ENERGIA

           

Energia Trabalho de uma força constante Energia cinética Trabalho e energia cinética Trabalho de uma força constante (graficamente) Trabalho de uma força variável Teorema do trabalho e da energia cinética Energia potencial Conservação da energia mecânica Energia potencial elástica Forças conservativas e forças não- conservativas Potência

1

ENERGIA

As leis de Newton permitem analisar Esta vários tipos de movimentos.

análise pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do movimento que são inacessíveis.

Exemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na chegada de um percurso de montanha russa? Despreze a resistência do ar e o atrito, e resolva o problema usando as leis de Newton.

v i

 0

v f

 ?

2

ENERGIA Até agora abordamos o movimento dum corpo utilizando grandezas como posição, velocidade, aceleração e força Resolvemos anteriormente vários problemas de mecânica utilizando esses conceitos Investigaremos agora uma nova problemas técnica para a análise dos



na inclui definições de algumas grandezas conhecidas mas que física essas grandezas tem significados mais específicos do que na vida diária Energia é um conceito que ultrapassa a mecânica de Newton



relevante também na mecânica quântica, relatividade , eletromagnetismo, etc. é

3

ENERGIA Importância do conceito de energia

• • • • •

Processos geológicos Balanço energético no planeta Terra Reações químicas Funções biológicas (máquinas nanoscópicas)



energia armazenada e energia libertada Balanço energético no corpo humano Um conceito importante no estudo de energia é o conceito de sistema



é um modelo de simplificação, em que focalizamos a nossa atenção numa pequena região do Universo e desprezamos os detalhes sobre o restante do universo fora do sistema

4

TRABALHO Quando empurramos uma caixa ela se desloca caixa



a



nós realizamos um trabalho sobre a força que exercemos sobre a caixa fez com que ela se movesse



F W



Fd m



d



F



d



Trabalho realizado por uma força constante



x

O TRABALHO realizado por um agente ao exercer uma força constante sobre um sistema é

W

 

F

 

d



Fd

cos 

W

 (

F

cos  )

d

O trabalho é uma grandeza escalar A unidade de trabalho no SI é o joule (J)

5

Exemplo 1 : Calcular o trabalho de uma força constante de 12 N, cujo ponto de aplicação se translada 7 m, se o ângulo entre as direções da força e do deslocamento forem 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.

W

 

F



d

 

Fd

cos 

W

 12 N  7 m cos0

o

 84 J

W

 12 N  7 m cos60

o

 4 2 J

W

 12 N  7 m cos90

o

 0 J

W



12 N



7 m cos135

o  

42 2 J

W

 12 N  7 m cos180

o

  84 J

6

ENERGIA CINÉTICA A energia cinética

K

corpo é a energia associada ao estado de movimento de um A energia cinética de uma partícula de massa velocidade escalar

v

é

m

em movimento com uma



v K

 1 2

m v

2

A energia cinética é uma grandeza escalar A unidade da energia cinética no SI é o joule (J)

7



v

0

m

 

F



d

 

v



TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA

x F x



Da segunda lei de Newton

ma x



a

x



F

x

m

v

2 

v

0 2  2

a x d



v

2 

v

0 2 

2

F x m d

 1 2

m

(

v

2 

v

0 2 ) 

F x d



1 2

m v

2

 1 2

mv

0 2



F

x

d

O lado esquerdo da expressão representa a variação da energia cinética do corpo e o lado direito é o trabalho realizado pela força sobre o corpo “Realizar trabalho”, portanto, é transferir energia

8

Exemplo 2: Trabalho de uma superfície da Terra força constante: a força gravitacional na



v



F g



d



v

 0  

F g

Se o corpo se eleva duma altura d :

W

 

F g



d

 

F g d

cos 

W



mgd

cos  

mgd

cos 180 0  

mgd

o sinal negativo indica que a

mgd

da energia força gravitacional retira cinética do objeto durante a subida.

a energia

9

Exemplo 3: Agora vamos deteminar qual é o trabalho realizado pela força peso sobre um corpo de 10.2 kg que de cai 1.0 m de altura?

W

 ( 10 .

2 kg) ( 9 .

