Transcript Sistem Persamaan Linier - Metode Dekomposisi LU

SISTEM PERSAMAAN LINEAR
• Dekomposisi LU
DEKOMPOSISI LU
Metode Dekomposisi LU
• Jika matriks A non-singular, maka dapat
difaktorkan/diuraikan menjadi matriks segitiga
bawah L (lower) dan matriks segitiga atas U
(Upper)
• Ditulis sbb:  a a a   1 0 0   u u u 
11
12
 a 21
a
 31
a 22
a 32
13
a 23    l 21
a 33   l 31
11
1
l 32
0  0
1   0
12
u 22
0
13
u 23 
u 33 
– Matriks segitiga bawah L, semua elemen diagonal
adalah 1
– Matriks segitigas atas tidak ada syarat khusus untuk
nilai diagonalnya
Metode Dekomposisi LU
• Contoh: hasil pemfaktoran matriks 3x3
2

0
6

1
4
3
 1  1
 
2   0
1   3
0
1
0
0  2

0  0
1   0
1
4
0
 1

2 
4 
• Penyelesaian Ax = b, dengan dekomposisi LU,
maka
– Faktorkan A = LU, sehingga
Ax = b
LUx = b
– Misalkan Ux = y, maka Ly = b
Metode Dekomposisi LU
• Untuk memperoleh y, gunakan teknik substitusi maju
 1

Ly  b   l 21
l
 31
0
1
l 32
0   y 1   b1 
   
0  y 2    b2 
1   y 3   b 3 
• Untuk memperoleh x, gunakan teknik substitusi mundur
 u 11

Ux  y   0
 0

u 12
u 22
0
u 13   x1   y 1 
   
u 23   x 2    y 2 
u 33   x 3   y 3 
Metode Dekomposisi LU
• Langkah menghitung solusi SPL dengan dekomposisi
LU:
– Membentuk matriks L dan U dari A
– Pecahkan Ly = b, lalu hitung y dengan teknik substitusi maju
– Pecahkan Ux = y, lalu hitunng x dengan substitusi mundur
Pemfaktoran dengan LU Gauss
• Misalkan matriks 3x3 difaktorkan L dan U
 a 11

 a 21
a
 31
a 12
a 22
a 32
a 13   1
 
a 23    l 21
a 33   l 31
0
1
l 32
0   u 11

0  0
1   0
u 12
u 22
0
u 13 

u 23 
u 33 
1. Nyatakan A sebagai A = I A
 a 11

 a 21
a
 31
a 12
a 22
a 32
a 13   1
 
a 23    0
a 33   0
0
1
0
0   a 11

0   a 21
1   a 31
a 12
a 22
a 32
a 13 

a 23 
a 33 
Pemfaktoran dengan LU Gauss
2. Eliminasi matriks A di ruas kanan menjadi
matriks segitiga atas U.
•
Tempatkan faktor pengali elemenij pada posisi iil di
matriks I
3. Setelah seluruh proses eliminasi Gauss
selesai, matriks I menjadi matriks L, dan
matriks A di ruas kanan menjadi matriks U
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Faktorkan matriks A berikut dengan metode LU
Gauss
 4

A   2
 1

•
 1

5 
6 
3
4
2
Penyelesaian:
 4

A   2
 1

3
4
2
 1  1
 
5   0
6   0
0
1
0
0  4

0   2
1   1
3
4
2
 1

5 
6 
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
 4

A   2
 1

–
3
4
2
 1  1
 
5   0
6   0
0
1
0
0  4

0   2
1   1
3
4
2
 1

5 
6 
Eliminasi matriks A di ruas kanan menjadi matriks
segitiga atas U, dan tempatkan faktor pengali
elemenij pada posisi iij di matriks I
 4

 2
 1

3
4
2
 1
~
4



2
5  R2  (
)R 0
4 1
6  R  ( 1 ) R  0
3
4 1
3
 2 ,5
1, 25
1 

4 ,5 
6 , 25 
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
Tempatkan faktor pengali elemen21 = -2/4 = -0,5ke
i21 dan faktor pengali elemen31 = ¼ = 0,25ke i31 di
0 0
 1
matriks I


