Transcript Energia
ENERGIA
Energia Trabalho de uma força constante Energia cinética Trabalho e energia cinética Trabalho de uma força constante (graficamente) Trabalho de uma força variável Teorema do trabalho e da energia cinética Energia potencial Conservação da energia mecânica Energia potencial elástica Forças conservativas e forças não- conservativas Potência
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ENERGIA
As leis de Newton permitem analisar Esta vários tipos de movimentos.
análise pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do movimento que são inacessíveis.
Exemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na chegada de um percurso de montanha russa? Despreze a resistência do ar e o atrito, e resolva o problema usando as leis de Newton.
v i
0
v f
?
2
ENERGIA Até agora abordamos o movimento dum corpo utilizando grandezas como posição, velocidade, aceleração e força Resolvemos anteriormente vários problemas de mecânica utilizando esses conceitos Investigaremos agora uma nova problemas técnica para a análise dos
na inclui definições de algumas grandezas conhecidas mas que física essas grandezas tem significados mais específicos do que na vida diária Energia é um conceito que ultrapassa a mecânica de Newton
relevante também na mecânica quântica, relatividade , eletromagnetismo, etc. é
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ENERGIA Importância do conceito de energia
• • • • •
Processos geológicos Balanço energético no planeta Terra Reações químicas Funções biológicas (máquinas nanoscópicas)
energia armazenada e energia libertada Balanço energético no corpo humano Um conceito importante no estudo de energia é o conceito de sistema
é um modelo de simplificação, em que focalizamos a nossa atenção numa pequena região do Universo e desprezamos os detalhes sobre o restante do universo fora do sistema
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TRABALHO Quando empurramos uma caixa ela se desloca caixa
a
nós realizamos um trabalho sobre a força que exercemos sobre a caixa fez com que ela se movesse
F W
Fd m
d
F
d
Trabalho realizado por uma força constante
x
O TRABALHO realizado por um agente ao exercer uma força constante sobre um sistema é
W
F
d
Fd
cos
W
(
F
cos )
d
O trabalho é uma grandeza escalar A unidade de trabalho no SI é o joule (J)
5
Exemplo 1 : Calcular o trabalho de uma força constante de 12 N, cujo ponto de aplicação se translada 7 m, se o ângulo entre as direções da força e do deslocamento forem 0º, 60º, 90º, 135º, 180º.
W
F
d
Fd
cos
W
12 N 7 m cos0
o
84 J
W
12 N 7 m cos60
o
4 2 J
W
12 N 7 m cos90
o
0 J
W
12 N
7 m cos135
o
42 2 J
W
12 N 7 m cos180
o
84 J
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ENERGIA CINÉTICA A energia cinética
K
corpo é a energia associada ao estado de movimento de um A energia cinética de uma partícula de massa velocidade escalar
v
é
m
em movimento com uma
v K
1 2
m v
2
A energia cinética é uma grandeza escalar A unidade da energia cinética no SI é o joule (J)
7
v
0
m
F
d
v
TRABALHO E ENERGIA CINÉTICA
x F x
Da segunda lei de Newton
ma x
a
x
F
x
m
v
2
v
0 2 2
a x d
v
2
v
0 2
2
F x m d
1 2
m
(
v
2
v
0 2 )
F x d
1 2
m v
2
1 2
mv
0 2
F
x
d
O lado esquerdo da expressão representa a variação da energia cinética do corpo e o lado direito é o trabalho realizado pela força sobre o corpo “Realizar trabalho”, portanto, é transferir energia
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Exemplo 2: Trabalho de uma superfície da Terra força constante: a força gravitacional na
v
F g
d
v
0
F g
Se o corpo se eleva duma altura d :
W
F g
d
F g d
cos
W
mgd
cos
mgd
cos 180 0
mgd
o sinal negativo indica que a
mgd
da energia força gravitacional retira cinética do objeto durante a subida.
a energia
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Exemplo 3: Agora vamos deteminar qual é o trabalho realizado pela força peso sobre um corpo de 10.2 kg que de cai 1.0 m de altura?
W
( 10 .