8 m/s 2 ) ( 1 .

0 m )  100 J

Qual é a velocidade final do corpo, se ele parte do repouso?

(

v i

 0 ) 

K

 1 2

m v

2

f

 1 2

mv i

2  1 2

m v

2

f

 0   1 2

m v

2

f



W



v f

 2

W m

 2  100 J  4 .

4 m/s 10.2

kg 10

Exemplo 4: Trabalho de forças constantes considerando o atrito Modelo para resolver o problema:



N



F

1

f



a m



g d

Trabalho realizado pelos carregadores: Trabalho realizado pela força de atrito:

W c



Fd W a

 

f a d

  

c mgd

Se o carrinho se desloca com velocidade constante: e força resultante é nula, pois não há aceleração:



K

 0 

F



F

1 

f a

 0

( isto é consistente com o fato de que o trabalho total ser nulo:

W c



W a

 0 ) 11

TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE

W



F



x F

onde



x



x



x

0

F W x

0

O trabalho é a área sob a curva da força F

x

12

TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL (1-D) Considere

F



F

(

x

) 

a força resultante que atua sobre uma partícula de massa m.

Dividimos o intervalo ( intervalos . Então:

i

x

2

-x

1 ) em um número muito grande de pequenos

W

 

i

( )

i



x i

No limite de N



e



x



0 :



i F

 

i



x i

e

W



x x

1  2 

x x

1  2

F

(

x F

( )

dx x

)

dx

O trabalho força F(x) é a área sob a curva da

13

TEOREMA DO TRABALHO E DA ENERGIA CINÉTICA A definição mais geral de trabalho corresponde ao trabalho realizado por uma força variável

F



F

(

x W



x

1 

x

2

F

(

x

)

dx W

Integrando entre o estado inicial e o estado final



x f



xi F

(

x

)

dx



x f



xi madx



m x f



xi adx



m x f



xi dv dx dt



m x f



xi vdv



m v

2 2

v f v i

 1

m

(

v f

2 

v i

2 ) 

W

 

K

2

esse resultado é conhecido como teorema do trabalho e da energia cinética Quando é feito um trabalho sobre um sistema e a única mudança no sistema é em sua velocidade escalar, o trabalho feito pela força resultante é igual à variação da energia cinética do sistema

14

ENERGIA POTENCIAL Muitas vezes o trabalho executado por uma força aplicada a um corpo não leva a um aumento da energia cinética do corpo Porque existem outras forças que podem executar um trabalho negativo de mesmo valor

15

Por exemplo cima, por uma constante.



Supomos um corpo que é puxado lentamente para força sobre um plano inclinado, com velocidade Não considere o atrito.



F

ap 16

Forças que atuam sobre o bloco: O peso: A normal:

m



g



N

A força aplicada:



F

ap 

F

ap

v



mg

sin    

F

ap

m



g

 

N v

  constante 

Análise das forças na direção do eixo

x



F x

 0 

F

ap 

mg

sin   0

F

ap  

mg

sin 



F

ap

mg

sin  

v F

ap 

mg

sin  

O trabalho realizado pela desloca o corpo ao longo da

W

 

F

ap  

s



F

ap

s

cos  

F

ap

força aplicada, quando distância s é:

s

cos 0 

W W W

 

F

ap

s

(

mg

sin  )

s

 (

mg

)(

s W



mgh

sin  )

h s



Não há aumento de energia cinética porque a velocidade é constante e

W

peso  

mgh

Se soltarmos o bloco, transformamos o trabalho da E nesse caso o trabalho do peso é positivo e igual a força aplicada em energia cinética.

mgh



Podemos utilizar a atração gravitacional da Terra sobre o bloco para armazenar o trabalho realizado, que posteriormente pode ser utilizado para imprimir ao bloco energia cinética Dizemos então que o bloco que se encontra numa altura

h

mgh

em relação à posição inicial tem um energia potencial

Na verdade o conceito mais geral de energia potencial se aplica a um sistema de partículas que interagem entre si: Duas esferas exercem forças gravitacionais de atração entre si :



F



F

Se aplicarmos uma força externa sobre cada uma delas tal que



F

ap   

F



separamos as duas esferas com aceleração nula, e executamos um trabalho sobre o sistema



F

ap 

F



F



F

ap

Recuperamos esse trabalho se largarmos as duas esferas elas serão aceleradas uma para a outra e as suas respetivas energias cinéticas aumentam



F



F

O trabalho executado aumenta a energia cinética e diminui a energia potencial.

