Transcript Document 210869

Μεταφορά Μάζας
Διονύσης Μαντζαβίνος
Πολυτεχνική Σχολή
Τμήμα Χημικών Μηχανικών
Ισοζύγιο της ιδιότητας ψ

 u .      u
t
 ή  ή :  ώ  IN  OUT  ΠΑΡΑΓΩΓΗ
2
Μεταφορά Μάζας
 
 u       D    u
t
ή
c
 u *c     Dc  cu *
t
   A , c A Και όχι μόνο!
  D Συντελεστής διάχυσης
u, u 
*
Ταχύτητα ανάλογα με συγκέντρωση
3
Μηχανισμοί Μεταφοράς
•Διάχυση (αγωγή)  Ελεύθερη κίνηση μορίων
•Συναγωγή  πεδίο ταχυτήτων
Κλασσικό παράδειγμα: στέγνωμα ρούχων
Flux ή ροή {ποσότητα [(επιφάνεια και χρόνο)]}

       
 ux
x
Μονοδιάστατη μεταφορά
4
Ισοζύγια για ψ
A1
ΔV
A2
X
X1
X2
d
 x A1    V   x A2  (
)V
dt
A: σταθερό, δ: σταθερό
 x
d
   

dt
x
u x
 2  ( u x )
 2

 2 
  2 
 ux
x
x
x
x
x
5
T, P : const
N2
Αέρας+
NH3
O2
Μονοφασικό
σύστημα
N2
yA
Διφασικό
σύστημα
Αέρας
H2O+ NH3
xA

yA
y *A
xA
x *A
6
N. Raoult:
PA*  PA x A
N. Dalton:
PA*  Py A
N. Henry:
PA*  Hc A
PA
yA 
xA
P
7
Συγκέντρωση
A 
• Πυκνότητα ή μαζική συγκέντρωση:
i N

i 1
•Γραμμομοριακή συγκέντρωση:
c
i 1
i
1

nA
V
cA 
i N
mA
V
i
2
c
 1 ,  2  c A 

MA
•Ιδανικό αέριο: P  nA RT  c RT
A
A
V
i N
 P P  cRT
i 1
i
8
Κλάσματα
Για τα υγρά:
xA 
cA
c
Για τα αέρια:
yA 
c A PA

c
P
mA  A
A 

m

Μαζικό κλάσμα
iN
Γενικά ισχύει:
Μοριακό
κλάσμα
iN
iN
 x  y  
i 1
i
i 1
i
i 1
i
A 
A
A

   A 1  A
Λόγος μαζών
XA 
cA
x
 A
c  cA 1  xA
Λόγος γραμμομορίων
9
Μέση ταχύτητα μίγματος
Όγκος ελέγχου
iN
•Γενική έκφραση: u   ai ui
a
i 1
iN
•Αν ai  i  u   i ui 
m
i 1
•Αν
1 iN
u


i 1
i i
i N
1 iN
ai  xi  u   xi ui   ci ui
c i 1
i 1
M
Μέση μαζική ταχύτητα
Μέση μοριακή ταχύτητα
Πότε u m  u M ?
10
Ταχύτητα διάχυσης i
uia,  ui  u a
Γενική έκφραση
uim,  ui  u m
Μάζα
uiM,  ui  u M
Mol
Ρυθμός Διάχυσης
Γινόμενο [ ταχύτητα *συγκέντρωση]
m kg
* 3
s m
kg
m2s
ή
m mol
* 3
s m
ή
mol
m2 s
FLUX
11
•Μαζικό Flux διάχυσης:
jim  iuim,  i {ui  u m }  mi  iu m
•Γραμμομοριακό Flux διάχυσης: JiM  ciuiM,  ci {ui  u M }  Ni  ciu M
3
mi  jim  i u m
4
N i  J iM  ci u M
3
4
Τι σας θυμίζουν οι όροι?
12
Απλοποίηση συμβόλων
•Ταχύτητες + ρυθμοί μεταφοράς
Ορίζονται ως
προς Kg, mol
Μονοδιάστατη μεταφορά
mol
Ji  2
m s
kg
ji  2
m s
Διανυσματικά
μεγέθη
x,y,z
x, z, r
r,θ,φ
Όχι δείκτης κατεύθυνσης
13
Νόμος Fick
J A, z   DAB
Flux
mol
m2 s
dc A
dz
T, P const
Συντελεστής
διάχυσης
J A, z  cDAB
j A, z    DAB
m2
s
Δρώσα δύναμη
dx A
dz
( J A  cDABxA )
d A
dz
( jA    DABA )
mol
m3m
14
Γενική Έκφραση
1  aA
J  cDAB
x A
1  xA
a
A
•Για a A  x A  J AM  cDAB xA
Μοριακό flux
1  
m
M 1  
•Για a A   A  J  cDAB
x A  J A  J A
1  xA
1  xA
m
A
Μοριακό flux
Προσοχή: ανεξαρτήτως συστήματος, ο συντελεστής διάχυσης κοινό
15
Προσοχή: Μπορεί να γίνει χρήση οποιουδήποτε
συστήματος…………. με οποιοδήποτε flux
•Μοριακό flux ως προς μοριακή ταχύτητα
 J AM
• Μαζικό flux ως προς μαζική ταχύτητα
 j Am
•Μοριακό flux ως προς μαζική ταχύτητα
 J Am
•Μαζικό flux ως προς μοριακή ταχύτητα
 j AM
* Το ίδιο και με τις συγκεντρώσεις
16
Αναλογία μεταξύ φαινομένων
μεταφοράς Συγκέντρωση ορμής [=]
Κινηματικό ιξώδες ν ή
διαχυτότητα ορμής [=]
m²/s
θερμική διαχυτότητα α
[=] m²/s
Μοριακή διαχυτότητα ή
συντελεστής διάχυσης D
[=] m²/s
kg m/(s m³)
 yx  
 ( ux )
 y
k  (  C pT )
qx  
C p
x
j1x   D
c1
x
Συγκέντρωση
θερμότητας [=] J/m³
Συγκέντρωση
συστατικού i [=]
mol/m³
17
Συντελεστής Διάχυσης
•
•
•
•
•
•
Αέρια (χαμηλή πίεση)
Αέρια (υψηλή πίεση)
Υγρά
Στερεά
Εξαρτάται από P, T, σύσταση
Μειώνεται: αέρια
υγρά
στερεά
18
Α
Α
Α
Μίγμα Α και Α˖
(ισότοπα)
Κινητική θεωρία
z
Α Α
Α Α
z : συχνότητα κρούσης της επιφάνειας από Α και Α˖
z * x A : συχνότητα κρούσης της επιφάνειας από Α


dx A
z
z
JA 
xA z a  xA z a 
(2a )
No
No
dz
N o : αριθμός Avogadro ( μόρια/mol)
a : απόσταση που έγινε σύγκρουση πριν την επιφάνεια
19
Από κινητική θεωρία
Z
u

a
nu
4
8kT
m
1 1
2
2 d n
n : αριθμός μορίων Α και Α˖ ανά όγκο
u : μέση μοριακή ταχύτητα
k :σταθερά Boltzmann
T : θερμοκρασία σε K
m :μάζα μορίου
 :μέση ελεύθερη διαδρομή
d :διάμετρος μορίου
2

3
20
Άρα……
JA  
dx
dx
dx
2
1 n
1
Za A  
u  A  c{ u } A
No
dz
3 No
dz
3
dz
c
DAA*
DAA* : συντελεστής αυτοδιάχυσης
DAA*
1
2
kT
 u   DAA*  2
3
3d n  3m
Ιδανικά αέρια: P  cRT  nkT και…..
Θεωρητική σχέση:
DAA*
2

3Pd 2
k 3T 3
 3m
21
Αέρια σε χαμηλή πίεση
1. Εξίσωση Slattery -Bird
PDAB
( PCA PCB )1/3 (TCATCB )5/12 (
1
1 1/2

)
MA MB
T
 a{
}b
TCA  TCB
a  2.745*10 4
DAB : cm 2 s 1
b  1.823
Μη πολικά
αέρια
a  3.64*104
H2O + Μη
P : atm
T :K
PC , TC : Κρίσιμη πίεση και θερμοκρασία
M : Μοριακό βάρος
b  2.334
πολικό αέριο
22
2. Εξίσωση Chapman - Enskog
DAB
1.858*107
1
1
3

T
(

)
2
P AB  D , AB
MA MB
DAB : m 2 s 1
T :K
P : atm
 AB :1010 m (Διάμετρος κρούσης)
 D , AB : Συγκρουσιακό ολοκλήρωμα (αδιάστατο)
Είναι:
 AB 
 A B
2
Για μίγματα:  AB   A B
k
k
Εξαρτάται από το Ω.
 AB : ενέργεια ενεργοποίησης
23
•Τιμές για σ και ε συνήθως από πίνακες
•Αν δεν υπάρχουν δεδομένα:
1/3
 TC 

P
 C
  1.18V1/3  0.833Vc1/3  2.44 

 1.21Tb  0.75TC
k
TC , PC ,VC : Κρίσιμες τιμές
T
V
Θερμοκρασία + ειδικός όγκος στο
σημείο βρασμού και 1 atm
24
Διόρθωση για πίεση, θερμοκρασία
• Ο συντ. διάχυσης δίνεται συνήθως σε συνθήκες 1atm +20˚C ή 1atm +0˚C ( Po , To )
•Σε συνθήκες ( P, T ):
DP ,T  DPo ,To
Po T 1.5 o
( )
P To

ή ακόμα καλύτερα (γιατί δεν υπάρχει Ω)
DP ,T  DPo ,To
Po T 1.8
( )
P To
25
Αέρια σε πιέσεις υψηλότερες των
25bars
1. Διόρθωση γινομένου πυκνότητας * συντελεστή διάχυσης
D
2
3

1

0.05343


0.03018


0.02973

r
r
r
(  D)o
(  D)  σε T, P
(  D)o  Σε χαμηλές τιμές T, P

r 
 Ανηγμένη πυκνότητα
c
c : Κρίσιμη πυκνότητα
Για μίγμα:
1
c , 

Υπολογίζεται από προηγούμενες
σχέσεις
iN
  xiVc ,i
i 1
26
2. Νομογραφήματα
I. Slattery
II. Takahashi κ.λ.π.
PD
 f ( Pr , Tr )
o
( PD)
( PD )  γινομένου πίεσης *
συντελεστή διάχυσης
σε P, T
( PD )o  Γινόμενο σε συνθήκες
χαμηλής πίεσης. Η
θερμοκρασία
υπολογίζεται από
προηγούμενες σχέσεις
P
Pr 
Pc
T
Tr 
Tc
Ανηγμένα
μεγέθη
iN
Pc ,    xi Pc ,i
i 1
iN
Tc ,    xiTc ,i
i 1
27
Διάχυση σε υγρά
•4-5 τάξεις μεγέθους < αέρια.
•Αλληλεπιδράσεις μεταξύ μορίων είναι σημαντικές, άρα c
επηρεάζει τον DAB.
•T είναι σημαντική, P όχι.
•Θεωρητικές προσεγγίσεις και εμπειρικές σχέσεις.
28
ενέργεια
Θεωρία Eyring
Κλωβός μορίων διαλύτη
1
2
ενέργεια
1
Μόριο διαλυμένης
ουσίας κάνει
‘άλμα’ αφού πάρει
ενέργεια ΔH
ενεργοποίησης
κατάσταση
DAB  c1Te
  c2 e
H
RT

