Transcript Teori probabilitas diskrit - Teknik Elektro UIN SUSKA RIAU

Hasdi Radiles
19770909 201101 1 005
Teknik Telekomunikasi
Jurusan Elektro- Fakultas SainTek UIN Suska – Riau
Pekanbaru, 25 Maret 2012
Outline
 Materi perkuliahan :
1. Teori set
 Definisi, notasi dan operasi set
 Diagram venn dan Karakter set
2. Eksperimen statistik
3. Teknik perhitungan
 Perkalian event
 Permutasi
 Kombinasi
4. Teori probabilitas diskrit
 Definisi dan aksioma
Referensi:
 Probabilitas bersyarat
 Montgomery, Douglas C, Applied
 Mutually exclusive
statistics and probability, Wiley Asia
 Independen
Student, 2007
 Aturan perhitungan
 www. Stattrek.com
 Teorama Bayes
2 – Probabilitas dan
Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teori set
 Definisi Set:
1. Set merupakan kumpulan dari objek yang dapat dikenal dalam suatu domain D
 Kumpulan objek yang tidak berurutan dengan tanpa duplikasi
2. Special set dapat berupa :
 Universal Set (S): semua elemen yang terdapat dalam domain D.
 Null set atau set kosong : Set yang tidak memiliki elemen
3. Setiap objek Set disebut dengan elemen dari Set tersebut.
4. Jika semua elemen set A juga merupakan elemen set B, maka set A adalah
subset dari set B dan set B merupakan superset dari set A
5. Pertidaksamaan subset dan superset
 Proper subset () atau proper superset ()
 Improper subset () dan Improper superset ()
 2 Set dikatakan sama jika dan hanya jika mereka memiliki semua elemenelemen yang sama
3 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teori set
 Notasi Set:
 Set biasanya dinotasikan dengan huruf kapital seperti A, B atau C.
 Elemen dari Set dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, atau z
 Set umumnya ditunjukkan dengan mendata seluruh elemennya dalam kurung
karawal {} contohnya: A = {2, 4, 6, 8}.
 Null set dinotasikan dengan {∅} atau { } atau ∅
 Set juga bisa ditunjukkan dengan menyatakan syaratnya. Contoh Set A
merupakan semua bilangan bilangan genap kurang dari 10
 Operasi Set:
 Union (U): gabungan elemen yang berbeda + elemen yang sama
 Intersection ( ∩) : elemen-elemen dari 2 atau lebih yang sama
 Complement (Ā atau atau A’ atau Ac): elemen yang bukan berasal dari suatu
Set A tetapi proper subset dari universal set U.
4 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teori set
 Operasi set lainnya:
 Perbedaan 2 set: A – B
 A – B = {x:x A dan ~(xB)}
 Cara baca: x dimana x elemen A dan x bukan elemen B
 Contoh: A = {a, b, c} dan B = {b,c,d} sehinga A – B = {a}
 Perkalian 2 set: A x B
 A x B = { {a , b} : a  A and b  B )
 Seluruh pasangan perkalian elemen set A dan B
 Contoh: A = {x, y} dan B = {4,8} maka A x B = {{x,4},{x,8},{y,4},{y,8}}
5 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teori set
Contoh soal 1:
1. Tuliskan set dari semua huruf vokal?
Jika A adalah set dari vokal, maka A dapat dituliskan : A = {a, i, u, e, o}
2. Tuliskan Set dari bilangan integer positif
Mengingat susahnya menuliskan seluruh bilangan integer yang tak terbatas,
maka set A dapat dituliskan : A terdiri dari seluruh bilangan bulat positif yang
lebih besar dari nol.
3. Set A = {1, 2, 3} dan Set B = {3, 2, 1}. Apakah A = B
Ya, 2 set akan sama jika elemennya juga sama. Urutan elemen tidak masalah.
4. Tuliskan set dari laki-laki dengan empat tangan?
Karena tidak ada laki-laki yang memiliki 4 tangan, maka A = {}.
5. Set A = {1, 2, 3} dan set B = {1, 2, 4, 5, 6}. Apakah set A subset dari set B?
Set A adalah subset dari B jika seluruh elemen A juga merupakan elemen dalam
set B. Tetapi 3 bukanlah elemen dari set B, maka A bukan subset dari B
6 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teori set
 Contoh soal 2: Notasi diagram Venn: Tunjukkan aksiran daerahnya untuk notasi:
 AUB
Domain D
 (A U B)
U
A
B
 A∩B
 (A ∩ B)
 A
 AUB
7 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teori set
 Identitas
 A+0=A
 A&U=A
 Terbatas
 A+U=U
 A&0=0
 Komutatif
 A+B=B+A
 A&B=B&A
 Asosiatif
 (A + B) + C = A + (B + C)
 (A & B) & C = A &(B & C)
 Involution
 (Ac)c = A
 0c = U dan Uc = 0
8 – Probabilitas dan Statistik
 Idempotent
 A+A=A
 A&A=A
 Distrbutif
 A + (B & C) = (A + B) & (A + C)
 A & (B + C) = (A & B) + (A & C)
 Hukum De Morgan
 (A + B)c = Ac & Bc
 (A & B)c = Ac + Bc
 Hukum Komplemen
 A + Ac = U
 A & Ac = 0
 Absorsi
 A + (A & B) = A
 A & (A + B) = A
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Eksperimen random
 Eksperimen random memiliki ciri khas :
 Kemungkinan outcome lebih dari 1 macam
 Setiap outcome yang mungkin dapat dituliskan sebelumnya
 Setiap outcome eksperimen bergantung pada peluangnya
 Definisi: percobaan yang dapat menghasilkan outcome yang berbeda-beda ketika
dilakukan berkali-kali dengan cara yang sama.
