Sistem Persamaan Linier - Metode Dekomposisi LU
Download
Report
Transcript Sistem Persamaan Linier - Metode Dekomposisi LU
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
• Dekomposisi LU
DEKOMPOSISI LU
Metode Dekomposisi LU
• Jika matriks A non-singular, maka dapat
difaktorkan/diuraikan menjadi matriks segitiga
bawah L (lower) dan matriks segitiga atas U
(Upper)
• Ditulis sbb: a a a 1 0 0 u u u
11
12
a 21
a
31
a 22
a 32
13
a 23 l 21
a 33 l 31
11
1
l 32
0 0
1 0
12
u 22
0
13
u 23
u 33
– Matriks segitiga bawah L, semua elemen diagonal
adalah 1
– Matriks segitigas atas tidak ada syarat khusus untuk
nilai diagonalnya
Metode Dekomposisi LU
• Contoh: hasil pemfaktoran matriks 3x3
2
0
6
1
4
3
1 1
2 0
1 3
0
1
0
0 2
0 0
1 0
1
4
0
1
2
4
• Penyelesaian Ax = b, dengan dekomposisi LU,
maka
– Faktorkan A = LU, sehingga
Ax = b
LUx = b
– Misalkan Ux = y, maka Ly = b
Metode Dekomposisi LU
• Untuk memperoleh y, gunakan teknik substitusi maju
1
Ly b l 21
l
31
0
1
l 32
0 y 1 b1
0 y 2 b2
1 y 3 b 3
• Untuk memperoleh x, gunakan teknik substitusi mundur
u 11
Ux y 0
0
u 12
u 22
0
u 13 x1 y 1
u 23 x 2 y 2
u 33 x 3 y 3
Metode Dekomposisi LU
• Langkah menghitung solusi SPL dengan dekomposisi
LU:
– Membentuk matriks L dan U dari A
– Pecahkan Ly = b, lalu hitung y dengan teknik substitusi maju
– Pecahkan Ux = y, lalu hitunng x dengan substitusi mundur
Pemfaktoran dengan LU Gauss
• Misalkan matriks 3x3 difaktorkan L dan U
a 11
a 21
a
31
a 12
a 22
a 32
a 13 1
a 23 l 21
a 33 l 31
0
1
l 32
0 u 11
0 0
1 0
u 12
u 22
0
u 13
u 23
u 33
1. Nyatakan A sebagai A = I A
a 11
a 21
a
31
a 12
a 22
a 32
a 13 1
a 23 0
a 33 0
0
1
0
0 a 11
0 a 21
1 a 31
a 12
a 22
a 32
a 13
a 23
a 33
Pemfaktoran dengan LU Gauss
2. Eliminasi matriks A di ruas kanan menjadi
matriks segitiga atas U.
•
Tempatkan faktor pengali elemenij pada posisi iil di
matriks I
3. Setelah seluruh proses eliminasi Gauss
selesai, matriks I menjadi matriks L, dan
matriks A di ruas kanan menjadi matriks U
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Faktorkan matriks A berikut dengan metode LU
Gauss
4
A 2
1
•
1
5
6
3
4
2
Penyelesaian:
4
A 2
1
3
4
2
1 1
5 0
6 0
0
1
0
0 4
0 2
1 1
3
4
2
1
5
6
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
4
A 2
1
–
3
4
2
1 1
5 0
6 0
0
1
0
0 4
0 2
1 1
3
4
2
1
5
6
Eliminasi matriks A di ruas kanan menjadi matriks
segitiga atas U, dan tempatkan faktor pengali
elemenij pada posisi iij di matriks I
4
2
1
3
4
2
1
~
4
2
5 R2 (
)R 0
4 1
6 R ( 1 ) R 0
3
4 1
3
2 ,5
1, 25
1
4 ,5
6 , 25
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
Tempatkan faktor pengali elemen21 = -2/4 = -0,5ke
i21 dan faktor pengali elemen31 = ¼ = 0,25ke i31 di
0 0
1
matriks I
0 ,5
0 , 25
–
1
0
0
1