H
RT
όπου H  f (  )
D
: Σταθερό για κάποιο υγρό
T
c1 , c2 : Συνάρτηση της απόστασης μεταξύ των μορίων, δλδ
συνάρτηση μοριακού όγκου
29
Υδροδυναμική θεωρία
•Κίνηση σωματιδίου (μόριο Α) σε ομοιογενές μέσο (διαλύτης Β)
o
Εξίσωση Nernst – Einstein: DAB  kT
uA
FA
1
u A : Ταχύτητα του Α
FA : Δύναμη που προκαλεί την ταχύτητα
k : Σταθερά Boltzmann
o
D AB
: Συντελεστής άπειρης αραίωσης
Για Re<1
Εξίσωση Stokes: FA  6Bu A RA
2
 B : Ιξώδες Β
RA : Ακτίνα Α
30
o
 1    2  DAB

•Είναι της μορφής
kT
6 RA
3
Εξίσωση Stokes -Einstein
D
:
σταθερό
όπως και η Eyring
T
•Υπολογισμός RA
 i  RA 
A
 A : Διάμετρος κρούσης (υπολογίζεται από πίνακες)
2
 ii  2 RA  (
N o 1/3
)
VA
Θεωρώντας ότι Α είναι ισομεγέθεις σφαίρες σε κυβική
διάταξη χωρίς κενά
o
DAB
B k No 1/3
 3    ii 

( )
T
3 VA
31
Wilke-Chang
o
DAB
B
 7.4*108 ( B M B )0.5VA,0.6
b
T
o
Συντελεστής σε
DAB
άπειρη αραίωση
Αραιά , μη
ηλεκτρολυτικά υγρά
VA,b : Μοριακός όγκος Α στο σημείο ζέσης
B :
Αφού
Τάση του διαλύτη να συσσωματώνεται
D
: σταθερό για συγκεκριμένο μίγμα
T
o
o
DAB
,T  DAB ,T
o
T o
To 
Διόρθωση θερμοκρασίας
32
Επίδραση σύστασης μίγματος
•Ιδανικό μίγμα n-οκτανίου (Α) + nδωδεκανίου (Β)
D
DAA
o
DBA
DAB
D
o
DAB
DBB
0
xA
1
Για
o
x A  0  DAB
: διάχυση Α σε άπειρο Β
Για
o
x A  1  DBA
: διάχυση Β σε άπειρο Α
Για ιδανικά διαλύματα: γραμμικότητα
o
o
DAB  DBA
x A  DAB
xB
Αριθμητικός μέσος όρος
o xA
o
DAB  ( DBA
)  ( DAB
) xB
Γεωμετρικός μέσος όρος
o x
o
 DAB  (  A DBA
)  (  B DAB
)x
A
B
Με ιξώδες
33
D
Διορθωμένος D
Μη ιδανικό διάλυμα
0
xA
Συντελεστής διόρθωσης : (1 
A
1
Α: Ακετόνη
Β: Νερό
•Μη γραμμικότητα
•Τιμές < γραμμικές
•Διόρθωση για απόκλιση από
ιδανικότητα
 ln  A
)
 ln x A
: συντελεστής ενεργότητας Α
34
Επίδραση Θερμοκρασίας
•Είδαμε ήδη ………..
o
o
DAB

D
,T
AB ,T
o
T o
To 
από Wilke – Chang
Άλλη σχέση ……….. χωρίς ιξώδες
Tc  To n
(
)
o
DAB
T
T

T
,T o
c
o
DAB
,T T
o
Tc :
n:
Κρίσιμη θερμοκρασία διαλύτη Β
Παράμετρος εξαρτημένη από την ενθαλπία εξάτμισης Β
π.χ. 3 για πεντάνιο – ακετόνη, 4 για βενζόλιο – τολουόλιο κλπ
35
Διάλυμα ηλεκτρολυτών
•Ροή ιόντων, όχι μορίων
•Αραιά ιοντικά διαλύματα, εξίσωση Nernst:
o
DAB
1
1



10
n
n
 8.9304*10 T
1
1

o
o


n  , n  : Απόλυτη τιμή σθένους ιόντος, π.χ. για
Na2 SO4  n   1, n   2
o , o : Ιοντική αγωγιμότητα σε άπειρη αραίωση (από βιβλιογραφία)
36
Διάχυση σε στερεά
•Δεν υπάρχει θεωρητική προσέγγιση όπως στα υγρά ή αέρια, δλδ
θεωρητική εξίσωση
ημιεμπειρική σχέση
•Μεταβολή δομής στερεού ( διόγκωση πλαστικών με απορρόφηση υγρού,
συρρίκνωση λόγω ξήρανσης)
•Ανισοτροπία δλδ ασυμμετρία δλδ DAB αλλάζει με κατεύθυνση
•Εξωτερικές δυνάμεις
παραμόρφωση στερεού
•Διάχυση μέσω διόδων υψηλής διαχυτότητας, π.χ. σε πολυκρυσταλλικές
δομές
37
Μηχανισμοί διάχυσης βάσει είδους
στερεού και διαχεόμενης ουσίας
•Κρυσταλλικό πλέγμα ( άνθρακας σε χάλυβα)
•Υγρό ή αέριο σε πορώδες μέσο ( ετερογενής κατάλυση,
προσρόφηση)
•Σε άμορφο στερεό ( αέριο σε πολυμερές)
38
Μεταπήδηση σε
γειτονικό κενό
Διάχυση στα
διάκενα
Εκτόπιση ατόμου
στο πλέγμα
Κυκλική αλλαγή
θέσης
Το τι θα γίνει, καθορίζεται:
α) σχετικό μέγεθος ατόμου, υλικού και πρόσμιξης
β) είδος κρυστάλλου
39
Πορώδες μέσο
Ιδεατός πόρος
λεπτός σωλήνας
Μίγμα Α + Β διαχέεται μέσω πόρων ως εξής:
α) d p

 10  20
d p : διάμετρος πόρου
 : μέση ελεύθερη διαδρομή Α
•Συγκρούσεις μεταξύ μορίων παρά με τα τοιχώματα
•Κανονική διάχυση ή διάχυση Fick, π.χ.
J A  cDAB ,eff
dx A
dz
?
Τι είναι όμως αυτός ο συντελεστής
40
DAB ,eff : δρών ή αποτελεσματικός συντελεστής
DAB ,eff  DAB γιατί λαμβάνει υπόψη την απόκλιση από την ιδανική
συμπεριφορά
DAB ,eff
DAB



 : πορώδες υλικού
 : συντελεστής δαιδαλώδους ή στρεβλότητα
41
β) d p

 0.1  0.2
Διάχυση Knudsen: περισσότερες συγκρούσεις με τοιχώματα παρά μεταξύ μορίων
J kA  cDkA,eff
dx A
dz
DkA,eff
Και πάλι:
DkA



Ερώτηση: Πώς υπολογίζεται το
Απάντηση: Από κινητική θεωρία:
DkA 
dp
3
8RT
MA
και
dp 
DkA ?
4
a
( για κύλινδρο)
όπου α: επιφάνεια πόρων ανά όγκο στερεού
m2
( 3)
m
42
γ) 0.1  0.2 
dp

 10  20
•Παράλληλη διάχυση Fick και Knudsen
•Δίκτυο αντιστάσεων
1

'
A,eff
D
σύνολο
1
DkA,eff
1   A xA

DAB ,eff
Knudsen
?
Fick
•Θυμηθείτε: μίγμα Α+ Β, μπορεί να διαχέεται και το Β
•αυτό επηρεάζει την κατά Fick αλλά όχι την κατά Knudsen διάχυση
xA 
x A1  x A2
 μέσο μοριακό κλάσμα Α
2
NB
 A  1
 όπου Ν: μοριακή παροχή ανά μονάδα επιφανείας
NA
43
δ) Επιφανειακή διάχυση
•Προσρόφηση ρευστού στην επιφάνεια πόρων
•Ταχεία διεργασία
•Σχέσεις υπολογισμών
?
44
Γενικευμένη εξίσωση διάχυσης
J A  cDAB
dx A
dz
•‘Ιδεατό’ σύστημα (π.χ. μίγμα Α+ Β με xA+xB=1)
•Αλλά….. υγρά συνήθως αποκλίνουν από ιδανικότητα
…..μίγματα Α+ Β+ Γ+ Δ+…… αλληλεπιδράσεις μεταξύ μορίων
…..εξωτερικές δυνάμεις (πίεση, βαρύτητα, διαφορά δυναμικού,
φυγόκεντρος) προκαλούν κίνηση μορίων
Διατύπωση Fick
Χημικό Δυναμικό
45
cA
 A
RT
 A  RT ln a A  RT ln( A xA )
J A   DAB
  ln aA 
J A  cA DAB ln aA  cDAB 
 xA

ln
x
A

όπου
 A  χημικό δυναμικό Α
a A   A x A  ενεργότητα
 A  συντελεστής ενεργότητας (περίπου 1 για ιδανικά συστήματα)
Σύγκριση με
DAB  DAB
J A  cDABxA δίνει
 ln a A
 ln  A
 DAB {1  x A
}
 ln x A
x A
Για    1  aA  xA  DAB  DAB
46
Διάχυση σε μόνιμες συνθήκες
•Εισροή – εκροή ± παραγωγή=0
•Χωρίς χημική αντίδραση: εισροή = εκροή
molA
•δλδ για ουσία Α:
s
 ί

molA
s
 ή
(SN A )  WA  const.
όπου S[]m2 : επιφάνεια κάθετη στη ροή
N A [ ]
molA
: flux
2
ms
Ερώτηση: Ποια είναι η επιφάνεια S?
Απάντηση: Εξαρτάται από το σύστημα συντεταγμένων
47
Καρτεσιανές, S συνήθως αλλά όχι
πάντα σταθερό, S=const
Κυλινδρικές, S  2 rL
Σφαιρικές,
Θυμηθείτε: N A  J A  cAu M
Διάχυση Συναγωγή
Fick
S  4 r 2
Μέση μοριακή
ταχύτητα
1
( N A  N B  ...)
c
48
Άρα για διμερές μίγμα και ροή στην z κατεύθυνση
N A, z  cDAB
dx A
 x A ( N A, z  N B , z )
dz
Διαιρώ με N A 
N B, z
cDAB dxA
1 
 xA (1 
)
N A, z dz
N A, z
A
Ορίζω: 1 
NB
 A
NA
W
Τελικά προκύπτει: N A, z   cDAB dxA  A, z
1   A xA dz
S
όπου WA, z : μοριακός ρυθμός
..... Χωρίζω μεταβλητές
49
WA , z 
z2
z1
xA 2
dx A
dz
 (cDAB ) 
x A1 1   x
S
A A
Είναι σταθερός
ρυθμός από το
ισοζύγιο
Λογική παραδοχή
για αέρια, όχι για
υγρά
S  const  
z2
z1
dz z

