Transcript CH8.2_Student

8.4.3 비원형덕트 내의 유동
수력직경 : 비원형단면에서 원의 직경에 해당하는 대표길이
Dh (수력직경) 
4 A 4  단면적

 4 Rh (수력반경)
P
접수길이
a
b
b
d
a
4  ab
2( a+b)
4  ab

2( a+b)
Dh 

4  ( a 2  b2 )
4  ( / 4) d 2
Dh 
4
Dh 
d
 ( a+b)
d
 a b
Dh 
2  (2h  b)
lim
(2h  b)
b 
 4h (틈새간격2배)
1. 비교적 정확하게 수두손실을 계산하는 방법
원의 직경대신 수력직경을 사용하여 Redh와 e/dh를
계산하여 Moody Chart로부터 f를 계산하는 방법
flam
64

 40% 층류

Re Dh


 f Moody Re Dh , e  15% 난류



Re Dh 
e
VD h
e

Dh
2. 지극히 정확하게 수두손실을 계산하는 방법
층류계산결과를 이용한 유효직경을 이용 Reeff와
e/deff를 계산하여 Moody Chart로부터 f를 계산
L V2
h f  f (Reeff , e )
Dh 2 g
Darcy의마찰계수: f  f Moody (Reeff , e ), Reeff 
VDeff

,e 
e
Deff
유효직경 (Effective Diameter)
평행한 두 평판 사이의 압력구배에 의한 유동
 y2 
h 2 p
u  umax 1  2  where umax 
2 L
 h 
bh3 p
Q
3 L
층류해: 2-D Poiseuille Flow
(p386)
Q h 2 p 2
V 
 umax
A 3 L 3
w  
du
dy
 umax
y h
p 3 LV
hf 

,
g
 gh 2
2 y
h2
flam
y  h
p 3V
h

L
h
96
96



( L / Dh )(V 2 / 2 g ) V (4h) Re Dh
hf
f = 64/ReDh 를 이용한다면 f의 값은 33%나 낮게 예측된다.
2D Poiseuille Flow Solution (층류해) 1
직교좌표계 에서의 연속방정식 및 축 방향 운동량 보존 법칙
2


•완전발달유동: 
, 0정상 유동:
2
x x

0
t
u v

0
x y
•연속방정식 :
: V = u(y) i
•x 방향 운동량 보존 법칙 :
  2u  2u 
u
u
u
1 p
u v

   2  2 
t
x
y
 x
y 
 x
•운동량 보존 법칙에서 :
•좌변은 y만의 함수이고
우변은 x만의 함수
  2u  1 p
  2  
 y   x
 d 2u  1 dp
  2  
 constant  K
 dy   dx
POISEUILLE FLOW SOLUTION 2
 d 2u 


 dy 2   K


• y에 대해 2번 적분하면
K 2
u( y )  y  C1 y  C2
2
• 경계조건: 1. No Slip Condition : 2. :
u(  h )  0
•대입하면
h2  dp 
y2
u( y ) 

 (1  2 )
2  dx 
h
• 포물선 속도분포 : r=0에서
h2  dp  h2 p
( u )max 


2  dz  2 L
난류해 (2-D POISEUILLE FLOW)
u 1 yu
 ln
B

u


난류유동 : 대수속도분포
평균 유속 :
Q 1
V 

A h

h
0
u

Darcy 마찰계수 : V  V 2 



u

 w 
1

yu
hu 
1
  1
 B  dy  u 
ln
 B 
 ln








1/ 2

8 hu  1 V * 4h u  1
,


Re Dh
f

4 
V
4
V ( 0.64Dh ) 원형파이프
1
0.64Re
2.0log
Dh Red f  1.19 
f




1
 2.0log 0.64 ReDh
f
f
8

f  0.8
난류마찰계수는 유효직경 Deff를 수력직경의 0.64배로 하면 잘 맞게 예측된다.
 평행평판의 유효직경 ( 층류) : Def f 
64
2
Dh  Dh
96
3
따라서 층류해석 결과를 이용하여 유효직경을 계산하여 난류유동에 이용 가능
 평행평판의 유효직경 ( 층류) : Def f 
64
2
Dh  Dh
96
3
예제 (비원형 덕트)
동심관 사이의 유동
동심환상유로(열교환기 응용)
-극좌표계에서 회전방향 운동량보존
(비압축성, 정상, 완전발달 유동)
-부록D의 (D.6)식으로부터
d  du 
d
r


