Transcript Transparencias sobre teoría de incertidumbres

TEORÍA DE INCERTIDUMBRES Y
PRESENTACIÓN DE RESULTADOS
Prácticas de Física I
Departamento de Física Aplicada I
Escuela Politécnica Superior
MEDIDA E INCERTIDUMBRE
Toda ciencia experimental se basa en observaciones cuantitativas que
llamamos medidas.
A su vez todo proceso de medida está sujeto a limitaciones que se
traducen inevitablemente en la existencia de cierta incertidumbre
asociada al resultado y que constituye una indicación cuantitativa de la
calidad del mismo .
¡Es esencial especificar la incertidumbre de una medida ya que nos
indica el grado de fiabilidad y de exactitud de la misma!
Medida = (Valor numérico ± incertidumbre) unidades
FUENTES DE INCERTIDUMBRE







Errores de calibración.
Condiciones experimentales no apropiadas.
Lectura sesgada de los instrumentos.
Resolución finita del instrumento de medida.
Aproximaciones o hipótesis establecidas en el método y en el
procedimiento de medida.
Fluctuaciones o variaciones en observaciones repetidas
Etc.
EVALUACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE
TÍPICA DE UNA MEDIDA DIRECTA
Conlleva dos valoraciones diferentes:



Evaluación tipo A: tiene en cuenta la variabilidad de las medidas en las
mismas condiciones. Requiere de un análisis estadístico del conjunto
de observaciones: x1,x2,x3,….xN. Se toma:
uA(x)= desviación típica
Evaluación tipo B: tiene en cuenta toda la información disponible
acerca de la resolución del instrumento de medida, especificaciones
del fabricante, certificados de calibración…
En las prácticas de laboratorio de Física I, a menos que en el guión de
la práctica a realizar se indique otra cosa, se tomará:
uB(x)=resolución del instrumento (δx)
Finalmente:
𝒖(𝒙) =
𝒖𝑨 𝒙
𝟐
+ 𝒖𝑩 𝒙
𝟐
ANÁLISIS ESTADÍSTICO
A partir de N observaciones independientes x1, x2,…,xN se toma:
n

El valor medio como resultado de la medida: x 
x
i 1
i
n
n


La desviación típica del valor medio como
incertidumbre típica tipo A:
Cuando el número de medidas es pequeño
(inferior a 10):
u A ( x) 
2
(
x

x
)
 i
i 1
n(n  1)
xmáx  xmín
u A ( x) 
6
RESOLUCIÓN X DEL APARATO DE MEDIDA

Aparatos analógicos: se toma como resolución del instrumento la menor
unidad que pueda medir el aparato (distancia entre dos divisiones).
V=1 V

Aparatos digitales: se toma como resolución una unidad del último dígito de
lectura.
T=0,1 ºC
INCERTIDUMBRE RELATIVA

Es el cociente entre la incertidumbre típica y el resultado de la
medida
u ( x)
ur 
x
Se suele expresar en %. Para ello se multiplica por 100. Por ejemplo
si x=12 cm y u(x)=4 cm, entonces ur= 4/12=0,33=33%.
 No tiene unidades.
 Da información sobre la bondad de la medida.

EJEMPLOS

CASO 1: Supongamos que medimos una temperatura cinco veces con
un termómetro cuya resolución es de un grado y obtenemos:
T1 = 64 ºC, T2 = 61 ºC , T3 = 65 ºC, T4 = 68 ºC, T5 = 65 ºC
Valor medio: T =64,6ºC
Incertidumbre:
uA(T) = (TMáx-Tmín)/6 = (68 – 61)/6 = 1,2 ºC
uB(T)=1 ºC
u(T)= 1.22 + 12 = 1,5620499 ºC
Resultado: T = (64,6 1,6) ºC; ur=2,5%

CASO 2: Supongamos que medimos una longitud tres veces con una
regla graduada en milímetros y obtenemos:
x1 = 6.5 cm, x2 = 6.5 cm, x3 = 6.5 cm
uB(x)=0,1 cºm
Resultado: x = (6.5 0.1) cm, ur=1,5%
¡LA INCERTIDUMBRE u(x) NO PUEDE SER INFERIOR A LA RESOLUCIÓN
DEL INSTRUMENTO!
PRESENTACIÓN DE RESULTADOS

¿Qué tienen de extraño estas frases?:

La extinción de los dinosaurios ocurrió hace aproximadamente
65 millones de años y 3 días.