S
S
r2
ln( )
r2 dr
r1
S  2 rL  

r1 S
2 L
r2 dr
r2  r1
2
S  4 r L  

r1 S
2 r2 r1
Συνάρτηση Ni
(Επίπεδο)
(κύλινδρος)
(σφαίρα)
Ροή κατά την
ακτινική
κατεύθυνση
50
Πως χειριζόμαστε το εΑ ?
cDAB 
x A2
x A1
dx A
1    xA
•Αν  A  0  1 
i 
i 
NB
 0  N A  NB
NA
cDAB ( x A1  x A2 )
•Αν  A  0 , τότε
Η περίπτωση
αντιδιάχυση
cDAB
i  
A
τότε
1    xA2
ln(
)
1    xA1
N A   N B ( A  0) καλείται ισογραμμομοριακή
51
Πολυσυστατικά μίγματα
, , .....
Βασική εξίσωση:  A, z   cDAB dxA
1    x A dz
τώρα  A  1  N B  N   ...........  
NA
NA
Ni
NA
Ερώτηση: Τι γίνεται όμως με τον συντελεστή διάχυσης?
Απάντηση: Επανέρχεται η έννοια του αποτελεσματικού συντελεστή
DA,eff
διάχυσης
52
Ροή Α σε πολυσυστατικό μίγμα j συστατικών :
N A  J A  xA  N j  cDA,eff xA  xA  N j
Για οποιοδήποτε συστατικό i:
Ni  cDi ,eff xi  xi  N j 
Ni  xi  N j
Di ,eff
 cxi
Σχέσεις Maxwell – Stefan για ιδανικά συστήματα:
xi N j  x j N i
xi  
cDij
j
1
2
53
 1    2 
 3 
Ni  xi  N j
Di ,eff
n
x j Ni  xi N j
j 1
Dij

προσδιορισμός Di ,eff γνωρίζοντας
3
Ni
Di ,eff  Σταθισμένος μέσος συντελεστής
διάχυσης i στο μίγμα
D
•Εάν Dij είναι περίπου ίσοι τότε: Di ,eff   ij
n
(αριθμητικός μέσος όρος)
•Αραιά διαλύματα, δλδ υπάρχει διαλύτης Β με
xB  1τότε
Di ,eff  DiB
•Το i είναι το μόνο που διαχέεται (τα άλλα είναι ακίνητα ή έχουν ίδια ταχύτητα)
xj
(1  xi )
D
Di ,eff
ij
54
Ισομοριακή αντιδιάχυση
O2
Γενικά: N A  
cDAB dx A
N
 1 ,  A  1  B
1   A x A dz
NA
N A  NB 
Ολικό Ισοζύγιο Μάζας
c A1  cB1  c 
 c A2  cB2
A  0
uM  0
N2
P:const, T:const
1

N A  cDAB
dx A
 JA
dz
c
N A   DAB
dc A
dz
NB  N A
c B2

cB1
c A1

c A2
z1
z2
dc A dcB

dz
dz
z
55
Διάχυση σε στάσιμο αέριο ή διάχυση μέσω
στάσιμου υμενίου ( stagnant film diffusion )
Ροή Β
Α
Υγρό Α
N A, z μέσω λεπτού φιλμ (υμενίου)
A
Διάταξη γνωστή και ως ‘κελί Arnold’
NA  
cDAB dx A
1   A x A dz
NA  
με
 A  1
N B N B 0

 A  1
NA
cDAB dx A 

1  x A dz
56
 NA 
cDAB

1  xA2
xB2
cDAB
ln(
)
ln( )
1  xA1

xB1
Πάχος υμενίου
Χρήσιμη έκφραση με μερικές
πιέσεις για ιδανικά αέρια:
c
P
P
, xB  B
RT
P
Άρα
NA 
PB
P  PA2
PDAB
PDAB
ln( 2 ) 
ln(
)
RT 
PB1
RT 
P  PA1
57
Κατανομή συγκέντρωσης
cDAB dxA
dN A
d  cDAB dxA 
NA  

 0  

1  xA dz
dz
dz  1  xA dz 
Ολοκλήρωση με:
z  0, x A  x A1
z   , x A  x A2
1  xA  1  xA2

1  xA1  1  xA1




z /
x
xA  xB  1
x B2
xB1
x A1
Ερώτηση: ενώ N B  0 , γιατί η
συγκέντρωση του xB μεταβάλλεται κατά z
z1
?
x A2
z2
z
58
Μη ισομοριακή αντιδιάχυση
Β
Α
Β
N A  cDAB
 NA  
 .
A 
 2B
και
N B  2 N A
Γενικά για N B  kN A
dxA
dx
 x A  N A  N B   cDAB A  x A N A 1  k  
dz
dz
cDAB
dx A
(1  k )(1  x A ) dz
Σύγκριση  A και k
k  1 : ισομοριακή αντιδιάχυση αλλά η
εξίσωση δεν λύνεται
k  0 : κελί Arnold
59
Διάχυση με αντίδραση
•Ετερογενής κατάλυση
cb  c
Επιφάνεια
Συγκέντρωση Α
καταλύτη S
χωρίς πόρους

Απόσταση
k : Κινητική
km :
am :
cs
1ης
z
Έστω
S
A( g ) 
 B( g )
rA  kcS
1ης τάξης
N A  km am (cb  cS )
τάξης
Συντελεστής μεταφοράς μάζας ανά επιφάνεια
καταλύτη
Επιφάνεια ανά μονάδα μάζας καταλύτη
Μόνιμες συνθήκες:
N A  rA 
 kcS  km am (cb  cS )

60
km am
cS 
cb  1 
k  km am
Φαινομενικός ρυθμός N  r  kc
A
p
S
αντίδρασης
 rp 
1
1
1

k km am
cb  N A
rp  (
k * k m * am
)cb 
km * am  k
2
3
Όπου:
1
: επίδραση εγγενούς χημικής αντίδρασης
k
1
: επίδραση εξωτερικής διάχυσης
km am
61
Ρυθμορυθμιστικό στάδιο
• Η πιο αργή διεργασία
ή
•Η έχουσα την μεγαλύτερη αντίσταση
1) k
2) k
 3
a

k

rp  kcb
m m
 3
 km am 
rp  km am cb
3) Όταν ισχύει η  3  rp 
1
1
1

k km am
cb και οι 2 αντιστάσεις είναι σημαντικές
62
Σχέση (km am )  DAB
• Στην A  B, δλδ ισομοριακή αντιδιάχυση, όχι συναγωγή
•……… και σε αραιά διαλύματα……..
Νόμος Fick: N A  J A   DAB
dc A
dz
Συνοριακές συνθήκες: z  0  c A  cb
z    c A  cs
NA 
DAB

cb  cS   km am cb  cS 
Άρα, km am 
DAB

 Kc
Ετερογενείς διεργασίες
Γενική έκφραση
63
rp 
Διάχυση και ενέργεια
ενεργοποίησης
1
cb  K o cb
1
1

k k m am
Arrhenius:k  Ae


RT

1
1
1
e RT
1
 



K o k k m am
A k m am
 Ko 
km am Ae


RT
km am  Ae
K o  k  Ae


RT


1
Διάχυση και αντίδραση
2
Μόνο αντίδραση
RT
64
Διάγραμμα Arrhenius
ln Ko
1
T
Σε μεγάλες Τ ( μικρές 1/Τ), ή διάχυση είναι η ρυθμίζουσα
διεργασία
65
k1

B
•Ετερογενής αντίδραση A 
k1
Κυλινδρικός καταλύτης
c AS
c BS
Ακτίνα r1
Διάχυση μέσω υμενίου
c A

c
Συνοριακές συνθήκες: r  r1  c A  c A , cB  cB
s
s
r  r1    c A  c A , cB  cB
dc A
DA S
Διάχυση Α: N A   DA
 WA 
(c A  c As )
dr

Ισοζύγιο Α (mol/s) όπου S μέση λογαριθμική επιφάνεια διάχυσης
66
Διάχυση Β:
WB 
DB S

c
Bs
 cB

Αντίδραση ανά μονάδα επιφανείας:
k1c As  k1cBs  rA
Μόνιμη κατάσταση: WA  WB  rA S1 όπου
S1  2 r1L
Απαλείφοντας τις ‘άχρηστες’ επιφανειακές συγκεντρώσεις
k1
cB
k1
WA 
k1 

1


DA S k1S1 k1 DA S
c A 
Αντίσταση
διάχυσης Α
Χημική
αντίδραση
Αντίσταση
διάχυσης Β
67
Ισοζύγιο Μάζας
Συστατικό Α: εισροή-εκροή+παραγωγή=συσσωρεύση
Ρυθμός, δλδ μάζα/χρόνος
N A
rA
Θυμηθείτε: N A  J A  c Au M
Άρα: cD 2 x A  rA 
c A
t
dx A
 cD
 c Au M
dz
c A
 c Au M
t
Με αμελητέα συναγωγή και μόνιμες συνθήκες:
cD 2 x A  rA  0
68
•Το ισοζύγιο είναι χρήσιμο σε ομογενή συστήματα, δλδ
αντίδραση και διάχυση στο ίδιο μέσο
•Σε ετερογενή συστήματα, αντίδραση και διάχυση σε
διαφορετικά μέσα, δες κατάλυση στην επιφάνεια μη πορώδους
καταλύτη
•Ισοζύγιο μόνιμων συνθηκών, μονοδιάστατη μεταφορά,
ομογενής αντίδραση
2
cD 2 xA  rA  cAu M  D
d cA
M dc A

u
 rA  0
2
dz
dz
 σταθερή μέση ταχύτητα
69
•Διάχυση στον πόρο καταλύτη (ομογενές σύστημα)
Όχι αντίδραση στο
κλειστό άκρο
Α
προϊόντα
 rA  k c A
x
m
k    
s
CAs
CA
Το k της ‘κλασσικής’
1ης τάξης είναι 1
s
0
 από τα παράξενα της
κατάλυσης
L x
70
x
Ισοζύγιο Α στον
στοιχειώδη όγκο
είσοδος
r: ακτίνα
έξοδος
αντίδραση
 dc A 
 r D 

 dx in
2
mol
s
k c A 2 r x
mol
s
 dc A 
 r D 

 dx out
2
mol
s
 dc A 
 dc A 





dx out  dx in 2k c A

είσοδος - έξοδος + χημική αντίδραση :