Kr
,
K

( p   gz )


dr 
dr 
dx
u (r ) 
K 2
r  C1 ln r  C2 , u (a)  u (b)  0
4
2
2
1  d
  2 2 a b
 a 
u (r ) 

(
p


gz
)
a

r

ln

 

4  dx
ln(b / a)  r  

2
2 2
  d
  4 4 (a  b ) 
Q   u 2 r dr 
 ( p   gz )  a  b 


b
8  dx
ln(b / a) 

a
수력직경: Dh  2(a  b), V 
Q
 (a 2  b 2 )
Deff 
1

Dh


64
64
( a  b) 2 ( a 2  b 2 )
f 

,  4

4
2
2 2
Re Dh Re Dh
a

b

(
a

b
)
ln(
b
/
a
)


예제 6.14
기타 비원형 단면
층류해 : 복소수와 등각사상을 이용한 해석해 및 수치해
삼각형 및 사각단면의 f, 그리고 2차 유동
64
Deff 
Dh
( f Re Dh )Table
예제 6.15
즉
p  5.5 lbf / ft 2
이 된다. 일반적으로
공기는 밀도가 작으므로
압력강하가 작게 된다.
8.5 파이프 유동 문제의 세가지 형태
8.5.1 단일 파이프 : 파이프 유동 문제의 세가지 형태
1. d, L, V(Q), , , g를 알고 수두손실 hf를 계산 (수두손실문제)
- Moody Chart 적합 : 예제 8.8 , 8.9
2. d, L, hf, , , g 를 알고 수두손실 V(Q)를 계산 (유량문제)
- Re에 미지수 포함 : 예제 8.10 과 같은 반복계산 필요.
- 또는 Colebrook공식 개편 Re d   (8 )
1/ 2
 e / d 1.775
gd 3h f
  
log

2
 3.7

L




3. L, hf, V(Q), , , g 를 알고 수두손실 d를 계산 (크기결정문제)
- Re, e/d 에 미지수 포함 : 예제 8.12 와 같은 반복계산 필요.
8.5.2 다관 시스템
2개 또는 여러 개의 파이프로 구성된 시스템
1. 3개의 파이프가 직렬로 연결된 경우 : Q1 = Q2 = Q3 =const
V1d12  V2d22  V3d32
hA B  h1  h2  h3

 V22  f 2 L2
 V32  f3 L3
V12  f1 L1


K


K


K

 1  2g  d  2  2g  d  3 
2 g  d1

 2

 3

hAB
V12

0  1 f1   2 f2  3 f3 
2g
V2 ,V3는 V1의함수
-유량 Q가 주어지면 전체 수두손실이 계산될 수 있다.
-총 수두 손실이 주어지면 앞에서와 같이 반복계산이 필요
예제 8.5.1
2. 병렬 파이프
각 파이프에서 수두 손실이 같아야 하며
총 유량은 각 파이프 내의 유량의 합이다
hAB  h1  h2  h3
Q  Q1  Q2  Q3
-
수두 손실이 주어지면 각각의 유량 Qi는 비교적 쉽게 계산됨.
-
총 유량Q가 주어질 경우 보다 많은 반복계산이 필요 (오번역)
hf 
(
Qi2
fi Li Vi 2 fi Li
Qi2
, hi 

2
di 2 g
di ( di2 / 4)2 2 g
Ci / fi )
-
해석방법
1.
fi값 추정 (완전 거친 영역 가정)  hf 첫 예상치 계산
2.
Qi 계산  새로운 Re수와 fi의 더 좋은 추정치 계산
3.
수렴할 때까지 반복
Ci 
 2 gdi5
8Li
예제 8.5.2
     Qi
유량Q가 주
어질 경우 보
다 많은 반복
계산 필요
병렬연결
응용한
IT 기기
냉각용
열교환기
설계
N 개 유로  폭 b=50 cm, 높이 H (=50/N)인 사각단면 유로, Dh ≒ 2H ( b ≫ H )
f  0.316 Red
• N Blsius  :
•     :
1 / 4
for 400  Re d  105
p  0.158L  3/ 4 1/ 4d 5 / 4 V 7 / 4  0.241L  3/ 4 1/ 4d 4.75 Q7 / 4
 VDh  998 kg / m3  V  0.05m
 
