Transcript Construcción de curvas. Ejemplo 2

I. Sistemas de coordenadas
II. Gráfica de una ecuación y lugares geométricos
III. La línea recta
IV. Ecuación de la circunferencia
V. Transformación de coordenadas
VI. La parábola
VII. La elipse
VIII. La hipérbola
http://www.licimep.org/MateFisica.htm
•En particular, hay una sección dedicada a Geometría
Analítica, que tiene 81 problemas resueltos
•En esa sección hay problemas del Lehmann,. En
particular, del capítulo II hay 15 problemas resueltos
http://speckle.inaoep.mx/~jjbaezr/
 Es el estudio de la geometría
usando los principios del
álgebra y viceversa.
 Es la unión de la geometría
y el álgebra
Ecuaciones
en dos
variables
Figuras
geométricas
en el plano
Ecuaciones
en x e y
Figuras en
el plano
Ordenada
 x, y 
y
Abscisa
x
En este capítulo haremos un estudio preliminar de dos
problemas fundamentales de la Geometría Analítica.
I . Dada una ecuación interpretarla geométricamente;
es decir, construir la gráfica correspondiente .
II. Dada una figura geométrica, o la condición que
deben cumplir los puntos de la misma, determinar
su ecuación.
Dada una
ecuación,
interpretarla
geométricamente
Dada un figura
geométrica,
determinar su
ecuación
Supongamos que se nos da una ecuación en dos variables,
x e y, que podemos escribir en la forma
f  x, y  =0
En general, hay un número infinito de pares de valores de
x e y que satisfacen esta ecuación. Cada uno de tales pares
de valores reales se toma como las coordenadas ( x, y ) de
un punto en el plano.
Definición 1: El conjunto de los puntos,
y solamente de aquellos puntos, cuyas
coordenadas satisfagan una ecuación
f  x, y  =0
se llama gráfica de la ecuación o, bien,
su lugar geométrico.
Definición 2: Cualquier punto cuyas
coordenadas satisfacen la ecuación
f  x, y  =0
pertenece a la gráfica de la ecuación.
El conjunto solución de la ecuación,
formado por los puntos ordenados,
debe pertenecer al conjunto de los
números reales.
Intersección
con los ejes
Cálculo de
coordenadas
Simetría
Extensión
de la curva
Construcción
de la curva
Asíntotas
La extensión de una curva
son los intervalos de variación
para los cuales los valores de
x e y son valores reales.
La extensión de una curva son los intervalos de variación
para los cuales los valores de x e y son valores reales.
Es útil, porque:
 Da la localización general de la curva en el plano
 Indica si la curva es cerrada o
si es de extensión indefinida.
Los intervalos para los cuales
los valores de x e y son reales
se determinan resolviendo la
ecuación dada
para y en términos de x,
y para x en términos de y.
x  y 40
2
2
No existen números reales, x y y,
que satisfaga la ecuación.
La extensión es el conjunto vacío.
x  y 0
2
2
La extensión de esta ecuación se
reduce a un único punto, el  0,0 .
2x  3 y  4  0
2x  3 y  4  0
y
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
y
2x  3 y  4  0
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
2
3
4
5
x
-2
-3
-4
-5
La extensión es todo el plano; es decir,
x puede tomar cualquier valor real, y
y también puede tomar cualquier valor real.
y x
2
y
4
y x
2
3
2
1
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
4
5
x
y x
2
y x
Es claro que x no puede ser negativo.
Sólo puede ser positivo o cero.
La extensión es el intervalo [0, ).
y x
2
x y
2
Es claro que y puede tomar cualquier valor real.
No hay ninguna restricción.
La extensión en y es toda la recta real, es  ,   .
y
4
y x
2
3
2
1
-1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
4
5
x
9x  4 y  36
2
2
9x  4 y  36
2
2
9 x  4 y  36
2
2
4 y  36  9 x
2
2
9 2 9
2
y  9  x  4  x 
4
4
3
2
4 x
y
2
Por tanto, x   2, 2
2
9x  4 y  36
2
2
 x 2,2
9x  4 y  36
2
2
9 x  4 y  36
2
2
9 x  36  4 y
2
2
4 2 4
2
x  4  y  9  y 
9
9
2
2
x
9 y
3
Por tanto, y   3,3
2
9x  4 y  36  y 3,3
2
2
9x  4 y  36;
2
2
x 2,2 , y 3,3
y x 0
2
3
y x 0
2
3
y x 0
2
3
y x
Por tanto
x0
3
y x 0
2
3
y x 0
2
x
3
3
y
2
Por tanto
y R
1. Se despejan y en función de x
2. Se analiza qué valores de x son
posibles en la ecuación.
3. Esos valores de x constituyen
la extensión en X de la curva.
1. Se despejan x en función de y
2. Se analiza qué valores de y son
posibles en la ecuación.
3. Esos valores de y constituyen
la extensión en Y de la curva.