2 kg) ( 9 .
8 m/s 2 ) ( 1 .
0 m ) 100 J
Qual é a velocidade final do corpo, se ele parte do repouso?
(
v i
0 )
K
1 2
m v
2
f
1 2
mv i
2 1 2
m v
2
f
0 1 2
m v
2
f
W
v f
2
W m
2 100 J 4 .
4 m/s 10.2
kg 10
Exemplo 4: Trabalho de forças constantes considerando o atrito Modelo para resolver o problema:
N
F
1
f
a m
g d
Trabalho realizado pelos carregadores: Trabalho realizado pela força de atrito:
W c
Fd W a
f a d
c mgd
Se o carrinho se desloca com velocidade constante: e força resultante é nula, pois não há aceleração:
K
0
F
F
1
f a
0
( isto é consistente com o fato de que o trabalho total ser nulo:
W c
W a
0 ) 11
TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE
W
F
x F
onde
x
x
x
0
F W x
0
O trabalho é a área sob a curva da força F
x
12
TRABALHO DE UMA FORÇA VARIÁVEL (1-D) Considere
F
F
(
x
)
a força resultante que atua sobre uma partícula de massa m.
Dividimos o intervalo ( intervalos . Então:
i
x
2
-x
1 ) em um número muito grande de pequenos
W
i
( )
i
x i
No limite de N
e
x
0 :
i F
i
x i
e
W
x x
1 2
x x
1 2
F
(
x F
( )
dx x
)
dx
O trabalho força F(x) é a área sob a curva da
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TEOREMA DO TRABALHO E DA ENERGIA CINÉTICA A definição mais geral de trabalho corresponde ao trabalho realizado por uma força variável
F
F
(
x W
x
1
x
2
F
(
x
)
dx W
Integrando entre o estado inicial e o estado final
x f
xi F
(
x
)
dx
x f
xi madx
m x f
xi adx
m x f
xi dv dx dt
m x f
xi vdv
m v
2 2
v f v i
1
m
(
v f
2
v i
2 )
W
K
2
esse resultado é conhecido como teorema do trabalho e da energia cinética Quando é feito um trabalho sobre um sistema e a única mudança no sistema é em sua velocidade escalar, o trabalho feito pela força resultante é igual à variação da energia cinética do sistema
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ENERGIA POTENCIAL Muitas vezes o trabalho executado por uma força aplicada a um corpo não leva a um aumento da energia cinética do corpo Porque existem outras forças que podem executar um trabalho negativo de mesmo valor
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Por exemplo cima, por uma constante.
Supomos um corpo que é puxado lentamente para força sobre um plano inclinado, com velocidade Não considere o atrito.
F
ap 16
Forças que atuam sobre o bloco: O peso: A normal:
m
g
N
A força aplicada:
F
ap
F
ap
v
mg
sin
F
ap
m
g
N v
constante
Análise das forças na direção do eixo
x
F x
0
F
ap
mg
sin 0
F
ap
mg
sin
F
ap
mg
sin
v F
ap
mg
sin
O trabalho realizado pela desloca o corpo ao longo da
W
F
ap
s
F
ap
s
cos
F
ap
força aplicada, quando distância s é:
s
cos 0
W W W
F
ap
s
(
mg
sin )
s
(
mg
)(
s W
mgh
sin )
h s
Não há aumento de energia cinética porque a velocidade é constante e
W
peso
mgh
Se soltarmos o bloco, transformamos o trabalho da E nesse caso o trabalho do peso é positivo e igual a força aplicada em energia cinética.
mgh
Podemos utilizar a atração gravitacional da Terra sobre o bloco para armazenar o trabalho realizado, que posteriormente pode ser utilizado para imprimir ao bloco energia cinética Dizemos então que o bloco que se encontra numa altura
h
mgh
em relação à posição inicial tem um energia potencial
Na verdade o conceito mais geral de energia potencial se aplica a um sistema de partículas que interagem entre si: Duas esferas exercem forças gravitacionais de atração entre si :
F
F
Se aplicarmos uma força externa sobre cada uma delas tal que
F
ap
F
separamos as duas esferas com aceleração nula, e executamos um trabalho sobre o sistema
F
ap
F
F
F
ap
Recuperamos esse trabalho se largarmos as duas esferas elas serão aceleradas uma para a outra e as suas respetivas energias cinéticas aumentam
F
F
O trabalho executado aumenta a energia cinética e diminui a energia potencial.