Las pirámides se construyeron hace unos 4000 años y 27
segundos.

El viaje de Marco Polo a China duró unos 4 años, 3 meses, 12
días, 3 horas, 23 minutos, 12 segundos y 345 milésimas.
PRESENTACIÓN DE RESULTADOS.
El resultado de una medida debe expresarse con un número de cifras que viene
determinado por el valor de la incertidumbre. Por ejemplo, es absurdo dar como
resultado:
x=(1,2732345678534 ± 0,035) m
Y tampoco tiene sentido:
L=(2,1389639 ± 0,18653617) m
Norma:
• Las incertidumbres deben darse con dos cifras significativas
• Deben descartarse del resultado todas las cifras que sean de orden
inferior a la incertidumbre
Resultados correctos:
x=(1,273 ± 0,035) m
L=(2,14 ± 0,19) m
PRESENTACIÓN DE RESULTADOS: REDONDEO
La última cifra conservada se redondea de la siguiente forma:
− Aumentándola en 1 unidad si la primera cifra descartada es mayor
que 5.
− Dejándola tal cual si la primera cifra descartada es menor que 5
− Si la primera cifra descartada es 5 y al menos una de las siguientes
es mayor que 0, la última cifra conservada se aumenta en una
unidad.
− Si la primera cifra descartada es 5 y todas las demás son 0, la
última cifra conservada no cambia si es par o se aumenta en una
unidad si es impar (redondeo al par).
ALGUNAS OBSERVACIONES...

Para números muy grandes o muy pequeños conviene usar la notación
científica, esto es, en potencias de 10:
(18000  3000) Pa = (18,0  3,0)  103 Pa
(0,00256  0,00017) N = (2,56  0,17)  10-3 N

En ocasiones hay que tener en cuenta que algunos ceros no se pueden
suprimir:
2  0,21 cm  INCORRECTO
2,00 0,21 cm  CORRECTO
EJEMPLOS
4,81343  0,04661
132,2894  2,8754
5127  234
0,53781  0,00996
50353  2550
4,813  0,047 ; ur = 0,98 %
132,3  2,9 ; ur = 2,2 %
5130  230
; ur = 4,5 %
0.5378  0.0100 ; ur = 1.8 %
50400  2600
2,3487  0,345
2,35
1091,32  84,55
1091  85
; ur = 5,2 %
 0,34 ; ur = 0,14 %
; ur = 7,8 %
INCERTIDUMBRE TÍPICA COMBINADA DE
MEDIDAS INDIRECTAS

Existen también medidas indirectas, es decir, magnitudes A que se
calculan a partir de los valores x,y,z de otras magnitudes mediante una
fórmula: A=f (x,y,z)

En este caso, la incertidumbre típica combinada de A viene dada por:
2
  f
 f
  f

uc ( A)   u ( x)    u ( y )    u ( z ) 
 x
  y

  z
2
2
EJEMPLO: CÁLCULO DE INCERTIDUMBRE COMBINADA
Se pretende calcular el volumen de un paralelepípedo, cuyas aristas se miden con
unas reglas obteniéndose los siguientes valores:
a = 10,00  0,10 cm
V = a·b·c = 3750 cm3
b = 25,0  2,0 cm
c = 15,0  1,5 cm
a
c
b
 V
  V
  V

u
(
V
)

u
(
a
)

u
(
b
)

u
(
c
)






Incertidumbre combinada: c
 a
  b
  c

 V

u( a )   b  c  u( a )  37,5

 a

 V

u(b)   a  c  u(b)  300

 b

 V

u( c )   a  b  u( c )  375

 c

2
2
2
uc(V)=481,6962217 cm3
Resultado: V = (3750  480) cm3
ALGUNAS OBSERVACIONES...

