.
2. Los estados tienen energía total definida.
3. La solución general es una combinación
lineal de soluciones separables.
Técnica de separación de variables:
¿Qué ventajas tiene?
(Continuación …)
1. Estados Estacionarios.
• Aunque la función de onda depende del tiempo, la densidad de
probabilidad es independiente del tiempo.
 ( x, t )   ( x )e
 i t / 


2

     ( x)
• Los valores esperados de cualquier variable
dinámica son independientes del tiempo.
 Por ejemplo < x > = x0 y < p > = 0.
i
1 df
f dt

df
dt

i

f  f (t )  e
 i t / 
2
Técnica de separación de variables:
¿Qué ventajas tiene?
1.
Estados Estacionarios.
Aunque la función de onda depende del tiempo, la densidad de probabilidad es
independiente del tiempo.
Los valores esperados de cualquier variable dinámica son independientes del
tiempo.
•
•
Por ejemplo < x > = x0 y < p > = 0.

Los estados tienen energía total definida.
3. La solución general es una combinación lineal de soluciones separables.
2.

i

2
1 d 
2
2 m  dx
1 df
f dt
2
V    


2
d 
2
2 m dx
df
dt

i

2
 V  
f  f (t )  e
 i t / 
Técnica de separación de variables:
¿Qué ventajas tiene?
1.
Estados Estacionarios.
•
•
Aunque la función de onda depende del tiempo, la densidad de probabilidad es
independiente del tiempo.
Los valores esperados de cualquier variable dinámica son independientes del
tiempo.

Por ejemplo < x > = x0 y < p > = 0.
Los estados tienen energía total definida.
3. La solución general es una combinación lineal de soluciones separables.
2.

i

2
1 d 
2
2 m  dx
1 df
f dt
2
V    


2
d 
2
2 m dx
df
dt

i

2
 V  
f  f (t )  e
 i t / 
Ecuación de Schrödinger Independiente del tiempo


2
d 
2
2 m dx
Notas preparadas por Armando Euceda, Ph.D.
2
 V  