Transcript 3.6. Kompleksi skaitļi un vektori. 3.7. Komplekso amplitūdu metode

3. Sinusoidālas maiņstrāvas ķēdes.
3.1. Sinusoidāli avoti.
3.2. Sinusoidālas strāvas vidējā un efektīvā vērtība.
3.3. Ideāls rezistors.
3.4. Ideāla spole.
3.5. Ideāls kondensators.
3.6. Kompleksi skaitļi un vektori.
3.7. Komplekso amplitūdu metode. Oma un Kirhofa
likumi kompleksā formā.
3.8. Vektoru diagramma RLC virknes slēgumā.
Pretestību un spriegumu trīsstūris.
3.9. Vektoru diagramma RLC paralēlajā slēgumā.
Vadītspēju un strāvu trīsstūris.
3.10. RL virknes slēguma riņķa diagramma mainīgas
induktīvās pretestības gadījumā.
3.11. RC virknes slēguma riņķa diagrammas mainīgas
rezistora pretestības gadījumā.
3.12. RL paralēlā slēguma vektoru diagramma.
3.13. Pasīva divpola parametri un ekvivalentās
shēmas (virknes un paralēlā). Pāreja no vienas
ekvivalentās shēmas otrā. Abām shēmām kopējā
vektoru diagramma.
3.14. Topogrāfiskā diagramma maiņstrāvas ķēdēs.
3.15. Momentānā, aktīvā, reaktīvā un pilnā jauda.
Jaudas koeficients. Jaudu trīsstūris. Aktīvās
jaudas izteiksmes izvedums aktīvi-reaktīvas
pretestības gadījumā. Jaudas izteiksmes
izvedums kompleksā formā. Jaudu bilance.
3.16. Enerģijas pārvade no aktīva uz pasīvu divpolu.
Lietderības koeficienta izteiksmes izvedums un
maksimālās jaudas pārvades nosacījumu
teorētiskais pamatojums.
3.17. Aktīvās jaudas mērīšana ar vatmetru.
3.18. Pasīva divpola parametru eksperimentālās
noteikšanas pamatojums.
3.19. Sprieguma rezonanses nosacījumi. Vektoru
diagramma. Kontūra labums. izteiksmju
izvedums un grafiki.
3.20. Strāvu rezonanses nosacījumi. Vektoru
diagramma. izteiksmes izvedums un grafiks.
3.21. Vektoru diagramma RL un RC zaru paralēlajā
slēgumā, mainot RL zarā ieslēgto induktīvo
pretestību. Rezonanses īpatnības šadā shēmā.
3.22. Divu mijinduktīvi saistītu spoļu magnētisko
plūsmu sadalījums un ekvivalentās shēmas.
Momentāno spoļu spriegumu izteiksmju
izvedums. Mijinduktīvā sprieguma virziens 2.
Kirhofa likuma vienādojumos.
3.23. Induktīvi saistītu spoļu saites koeficients
Izteiksmes pierādījums. Izteiksmes pierādījums.
Spoļu sprieguma izteiksmes kompleksā formā.
3.24. Divu mijinduktīvi saistītu spoļu līdzslēgums un
pretslēgums. Vektoru diagrammas.
Mijinduktivitātes noteikšana no līdzslēguma un
pretslēguma eksperimentiem.
3.25. Transformatora vienādojumu izvedums.
3.26. Transformatora ieejas pretestības izteiksmes
izvedums.
3.27. Transformatora pārvades koeficienta izteiksmes
izvedums.
1
3.6. Kompleksi skaitļi un vektori.
Im
Z  Re Z  j Im Z
Z
Z  ze j
z
Kompleksa skaitļa Z:
1. algebriskā forma;
2. eksponenciālā forma.
Im Z