Cuando los cálculos se realizan mediante
calculadora u ordenador, conviene conservar
siempre todas las cifras que éstos permitan,
procediéndose al redondeo SÓLO en el resultado
final, NUNCA redondeando resultados intermedios.

Si en la fórmula o ley que permite el cálculo de una
magnitud aparece alguna constante matemática o
física (como π, NA, g, c, etc.), conviene considerar,
en el momento de operar, el máximo número
significativo de cifras, de forma que el error
considerado sea despreciable frente a la
incertidumbre de las magnitudes que intervienen
en la fórmula.
EJEMPLO
Medición de la densidad de una bola de acero
D: Diámetro
m
m: masa
El diámetro D se mide con un calibre cuya
resolución es: 0,01 cm
D
La masa m se mide con una balanza cuya
resolución es: 0,1 g
La expresión a utilizar será:

m
4 3
R
3

m
4 D
 
3 2
3

m

3
4 D

3 8
6m
 3
D
18
EJEMPLO
Medida nº
D (cm)
Medición de la densidad de una bola de acero
1
2
3
4
5
6
2,38
2,45
2,39
2,44
2,40
2,43
n
Cálculo de D:
xi  X i 
X
k 1
i ,k
n
2,38  2,45  2,39  2,44  2,40  2,43
D
 D  2,415 cm
6
19
EJEMPLO
Medida nº
D (cm)
Medición de la densidad de una bola de acero
1
2
3
4
5
6
2,38
2,45
2,39
2,44
2,40
2,43
Cálculo de incertidumbre típica de D:
X i ,máx  X i ,min
u( xi ) 
6
u( xi )  xi
2,45  2,38
uA ( D) 
 0,01166667
6
uB ( D )  0,01 cm
u( xi )  u A ( xi )2  uB ( xi ) 2
u( D )  u A ( D ) 2  uB ( D ) 2  0,011666672  0,012  0,01536591
20
EJEMPLO
Medición de la densidad de una bola de acero
Resultado de D:
D  2,415  0,01536591 
D  ( 2,415  0,015) cm
Resultado truncado y redondeado
21
EJEMPLO
Medición de la densidad de una bola de acero
Se realiza una única medida de m, obteniéndose:
m  57,7 g
Cálculo de incertidumbre típica de m:
En este caso la incertidumbre típica sólo es consecuencia de haber
sido estimada la magnitud por una evaluación tipo B. Por tanto, la
incertidumbre será igual a la resolución del instrumento:
u (m)  0,1 g
Resultado de m:
m  57,7  0,1 
m  (57,7  0,1) g
Resultado truncado y redondeado
22
EJEMPLO
Medición de la densidad de una bola de acero
D  ( 2,415  0,015) cm
m  (57,7  0,1) g
Cálculo de ρ:
6m
 3
D
6  57,700


3
  2,415
  7,82394494g/cm3
23
EJEMPLO
Medición de la densidad de una bola de acero
Cálculo de incertidumbre típica combinada de ρ:
2
2
2

  f

 f
 f
uc ( y )  
u( x1 )   
u( x2 )   ...
u( xN )  
 x1
 xN
  x2


 
  

uc (  )  
u( D )   
u(m) 
 D
  m

2
2
 f  2

 x  u ( xi )
i 1 
i
N
6m

D 3
2
6

 
  6
 
4
u
(
m
)

u
(
m
)


0
,
1

1
,
838654

10


  3
 
3
 m
  D
    2,415

2
2
2

 
   18m
   18  57,7
u
(
D
)

u
(
D
)


0
,
015
  0,0212541

 
 