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Se uma das esferas for muito maior do que a outra, como laranja, por exemplo, desprezamos o movimento da Terra.
é o caso da Terra e uma Podemos separar esse par de corpos levantando a laranja e libertamos o par deixando cair a laranja Superfície da Terra Vemos que a uma descrição em que associamos a energia potencial a uma só partícula é simplificação A energia potencial
U
é uma forma de energia que pode ser associada com a configuração (ou arranjo) de um sistema de dois ou mais corpos, que exercem forças uns sobre os outros
F
F
2 2
F
1
F
1
F
F
3 3
Se a configuração mudar, a energia potencial também pode mudar
20
FUNÇÃO ENERGIA POTENCIAL,
U
(DEFINIÇÃO PARA1D) VARIAÇÃO DE ENERGIA POTENCIAL:
0
x
0
x
0
x
Normalmente consideramos
x
0 como uma configuração de referência fixa
U
(
x
)
U
(
x
0 )
x
0
x F
(
x
)
dx
F
dU dx
É importante observar que é preciso que a força seja uma função apenas da posição (configuração).
Não se pode definir U(x) em outros casos e um fluido (que depende da velocidade
por exemplo a força de atrito de um corpo como veremos em fluidos) Do ponto de vista físico, apenas as Então, pode-se sempre atribuir o valor variações zero à de energia potencial são relevantes.
configuração de referência:
0
21
ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL Nas proximidades da Terra a força gravitacional pode ser aproximada por
F g
m g
Supomos que
m
é a massa de um livro Tomando como referência para
y
0
U ,
U(0)=0
y
F g U
mgy
Calculamos
U
(
y
) :
U
(
y
)
U
(
y
)
U
(
y
0 ) 0
y
(
mgy
y
0
y F
(
y
)
dy
mgy
que é a energia gravitacional do livro em
y
potencial
e y
solo
y
0 0
O trabalho transferência de apresenta energia uma para o sistema e que agora aparece na forma de energia potencial gravitacional O trabalho da força da gravidade será
W
F
g
d
mg
e y
y
e y
mgy
A unidade da energia potencial gravitacional no SI é o joule (J)
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CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA Do teorema do trabalho e da energia posição:
W
cinética para uma força que só depende da
K
Como
U
(
x f
)
U
i
W
U
(
x i
)
U
f
W
e
1 2
m v
f
2
1 2
mv
i
2
W
podemos igualar as duas expressões
i
f
1 2
mv
2
f
1 2
mv i
2 1 2
mv i
2 1 2
mv
2
f
E
mecânica 1 2
m v
2
U
(x) constante
a energia mecânica total não varia !
E
mecânica
K
U g
essa equação é uma formulação da CONSERVAÇÃO DA ENERGIA MECÂNICA
E
mecânica
K
U g
24
Exemplo 6 : Conservação da energia mecânica
E
mec
K
U g
25
Exemplo 7 : Conservação da energia mecânica para um carro que desce um plano inclinado
26
Exemplo 8 : Um carrinho está em movimento sobre uma montanha russa, como indica a figura abaixo. Qual a velocidade do carrinho no ponto C ? Não há atrito.
10 m/s
E
mecânica
K
U g
A
E
mecânica C
E
mecânica
K
A
v
C 2
2
m
U
A
g
K
B
U g
C
1 2
m v
A 2
mgh
A
1 2
mv
C 2
mgh
C
1 2
m v
A 2
mgh
A
mgh
C
v
C 2
v
A 2
2
gh
A
2
gh
C
v
C
v
C
v
A 2
2
g
(
h
A
h
C
) 100
58 .
8 )
6 .
4 m/s
v
C
10 2
2
9 .