Re  


0
.
001
kg
/
m

s


2000  0.158  2  9983 / 4  0.0011 / 4  Dh
5 / 4
 V 1.75
1. N=20 가정 : b= 0.5 m, 높이 H = 0.025 m, Dh =2*(0.5/N) ≒ 0.05 m
2000  0.158  2  9983 / 4  0.0011 / 4  Dh5 / 4  V 1.75  9.976  0.055 / 4  V 1.75
V  2.433 m / s Re  998  2.433  0.05/0.001  1.214 * 105  난류 유동
Q1  2.43* 0.5 * 0.5 * 3600  2190 m3 / h
2. N=40 가정 : b= 0.5 m, 높이 H = 1/80 m, Dh =2*H ≒ 1/40 m
2000  0.158  2  9983 / 4  0.0011 / 4  Dh5 / 4  V 1.75  9.976  (1/40)5 / 4V 1.75  1003.53  V 1.75
V  1.483 m / s Re  998  1.483  0.025/0.001  3.7 * 105  난류 유동
Q1  1.483* 0.5 * 0.5 * 3600  1334.7 m3 / h
3. N=50 가정 : b= 0.5 m, 높이 H = 0.01 m, Dh =2*H ≒ 0.02 m
2000  0.158  2  9983 / 4  0.0011 / 4  0.025 / 4  V 1.75  9.9778  Dh5 / 4V 1.75  1326.62  V 1.75
V  1.2644 m / s Re  998  1.2644  0.02/0.001  2.524 * 105  난류 유동
Q1  1.2644 * 0.5 * 0.5 * 3600  1138 m3 / h
4. N=70 가정 : b= 0.5 m, 높이 H = 1/140 m, Dh =2*H ≒ 1/70 m
2000  0.158  2  9983 / 4  0.0011 / 4  (1/70)5 / 4  V 1.75  9.976  Dh5 / 4V 1.75  2019.93  V 1.75
V  0.99435 m / s Re  998  0.99435  (1 / 70 )/0.001  1.418 * 105  난류 유동
Q1  0.99435 * 0.5 * 0.5 * 3600  895 m3 / h
*** 초기치로 Blasius 공식을 아래와 같이 출발, 미세 조정 ***
 2  0.5 
Q1  V * 0.5 * 0.5 * 3600  900 V , Dh5 / 4  V 1.75  

N




-1.25 4 / 5
Q  900 m h  V  1.0 m / s N  200.5  1
3
1.25
 69.45
 V 1.75  200.5
 N  70
세 개 탱크의 연결
모든 유동이 탱크의 연결점으로 일어난다
고 하면 적어도 1개의 파이프에서는 연결
점에서 탱크 쪽으로 흐른다
파이프 유동은 연결점에서 같은 압력 PJ
가 되도록 조절된다.
Q1  Q2  Q3  0
연결점 HGL : hJ  z J 
PJ
, 탱크의 수면에서 P1  P2  P3  0 (계기압)
g
f3 L3 V32
f1L1 V12
f 2 L2 V22
h1 
 z1  hJ , h2 
 z2  hJ , h3 
 z3  hJ
d1 2 g
d2 2 g
d3 2 g
•
해석방법
1.
hJ가정  아래 식에서 V1, V2, V3 계산
2.
Q1, Q2, Q3 예측
만족 때까지 반복 :
Q1 +Q2 +Q3 =0
Q1+Q2+Q3 < 0 : hJ 가 너무 크게 추정  hJ를 줄여서 다시 시도
예제 8.5.4
  J I  l  J      
p1
2
2
V
p
V
 1 1  z1  2   2 2  z2  h f