Re
Re Z
j
Im Z
Z
z

Re Z

Z – komplekss skaitlis;
ReZ – kompleksa skaitļa Z reālā daļa (reāls
skaitlis);
ImZ – kompleksa skaitļa Z imaginārā daļa (reāls
skaitlis);
z – kompleksa skaitļa modulis;
f- kompleksa skaitļa fāze.
Z – komplekss vektors;
ReZ – kompleksa vektora Z projekcija uz reālās
ass (reāls skaitlis);
ImZ – kompleksa vektora Z projekcija uz
imaginārās ass (reāls skaitlis);
z – vektora Z garums;
f -vektora Z leņķis pret reālo asi.
2
3.6. Kompleksi skaitļi un vektori.
Im
II
Im Z
I
III
Z  Re Z  j Im Z
Z
Z  ze j
z

Pāreja no eksponenciālās uz algebrisko formu.
Re Z  z cos
Re
Im Z  z sin 
Re Z
IV
Kompleksa skaitļa Z:
1. algebriskā forma;
2. eksponenciālā forma.
Pāreja no algebriskās uz eksponenciālo formu.
z  Re Z   Im Z 
2
2
z Z 
2
Re Z 2  Im Z 2
0; ja Re Z  0;
Im Z
  arctg
 n; n  
Re Z
1; ja Re Z  0.
n=0, ja vektors Z atrodas I vai IV kvadrantā;
n=1, ja vektors Z atrodas II vai III kvadrantā.
3
3.6. Kompleksi skaitļi un vektori.
1.piemērs
Im
II
III
Z
2
I
1
z
0

Re Z  1
Im Z  2
Z  Re Z  j Im Z  1  j 2
z
Re
1
IV
Re Z 2  Im Z 2  12  22  2,24
 Im Z 
 2
arctg 
  arctg    arctg 2  63,4  1,11rad
 Re Z 
1
Re Z  1  0  n  0
 Im Z 
  arctg 
  180  0  63,4
 Re Z 
Im Z 
  arctg 
    0  1,11rad
 Re Z 
4
3.6. Kompleksi skaitļi un vektori.
2.piemērs
Re Z  1
Im Z  2
Z  Re Z  j Im Z  1  j 2
Im
2
II
1
1
III
Z
z
2
I
z

Re
0
1
IV
Re Z 2  Im Z 2   12   22  2,24
 Im Z 
  2
arctg 
  arctg 
  arctg 2  63,4  1,11rad
 Re Z 
 1 
Re Z  1  0  n  1
 Im Z 
  arctg 
  180  1  63,4  180  243,4
 Re Z 
Im Z 
  arctg 
    1  1,11  3,14  4,25rad
 Re Z 
5
3.6. Kompleksi skaitļi un vektori.
Darbības ar kompleksiem skaitļiem
1  z1e j1 

j 2 
 2  z2e 
Z 3  Z1Z 2  z1e j1 z2e j 2  z1 z2e j 1  2    z3  z1 z2

 
j 3
Z 3  z3 e
 3  1   2
z1
Z1 z1e j1 z1 j 1  2   

z
e


Z4 
  4
z2
Z 2 z 2 e j 2 z 2

 
     
Z 4  z 4 e j 4
2
1
  4
Z 5  Z1  Z 2  Re Z1  j Im Z1   Re Z 2  j Im Z 2  Re Z 5  Re Z1  Re Z 2


Z 5  Re Z 5  j Im Z 5 
 Im Z 5  Im Z1  Im Z 2
Z 6  Z1  Z 2  Re Z1  j Im Z1   Re Z 2  j Im Z 2  Re Z 6  Re Z1  Re Z 2