0
x
Dr
  dc A 

 dc A 



  dx 
c A 
2
k
dx




out
in

0

και με lim
x 0 
x
Dr 
71




d 2 cA 2k 

cA  0
2
dx
Dr
1
2 rL
2k 
Ορισμός k  : k  k   2  
2
r
 r L 
 2cA k
 1    2  2  cA  0
x
D
Λύση διαφορικής:
c A  M 1e mx  M 2e  mx
με
m
Συνοριακές συνθήκες:
3
k
D
4
x  0  c A  c As
dc A
xL
0
dx
cosh m( L  x)
 3 ,  4 ,  5  c A  c AS
cosh mL
72
Η ποσότητα (mL)  L k : μέτρο Thiele ( Thiele modulus)
D
1
0.5
cA
c As

(mL)
10
0
x
L
Αδιάστατο
μήκος
1
•Το μέτρο Thiele εκφράζει την εσωτερική αντίσταση στην διάχυση
•Το ίδιο συμβαίνει και με τον παράγοντα αποτελεσματικότητας (n)
73
Ο παράγοντας αποτελεσματικότητας ορίζεται ως ο λόγος της πραγματικής
αντίδρασης με διάχυση προς την αντίδραση αν δεν υπήρχε διάχυση.
cA tanh(mL)
n

cAs
mL
για 1ης τάξης αντίδραση
Γενικά: n  1 όταν mL  0 :
1
 mL (??????)
n
•Ποιοι είναι οι όροι στο μέτρο Thiele?
mL  L
Χαρακτηριστικό μήκος
(ΧΜ) καταλύτη
k
D
Κινητική 1ης τάξης
Αποτελεσματικός
συντελεστής διάχυσης
Για άλλες κινητικές δεν ισχύει η
παραπάνω εξίσωση
74
Τι είναι το (ΧΜ)???
Για οποιαδήποτε γεωμετρία:
ό  ί
 ή  ά  έ   ώ
4
 R3
3
R
•Σφαίρα:
(  ) 
4 R 2
3
όπου R είναι η ακτίνα
R
•Κύλινδρος: (  ) 
2
2
( ) 
R L
2 RL
•Επίπεδη πλάκα (flat plate) με την μία πλευρά εκτεθειμένη στα
αντιδρώντα: (  )  L (το πάχος της πλάκας)
•Επίπεδη πλάκα με τις 2 πλευρές εκτεθειμένες στα αντιδρώντα:
(  ) 
L
2
75
•Απορρόφηση με χημική αντίδραση
Τι είναι η απορρόφηση?
2
συγκέντρωση
PA
1
Αέρια φάση
Διεπιφάνεια
φάσεων
Υγρή φάση
Ζώνη
PAs
αντίδρασης
c As
c A
z
απόσταση
PA :
Μερική πίεση Α στην κύρια μάζα αερίου
PAs :
Μερική πίεση Α στην διεπιφάνεια φάσεων
PAs
Henry
const
H
1 :
 c As : Συγκέντρωση στην διεπιφάνεια σε ισορροπία με PA
2 :
cA :

s
Υμένιο αέριας φάσης
Υμένιο υγρής φάσης
Two film theory
Συγκέντρωση Α στην κύρια μάζα υγρού
76
•Διαχωρισμός CO2 (Α)από καυσαέρια με απορρόφηση και
χημική αντίδραση σε δ. NaOH
Α
προϊόν με κινητική 1ης τάξης
Διαλυτότητα CO2 στο Η2O είναι μικρή
διάλυμα
uM  0
DAB
rA  kc A
αραιό
d 2cA
d 2cA
k

kc

0


cA  0 
A
2
2
dz
dz
DAB
d 2cA
2

m
cA  0
2
dz
όπου
 k 
m

D
 AB 
0.5
Σας θυμίζει κάτι???
77
Συνοριακές συνθήκες: •Στην διεπιφάνεια:
z  0  c A  c As
•Στην κύρια μάζα υγρού: z    c A  c A

Ωστόσο, η αντίδραση είναι συνήθως τάχιστη και…..

z    cA  0
sinh[m(  z )]
cA  cAs
sinh(m )
 flux
τότε
dc
απορρόφησης : N A, z 0   DAB  A  
 dz  z 0
mDAB
Απορρόφηση με
 N A, z  0 
cA
πολύ γρήγορη
tanh(m )
s
χημική αντίδραση
 ώ

 N A, z  0 
 ά  
DAB
m
 tanh(m )
cAs 
78
Θυμηθείτε όμως:
άρα  N A, z 0  kc
DAB

 kc
Συντελεστής μεταφοράς μάζας
m
cAs  kccAs
tanh(m )
const
Χωρίς χημική αντίδραση: N A, z 0  kc c A
m
Ο όρος tanh(m )  Ha είναι ο αδιάστατος αριθμός
s
Hatta και εκφράζει την επίδραση της χημικής αντίδρασης στην
απορρόφηση.
Ποια είναι η επίδραση?
79
Είναι:
 k 
m

 DAB 
0.5
DAB
(kDAB )0.5
και  
άρα m 
kc
kc
k:
Κινητική σταθερά
kc :
Συντελεστής μεταφοράς μάζας χωρίς αντίδραση
(i )
Αργή αντίδραση  k  m  Ha  1 (π.χ. για m  0.5 )
Άρα η απορρόφηση ελέγχεται από διάχυση
Γρήγορη αντίδραση  k  m  Ha  1 (π.χ. για m  1 )
Άρα η αντίδραση ευνοεί την απορρόφηση
Για πολύ γρήγορη αντίδραση π.χ. m  2  tanh(m )  1
(i )
και N A, z 0  kc m cA 
 N A, z 0  (kDAB )0.5 cA
1
tanh(m )
Δλδ το flux εξαρτάται από την
s
s
του DAB όταν υπάρχει αντίδραση
80
Ρευστοστερεά κλίνη (fluidized bed)
Fixed bed
Minimum
ρευστοποίηση
Ήπια
ρευστοποίηση
σωματίδια
Ρευστό, μικρή ταχύτητα
•Ρευστό
•Στερεό
Οριακή ταχύτητα umf
Ρευστό
Υγρό ή αέριο
Καταλύτης
Πλεονεκτήματα
•Πολύ καλή μεταφορά μάζας
•Εύκολος έλεγχος θερμοκρασίας
81
Μοντέλο δυο φάσεων για FB
Γαλάκτωμα
(emulsion)
Αέριο
φυσαλίδες
•Γαλάκτωμα: στερεό + αέριο (μίγμα)
•Φυσαλίδες: περίσσεια αερίου για minimum ρευστοποίηση
•Φυσαλίδες: (PFR) εμβολική ροή
•Γαλάκτωμα: εμβολική ροή με διασπορά αξονική
82
Μόνιμες συνθήκες –Ισοζύγιο μάζας
για Α
Α
προϊόντα με rA: ρυθμό αντίδρασης

•Φυσαλίδα

dc A
fbub
 K I c Ab  c Ae  rA b fb  0
dz
0
f b : Κλάσμα κλίνης με φυσαλίδες
ub : Ταχύτητα φυσαλίδων
K I : Συντελεστής μεταφοράς μάζας
b : Πυκνότητα καταλύτη
c A : Συγκέντρωση Α στη φυσαλίδα
b
c Ae : Συγκέντρωση Α στο γαλάκτωμα
83
Γαλάκτωμα (Αέριο + Στερεό)
feue


d 2cAe
dcA
 K I cAb  cAe  fe Deff
 rA e (1  fb )  0
2
dz
dz
f e : κλάσμα κλίνης από αέριο γαλακτώματος
(SOS!!! ΟΧΙ ΑΠ’ ΟΛΟ ΤΟ ΓΑΛΑΚΤΩΜΑ) δλδ:
f e  fb  1
ue : ταχύτητα αερίου στο γαλάκτωμα
 e : πυκνότητα γαλακτώματος
ΠΑΡΑΔΟΧΗ: cA  const
(γαλάκτωμα σε πλήρη ανάμιξη)
e
84
Φυσαλίδα
f b ub
dc Ab
dz


 K I c Ab  c Ae  0 
ln(c Ab  c Ae )
c Ab ,H
c Ab ,o
dc Ab
c Ab  c Ae

KI
dz 
f b ub
KI H


f b ub


 cAb ,H  cAe  cAb ,o  cAe e

KI H
fb ub
H : ύ  ή
85
Δεύτερη προσέγγιση της παραδοχής
Γαλάκτωμα: f eue
dc Ae
dz
0


 K I c Ab  c Ae  f e Deff

0
2

d c Ae
dz
2
 rA e (1  f b )  0 
 rA  e (1  f b )  K I c Ab  c Ae 
 ύ

 K I c Ae  K I c Ab  rA e (1  f b ) 
  c A
e
 K I c Ae  K I c Ab  kc Ae e (1  f b ) 
 c Ae  K I  k e (1  f b )  K I c Ab 


KI
 c Ae  
 c Ab Αντικατάσταση στη
 K I  k e (1  f b ) 
φυσαλίδα
86
Φυσαλίδα
fbub
dc Ab
dz