2g

2g
zI 

Pa
P
P 
 zJ  J  hI  hI  zI   zJ  J   zI  hJ
g
g
g 

예제 8.5.5
  J I  l  J      
zI 
Pa
P
 zJ  J  hI  hI  zI
g
g

P 
  zJ  J   zI  hJ
g 

파이프망
아파트 또는 지역 상하수도 시스템, 공장의 파이프망
1. 모든 연결점에서 유량의 합은 0이다.
2. 모든 폐 회로에서 한 바퀴에 대한 총 압력변화는 0이다.
(모든 연결점에서 HGL은 한가지 값을 갖는다.)
3. 모든 수두손실은 Moody의 관계식과 부차적 손실관계를 만족
위 원칙들을 가 연결점과 각각의
폐 회로에 적용하면 각 파이프에
서의 유량 (Qi)과 연결점에서의
HGL 값 (hJ i)에 대한 연립 대수
방정식이 얻어진다 :
수치적 반복법 [17]
** 실험적 덕트유동 : 디퓨저 성능
디퓨저 내 유동의 안정성 : Stall 현상
Fig. 6.26 (c)
성능 : 압력회복계수 (Fig. 6.28)
Cp 
pe  pt
p0t  pt
e (exit), t (throat)
8.6 유체 계측기
국소 속도 측정
- 국소점 측정
1. 회전장치 : (a),(b), 터빈속도계
(d), 프로펠러속도계 (c)
2. 열선 유속계(HWA) : (e), (f)
3. 피토 튜브 : (g)
4. 전자기식 전류계
5. LDA(레이저도플러) : (h)
- 전유동장 측정
1. PIV(입자영상유속계)
2. PTV(입자추적유속계)
3. LSV(레이저스페클속도계)
PITOT TUBE (피토 정압관)
베르누이 방정식으로부터 : 피토 공식
액-기체용, 정상유동, 요각에 민감
pS


1/ 2
 p  pS 
p
V
0
 zS  0 
 z0 , V   2 0
2g

2g
 

2
2
열선 유속계 (HOT WIRE ANEMOMETER)
난류측정 : 직경 0.01mm의 열선, 빠른 시간 응답
King의 법칙 : 열 손실은 유속에 비례
q  I 2 R  a  b ( V )n
Re수가 작을 때는 n은 약 1/3, 클 때는 약 1/2
비선형성 : 실험 때마다 캘리브레이션 필요
기체 : 열선 vs. 액체 : 열 필름 (백금)
3차원 유동 : X Type 그룹
LDV(레이저 도플러 속도계)
레이저 광선의 도플러 현상 이용 (이중 광선식)
장점 : 1. 빠른 응답성 2. 선형성(무보정)
3. 유동을 교란하지 않음 4. 열역학적 성질에 무관
5. 공간 분해능이 좋다 : 타원체(장축 0.5mm, 단축 0.1mm)
레이저 광선의 도플러 현상 이용 (이중 광선식)
단점 : 1. 실험장치와 유체가 투명해야 한다. (혈류 유동)
2. 고가의 장비 ( 기본 시스템 약 50,000 $ )
3. 비정상 유동의 전 유동장 측정 불가
난류 유동 등 정밀한 유동 계측
체적유량
체적유량의 측정
- 편심회전 원판 유량계 : 물과 휘발유의 수송 시스템
- 터빈식 유량계 : 보정 실험 필수적 (그림 6.42)
- 보텍스 유량계 : Vortex Shedding시 St 수 일정 : f = C U :
1. ,  무관 2. 넓은 유량 범위 3. 움직이는 요소 없음 4. 뜨겁거나 찬 유체 5. 파이프 길이 짧
다
- 초음파 유량계 : 레이저 유속계와 유사 : 그림 6.35 (a)펄스식 (b)도플러식
삽입식 아니라 현장에서 고정
- 로터미터 : Fig. 6.36 플로터
R:
- 코리올리 질량 유량계
- 층류 변환 측정 계열 유량계
선형적, 그림6.38 (환상형 관)
T:
베르누이의 장애이론
장애물 통과 : 베나콘트럭타 직경 d2
연속
: Q 

4
D 2 V1 
베르누이: p0  p1 
V
2
1
2

4
D22 V1
V22
 p2 
2g
1/ 2
V1 소거:
 2( p0  pS ) 
Q
V  
4
4 
A
  (1  D2 / D ) 
1/ 2
 2( p0  pS ) /  
Q  AV

C
A
t t
d
t 

4
 (1   ) 
1/ 2
 2( p0  pS ) 
  At 
송출계수 Cd




  f (Re,  ),   D2 / D
ISO 추천 3가지 장치
3기구에 대한 송출계수
Cd는 각각 식 6.1126.116 에 주어지며,
Fig 6.41-6.43 에
그래프로 주어진다.
(a) 긴 반경노즐
(b) 박판 오리피스
(c) 벤투리 노즐 :
거의 쓰이지 않음
요약
덕트내의 유동 : Re수에 따라 층류, 천이, 난류
Re수에 따른 유동 특성 : 난류의 특성
원형 직관 내의 층류 난류 유동 해, 벽면의 거칠기
Moody Chart와 Colebrook공식
비원형 단면 관 : 수력직경, 유효직경
부차적 손실
다관 시스템과 파이프망
유체 계측기