Si para una curva dada, existe una
recta tal que, a medida que un punto
de la curva se aleja indefinidamente
del origen, la distancia de ese punto
a la recta decrece continuamente y
tiende a cero, dicha recta se llama
asíntota de la curva.
1
y
x2
1
y
x2
x  2
1
y
x2
x  2
1
y
x2
x  2
1
y
x2
x  2
1
y
x2
4 x 2  5 x  15
y=
2x  3
4 x 2  5 x  15
y=
2x  3
y  2x  5
4 x 2  5 x  15
y=
2x  3
y  2x  5
4 x 2  5 x  15
y=
2x  3
y  2x  5
Esta definición implica dos cosas:
1) Una curva que tiene una asíntota
no es cerrada o de extensión finita,
sino que se extiende indefinidamente.
2) Una curva se aproxima a la asíntota
más y más a medida que se extiende
más y más en el plano coordenado.
Siendo la asíntota una línea recta, puede tener
una cualquiera de tres posiciones particulares.
Si es paralela o coincide con el eje X , se llama
asíntota horizontal.
Si es paralela o coincide con el eje Y,
asíntota vertical.
Si no es paralela a ninguno de los ejes
coordenados, asíntota oblicua.
Aquí consideraremos solamente la
determinación de asíntotas verticales
y horizontales.
Posteriormente veremos la determinación
de asíntotas oblicuas para una curva
particular conocida con el nombre de
hipérbola.
Se debe tener presente que una curva no tiene
necesariamente una o más asíntotas. Hay
muchas curvas que no tienen asíntotas. Sin
embargo , si una curva tiene asíntotas, su
determinación será, como veremos, una gran
ayuda para construir su gráfica.
En el capitulo siguiente haremos un estudio
detallado de la ecuación general de la recta.
Pero ahora tenemos necesidad de hallar
ecuaciones de asíntotas verticales y
horizontales.
Sea l una recta
cualquiera
paralela a1 eje Y
y que dista
k unidades del eje.
Sea l una recta cualquiera
paralela a1 eje Y y que dista
k unidades del eje.
Todo punto de l ,
cualquiera que sea el valor
de su ordenada , tiene una
abscisa igual a k .
Sea l una recta cualquiera
paralela a1 eje Y y que dista
k unidades del eje. Todo punto
de l , cualquiera que sea el valor
de su ordenada , tiene una
abscisa igual a k .
Las coordenadas de todos los
puntos de l satisfacen , por tanto,
la ecuación es x  k .
Recíprocamente, cualquier punto
cuyas coordenadas satisfacen esta
ecuación es un punto cuya abscisa
es k y situado, por tanto, a una
distancia de k unidades del eje Y ,
y, en consecuencia , está sobre
la recta l.
La ecuación de una recta
paralela al eje Y es:
xk
donde k es la distancia
de la recta al eje Y .
La ecuación de una recta
paralela al eje X es:
yk
donde k es la distancia
de la recta al eje X .
y2
2
Vimos que se puede determinar la extensión
de una curva despejando y en función de x
y x en función de y. Para obtener las asintotas
verticales y horizontales, usaremos estas
mismas ecuaciones en las que aparecen
despejadas las variables.
Para obtener las ecuaciones de las
asíntotas verticales, resuelvase la
ecuación dada para y en función
de x e igualese a cero cada uno de
los factores lineales del denominador.
Análogamente, para obtener las ecuaciones
de las asíntotas horizontales, resuelvase la
ecuación dada para x en funcion de y e
igualese a cero cada uno de los factores
lineales del denominador.
Encontrar las asíntotas de la
gráfica de la ecuación
xy  y  1  0
Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación xy  y  1  0
1) Despejar y en función de x
xy  y  1  0
xy  y  1
y  x  1  1
1
y
x 1
Encontrar las asíntotas de la gráfica
1
de la ecuación xy  y  1  0 ó y 
x 1
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador; es decir,
x 1  0
ó sea que la asíntota tiene como ecuación:
x 1
Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación xy  y  1  0
1) Despejar x en función de y
xy  y  1  0
xy  y  1
y 1
x
y
Encontrar las asíntotas de la gráfica
1
de la ecuación xy  y  1  0 ó y 
x 1
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador
y0
ó sea que la asíntota tiene como ecuación:
y0
y0
x 1
Encontrar las asíntotas de la
gráfica de la ecuación
2
x
y 2
x 1
Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
x2
y 2
x 1
1) Despejar y en función de x
Ya está despejada, entonces tenemos y 
x
2
x 1
pero debemos escribir el denominador como
factores lineales. Es fácil, factorizando; tenemos
x
2
2
x
y 2