19

Se uma das esferas for muito maior do que a outra, como laranja, por exemplo, desprezamos o movimento da Terra.

é o caso da Terra e uma Podemos separar esse par de corpos levantando a laranja e libertamos o par deixando cair a laranja Superfície da Terra Vemos que a uma descrição em que associamos a energia potencial a uma só partícula é simplificação A energia potencial

U

é uma forma de energia que pode ser associada com a configuração (ou arranjo) de um sistema de dois ou mais corpos, que exercem forças uns sobre os outros



F



F

2 2 

F

1 

F

1 

F



F

3 3

Se a configuração mudar, a energia potencial também pode mudar

20

FUNÇÃO ENERGIA POTENCIAL,

U

(DEFINIÇÃO PARA1D) VARIAÇÃO DE ENERGIA POTENCIAL:



 0



x



 

  0

x

0

x



Normalmente consideramos

x

0 como uma configuração de referência fixa

U

(

x

) 

U

(

x

0 ) 

x

0 

x F

(

x

)

dx

F

 

dU dx

É importante observar que é preciso que a força seja uma função apenas da posição (configuração).

Não se pode definir U(x) em outros casos e um fluido (que depende da velocidade

 

por exemplo a força de atrito de um corpo como veremos em fluidos) Do ponto de vista físico, apenas as Então, pode-se sempre atribuir o valor variações zero à de energia potencial são relevantes.

configuração de referência:

 0

21

ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Nas proximidades da Terra a força gravitacional pode ser aproximada por



F g

  

m g

Supomos que

m

é a massa de um livro Tomando como referência para

y

 0 

U ,

U(0)=0

y



F g U



mgy

Calculamos

U

(

y

) :

U

(

y

)  

U

(

y

)

U

(

y

0 )  0

y

 (

mgy



y

0 

y F

(

y

)

dy



mgy



que é a energia gravitacional do livro em

y

potencial

 e y

solo

y

0  0

O trabalho transferência de apresenta energia uma para o sistema e que agora aparece na forma de energia potencial gravitacional O trabalho da força da gravidade será

W





F

g



d



 

mg

 e y





y

e y

 

mgy

A unidade da energia potencial gravitacional no SI é o joule (J)

22

CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA Do teorema do trabalho e da energia posição:

W

cinética para uma força que só depende da

 

K

Como

U

(

x f

) 

U

 

i

 

W



U

(

x i

) 

U

 

f



W

e

1 2

m v

f

2



1 2

mv

i

2



W



podemos igualar as duas expressões

  

i

  

f

 1 2

mv

2

f

 1 2

mv i

2  1 2

mv i

2   1 2

mv

2

f

 

E

mecânica  1 2

m v

2 

U

(x)  constante 

a energia mecânica total não varia !

E

mecânica 

K



U g



essa equação é uma formulação da CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA

E

mecânica 

K



U g

24

Exemplo 6 : Conservação da energia mecânica

E

mec 

K



U g

25

Exemplo 7 : Conservação da energia mecânica para um carro que desce um plano inclinado

26

Exemplo 8 : Um carrinho está em movimento sobre uma montanha russa, como indica a figura abaixo. Qual a velocidade do carrinho no ponto C ? Não há atrito.

10 m/s

E

mecânica 

K



U g

A

E

mecânica  C

E

mecânica

K

A 

v

C 2



2

m

U

A

g



K

B 

U g

C



1 2

m v

A 2



mgh

A



1 2

mv

C 2



mgh

C

1 2

m v

A 2



mgh

A



mgh

C



v

C 2



v

A 2



2

gh

A



2

gh

C



v

C



v

C

 

v

A 2



2

g

(

h

A



h

C

) 100



58 .

8 )



6 .

4 m/s



v

C



10 2



2



9 .