 K I c Ab  c Ae  0  f bub


KI
c Ab   0 
 K I  c Ab 
K I  k e (1  f b ) 
dz

dc Ab
K I2
c Ab
  K I c Ab 
 fbub
K I  k e (1  f b )
dz
dc Ab
c Ab  f ( z )
87
•Ετερογενής ΜΗ καταλυτική
αντίδραση:
A( g )   B( s )  E( g )  F( s )
•Μοντέλο συρρικνωμένου πυρήνα
(Shrinking core)
Αρχή
Β
Μη
πορώδες
Β
Ενδιάμεση
κατάσταση
Τέλος
Β
Πορώδες
προϊόν F
Προϊόν F
88
Παραδοχές
A( g )   B( s )  E( g )  F( s )
•Σφαίρα διατηρεί το σχήμα της
•B και F ίδιας πυκνότητας ώστε η
συνολική ακτίνα σταθερή
•Αντίδραση ΜΟΝΟ στην διεπιφάνεια
πυρήνα και F όπου διαχέεται το Α
•Ψευδομόνιμες συνθήκες δλδ
ά   
A( g )
drc
  ή  ά
dt
•Αντίδραση 1ης τάξης, μη αντιστρεπτή
89

dnA
 4 rs2 kc (c Ab  c As )  1 
dt
dnA
dc A
2

 4 rc Deff
dt
dr
r  rc
Εξωτερική διάχυση
rs :ακτίνα σφαιρικού B
c As
2
Διάχυση μέσω F
rs :ακτίνα ζώνης αντίδρασης, δλδ του
πυρήνα που δεν αντέδρασε

dnA
 4 rc2 kc Ac  3 
dt
Αντίδραση με σταθερά
k
 Τρία στάδια με τις εξισώσεις
που περιγράφουν τη μεταβολή
των mol A
c Ab
c Ab
c As
c Ac
c Ac
90
Ερώτηση: Ποιος είναι ο στόχος?
Απάντηση: Έκφραση ρυθμού  dnA συναρτήσει ‘μετρούμενων’
dt
παραμέτρων
dc A
Προσδιορισμός dr στην εξίσωση  2 
r  rc
•Θεωρώ διαφορικό στοιχείο Δr εντός της ζώνης του F
•Ισοζύγιο Α σε ψευδομόνιμες συνθήκες
dc  
dc 

   r 2 Deff A     r 2 Deff A 
0
dr r 
dr r r

Όταν
r  0 :
dc
d 2
(r Deff A )  0
dr
dr
Συνοριακές συνθήκες
και 2 φορές
ολοκλήρωση:
c A  c As
για
c A  c Ac
για
r  rs
r  rc
91

 c A  c Ac  c As  c Ac

rc
 ί 
r 

 r  rc
rc
1
rs
1
c As  c Ac
 dc A 

 
 r 
 dr  r  rc
rc 1  c 
 rs 
4
c As  c Ac
dnA
 2   
 4 rc Deff
rc
dt
1
rs
 4
5
Αναδιατάσσοντας τις <1>, <3>, <5>:
c Ac 
c Ab
rc2 k
kr
r
1  2  c (1  c )
rs kc Deff
rs
στην εξίσωση της κινητικής <3>
92
 3  
4 rc2 kc Ab
dnA
 4 rc2 kcAc
dt
 rc2  k
krc
rc
(1  )
1  2  
rs
 rs  kc Deff
c Ab : μετρήσιμη ποσότητα
rs :
δεδομένη ακτίνα σφαιρικής πελέτας
rc :
οιωνεί γνωστό αν και μεταβλητό ως προς το χρόνο
k , kc , Deff : συντελεστές κινητικής και διάχυσης
Μπορώ να βρω έκφραση για
drc
dt
?
93
• Μεταβολή Β σφαιρικού:
dnB  B d  4 3  4 rc2  B drc


  rc  
dt
M B dt  3
M B dt

με B , M B : πυκνότητα,
μοριακό βάρος
Θυμηθείτε: A( g )   B( s )  E( g )  F
(s)
dnA
dnA 4 rc2  B drc
1 dnB




dt
b dt
dt
bM B dt
dn
 A  4 rc2 kc Ac
dt
Επίσης <3>:
drc
bM B k
 ά

c Ac 
c Ac
dt
B
bM B kc Ab

drc

dt
B
2
c
2
s
r k
kr
r
1
 c (1  c )
r kc Deff
rs

 ή

 rc  f c Ab , t

94
Μεταβατική κατάσταση
(Μη-μόνιμη κατάσταση)
 2 c A c A
DAB

2
x
t
 2T T
a 2 
x
t
•Μια αρχική συνθήκη
άβολα
•Δυο συνοριακές συνθήκες
Μονοδιάστατη μεταφορά, χωρίς
αντίδραση και μηδενική μέση
ταχύτητα (δλδ όχι συναγωγή)
οι φοιτητές (και όχι μόνο) αισθανόμαστε
95
Διάχυση σε υγρό
αέριο
Διεπιφάνεια S
x
υγρό
L
0
t
Αρχική συνθήκη:
t 0
t 0
0 x L
Συνοριακή συνθήκη 1:
στη διεπιφάνεια
t 0
Συνοριακή συνθήκη 2:
στον πυθμένα
t
xL
x0
Αέριο συστατικό Α σε επαφή με
ελεύθερη επιφάνεια υγρού
Β
μερικώς διαλυτό
cA
 2cA
 DAB
t
x 2
cA  cAo
(συνήθως 0)
cA  cAs
(ισορροπία)
c A
0
x
(πυθμένας
αδιαπέραστος)
96
Κατανόηση της προσέγγισης
• t 0
cA  cAo
• t 
νέα μόνιμη κατάσταση
cA
 2cA
 0  DAB
t
x 2
c A  const
ή
c A  ax  b
Αδύνατο λόγω της 2ης
συνοριακής συνθήκης
Άρα c A  c As  c At για t  , x
97
Αδιάστατοι αριθμοί
c 
*
A
c A( t ,x )  c At
c At 0  c At
x
r
x 
ή
σε κυλινδρικές ή σφαιρικές συντεταγμένες
L
R
*
D
t  AB
t
2
L
cA
 2cA
 DAB
t
x 2
Αδιαστατοποιημένη
*
c*A
 2 c*A
 DAB *2
*
t
x
I .C.: c*A  1, t *  0, 0  x*  1
B.C.1: c*A  0, t *  0, x*  1
c*A
B.C.2 : *  0, t *  0, x*  0
x
98
Αναλυτική λύση

c  2
*
A
n 0
(1) n
n
cos(n x )e
*
 n2t *
n : ρίζα της εξίσωσης n sin n  Bi cos n  0
όπου Bi: αριθμός Biot
Δες πίνακα 7.2, σελίδα 161 βιβλίου
t *  0.04  Α δεν αντιλαμβάνεται
τον ‘αδιαπέραστο’ πυθμένα
t *  1.5  κορεσμός υγρού
99
Μεταφερόμενη μάζα
Εκτός του προφίλ, συχνά ενδιαφέρει και η συνολικά μεταφερόμενη μάζα μετά
από χρόνο t:
M At
M A

 1  2
n 0
e
 n2t *
n2
Εκφράζεται ως κλάσμα της συνολικής μεταβολής που συντελέστηκε μετά από t
100
Διάχυση σε στερεό
Αέριο
Στερεό
Ψύξη μιας
πλάκας με Tt 0
σε T
Αέριο
Tt 0
c A ,t  0
cA,sό
cA,sέ
c A,t 
T
cAέ
0
Ts
0
xo
Ξήρανση πλάκας ξύλου αρχικής υγρασίας,
 2 c A c A
DAB

x 2
t
 2T T
a 2 
x
t
Ts
T
xo
c A ,t  0
• t  0και 0  x  xo  c A  c A,t 0 , T  Tt 0
dc
dT
• t  0 και x  0  A 
0
(συμμετρία)
dx
dx
(συναγωγή
στο περιβάλλον)
• t  0 και x  xo
101
Πώς εκφράζεται η 2η συνοριακή
συνθήκη της συναγωγής?
• Διαφοροποίηση μεταξύ μάζας και θερμότητας λόγω αλλαγής φάσης (στην μάζα!)
•Θερμότητα:
q  k
•Μάζα: N A   DAB
dT
dx
 h(Ts  T )
x  xo
dc A, ό
dx
 K c (c As  c A ) έ 
x  xo
Kc

(c As  c A ) ό
K
Δηλαδή υπάρχει μια γραμμική σχέση ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ των υδρατμών στο ξύλο
και την περιβάλλουσα ατμόσφαιρα
102
Αναλυτικές λύσεις
•Αναλυτική λύση προφίλ:

c   An e  n t f n (n x* )
*
A
2 *
n 0
•Αναλυτική λύση μεταφερόμενης ποσότητας:
•Μέση συγκέντρωση:

2 *
M At
 1   An e n t Bn
M A
n 0
c c
M At
 A A,t  0
M A c A  c A,t 0
103
Σχέσεις υπολογισμού των An, Bn και fn
104
Απλούστευση για μεγάλους χρόνους
επαφής
Για μεγάλους χρόνους
σειρά Fourier συγκλίνει
γρήγορα
αρκεί ο 1ος όρος
Για
x*  0  c*Ax0  A1e  1 t
2 *
Για x*  x*  c*A  c*A f1 (1x* ) , όπου
x0
x
f1 (1 x* )  cos(1 )
L
M At
 1  c*Ax0 B1
M A
A1 , B1 , 1  από πίνακες (π.χ. σελίδα 349 βιβλίου
105
Διαγράμματα: εύχρηστα αλλά η
ακρίβεια είναι ένα θέμα
106
Ροή σε ημιάπειρο μέσο
Διεπιφάνεια S
c 
*
A
•Πάχος διείσδυσης
πρακτικά άπειρο
Εάν ο χρόνος επαφής
είναι πολύ μικρός
δηλαδή η διαταραχή
δεν φθάνει παντού
cAx ,t  cAs
cAt 0  cAs
c At 0
c As
0
Ροή A
xo
• Αρχική συνθήκη: t  0, 0  x  , c A  c At 0 ή c*A  1
•Στην επιφάνεια:
t  0, x  0, cA  cAs ή c*A  0
•Μακριά από επιφάνεια:
t  0, x  , cA  cAt 0 ή c*A  1
Δηλαδή η συγκέντρωση αμετάβλητη και ίση με την αρχική
107
Λύση
2
x

c

cA είναι: c*  erf
A
Λύση της
 DAB
A
2 DAB t
t
x 2
x

2 DAB t
erf: error function ή συνάρτηση σφάλματος
Ορισμός: erf  
2


e
 y2
dy
0
Διορθώστε το
βιβλίο
Επίσης: erfc(φ)=1-erf(φ)
συμπληρωματική σφάλματος
Τιμές erf, erfc από πίνακες (π.χ. σελίδα 330 βιβλίου σας)
108
Χαρακτηριστικά erf
•Για   2  erf ( )  0.99
•Για x που αντιστοιχεί σε φ=2, η συγκέντρωση του Α επηρεάζεται <1% αυτό είναι το πάχος διείσδυσης δ
 2