8 ( 5
8 )
27
Exemplo 9: Conservação da energia mecânica para um pêndulo simples.
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ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA
0
x
A configuração de referência é
x
0 = 0 e
U
( 0 ) 0
Substituindo a força elástica
F
(
x
)
kx
na integral
U
(
x
) 0 0
x
(
kx
)
dx
U
(
x
)
k x
0
xdx
1 2
kx
2
x
0
x
U
(
x
) 1 2
kx
2
é a energia potencial elástica
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ENERGIA POTENCIAL ELÁSTICA A energia mecânica para o sistema bloco-mola
E
mec 1 2
m v
2 1 2
k x
2 constante
v v v v
v
v
max e
x
0 e
x
0 e
x
v
max 0 e
x
e
x E
1 2
kA
2
E
1 2 2
mv
max
E
1 2
kA
2
E E
1 2 2
mv
max 1 2
kA
2 30
FORÇA CONSERVATIVA Forças conservativas conservada
forças para as quais a energia mecânica é O trabalho feito por uma depende apenas das força conservativa não depende da trajetória, configurações inicial e final
uma força é conservativa se o trabalho que ela realiza sobre um corpo que descreve um percurso fechado é zero.
Exemplos de forças conservativas
•
Força gravitacional
•
Força elástica
•
Força unidimensional que só dependa da posição: F(x)
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Exemplo 10: Trabalho de forças conservativas.
L
B
d
A
C Trabalho realizado pela força gravitacional ao longo do circuito
W A
W B
W C
mgd
mgd
mgL
sin
mgd
0 0 32
FORÇAS NÃO-CONSERVATIVAS O trabalho feito por uma força não-conservativa depende da trajetória Exemplo de força não-conservativas: Força de atrito.
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Exemplo 11. A Força de atrito é uma força não conservativa.
W
atrito
(
A
B
)
C
F
atrito
d s
F
atrito
L
A
B
W atr
A
B
c
c mgd
/ 2
C
f
atr
d
s
reta
f L atr A
B
semi-círculo
Nesse caso, trabalho da não é possível definir uma energia potencial porque o força de atrito depende da trajetória descrita pelo corpo
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POTÊNCIA Em aplicações práticas, principalmente na engenharia de máquinas, é mais importante saber a rapidez com que um trabalho é feito do que a quantidade do trabalho realizado.
Se uma força externa é aplicada num corpo, e se o trabalho feito por essa força for W no intervalo de tempo
t, então a potência média durante esse intervalo de tempo é definida como
P
W
t
A potência instantânea quando
t
P num instante particular aproxima-se de zero: é o valor limite da potência média
P
lim
t
0
W
t
dW dt
Unidade de P no SI: J/s = watt (W) A potência pode ser definida também como sendo a força multiplicada pela velocidade.
Sabendo que
W
F
d r P
dW dt
F
d dt r
o segundo termo é a velocidade e
P
F
v
35
A unidade de potência cavalo-vapor (horsepower) Unidade de potência HP criada por Watt para fazer o marketing de sua máquina numa sociedade fortemente dependente do (e acostumada ao) trabalho realizado por cavalos. 1 a motivação: retirada da água das minas de carvão.
A unidade no sistema inglês é o cavalo-vapor: 1 HP = 760 W
v =
1,0 m/s
m ~
76 kg
Uma nova unidade de energia pode agora ser definida em termos da unidade de potência: Um quilowatt hora é a energia transferida numa hora à taxa constante de 1 kW:
1 kWh ( 10
3
W)(3600 s) 3.6
10
6
J
36
Exemplo 12: 100 m RASOS X MARATONA: TRABALHO E POTÊNCIA Trabalho realizado sobre o corredor de 100 m rasos: 2,1 x 10 4 J Trabalho realizado sobre maratonista (42 142 m): 5,9 x 10 6 J P. A. Willems et al, The Journal of Experimental Biology 198, 379 (1995) Potência do corredor de 100 m rasos: Potência do corredor de maratona:
P
100
P mar
2 , 1 10 4
J
10
s
5 , 9 10 6
J
2 60 60
s
2100 816
W W
37