  0 ,5
 0 , 25

–
1
0
0
1 
Teruskan proses eliminasi Gauss
4

0
0

3
 2 ,5
1, 25
1 
~

4 ,5 
~
 1, 25
6 , 25  R 3  (
)R
2 ,5 2
4

0
0

3
 2 ,5
0
1

4 ,5 
8 , 5 
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
Tempatkan faktor pengali elemen32 = -1,25/2,5 = 0,5ke i32 di matriks I  1
0
0

  0 ,5
 0 , 25

–
1
 0 ,5

0
1 
Jadi
 4

A   2
 1

3
4
2
 1  1
 
5     0 ,5
6   0 , 25
0
1
 0 ,5
0  4

0  0
1   0
3
 2 ,5
0
1

4 ,5 
8 ,5 
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Faktorkan matriks A berikut dengan metode LU
Gauss dengan memperhatikan poros/pivot (nol
atau mendekati nol)
 1

A 2
1

•
1
2
1
 1
1

 
1 b   5 
1
1 
 
Penyelesaian:
 1

A 2
1

1
2
1
 1  1
 
1   0
1   0
0
1
0
0  1

0  2
1    1
1
2
1
 1

1 
1 
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
 1

A 2
1

–
1
2
1
 1  1
 
1   0
1   0
0
1
0
0  1

0  2
1    1
1
2
1
 1

1 
1 
Eliminasi matriks A di ruas kanan menjadi matriks
segitiga atas U, dan tempatkan faktor pengali
elemenij pada posisi iij di matriks I
 1

 2
1

1
2
1
 1
~
1


1  R 2  ( 2 ) R1  0
1  R 3  (  1) R1  0
1
0
2
 1

3 
0 
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
Tempatkan faktor pengali elemen21 = 2 ke i21 dan faktor pengali
elemen31 = -1 ke i31 di matriks I  1
0 0

 2
1

–
1
i32

0
1 
Teruskan proses eliminasi Gauss. Dimana elemen calon
poros/pivot selanjutnya bernilai nol, maka lakukan pertukaran
baris.
 1

 2
1

1
2
1
 1
~
1


1  R 2  ( 2 ) R1  0
1  R 3  (  1) R1  0
1
0
2
 1

3 
0 
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
Teruskan proses eliminasi Gauss. Dimana elemen calon
poros/pivot selanjutnya bernilai nol, maka lakukan pertukaran
baris.
1 1 1
1 1 1


0
0

–
0
2




3  R2  R3  0
0
0 



0 
3 
2
0
Jangan lupa mempertukarkan R2 dengan R3 pada matriks I
yang akan menjadi metriks L
 1

 2
1

0
1
i32
0
 1


0  R 2  R3   1
 2
1 

0
1
i32
0

0
1 
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
Jangan lupa mempertukarkan R2 dengan R3 pada vektor b
1
1
 
 
 5  R 2  R3  1 
1
5
 
 
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
–
Teruskan proses eliminasi Gauss pada matriks A
1

0
0

1
2
0
 1
~
1


0 
~
0
3  R 3  ( 0 ) R 3  0
1
2
0
 1

0 U
3 
Tempatkan faktor pengali elemen32 = 0 ke i32 di matriks I
 1

1
 2

0
1
0
0

0  L
1 
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
–
Jadi
 1

A 2
1

1
2
1
 1  1
 
1   1
1   2
0
1
0
0  1

0  0
1   0
1
2
0
Berturut-turut x, dan y sebagai berikut:
 1

Ly  b    1
 2

0
1
0
0   y1   1 
   
0  y 2    1 
1   y 3   5 
 1

0 
3 
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
Berturut-turut x, dan y sebagai berikut:
 1

Ly  b    1
 2

0
1
0
0   y1   1 
   
0  y 2    1 
1   y 3   5 
y1 =1  y1 =1
-y1 + y2 = 1  y2 = 1 – y1 = 1 – (-1) = 2
2y1 + 0y2 + y3 = 5  y3 = 5 – 2y1 = 5 – 2(1) = 3
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
Berturut-turut x, dan y sebagai berikut:
1

Ux  y   0
0

–
1
2
0
 1   x1   1 
   
0  x 2    2 
3   x 3   3 
3x3 =3  x3 = 1
2x2 = 2  x2 = 1
x1 + x2 - x3 = 1  x1 = 1 – 1 + 1 = 1
Jadi solusi SPL di atas adalah x = (1,1,1)T