2 DAB t
   4 DABt
•Για να ισχύει η προσέγγιση ημιάπειρου χώρου,   0.5 (πάχος πλάκας)
που θα αντιστοιχούσε σε t *  0.05
•Η συνολική ποσότητα μεταφερόμενου Α σε χρόνο t μέσω επιφάνειας S,
σε mol:
M A  2S
DABt
c  c 
  As A 
t 0
109
Συναγωγή
• Έως τώρα.....
Διάχυση χωρίς ροή
όχι εξωτερικές δυνάμεις
μακροσκοπική κίνηση ( μόνη κίνηση λόγω σχετικής μετακίνησης)
όχι
• Εξαναγκασμένη ή φυσική κυκλοφορία
πεδίο ροής
πεδίο ταχυτήτων
και εξωτερικές δυνάμεις (διαφορά πίεσης ,
βαρύτητα, πυκνότητας)
συναγωγή
• Τυπική σε διεργασίες: απορρόφηση, εκχύλιση, εξάτμιση
μεταφορά μάζας μεταξύ φάσεων
110
Διεπιφάνεια
Φάση Α
c
Φάση Β
'
A
cA' s
c As

N A  Kc cAs  cA
c A

μεταφορά μάζας με συναγωγή
δλδ: κίνηση συστατικού Α από μια (διε)επιφάνεια προς κινούμενο
ρευστό ή και το αντίστροφο

N A'  Kc' cA'   cA' s

111
Ανάλυση παραμέτρων
• Kc : συντελεστής μεταφοράς μάζας
• Kc 
NA
δλδ το αντίστροφο της αντίστασης μεταφοράς
c
• Μονάδες Kc συνάρτηση της συγκέντρωσης
• N A  Kc c  K x x
υγρή φάση με K x  cK c
P
N A  K c c  K y y  K G P αέρια φάση με K y  cK c 
K c  PKG
RT
•K co: μηδενική ταχύτητα μίγματος
o
• K c  K c για ισομοριακή αντιδιάχυση
μηδέν ταχύτητα μίγματος
112
Ογκομετρικοί συντελεστές
Επιφάνεια επαφής των φάσεων δεν είναι γνωστή (π.χ. Σε μια στήλη με πληρωτικό
υλικό), ο όγκος όμως είναι:
 N A  Kc  cA  cA
s
Ενεργός επιφάνεια
2
επαφής  m 
 3
m 


Ογκομετρικός συντελεστής
m
K c :
s
1
K c :
s
Τυπικός συντελεστής: K L (μεταφορά αερίου σε υγρό)
113
Εξαναγκασμένη ροή
Ρευστό
Ροή
 : πυκνότητα (M / L3 )
u : ταχύτητα ( L / t )
 : ιξώδες M / ( Lt )
L : χαρακτηριστικό μήκος
( L)
DAB : συντελεστής διάχυσης ( L2 / t )
Kc : συντελεστής μεταφοράς θερμότητας ( L / t )
6 μεταβλητές – 3 θεμελιώδεις διαστάσεις = 3 αδιάστατοι αριθμοί
Re 
Sc 
Sh 
Lu 


DAB
Kc L
DAB

Lu

Sh  c Rem Sc n
Επίσης .......
St 
Sh
(Stanton)
Re Sc
jM  StSc
2/3
(παράγοντας
Chilton- Colburn)
114
Φυσική Ροή
• Sc, Sh αλλά αντί Re υπάρχει Grashof (Gr )
Gr 
L3 g 

L3 gxA
 2
2
 : διαφορά πυκνότητας (όπου οφείλεται η φυσική ροή)
 : συντελεστής διαστολής λόγω μεταβολής συγκέντρωσης
 
1   


  x A  P ,T
115
Απορρόφηση
Διεπιφάνεια
Φάση II  έ   NH 3
 NH 3
Φάση I H 2O  NH3
y A
y A
y
*
A
x*A
y As
xA
x As
x A
μερική πίεση
• Ισορροπία στην διεπιφάνεια (αμελητέα αντίσταση) *:
y As  f ( x As )  y As 
PA
x As
P
• Μόνιμες συνθήκες : K x ( xA  xA )  K y ( y A  y A )  N A
s


s
 Ισχύει πάντα?
116
Ισορροπία φάσεων
y A  mxA δλδ γραμμική (όχι πάντα)
a) N A  K x ( xA  xA )  K y ( yA  yA )  mK y ( x*A  xA )

s

s

s
x*A : η συγκέντρωση του υγρού που θα ήταν σε ισορροπία με το αέριο y A

ή
όλα εκπεφρασμένα στην αέρια φάση
b) N A  K y ( y A  y A ) 

s
Kx
( y As  y *A )
m
Για να είναι χρήσιμες οι εξισώσεις a) και b) πρέπει να γνωρίζω x As , y As ?????
(Τι σας θυμίζει αυτό???)
117
Ερώτηση:Τι είναι γνωστό?
Απάντηση: Οι ολικές διαφορές συγκέντρωσης
c) Kx,tot ( x*A  xA )  K y ,tot ( yA  y*A )  N A




K x ,tot , K y ,tot : ολικοί συντελεστές μεταφοράς μάζας
a)
x As  x A 
NA
Kx


 x  x A
N
x  x As  A
mK y
*
A
c) + d)
1
K x ,tot
1
Κατ’ αναλογία:
K y ,tot
*
A

1
1

K x mK y

m
1

Kx K y
 1
1 
 NA 


K
mK
 x
y 

d)
K x ,tot  mK y ,tot
118
Καμπύλη ισορροπίας
Κλίση 
yA
y A
Kx
Ky
Καμπύλη ισορροπίας
y A  f ( xA ) όχι γραμμική

Λ: σημείο λειτουργίας
y As
x
A
, y A

S
y*A
Κλίση m στη διεπιφάνεια
x A
x As
x*A

y A
x A
xA
Η διεπιφάνεια ορίζεται εάν από το Λ ορισθεί ευθεία κλίσης
Θυμηθείτε σε μόνιμες συνθήκες:

K x y A  y As

K y xA  xAs
N A  K x ( xAs  xA )  K y ( y A  y As )
119
Καμπύλη ισορροπίας
Από το διάγραμμα προκύπτει επίσης:
x As  x A
x*A  x A
y A  y As
y A  y *A
1
Kx
 ί  ύ


1
 ή  ί
K x ,tot
1
Ky
 ί αερίου


1
 ή  ί
K y ,tot
Έστω K x  K y :
 ί  ύ mK y

 ί αερίου K x
Για m 
μεγάλη διαλυτότητα
Για m 
μικρή διαλυτότητα
K y  K y ,tot
K x  K x ,tot
120
Μοντέλα Μεταφοράς
• Θεωρία υμένα (Film theory, Nernst 1904)
Αέριο μίγμα
c A

Προφίλ συγκέντρωσης

N A  Kc cAs  cA

c As
Διάλυμα
• Ακίνητος (?) υμένας πάχους δ στον οποίο οφείλεται η αντίσταση μεταφοράς,
η οποία γίνεται με μοριακή διάχυση
• δ δεν είναι μετρήσιμο μέγεθος
121
Θεωρία υμένα, συνέχεια
Ισομοριακή αντιδιάχυση:
NA 
Διάχυση σε στάσιμο ρευστό: N A 
DAB

c

As
 c A

DAB
c c
 xB,ln As A
K c  K co 

Kc 
xB ,ln 
DAB

DAB
 xB,ln
xB2  xB1
xB2
ln
xB1
122
Μοντέλο οριακού στρώματος
Ασθενείς δίνες (buffer layer)
Πάντα κοντά
στην επιφάνεια
• Παράλληλη ανάπτυξη στρώματος
συγκέντρωσης,  c , και στρώματος
ταχύτητας  u
•  c   u , ομοίως και προφίλ
 u μικρό, όχι
Δίνες για Re  105
δίνες
• Χρειάζομαι ισοζύγια μάζας και ορμής
• Διδιάστατο πρόβλημα – μπορώ να το
ανάγω σε μονοδιάστατο?
123
Ολοκληρωτική ή προσεγγιστική λύση
wA,3
Όγκος ελέγχου
για ισοζύγιο Α
y
wA,1
wA,2
x
wA,4
x x  dx
Παραδοχές
• Κατανομές ταχύτητας – συγκέντρωσης ΟΜΟΙΕΣ
• Ισοζύγια σε ολόκληρο το πάχος και όχι μέσα στο οριακό στρώμα
• Αμελητέα η ολική εισροή μάζας στο 4
• Αραιά συστήματα ή/και ισομοριακή αντιδιάχυση, ώστε να μην υπάρχει
συναγωγή λόγω κίνησης συστατικών
124
Ισοζύγια
Ισοζύγιο Α: (σε mol)
wA,1  wA,4  wA,2  wA,3
(μόνιμες συνθήκες)
c
wA,1   c Audy
1
 2
x
0
 3
c
wA,2   c Audy
x x
0

 4

wA,4  N A x  K c c As  c A x
Ολικό ισοζύγιο Α: (σε kg)
c
c
0
0
m3  m1  m2   cAudy x   cAudy
xx
Για ένα σταθερό μέσο μοριακό βάρος του μίγματος
c
c
wA,3  w3 xA   cA udy x   cA udy
0
xx
 5
0
125
Ισοζύγια
c
dcA

1   cA  cA udy  N A   DAB
x 0
dy
 2   5


y 0
Αντίστοιχα, υπάρχει η εξίσωση von Karman για την ταχύτητα
c

du

u

u
udy





  
s

x 0
dy
y 0
Συνοριακές συνθήκες:
• y  0, ux  0 και c A  c A
y   u , u  u και c A  c A
s

•και y   c
y  u 
• και y   c
dc
du
0 A
dy
dy
d 2cA
d 2u
• y  0  ux  u y  0  2  0  2
dy
dy
126
Ισοζύγια
Ερώτηση: Πώς προκύπτει η τελευταία συνοριακή?
cA
cA
 2 cA
Απάντηση: Από το ισοζύγιο για Α: ux
 uy
 DAB 2
x
y
y
Λύση για στρωτή ροή
Ταχύτητα: u *  3 yu*  1 yu*
3
2
2
Αδιάστατη μορφή
κατανομών
Συγκέντρωση: c*A  3 yc*  1 yc*
3
2
u* 
u
u
c*A 
cA  cAs
cA  cAs
2
yu* 
y
u
yc* 
y
c
127
Ισοζύγια
• Από τις κατανομές
και τα ισοζύγια μάζας – ορμής:
0.5
 vx 
0.5
  u  4.64  u   4.64 x Re
 
 u μπορεί να υπολογιστεί
c
3
v
0.5

D

 0.323Re
2


•
2  u u
u
 Sc1/3
c
Kc 
3 DAB
2 c
 c μπορεί να υπολογιστεί
εκτίμηση
Kc
Παρατήρηση: Για αέρια  Sc  1 άρα  u   c άρα Kc αντιστρόφως ανάλογο  u
0.5
άρα Kc ανάλογο x δηλαδή άπειρο στο x  0 και μειουμένο σε x 
128
Ισοζύγια
•
•
3
1
Ερώτηση: Πόθεν προκύπτει c*A  yc*  yc* ?
2
2
Απάντηση: Η λύση για στρωτή ροή προσεγγίζεται με πολυώνυμο: cA  a  by  cy 2  dy 3
3
Συνοριακές συνθήκες
i ) y  0  c A  c As  c As  a
iv) y   c  c A  c A  c A  c As  3d  c3  d  c3  2d  c3
iii ) y   c 
0
dc A
 0  b  2cy  3dy 2  0  b  3d  c2
dy
d 2cA
ii ) y  0 
 0  2c  6dy  0  c  0
dy 2