x  1  x  1 x  1
2
Encontrar las asíntotas de la gráfica
de la ecuación
x2
x2
y 2

x  1  x  1 x  1
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador; es decir,
x 1  0
y x 1  0
ó sea que tenemos dos asíntotas verticales:
x 1
y
x  1
Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación
x2
x2
y 2

x  1  x  1 x  1
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador; es decir,
x 1  0
y x 1  0
ó sea que tenemos dos asíntotas verticales:
x 1
y
x  1
x2
Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación y  2
x 1
1) Despejar x en función de y
2
x
y 2
x 1
2
2
y  x  1  x
yx  x  y  0
2
2
 y  1 x
2
y0
x2
Encontrar las asíntotas de la gráfica de la ecuación y  2
x 1
1) Despejar x en función de y
 y  1 x
2
y0
0  0  4  y  1  y 
2
x
x
2  y  1
y  y  1
 y  1

4 y  y  1
2  y  1

2 y  y  1
2  y  1
Encontrar las asíntotas de la gráfica
1
de la ecuación xy  y  1  0 ó y 
x 1
2) Hacemos cero los factores lineales
del denominador
y 1  0
ó sea que la asíntota tiene como ecuación:
y 1
y
x
2
x 1
2
y
x
2
x 1
2
y 1
x  1
x 1
Mostrar las asíntotas
de la tangente
Las rectas