8 ( 5



8 )



27

Exemplo 9: Conservação da energia mecânica para um pêndulo simples.

28

ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA



 0



x



 

A configuração de referência é

x

0 = 0 e

U

( 0 )  0

Substituindo a força elástica

F

(

x

)  

kx

na integral

U

(

x

)  0  0 

x

( 

kx

)

dx



U

(

x

) 

k x

0 

xdx

 1 2

kx

2

x

0

x



U

(

x

)  1 2

kx

2

é a energia potencial elástica

29

ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA A energia mecânica para o sistema bloco-mola

E

mec  1 2

m v

2  1 2

k x

2  constante

v v v v



v

 

v

max e

x

 0 e

x

0 e

x



v

max  0 e

x

e

x E

1 2

kA

2

E

1 2 2

mv

max

E

1 2

kA

2

E E

1 2 2

mv

max 1 2

kA

2 30

FORÇA CONSERVATIVA Forças conservativas conservada



forças para as quais a energia mecânica é O trabalho feito por uma depende apenas das força conservativa não depende da trajetória, configurações inicial e final



uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza sobre um corpo que descreve um percurso fechado é zero.

Exemplos de forças conservativas

•

Força gravitacional

•

Força elástica

•

Força unidimensional que só dependa da posição: F(x)

31

Exemplo 10: Trabalho de forças conservativas.

L

B

d

A



C Trabalho realizado pela força gravitacional ao longo do circuito



W A



W B



W C

  

mgd



mgd



mgL

sin  

mgd

 0  0 32

FORÇAS NÃO-CONSERVATIVAS O trabalho feito por uma força não-conservativa depende da trajetória Exemplo de força não-conservativas: Força de atrito.

33

Exemplo 11. A Força de atrito é uma força não conservativa.

W

atrito

(

A



B

) 



C



F

atrito



d s



 

F

atrito

L

A



B



W atr



A



B

      

c



c mgd

/ 2

C



f

atr



d

s

 

reta

f L atr A



B

semi-círculo

Nesse caso, trabalho da não é possível definir uma energia potencial porque o força de atrito depende da trajetória descrita pelo corpo

34

POTÊNCIA Em aplicações práticas, principalmente na engenharia de máquinas, é mais importante saber a rapidez com que um trabalho é feito do que a quantidade do trabalho realizado.

Se uma força externa é aplicada num corpo, e se o trabalho feito por essa força for W no intervalo de tempo



t, então a potência média durante esse intervalo de tempo é definida como

P



W



t

A potência instantânea quando



t

P num instante particular aproxima-se de zero: é o valor limite da potência média

P



lim



t

 0

W



t



dW dt

Unidade de P no SI: J/s = watt (W) A potência pode ser definida também como sendo a força multiplicada pela velocidade.

Sabendo que

W



F



d r P



dW dt

 

F



d dt r

 

o segundo termo é a velocidade e

P

 

F



v

 35

A unidade de potência cavalo-vapor (horsepower) Unidade de potência HP criada por Watt para fazer o marketing de sua máquina numa sociedade fortemente dependente do (e acostumada ao) trabalho realizado por cavalos. 1 a motivação: retirada da água das minas de carvão.

A unidade no sistema inglês é o cavalo-vapor: 1 HP = 760 W

v =

1,0 m/s

m ~

76 kg

Uma nova unidade de energia pode agora ser definida em termos da unidade de potência: Um quilowatt hora é a energia transferida numa hora à taxa constante de 1 kW:

1 kWh  ( 10

3

W)(3600 s)  3.6

 10

6

J

36

Exemplo 12: 100 m RASOS X MARATONA: TRABALHO E POTÊNCIA Trabalho realizado sobre o corredor de 100 m rasos: 2,1 x 10 4 J Trabalho realizado sobre maratonista (42 142 m): 5,9 x 10 6 J P. A. Willems et al, The Journal of Experimental Biology 198, 379 (1995) Potência do corredor de 100 m rasos: Potência do corredor de maratona:

P

100 

P mar

 2 , 1  10 4

J

 10

s

5 , 9  10 6

J

2  60  60

s

2100  816

W W

37