1 c A  c As
iv)  d  
2
 c3


3 c A  c As
iii ) 
b 
 ό
2
c
d

Αντικαθιστώντας a, b ,c, d στο
πολυώνυμο και
αδιαστατοποιώντας προκύπτει η
κατανομή
129
Λύση για τυρβώδη ροή
•
Για Re  105, πειραματική κατανομή:
1/7
u  y
 
u   u 
Και από ισοζύγιο προκύπτει:
 u  0.37 x Re0.2
cD  0.0592 Re0.2
130
Εξισώσεις Streeter-Phelps
Ρύπανση ποταμών και λιμνών
131
Βασικές Έννοιες
Βιοχημικά Απαιτούμενο Οξυγόνο (BOD): Η ποσότητα οξυγόνου που απαιτούν
μικροοργανισμοί για να αποδομήσουν, σε αερόβιες συνθήκες, το οργανικό
φορτίο σε νερό βεβαρυμμένο με οργανική ύλη π.χ. απόβλητα. Μέτρο της
ρύπανσης.
Διαλυμένο Οξυγόνο (DO): Η ποσότητα του O2 που είναι διαλυμένη σε
υδατικό διάλυμα. Το οξυγόνο μπορεί να εισέλθει στην (ή να εξέλθει από)
υδάτινη μάζα είτε με διάχυση (μεταφορά μεταξύ αέριας και υγρής φάσης
λόγω διαφοράς χημικού δυναμικού) από τον ατμοσφαιρικό αέρα ή με
αερισμό (ταχεία κίνηση) ή ως προϊόν της φωτοσύνθεσης. Καταναλώνεται δε
κατά την αποδόμηση/αποσύνθεση της οργανικής ύλης.
132
Βασικές Έννοιες
Έλλειμμα οξυγόνου (D): Η διαφορά της συγκέντρωσης ισορροπίας ή
κορεσμού του οξυγόνου (DΟsat) στην υδάτινη επιφάνεια με το διαλυμένο
οξυγόνο στον όγκο ελέγχου (DO). Οφείλεται στην κατανάλωση του
διαλυμένου οξυγόνου από τους μικροοργανισμούς.
D = DOsat -DO
133
Βασικές Έννοιες
H συνολική συγκέντρωση των ρύπων (L): Συνήθως εκφράζεται ως τελική
συγκέντρωση BOD ή Βιοχημικώς Απαιτούμενου Οξυγόνου και αναφέρεται
στον όγκο ελέγχου που ορίζουμε.
Αν έχουμε σε σημείο ποταμού (x=0) ογκομετρικής παρoχής Qr και συνολικής
συγκέντρωσης Lr, εισροή αποβλήτων συγκέντρωσης Lw και ογκομετρικής
παροχής Qw, τότε η συνολική συγκέντρωση στο σημείο x=0 θα είναι:
L0=
QrLr+QwLw
Qr+Qw
134
Γενική εξίσωση μεταφοράς
Μονοδιάστατη μεταφορά μάζας
2
C Α
C Α
 CΑ
G
 Ux


ψ
t
x
x 2
Με βάση τα παραπάνω (ορολογία, συμβολισμούς και έννοιες):
CA
L (συνολική συγκέντρωση ρύπων)
Ux
w (μέση ταχύτητα )
δ
Ε (συντελεστής διασποράς)
δ
D (συντελεστής διάχυσης)
135
Γενική εξίσωση μεταφοράς
L
L
 2L
 2L 
w
 E 2  D 2  ψG
t
x
x
x
Τι εκφράζει ο όρος παραγωγής /κατανάλωσης;
 L 

ψG   
 t reaction
Ουσιαστικά πρόκειται για το ρυθμό αντίδρασης βιοαποδόμησης (και συνεπώς
αποξυγόνωσης), η οποία είναι πρώτης τάξης:
 L 

ψG   
 k dL
 t reaction
όπου kd η σταθερά αποξυγόνωσης (deoxygenation) [day-1]
136
Μηχανισμοί μεταφοράς μάζας
Συναγωγή (Convection & Advection): Μακροσκοπική κίνηση των μορίων εντός
του ρευστού (και συνεπώς και των ρύπων) με μια μέση ταχύτητα ογκομετρικής
ροής uμέση (συμβολίζεται και με w στην περίπτωση ροής ποταμού). Ο όρος
advection (προσαγωγή) αναφέρεται ειδικά στη συμμεταφορά ποσότητας
ρύπου με ένα ρευστό σε μεγάλης κλίμακας κίνηση.
Διάχυση (Diffusion): Μικροσκοπική (δηλ. μοριακή) κίνηση των μορίων που
οφείλεται ουσιαστικά στις συγκρούσεις αυτών. Η δρώσα δύναμη είναι η
διαφορά συγκέντρωσης και ο χαρακτηριστικός συντελεστής είναι ο
συντελεστής διαχυτότητας D (m2/s). Εκφράζεται με την εξίσωση του Fick.
137
Μηχανισμοί μεταφοράς μάζας
Διασκορπισμός ή διασπορά (Dispersion): Μακροσκοπική κίνηση των ρύπων
λόγω ύπαρξης ρευμάτων. Ο χαρακτηριστικός συντελεστής είναι ο συντελεστής
Διασποράς Ε (m2/s). Μαθηματικά περιγράφεται με την εξίσωση του Fick.
138
Χρόνος: 0
Δίαχυση ή Διασπορά
Χρόνος: 0,3 s
Χρόνος: 1 s
Χρόνος: 5 s
Χρόνος: 3 s
139
Μηχανισμοί μεταφοράς μάζας
O αδιάστατος αριθμός Peclet (Pe): Εκφράζει τη σχετική σπουδαιότητα
Συναγωγής ως προς Διασπορά ή Διάχυση ή Διασπορά και Διάχυση στο
φαινόμενο μεταφοράς μάζας μιας ρυπαντικής ουσίας.
Pe=
Pe=
Pe=
Συναγωγή
Διασπορά
Συναγωγή
Διάχυση
Συναγωγή
Διάχυση+Διασπορά
wX
=
E
Ε>>D
wX
=
D
=
wX
D+E
140
Γενική εξίσωση μεταφοράς ρύπων
Η εξίσωση μεταφοράς του συνόλου των ρύπων (εξ. Streeter Phelps) λαμβάνει
τη μορφή
L
L
 2L
 2L
w
 E 2  D 2  k dL
t
x
x
x
Όπου :
L (συνολική συγκέντρωση ρύπων) σε kg/m3
w (μέση ταχύτητα ) σε m/s
Ε (συντελεστής διασποράς) σε m2/s
D (συντελεστής διάχυσης) σε m2/s
kd (σταθερά αποξυγόνωσης) σε 1/s ή συνήθως 1/day
141
Εξίσωση μεταφοράς ρύπων σε ποτάμι
Παραδοχές
Η ροή στο ποτάμι θεωρείται εμβολική (plug-flow).
Δεν υπάρχει διαφοροποίηση της ταχύτητας άρα
απαλείφεται ο όρος της διασποράς
L
L
 2L
w
 D 2  k dL
t
x
x
Ο Pe=wX/D>>1 : η διάχυση είναι αμελητέα σε σχέση με τη συναγωγή
L
L
w
  k dL
t
x
142
Εξίσωση μεταφοράς ρύπων σε ποτάμι
Παραδοχές
Αν θεωρήσουμε και μόνιμες συνθήκες (L=f(x)) τότε η εξίσωση
απλοποιείται ακόμη περισσότερο
L
w
  k dL
x
Η ανεξάρτητη μεταβλητή για εμβόλιμη ροή, αμελητέα διάχυση και
μόνιμες συνθήκες (L=f(x)) είναι η x, δηλαδή η απόσταση από την απόθεση
των ρύπων.
143
Εξίσωση μεταφοράς οξυγόνου για ποτάμι
Η εξίσωση μεταφοράς διαλυμένου οξυγόνου (DO) είναι (εξ. Streeter Phelps)
DO
DO
w
  k dL  k a DOsat - DO
t
x
Όπου :
DO (συνολική συγκέντρωση διαλυμένου οξυγόνου) σε kg/m3
w (μέση ταχύτητα ) σε m/s
L (συνολική συγκέντρωση ρύπων) σε kg/m3
ka (σταθερά επαναερίωσης) σε 1/s ή συνήθως 1/day
144
Εξίσωση μεταφοράς οξυγόνου για ποτάμι
Όμως έχουμε για το έλλειμμα οξυγόνου: D = DOsat –DO
οπότε η εξίσωση του ελλείμματος οξυγόνου παίρνει τη μορφή
D
D
w
  k dL - k aD
t
x
Όπου :
D (η συγκέντρωση ελλείμματος οξυγόνου) σε kg/m3
w (μέση ταχύτητα ) σε m/s
L (συνολική συγκέντρωση ρύπων) σε kg/m3
ka (σταθερά επαναερίωσης) σε 1/s ή συνήθως 1/day
145
Εξίσωση μεταφοράς οξυγόνου για ποτάμι
Με την επιπλέον παραδοχή μόνιμων συνθηκών η εξίσωση λαμβάνει τη μορφή
D
w
  k dL - k aD
x
146
Γενική εξίσωση μεταφοράς ρύπων για λίμνη
Παραδοχές
Η λίμνη θεωρείται ότι λειτουργεί ως δοχείο ιδανικής ανάμιξης. Ήτοι, δεν
υπάρχουν χωρικές μεταβολές της συγκέντρωσης παρά μόνο χρονικές.
Όπου :
L
  k dL
t
L (συνολική συγκέντρωση ρύπων) σε kg/m3
kd (σταθερά αποξυγόνωσης) σε 1/s ή συνήθως 1/day
Η ανεξάρτητη μεταβλητή για λειτουργία της λίμνης ως δοχείο ιδανικής
ανάμιξης (w=0), αμελητέα διάχυση και διασπορά λόγω ανάμιξης είναι η t,
δηλαδή o χρόνος από την απόθεση των ρύπων.
147
Εξίσωση μεταφοράς οξυγόνου για λίμνη
Αντίστοιχα έχουμε για το έλλειμμα οξυγόνου: D = DOsat –DO
οπότε η εξίσωση του ελλείμματος οξυγόνου για λίμνη παίρνει τη μορφή
D
  k dL - k aD
t
Όπου :
D (η συγκέντρωση ελλείμματος οξυγόνου) σε kg/m3
L (συνολική συγκέντρωση ρύπων) σε kg/m3
ka (σταθερά επαναερίωσης) σε 1/s ή συνήθως 1/day
148
Επίλυση εξισώσεων Streeter Phelps σε ποτάμι
Παραδοχές (Εμβολική ροή, Pe>>1, Μόνιμες συνθήκες)
dL
w
  k dL
dx
dD
w
  k dL - k aD
dx
Οριακές συνθήκες: Σε x=0, L(0)=L0 και D(0)=D0
kd
dL
dL
kd 