x y x
2
2
son asíntotas.
Una curva puede tener más de una
asintota vertical u horizontal.
Asi, la curva cuya ecuación es
1
y
 x  1 x  2 
tiene dos asintotas verticales,
x  1 y x  2.
Para muchas ecuaciones en las variables x e y,
veremos que, frecuentemente es ventajoso
investigar el comportamiento de una de las
variables cuando a la otra se le dan valores
cada vez mas grandes en valor absoluto.
Esto es particularmente útil para la
determinación de las asíntotas.
1
Así, para la ecuación y 
, si damos valores
x 1
a x cada vez más grandes, en valor absoluto, el
valor de y se aproxima a cero.
Es decir, a medida que el punto sobre la curva
se aleja indefinidamente del origen, ya sea hacia
la derecha o hacia la izquierda, la curva se
aproxima a la recta y  0 que, por lo tanto, es
una asintota horizontal.
Análogamente, si escribimos la
ecuación en la forma
1
x 1
y
vemos que, a medida que y toma
valores cada vez mayores en valor
absoluto x se aproxima a 1.
Por tanto, x  1 es una asíntota vertícal.
Es una gran ventaja usar las asintotas
de una curva, cuando existen, en el
trazado de la misma.
Las asíntotas actúan como lineas
guía de la gráfica.
La discusión de una ecuación y
su representación gráfica constituyen,
en conjunto, un problema de tan gran
importancia en todas las ramas de las
Matemáticas y sus aplicaciones,
que se le ha dado el nombre especial
de construcción de curvas.
El trazado de una curva consta de los seis puntos siguientes :
1 . Determinación de las intersecciones con los ejes coordenados .
2. Determinación de la simetría de la curva con respecto a los
ejes coordenados y a1 origen .
3. Deteminación de la extensión de la curva.
4. Determinación de las ecuaciones de las asíntotas verticales u
horizontales que la curva puede tener .
5 . Cálculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos
para obtener una gráfica adecuada .
6. Trazado de la curva .
Construir la curva cuya ecuación es
x  4x  y  0
4
2
Ejercicio 8, grupo 6, página 46
Construir la curva cuya ecuación es x  4x  y  0
4
2
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el X
Hacemos y  0 en la ecuación x 4  4 x 2  y  0
lo que nos lleva a x 4  4 x 2  0
que se factoriza como x 2  x 2  4   x 2  x  2  x  2   0
Tenemos por tanto cuatro raices:
x1  2, x2  0, x3  0, x4  2
Construir la curva cuya ecuación es x  4x  y  0
4
2
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el X
La gráfica intersecta al eje X en
2, 0 y 2
Construir la curva cuya ecuación es x  4x  y  0
4
2
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el Y
Hacemos x  0 en la ecuación x  4 x  y  0
4
lo que nos lleva a y  0
Tenemos una raíz:
y0
2
Construir la curva cuya ecuación es x4  4x2  y  0
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el Y
La gráfica intersecta al eje Y en
y0
Construir la curva cuya ecuación es x  4x  y  0
4
2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje X
La ecuación x  4 x  y  0
4
2
cambia a la ecuación
x4  4 x2  y  0
cuando intercambiamos  y por y.
Por lo tanto, LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE X .
Construir la curva cuya ecuación es x  4x  y  0
4
2
2. Simetrías
b) Con respecto al eje Y
La ecuación x  4 x  y  0
4
2
cambia a la ecuación (que es la misma)
x4  4x2  y  0
cuando intercambiamos  x por x.
Por lo tanto, LA GRÁFICA SÍ ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE Y .
Construir la curva cuya ecuación es x  4x  y  0
4
2. Simetrías
c) Con respecto al origen
La ecuación x 4  4 x 2  y  0
cambia a la ecuación
x4  4x2  y  0
cuando intercambiamos  x por x
y  y por y.
Por lo tanto, LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL ORIGEN.
2
Construir la curva cuya ecuación es x  4x  y  0
4
2
2. Simetrías
La única simetría que tiene esta gráfica
es respecto al eje Y .
No es simétrica ni respecto al eje X ,
ni respecto al origen.
Construir la curva cuya ecuación es x4  4x2  y  0
3. Extensión
a) En el eje X
Despejando y de la ecuación
x  4 x  y  0 tenemos
4
2
y  x  4x
4
2
Por tanto, cualquier valor de x es posible.
Construir la curva cuya ecuación es x  4x  y  0
4
2
3. Extensión
b) En el eje Y
Despejando x de la ecuación
x 4  4 x 2  y  0 tenemos x 2  2 
x
  4  
 4   4 1  y 
2 1
4  y o bien
2