 
Z 6  Re Z 6  j Im Z 6 
 Im Z 6  Im Z1  Im Z 2
6
Vektora leņķi
kompleksā plaknē
vienmēr atliek no
reālās ass uz pašu
vektoru:
1. virzienā pretēji
pulksteņa
rādītāju kustības
vierzienam leņķis
ir pozitīvs,
2. bet sakrītoši ar
rādītāju virzienu–
negatīvs.
3.6. Kompleksi skaitļi un vektori.
1
Z  1  1  j 0  1e j 0
2
Z  1  1  j 0  1e
 Z 1
j 180 0  360 
 j180 0
Im
 1e
 1e
1
j 90 0
Z  j  0  j1  1e
0   0
 j 90 0
Z   j  0  j1  1e
Z 1
3
4
0
3
2
Z  1 Im
1
Z
1
0
1
Zj
  180
Re
1
  180
1
j180 0
Re
4
Im
1 Z
  90
0
Re
1
Z j
Im
1
1
0
  90
1 Z
7
Re
3.6. Kompleksi skaitļi un vektori.
1
2
3
j
jA
A  ae
j A
;  j  1e
A  ae
j A
;  1  1e
j180 0
A  ae
j A
;  1  1e
 j180 0
; j  1e
 j 90 0
  jA  ae j  A  90 
  A  ae j  A 180 
  A  ae j  A 180 
A
A
A
j 90 0
4
 A  90
 A 180
 jA  ae j  A  90 
A  ae
j A
 A  90
 A 180

 jA
8
3.7. Komplekso amplitūdu metode. Oma un Kirhofa likumi kompleksā formā.
Eilera formula: saista komplekso skaitļu algebrisko un eksponenciālo formas.
e j  cos  j sin 
Sinusoidālu strāvu var izteikt ar strāvas komplekso amplitūdu.
i (t )  I m sin(t   i )  ImI m cos(t   i )  jI m sin(t   i ) 
 Im I me j t  i   Im I me j i e jt  ImIme jt 


Sinusoidālas
strāvas i(t)
kompleksā
amplitūda
Im  I me
j i


Im  I me j i
Sinusoidālas
strāvas i(t)
amplitūda
Sinusoidālas
strāvas i(t)
sākumfāze
Im I m j i


e  I  Ie j i
2
2
Sinusoidālas
strāvas i(t)
leņķiskā
frekvence
Sinusoidālas strāvas i(t)
• efektīvā vērtība
• kompleksā efektīvā vērtība
9
3.7. Komplekso amplitūdu metode. Oma un Kirhofa likumi kompleksā formā.
i (t )  I m sin(t   i )  ImI m cos(t   i )  jI m sin(t   i ) 
 Im I me j t  i   Im I me j i e jt  ImIme jt 




Im  I me j i
j
Ime jt
it 
it 

Im
t
i
t   i
it 
i0

Im
t
 i t
10
3.7. Komplekso amplitūdu metode. Oma un Kirhofa likumi kompleksā formā.
Līdzīgi kā sinusoidālu strāvu ar atbilstošu komplekso
amplitūdu var izteikt arī sinusoidālu spriegumu, sinusoidālu
EDS vai sinusoidālu strāvas avota J strāvu.
Sinusoidālu spriegumu var izteikt ar sprieguma komplekso amplitūdu.
u (t )  U m sin(t   u )  ImU m cos(t   u )  jU m sin(t   u ) 
 Im U me j t  u   Im U me j u e jt  ImU me jt 


Sinusoidāla
sprieguma u(t)
kompleksā
amplitūda
U m  U me
j u


U m  U me j u
Sinusoidāla
sprieguma u(t)
amplitūda
Sinusoidāla
sprieguma u(t)
sākumfāze
U m U m j u


e  U  Ue j u
2
2
Sinusoidāla
sprieguma u(t)
leņķiskā
frekvence
Sinusoidāla sprieguma u(t)
• efektīvā vērtība
• kompleksā efektīvā vērtība 11
3.7. Komplekso amplitūdu metode. Oma un Kirhofa likumi kompleksā formā.
1.piemērs


Dots : i (t )  20 sin 100t   A
6

Atrast : I
Atrisinājums :
 m  20 A


 i  vai  i  30
6
i (t )  I m sin(t   i )  
 m 20
 

I


 14,14 A
  

i (t )  20 sin 100t   
2
2
6 

 I  Ie j i


j
 I  14,14  e j 30  A vai I  14,14e 6  A

12
3.7. Komplekso amplitūdu metode. Oma un Kirhofa likumi kompleksā formā.
2.piemērs

rad
4

Dots : U  4e V ;   100
s
Atrast : u t 
j
Atrisinājums :
U  4V








0
,
785

rad

vai
45

j
u


4 
4


U  4e V 

 