Teruskan proses eliminasi Gauss
4
0
0
3
2 ,5
1, 25
1
~
4 ,5
~
1, 25
6 , 25 R 3 (
)R
2 ,5 2
4
0
0
3
2 ,5
0
1
4 ,5
8 , 5
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
Tempatkan faktor pengali elemen32 = -1,25/2,5 = 0,5ke i32 di matriks I 1
0
0
0 ,5
0 , 25
–
1
0 ,5
0
1
Jadi
4
A 2
1
3
4
2
1 1
5 0 ,5
6 0 , 25
0
1
0 ,5
0 4
0 0
1 0
3
2 ,5
0
1
4 ,5
8 ,5
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Faktorkan matriks A berikut dengan metode LU
Gauss dengan memperhatikan poros/pivot (nol
atau mendekati nol)
1
A 2
1
•
1
2
1
1
1
1 b 5
1
1
Penyelesaian:
1
A 2
1
1
2
1
1 1
1 0
1 0
0
1
0
0 1
0 2
1 1
1
2
1
1
1
1
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
1
A 2
1
–
1
2
1
1 1
1 0
1 0
0
1
0
0 1
0 2
1 1
1
2
1
1
1
1
Eliminasi matriks A di ruas kanan menjadi matriks
segitiga atas U, dan tempatkan faktor pengali
elemenij pada posisi iij di matriks I
1
2
1
1
2
1
1
~
1
1 R 2 ( 2 ) R1 0
1 R 3 ( 1) R1 0
1
0
2
1
3
0
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
Tempatkan faktor pengali elemen21 = 2 ke i21 dan faktor pengali
elemen31 = -1 ke i31 di matriks I 1
0 0
2
1
–
1
i32
0
1
Teruskan proses eliminasi Gauss. Dimana elemen calon
poros/pivot selanjutnya bernilai nol, maka lakukan pertukaran
baris.
1
2
1
1
2
1
1
~
1
1 R 2 ( 2 ) R1 0
1 R 3 ( 1) R1 0
1
0
2
1
3
0
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
Teruskan proses eliminasi Gauss. Dimana elemen calon
poros/pivot selanjutnya bernilai nol, maka lakukan pertukaran
baris.
1 1 1
1 1 1
0
0
–
0
2
3 R2 R3 0
0
0
0
3
2
0
Jangan lupa mempertukarkan R2 dengan R3 pada matriks I
yang akan menjadi metriks L
1
2
1
0
1
i32
0
1
0 R 2 R3 1
2
1
0
1
i32
0
0
1
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
Jangan lupa mempertukarkan R2 dengan R3 pada vektor b
1
1
5 R 2 R3 1
1
5
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
–
Teruskan proses eliminasi Gauss pada matriks A
1
0
0
1
2
0
1
~
1
0
~
0
3 R 3 ( 0 ) R 3 0
1
2
0
1
0 U
3
Tempatkan faktor pengali elemen32 = 0 ke i32 di matriks I
1
1
2
0
1
0
0
0 L
1
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
–
Jadi
1
A 2
1
1
2
1
1 1
1 1
1 2
0
1
0
0 1
0 0
1 0
1
2
0
Berturut-turut x, dan y sebagai berikut:
1
Ly b 1
2
0
1
0
0 y1 1
0 y 2 1
1 y 3 5
1
0
3
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
Berturut-turut x, dan y sebagai berikut:
1
Ly b 1
2
0
1
0
0 y1 1
0 y 2 1
1 y 3 5
y1 =1 y1 =1
-y1 + y2 = 1 y2 = 1 – y1 = 1 – (-1) = 2
2y1 + 0y2 + y3 = 5 y3 = 5 – 2y1 = 5 – 2(1) = 3
Contoh Pemfaktoran dengan LU
Gauss
•
Penyelesaian:
–
Berturut-turut x, dan y sebagai berikut:
1
Ux y 0
0
–
1
2
0
1 x1 1
0 x 2 2
3 x 3 3
3x3 =3 x3 = 1
2x2 = 2 x2 = 1
x1 + x2 - x3 = 1 x1 = 1 – 1 + 1 = 1
Jadi solusi SPL di atas adalah x = (1,1,1)T