4  16  4 y
42 4 y


 2
2
2
Por lo tanto, necesariamente y  4
4 y
Construir la curva cuya ecuación es x  4x  y  0
4
2
3. Extensión
La variable x puede tomar cualquier
valor real.
La variable y tiene que ser mayor o
igual a menos 4.
Es decir,
x  R e y  4
Construir la curva cuya ecuación es x  4x  y  0
4
4. Asíntotas
Esta curva no tiene asíntotas.
2
Construir la curva cuya ecuación es x  4x  y  0
4
2
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos
6. Construcción de la curva x4  4x2  y  0
x
y
0.00
0.00
0.25
-0.25
0.50
-0.94
0.75
-1.93
1.00
-3.00
1.25
-3.81
1.50
-3.94
1.75
-2.87
2.00
0.00
2.25
5.38
2.50
14.06
6. Construcción de la curva x4  4x2  y  0
16.00
14.00
12.00
10.00
8.00
6.00
4.00
2.00
0.00
0.00
-2.00
-4.00
-6.00
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.50
6. Construcción de la curva x  4x  y  0
4
2
Construir la curva
cuya ecuación es
x y  x  xy  3x  2
2
2
Ejercicio 21, parágrafo 19, página 47
x y  x  xy  3x  2
2
2
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el X
Hacemos y  0 en la ecuación x y  x  xy  3x  2
2
2
lo que nos lleva a  x 2  3 x  2
ó bien x  3 x  2  0
2
que se factoriza como  x  2  x  1  0
Tenemos por tanto dos raices:
x1  1, x2  2
x y  x  xy  3x  2
2
2
1. Intersecciones con los ejes.
a) Con el X
La gráfica intersecta al eje X en 1 y 2
x y  x  xy  3x  2
2
2
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el Y
Hacemos x  0 en la ecuación x y  x  xy  3x  2
2
2
lo que nos lleva a 0  2 que no se satisface para
ningún valor de y.
Por tanto, la gráfica no intersecta al eje Y .
x y  x  xy  3x  2
2
2
1. Intersecciones con los ejes.
b) Con el Y
La gráfica no intersecta al eje Y .
x y  x  xy  3x  2
2
2
2. Simetrías
a) Con respecto al eje X
La ecuación x y  x  xy  3x  2
2
2
cambia a la ecuación
 x 2 y  x 2  xy  3 x  2
cuando intercambiamos  y por y.
Por lo tanto, LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE X .
x y  x  xy  3x  2
2
2
2. Simetrías
b) Con respecto al eje Y
La ecuación x y  x  xy  3x  2
2
2
cambia a la ecuación
x 2 y  x 2  xy  3 x  2
cuando intercambiamos  x por x.
Por lo tanto, LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL EJE Y .
x y  x  xy  3x  2
2
2
2. Simetrías
c) Con respecto al origen
La ecuación x 2 y  x 2  xy  3x  2
cambia a la ecuación
 x 2 y  x 2  xy  3x  2
cuando intercambiamos  x por x
y  y por y.
Por lo tanto, LA GRÁFICA NO ES
SIMÉTRICA RESPECTO AL ORIGEN.
x y  x  xy  3x  2
2
2
2. Simetrías
La gráfica no tiene ninguna simetría.
No es simétrica
ni con respecto al eje X ,
ni con respecto al eje Y ,
ni con respecto al origen O.
x y  x  xy  3x  2
2
2
3. Extensión
a) En el eje X
Despejando y de la ecuación x y  x  xy  3 x  2
2
2
x  3x  2
tenemos y 
x  x  1
2
Por tanto, cualquier valor de x es posible menos 0
y  1.
x y  x  xy  3x  2
2
2
3. Extensión
b) En el eje Y
Despejando x de la ecuación
x y  x  xy  3x  2
tenemos
2
2
 y  3  y  14 y  1
x
si y  1
2  y  1
2
x y  x  xy  3x  2
2
2
3. Extensión
b) En el eje Y
 y  3  y 2  14 y  1
Despejando x tenemos x 
2  y  1
Así que sólo son posibles los valores de y que hacen que
y 2  14 y  1  0.

Esos son los y  , 7  4 3    7  4 3, 

x y  x  xy  3x  2
2
2
3. Extensión
b) En el eje Y
En el caso de y  1 tenemos que la ecuación
x 2 y  x 2  xy  3 x  2
se transforma en
4x  2
1
ó sea x  y es posible el valor y  1
2
x y  x  xy  3x  2
2
2
3. Extensión
La extensión de la curva es
x   ,  