U  Ue j u  U m  4 2  5,66V 

u t   U m sin(t   u )




 u t   5,66  sin(100t  0,785)V 
13
3.7. Komplekso amplitūdu metode. Oma un Kirhofa likumi kompleksā formā.
i
R
e(t )
I
L
uR
Dots : R; L; C ; u (t )  U m sin(t   u )
Atrast : i (t ); uR (t ); uL (t ); uC (t )
uL
u(t )
С
uС
u R  u L  uC  u;
u R  Ri;
Ja EDS avots e(t) ir
sinusoidāls, tad
stacionārā režīmā
visu iespējamo strāvu
un spriegumu laika
funkcijas arī ir
sinusoīdas ar to pašu
avota frekvenci.
di
uL  L ;
dt
1
1
uC   idt  const   idt;
C
C
di 1
Ri  L   idt  u
dt C
Kondensatora
sprieguma uC(t)
sinusoīda nevar
saturēt konstanti
const, kura nav
atkarīga no laika,
tādēļ const=0.
3.7. Komplekso amplitūdu metode. Oma un Kirhofa likumi kompleksā formā.
i
u R  u L  uC  u;
R
e(t )
I
L
uR
uL
u(t )
С
uС
u  U m sin(t   u )  Im U me jt ; U m  U me j u
i  I m sin(t   i )  ImIme jt ; Im  I me j i
u R  Ri  R ImIme jt   ImRIme jt 
 d Ime jt 
di
d ImIme jt 
uL  L  L
 L Im 

dt
dt
 dt 
  d e jt 
 L Im  I m
  L Im  jIme jt   Im  jLIme jt 
dt 



1
1
1
j t

uC   idt   ImI me dt  Im  Ime jt dt 
C
C
C
1  1  j t 
 1  jt 
 Im 
I me   Im
I me 
C  j

 jC

3.7. Komplekso amplitūdu metode. Oma un Kirhofa likumi kompleksā formā.
i
u R  u L  uC  u
R
e(t )
I
L
uL
 1  j t 
jt
j t


Im RI me   Im  jLI m e   Im 
I me  
 j C

 Im U me jt 
uС
 
1   j t 

Im  RI m  jLI m 
I m e   Im U me jt 
j C  

uR
u(t )
С
t  t1
Im U1me jt   Im U 2 me jt 
t  t2
Im U1me jt   Im U 2 me jt 
jt
j t


U1me  U 2 me
U1me jt  U 2 me jt
j
U1me
jt
 t   u1
U 2 me jt
t   u1
j

U1me jt
U 2 me jt
t   u 2
t   u 2


Lai divu ar vienādu frekvenci ω rotējošu vektoru projekcijas
uz imaginārās ass būtu vienādas katrā laika momentā, tad
jāsakrīt arī pašiem rotējošajiem vektoriem.
17
3.7. Komplekso amplitūdu metode. Oma un Kirhofa likumi kompleksā formā.
i
R
e(t )
I
L
uR
uL
u(t )
С
uС
 
1   j t 

Im  RI m  jLI m 
I m e   Im U me jt 
jC  

1   jt  jt
 

I m e  U m e
 RI m  jLI m 
j C 

1 


RI m  jLI m 
I m  U m
j C
1 

 R  j L 
 I m  U m
j C 

ZIm  U m
1
Z  R  j L 
j C
Im U m
Z

 ZI  U
2
2
Oma likums
kompleksām
amplitūdām
RLC virknes slēguma kopējā
pretestība kompleksā formā
Oma likums
kompleksām efektīvajām
vērtībām
i
3.7. Komplekso amplitūdu metode. Oma un Kirhofa likumi kompleksā formā.
R
e(t )
I
L
uR
uL
u(t )
С
uС
Im
R
I
E m
ZL
U m
ZC
 u(t )   e(t )
1 


RI m  j  L I m 
I m  U m
jC
U Rm  U Lm  U Cm  U m
U Rm  RIm
U Lm  jLIm  jxL Im  Z L Im
Komplekso amplitūdu
metode ļauj aizstāt
laika funkciju
diferenciālvienādojumus
ar kompleksu skaitļu
algebriskiem
vienādojumiem, kuri
būtībā ir līdzīgi
līdzstrāvas ķēžu
vienādojumiem, tikai
risināmi kompleksā
formā.
1 
j 