w
  k dL 
  dx  L  L 0exp 
x
dx
L
w
 w 
dD
dD
 kd 
w
  k dL - k aD  w
 k aD  k dL 0exp 
x
dx
dx
 w 
k dL 0
 ka 
D  D0exp 
x 
 w  ka  kd

 kd 
 k a 
exp  w x   exp  w x 


149
Επίλυση εξισώσεων Streeter Phelps σε ποτάμι
Λύνοντας την εξίσωση μεταφοράς για τη συγκέντρωση του διαλυμένου
οξυγόνου, του τελικού BOD και τη συγκέντρωση του ελλείμματος οξυγόνου,
θεωρώντας μονοδιάστατη ροή και σταθερή κατάσταση, μπορούμε να
συμπεράνουμε τα εξής:
Η συγκέντρωση του τελικού BOD (L), δηλαδή η συγκέντρωση του BOD που
αντιστοιχεί σε πλήρη αποδόμηση της οργανικής ύλης, μειώνεται εκθετικά με
την απόσταση (x) από την πηγή.
Η συγκέντρωση του ελλείμματος του διαλυμένου οξυγόνου (D) αυξάνει μέχρι
μια κρίσιμη τιμή Dc, στην κρίσιμη απόσταση (xcr) από την πηγή κι έπειτα
μειώνεται κοντά στο μηδέν για x->∞.
Η συγκέντρωση του διαλυμένου οξυγόνου (DO ή C) μειώνεται μέχρι μια
ελάχιστη κρίσιμη τιμή (DOcr ή Ccr) στην κρίσιμη απόσταση (xcr) από την πηγή κι
έπειτα αυξάνεται στην τιμή κορεσμού (DOsat ή Csat).
150
Επίλυση εξισώσεων Streeter Phelps σε ποτάμι
DO
DOsat
Dcr
DOcr
x
xcr
Μέχρι την κρίσιμη απόσταση από την πηγή των ρύπων ο ρυθμός αποξυγόνωσης (ή
βιοδιάσπασης) είναι μεγαλύτερος από τον ρυθμό επαναερίωσης με αποτέλεσμα τη
μείωση του διαλυμένου οξυγόνου και την αύξηση του ελλείμματος του οξυγόνου. Στην
κρίσιμη απόσταση από την πηγή οι δυο ρυθμοί είναι ίσοι. Μετά την κρίσιμη απόσταση ο
ρυθμός επαναερίωσης είναι μεγαλύτερος του ρυθμού αποξυγόνωσης και η
συγκέντρωση του διαλυμένου οξυγόνου φτάνει τη συγκέντρωση κορεσμού.
151
Επίλυση εξισώσεων Streeter Phelps σε ποτάμι
L0
kaD=KdL
x
Εκθετική μείωση της συγκέντρωσης των ρύπων (L) με την απόσταση (x).
152
Επίλυση εξισώσεων Streeter Phelps σε ποτάμι
Κρίσιμο έλλειμμα οξυγόνου : Προκύπτει με μηδενισμό της παραγώγου
k dL 0
dD k a
 kd 
 D
exp 
x
dx w
w
 w 
k dL 0
 kd

Dcr 
exp 
x cr 
ka
 w

Κρίσιμη απόσταση: Προκύπτει με αντικατάσταση Dcr σε
 k a  k dL 0 
 kd 
 k a 
D  D0exp  x  
exp  x   exp  x 

 w  ka  kd 
 w 
 w 
x cr
 k a   k a  k d  D0  
w

ln  1 


k a  k d  k d  
kd
L0 
153
Η ταχύτητα του ποταμού Νείλου, w, σε απόσταση x=1400 m από τις πηγές
του είναι 20 cm/s και η υψομετρική διαφορά στην απόσταση αυτή είναι
1200-400=800 m. Να υπολογιστεί η σταθερά k του Darcy.
Εάν οι πηγές του Νείλου φορτισθούν με ρυπαντικό φορτίο L0=10 mg/L και
η αρχική έλλειψη οξυγόνου είναι D0=0 mg/L να ευρεθούν τα L και D στην
απόσταση x όταν οι σταθερές kd και ka είναι 0.6 ανά ημέρα και 2 ανά
ημέρα, αντίστοιχα. Ο συντελεστής Ε είναι 10-2 m2/s
154
Ποταμός πηγάζει από υψομετρικό σημείο 180 m και διανύοντας απόσταση 40
km εκβάλλει σε θάλασσα. Υποθέτουμε ότι η κλίση του ποταμού παραμένει
σταθερή κατά τη διάρκεια της διαδρομής του και η τιμή της υδραυλικής
αγωγιμότητας είναι K=200 m/s. Να υπολογιστεί η μέση ταχύτητα u του
ποταμού.
Σε σημείο στον ποταμό πού απέχει 15 km από τις εκβολές του προκύπτει
ρύπος έτσι ώστε η τιμή του L0 να είναι 15 mg/L. Οι σταθερές επαναερίωσης
και διάσπασης είναι 2 day-1 και 0.6 day-1 αντιστοίχως. Επίσης δίδεται D0=0.
Εφαρμόζοντας την εξίσωση των Streeter Phelps για την κρίσιμη απόσταση να
απαντήσετε στο ερώτημα εάν το σημείο αυτό της κρίσιμης απόστασης
ευρίσκεται πριν από τις εκβολές ή όχι.
155
Ρεύμα 1 m3/s φορτίου BOD 100 mg/L εισέρχεται σε σημείο x=0 ποταμού με
τα ακόλουθα χαρακτηριστικά:
Μέση ταχύτητα ,
u = 0.3 m/s
Πλάτος κοίτης, Π= 19.05 m
Μέσο βάθος,
Β= 1.05 m
Να ευρεθεί η κρίσιμη απόσταση σε km, το κρίσιμο έλλειμμα οξυγόνου καθώς
και η τιμή του BOD στο σημείο της κρίσιμης απόστασης.
Η τιμή του kd, δίνεται ίση προς 0.4 day-1 ενώ για τη σταθερή επαναερίωσης να
χρησιμοποιήσετε τον τύπο Ο’ Connor-Dobbins
ka = 12.9 u 0.5 /Β1.5 όπου η ταχύτητα εκφράζεται σε ft/s και το βάθος σε ft. Το
ποτάμι δεν παρουσιάζει ρύπανση πριν την είσοδο του ρυπαντικού ρεύματος
και το αρχικό έλλειμμα οξυγόνου είναι μηδέν.
156
Έστω ποτάμι που ρέει με μέση ταχύτητα w=0,3 m/s. Σε σημείο που
ορίζουμε ως «σημείο 0» κάποιος αφήνει τα απόβλητα του εργοστασίου του
και η ολική συγκέντρωση ρύπων είναι L0=10 ppm. Αν η σταθερά ρυθμού
αποξυγόνωσης kd είναι 0,6 day-1 και η σταθερά ρυθμού επαναερίωσης kα=2
day-1
να υπολογιστεί η κρίσιμη απόσταση και το κρίσιμο έλλειμμα
οξυγόνου.
157
Επίλυση εξισώσεων Streeter Phelps σε λίμνη
Παραδοχές (Δοχείο ιδανικής ανάμιξης, μηδενική συμμεταφορά, αμελητέα
διασπορά)
dL
  k dL
dt
dD
  k dL - k aD
dt
Aρχικές συνθήκες: Σε t=0, L(0)=L0 και D(0)=D0
dL
dL
  k dL 
 k ddt 
dt
L
L  L 0exp kdt 
dD
dD
  k dL - k aD 
 k aD  k dL 0exp k dt 
dt
dt
k dL 0
exp kdt   exp kat 
D  D0exp k at  
ka  kd
158
Επίλυση εξισώσεων Streeter Phelps σε λίμνη
Κρίσιμο έλλειμμα οξυγόνου :
Dcr
k dL 0

exp k dtcr 
ka
Κρίσιμος χρόνος:
tcr
 k a   k a  k d  D0  
1

ln  1 


k a  k d  k d  
kd
L0 
159
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (1/2)
Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων:
Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες
Διαφάνεια 27: Εικόνα, Calculation of the Diffusion Coefficient of Dilute Gases and of
the Self-diffusion Coefficient of Dense Gases, John C. Slattery and R. Byron Bird,
A.I.Ch.E Journal, vol. 4, No. 2, June 1958, page: 137- 142
Διαφάνεια 88, 89, 90: Εικόνα, Chemical Reaction Engineering, O. Levenspiel, 3rd
Edition, Wiley, page 573
Διαφάνεια 99: Εικόνα, Σημειώσεις Μεταφοράς Θερμότητας και Μάζας, Ιωάννης
Κούκος, σελ. 379
Διαφάνεια 106: Διαγράμματα, Μεταφορά Μάζας, Βασιλική Ι. Λυγερού, Διονύσης Κ.
Ασημακόπουλος, Γεώργιος Α. Αραμπατζής, Εκδόσεις Παπασωτηρίου, σελ. 343-344
Διαφάνεια 123: Διαγράμματα, Μεταφορά Μάζας, Βασιλική Ι. Λυγερού, Διονύσης Κ.
Ασημακόπουλος, Γεώργιος Α. Αραμπατζής, Εκδόσεις Παπασωτηρίου, σελ. 190-191
160
Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (2/2)
Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων:
Πίνακες
Διαφάνεια 104: Πίνακας, Μεταφορά Μάζας, Βασιλική Ι. Λυγερού, Διονύσης Κ.
Ασημακόπουλος, Γεώργιος Α. Αραμπατζής, Εκδόσεις Παπασωτηρίου, σελ. 161
161