y  , 7  4 3    7  4 3, 

x y  x  xy  3x  2
2
2
4. Asíntotas
a) Asíntotas verticales
Despejando y de la ecuación x 2 y  x 2  xy  3x  2
x  3x  2
tenemos y 
x  x  1
2
Es claro de lo que ya hemos estudiado que tenemos
dos asíntotas verticales x  0 y x  1.
x y  x  xy  3x  2
2
2
4. Asíntotas
a) Asíntotas horizontales
Despejando x de la ecuación x y  x  xy  3x  2
2
tenemos
 y  3  y  14 y  1
x
2  y  1
2
Por lo tanto, es claro que tenemos
una asíntota horizontal y  1.
2
5. Cálculo de las coordenadas de algunos puntos
x y  x  xy  3x  2
2
2
x  3x  2
y
x  x  1
2
x
-10.00
-9.75
-9.50
-9.25
-9.00
-8.75
-8.50
-8.25
-8.00
-7.75
-7.50
-7.25
-7.00
-6.75
-6.50
-6.25
-6.00
-5.75
-5.50
-5.25
y
X
1.47
1.48
1.50
1.51
1.53
1.55
1.56
1.59
1.61
1.63
1.66
1.68
1.71
1.75
1.78
1.82
1.87
1.92
1.97
2.03
-5.00
-4.75
-4.50
-4.25
-4.00
-3.75
-3.50
-3.25
-3.00
-2.75
-2.50
-2.25
-2.00
-1.75
-1.50
-1.25
-1.00
-0.75
-0.50
-0.25
Y
2.10
2.18
2.27
2.38
2.50
2.65
2.83
3.05
3.33
3.70
4.20
4.91
6.00
7.86
11.67
23.40
NO
-25.67
-15.00
-15.00
x
y
0.00 NO
0.25 4.20
0.50 1.00
0.75 0.24
1.00 0.00
1.25 -0.07
1.50 -0.07
1.75 -0.04
2.00 0.00
2.25 0.04
2.50 0.09
2.75 0.13
3.00 0.17
3.25 0.20
3.50 0.24
3.75 0.27
4.00 0.30
4.25 0.33
4.50 0.35
4.75 0.38
x
y
5.00
5.25
5.50
5.75
6.00
6.25
6.50
6.75
7.00
7.25
7.50
7.75
8.00
8.25
8.50
8.75
9.00
9.25
9.50
9.75
0.40
0.42
0.44
0.46
0.48
0.49
0.51
0.52
0.54
0.55
0.56
0.57
0.58
0.59
0.60
0.61
0.62
0.63
0.64
0.65
6. Construcción de la curva
x y  x  xy  3x  2
2
2
x2 y  x2  xy  3x  2
x2 y  x2  xy  3x  2
x2 y  x2  xy  3x  2
El trazado de curvas se puede simplificar
considerablemente para ciertos tipos de
ecuaciones a las que llamaremos ecuaciones
factorizables; es decir , aquellas que pueden
escribirse en forma del producto de dos o
más factores variables igualado a cero .
En general, si la ecuación
f  x, y  =0
es factorizable; es decir, si f  x, y  puede
escribirse como el producto de dos o más
factores variables, la gráfica de f  x, y 
constará de las gráficas de las ecuaciones
obtenidas a1 igualar a cero cada uno de estos
factores.
Trazar la gráfica correspondiente
a la ecuación
f  x, y   x  y  0
3
3
Trazar la gráfica correspondiente a la ecuación f  x, y   x  y
3
La ecuación
f  x, y   x  y 
3
3
se factoriza trivialmente como
f  x, y    x  y   x  xy  y
2
2
0
Así que por lo que acabamos de ver, la gráfica
de x 3  y 3 será la grafica de las ecuaciones que
resultan al hacer cada uno de los factores igual
a cero.
3
Gráfica de la ecuación f  x, y   x 3  y 3   x  y   x 2  xy  y 2 
La gráfica de
x y0
es una recta que pasa por el origen
con pendiente  1; es decir, es una
recta que pasa por el origen y que
hace un ángulo de 135 grados con
el eje X .
x y0
Gráfica de la ecuación f  x, y   x 3  y 3   x  y   x 2  xy  y 2 
La ecuación x  xy  y  0 no tiene una gráfica.
2
2
En efecto, si analizamos su extensión, debemos
despejar y,
x  x  4x
1  3
y