U Cm 
Im  2
Im 
jC
j C

U Rm
j 
1 

Im   j
I m   jxC Im  Z C Im
C
U Lm  C
Z L  jxL
Parasti aprēķinos kompleksās
U Cm
Z C   jxC
U
m
  E m
amplitūdas aizstāj ar kompleksajām
efektīvajām vērtībām, jo to
moduļus vieglāk salīdzināt ar
mērinstrumentu rādījumiem.
i
3.7. Komplekso amplitūdu metode. Oma un Kirhofa likumi kompleksā formā.
R
I
e(t )
L
uR
uL
u(t )
С
uС
R
U R
ZL
U L
I
U
ZC
1  
RI  jLI 
I U
jC
Otrais Kirhofa likums




U R  U L  UC  U
kompleksā formā
U R  RI
U L  jLI  jxL I  Z L I
I
E
 u(t )   e(t )
U C
1 
1 

UC 
I j
I   jxC I  Z C I
jC
C
Z L  jxL
Z C   jxC
U   E
Parasti aprēķinos kompleksās
amplitūdas aizstāj ar kompleksajām
efektīvajām vērtībām, jo to
moduļus vieglāk salīdzināt ar
mērinstrumentu rādījumiem.
3.7. Komplekso amplitūdu metode. Oma un Kirhofa likumi kompleksā formā.
I
Z L  jxL
R
U R
Z C   jxC
ZL
U L
Z  ze j
I
E
U
U C
ZC
Z  R  jxL  jxC  R  j  xL  xC   R  jx
z  R 2.  x 2
  arctg
x
x
 n  arctg
R
R
Aktīvā pretestība
R  z cos 
Reaktīvā pretestība
x  z sin 
j
x0
Z
jx
 0

R
n=0, jo ReZ=R>=0
(vienmēr)
Induktīvs raksturs
xL  xC  x  0;   0
Kapacitatīvs raksturs
xL  xC  x  0;   0
 j x0
R
 0 
jx
Z
21
3.7. Komplekso amplitūdu metode. Oma un Kirhofa likumi kompleksā formā.
I
R
U R
ZL
U L
I
E
U
ZC
U C
j
Ķēdes kopīgai
pretestībai induktīvs
raksturs: strāvas
vektors atpaliek no
sprieguma
j
vektora
j
x0
Z jx
 0

R
  U
Z  ze j
 z 
j

I
U Ue u U j  u  i    
Z   j i  e
    u   i

I Ie
I
Ķēdes kopīgai pretestībai
 u  i  
kapacitatīvs raksturs:
Pretestības Z fāzes leņķi f
vienmēr atliek virzienā
no strāvas vektora uz
sprieguma vektoru !
j
I
 0
U
u
u
i
I
i
U
 0
sprieguma vektors
atpaliek no strāvas
vektora

Pozitīvus leņķus kompleksā
plaknē atliek “pret pulksteni”,
bet negatīvus – “pa pulksteni”.

 j x0
R
 0 
jx
Z
22
 i  i2  i1  0
a
i
I
i1
i2
R
 I  I2  I1  0
I1
a
I2
uR
R
E
e(t )
L1
L2
uL
L1
L2
U
u(t )
С
С
uС
b
b
i  I m sin(t   i )  ImIme jt ; Im  I me j i
i1  I1m sin(t   i1 )  ImI1me jt ; I1m  I me j i1
i2  I 2 m sin(t   i 2 )  ImI2 me jt ; I2 m  I 2 me j i 2
 i  i2  i1  0   ImIme jt   ImI2 me jt   ImI1me jt   0
Im Ime jt  I2 me jt  I1me jt   0   Ime jt  I2 me jt  I1me jt  0
Pirmais Kirhofa likums
 Im  I2 m  I1m  0   I  I2  I1  0
kompleksā formā
23