4
4
 D
  D
    2,415

2
2
uc (  )  1,838654  104  0,0212541 
2
uc (  )  0,14641703 g/cm3
24
EJEMPLO
Medición de la densidad de una bola de acero
Resultado final :
  7,82394494g/cm3
uc (  )  0,14641703 g/cm3
  (7,82  0,15) g/cm
3
Resultado truncado y redondeado
25
REPRESENTACIONES GRÁFICAS
V
(102
Línea de
ajuste
Escala
sencilla
mV)
Puntos distribuidos
por toda la gráfica
17
Eje de
16
ordenadas
(v. dependiente) 15
Errores
14
¡Nunca!
13
12
El origen no tiene
porqué ser el (0,0)
1
2
3
4
Eje de abcisas
(v. independiente)
5
6
7
8
Identificación
de los ejes
I (mA)
AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS
Por ejemplo supongamos que queremos comprobar la ley de Hooke F=-ky para un
resorte y para ello colgamos del muelle masas de distinto valor del muelle y
medimos la elongación de éste. Debe cumplirse Mg-ky=0, luego y=g/k M por lo
que esperamos que si se representa x frente a M los datos se alineen en una recta
Los puntos no están
perfectamente
alineados como cabría
esperar debido a los
errores accidentales e
instrumentales del
experimento.
6
M(g)
y(cm)
5
100
0.6
200
0.9
400
2.2
600
3.0
2
800
4.1
1
1000
4.85
0
x (cm)
4
3
El método de Ajuste por Mínimos
Cuadrados permite encontrar la recta
que ajusta mejor a todos los puntos
experimentales
0
200
400
600
M (g)
800
1000
1200
AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS
La recta que buscamos es: y = m·x + b.
m  Pendiente
b  Ordenada en el origen
Se calcula de la siguiente manera. Para unos puntos (x1, y1), (x2, y2) …(xn,yn)
n
m
n
n
n xi yi   xi  yi
i 1
i 1
i 1
 n 
2
n xi    xi 
i 1
 i 1 
n
n
u c ( m) 
 y
i 1
n
b
2
 mxi  b 
y
i 1
n
i
 m xi
i 1
n
2
i
n
uc (b)  uc (m)
n  2 xi  x 
i 1
2
n
x
i 1
2
i
COEFICIENTE DE CORRELACIÓN
 Hay que darlo siempre que se hace un ajuste por mínimos cuadrados.
 Es un número que está entre 1 y -1 y que nos da información de cómo de
bueno es el ajuste (cuanto más cercano a 1 o -1, mejor).
r
n
n
n
i 1
i 1
i 1
n xi yi   xi  yi
 n 2  n 2   n 2  n 2 
n xi    xi   n yi    yi  
 i 1    i 1
 i 1  
 i 1
¡ Un ajuste por mínimos cuadrados es aceptable solo si |r| > 0,9 !
 Siempre se debe expresar con todas sus cifras hasta la primera que no sea
9, redondeándola en su caso: r = 0.9996714  r = 0.9997
EN NUESTRO EJEMPLO:
xi
yi
100
0.6
200
0.9
400
2.2
600
3.0
800
4.1
1000
4.85
m = 0,0048726027 cm/g; uc(m)=0,0005401 cm/g
b = 0,0908219 cm;
r = 0,99728
uc(b)=0,8029164 cm
m = 0,0049 ± 0,0005 cm/g
Resultado final: b = 0,09 ± 0,80 cm
r = 0,997
Frecuentemente la recta de regresión nos permite calcular alguna magnitud de
interés. En este caso, por ejemplo, la constante del muelle. En efecto, según la
teoría
y
g
x
k
Lo que implica que g/k es la pendiente y la ordenada en el origen es cero
Por lo tanto
cm
981 2
g
g
g
s
m k  
 200204,082 2
k
m 0.0049cm
s
g
𝑢𝑐 𝑘 =
𝜕𝑘
𝑢 𝑚
𝜕𝑚
2
+
𝜕𝑘
𝑢 𝑔
𝜕𝑔
2
= 20430,01
´𝑔
𝑠2
k = (20,0  2,0)  104 g/s2; ur= 10 %