x
2
2
que es complejo para todo valor de x; es decir,
2
2
no existe número real x que haga que y sea real.
Gráfica de la ecuación f  x, y   x 3  y 3   x  y   x 2  xy  y 2 
Por tanto, la gráfica de la ecuación
x  y 0
es la de la línea recta
x y0
3
3
x  y 0
3
3
Trazar la gráfica correspondiente
a la ecuación
f  x, y   x  y  0
2
2
Gráfica de la ecuación f  x, y   x  y
2
2
La ecuación
f  x, y   x  y  0
2
2
se factoriza trivialmente como
f  x, y    x  y  x  y   0
Así que por lo que acabamos de ver, la gráfica
de x  y será la grafica de las ecuaciones que
2
2
resultan al hacer cada uno de los factores igual
a cero.
Gráfica de la ecuación f  x, y   x2  y2   x  y  x  y 
La gráfica de
x y0
es una recta que pasa por el origen con
pendiente  1; es decir, es una recta
que pasa por el origen y que hace un
ángulo de 135 grados con el eje X .
x y0
Gráfica de la ecuación f  x, y   x  y   x  y  x  y 
2
2
La gráfica de
x y0
es una recta que pasa por el origen con
pendiente 1; es decir, es una recta que
pasa por el origen y que hace un
ángulo de 45 grados con el eje X .
x y0
Trazar la gráfica correspondiente a la ecuación f  x, y   x2  y2
Por tanto, la gráfica de la ecuación
x  y 0
2
2
son dos líneas rectas.
Ambas pasan por el origen,
una hace con el eje X un ángulo de 135 grados
y la otra hace con el eje X un ángulo de 45 grados
x  y 0
2
2
Considere un sistema de dos
ecuaciones independientes
f  x, y   0
g  x, y   0
Considere un sistema de dos ecuaciones independientes
f  x, y   0
g  x, y   0
Si sus gráficas se cortan en uno ó más
puntos, cada uno de estos puntos se
llama punto de intersección.
Considere un sistema de dos ecuaciones independientes
f  x, y   0
g  x, y   0
La interpretación analítica de un punto
de intersección de las dos gráficas, es
que es un punto cuyas coordenadas
representan una solución común a las
dos ecuaciones
2x  y  1
3x  y  9
2x  y  1
3x  y  9

5 x  10
2x  y  1

5 x  10
10
x
2
5
3x  y  9
2x  y  1
3x  y  9

5 x  10
10
x
2
5

y  2x  1  2  2  1  3
2x  y  1
3x  y  9

x2
y3
Encontrar la intersección de las curvas
2 x  y  1 y 3x  y  9
Ejercicio 11, parágrafo 21, página 49.
y
2x  y  1
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
y
3x  y  9
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
y
2x  y  1
3x  y  9
5
4
 2,3
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
Encontrar la intersección de las curvas
x  y  8 y y  2x
2
2
2
Ejercicio 17, parágrafo 21, página 49
y
x  y 8
2
2
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
y
y  2x
2
5
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
-1
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
x  y 8
2
2
y
5
 2, 2 
4
y  2x
2
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
-4
-5
 2, 2
3
4
5
x
Encontrar la intersección de las curvas
x  y  8 y y  2x
2
2
2
Hay dos puntos de intersección:
 2,2 
y
 2, 2 
Ejercicio 17, parágrafo 21, página 49
Encontrar la intersección de las curvas
x2  y 2  8 y y 2  2 x
x  2x  8
2
x  2x  8  0
2
x
2  4  4 1 8 
x1  2
2
x2  4
2  36 2  6


2
2
Encontrar la intersección de las curvas
2
2
2
x  y  8 y y  2x
x1  2
y
x2  4
2x
y1   2  2   4  2
y2 
8
No existe
Encontrar la intersección de las curvas
2
2
2
x  y  8 y y  2x
x1  2
y1  2
x2  2
y2  2
x  y 8
2
2
y
5
 2, 2 
4
y  2x
2
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
-3
-4
-5
 2, 2
3
4
5
x
Encontrar la intersección de las curvas
x  y 1
2
2
Ejercicio 18,
parágrafo 21,
página 49
y
x y 4
2
2
x  y 1 y x  y  4
2
2
2
2
Para encontrar la intersección de
estas dos curvas debemos resolver
las ecuaciones simultaneamente
x  y 1 y x  y  4
2
2
2
2
x  y 1 y x  y  4
Sumando las dos ecuaciones, obtenemos
2
2
2
2x  5
2
5
y por tanto, x  
2
2
x  y 1 y x  y  4
2
2
x2  y 2  1 y
2
2
x2  y 2  4
5
Sustituyendo x  
en la primera
2
5
2
obtenemos  y  1
2
5
3
que nos da y  1   
2
2
que no existe en los números reales.
x  y 1 y x  y  4
2
2
Las dos curvas
no se intersectan,
como es evidente
de sus gráficas.
2
2