 Contoh :
 Kemungkinan keluarannya lebih dari satu
 Kita dapat menuliskan keluarannya berupa angka atau gambar
 Peluang munculnya angka atau gambar bersifat tidak pasti
 Istilah-istilah
 Ruang sampel adalah set (kontinu atau diskrit) dari seluruh elemen yang
dianggap sebagai kemungkinan outcome dari suatu ekperimen statistik, notasi S.
 Titik sampel adalah elemen dari ruang sampel
 Event adalah subset dari ruang sampel, terdiri dari satu atau lebih titik sampel
9 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Eksperimen random
 Contoh soal 3:
Klasifikasikan kemungkinan ruang sampel dari pengiriman 3 frame paket data melalui
internet berdasarkan error atau tidak menggunakan hirarki.
Paket 3 error
Jawab:
Paket 2 error
Misalkan paket error dinotasikan E
Paket 3 ok
dan yang non error dinotasikan 0
paket 1 error
dari gambar disamping
Paket 3 error
dapat disimpulkan:
Paket 2 ok
Paket 3 ok
total kemungkinan
Ruang sampel
outcome adalah 8
Paket 3 error
pasang, yaitu:
Paket 2 error
{{EEE}, {EE0}, {EOE},
Paket 3 ok
{EOO}, {OEE}, {OEO}, {OOE}, {OOO}}.
Paket 1 ok
Paket 3 error
Paket 2 ok
Paket 3 ok
10 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teknik perhitungan
Aturan 1: Perkalian Event (metoda replacement)
 Jika sebuah operasi digambarkan sebagai urutan k langkah, dan
 Jika jumlah cara untuk menyelesaikan langkah 1 adalah n1
 Jika jumlah cara untuk menyelesaikan langah 2 adalah n2
 Dan seterusnya
 Maka jumlah cara untuk menyelesaikan operasi tersebut adalah:
 n1 x n 2 x … x n k
 Contoh soal 4: Pada proses pemilihan matakuliah pada saat registrasi semesteran,
mahasiswa harus mengisi statusnya sebagai berikut:
 Tuliskan jenis matakuliah: wajib atau pilihan
 Tuliskan status pengambilan: paket, tabungan, mengulang
 Tuliskan kode kelas: kelas A, B, C atau D
 Buatlah diagram pohon proses pendataan mahasiswa tersebut
Ukuran dari ruang sampel = jumlah cabang akhir pemilihan = 2 x 3 x 4 = 24
11 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teknik perhitungan
Aturan-2: Permutasi event
 Jumlah permutasi dari n elemen yang berbeda adalah faktorial
n! = n x (n – 1) x (n – 2) x . . . x 2 x 1
 Jumlah permutasi dari subset dengan r elemen yang dipilih dari set n elemen
n Pr 
n!
n  r !
 Jumlah permutasi dari multi proses n objek dimana n = n1 + n2 + … + nr dimana r
merupakan jumlah proses adalah
n!
n1! n2! n3!nr !
 Contoh soal 5: dalam suatu kelompok belajar terdiri dari 3 mahasiswa, yaitu A, B
dan C. setelah selesai diskusi, mereka diharuskan mencantumkan nama berurutan
sesuai dengan tugasnya dalam kelompok yaitu: urutan 1 adalah ketua, 2 adalah
sekretaris dan yang terakhir adalah anggota. Berapakah jumlah kemungkinan
pasangan berurutan tersebut? 3 x 2 =6 (metoda non-replacement)
12 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teknik perhitungan
 Contoh soal 6: 5 buah bola diberi nomor 1 – 5, dan kemudian seorang anak akan
mengambil secara random 1 bola sebanyak 5 kali pengambilan. Sedangkan anakanak yang lain akan menebak nomor bola yang diambil setiap kali pengambilan.
Berapakah peluang tebakan mereka benar?
Jawab :
Probabilitas tebakan benar pada pengambilan ke-1 adalah = 1/5
Probablitas tebakan benar pada pengambilan ke-2 adalah = 1/4
Probablitas tebakan benar pada pengambilan ke-3 adalah = 1/3
Probablitas tebakan benar pada pengambilan ke-4 adalah = 1/2
Probablitas tebakan benar pada pengambilan ke-5 adalah = 1
jadi probabilitas tebakan mereka benar adalah:
1/5 x 1/4 x 1/3 x 1/2 x 1 = 1/120
 Contoh soal 7: Sebuah software dibuat untuk menguji validasi sebuah kode.
Diketahui password suatu aplikasi terdiri dari abjad dan huruf tanpa menggunakan
karakter khusus. Panjang password dari aplikasi tersebut adalah 4 – 12 karakter. Jika
software membutuhkan 1 detik untuk menguji validasi 1 urutan tebakan password,
berapa lama software tersebut maksimal menebak password tersebut.
13 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teknik perhitungan
Aturan-3: Kombinasi event
 Jumlah kombinasi dari subset dengan ukuran r yang dapat dipilih dari n elemen:
 n
n!
  
 r  r!n  r !
 Contoh soal 8 : Seorang dosen ingin menguji mahasiswanya dengan 5 contoh soal
dari 8 soal yang pernah dibahasnya dikelas. Jika urutan nomor soal tidak
dipermasalahkan, seberapa banyak kemungkinan variasi soal yang bisa dibuat oleh
dosen tersebut?
Kombinasi 5 subset dari n = 8
8
8!
8  7  6  5!
  

 8  7  56
5!3!
 5  5!8  5!
NB: 1! = 0! = 1
14 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teknik perhitungan
 Contoh soal 9 :Seorang mahasiswa memberikan kuisioner pada kelas yang terdiri
dari 50 orang. Ternyata dari kuisioner tersebut terdapat 6 data palsu sehingga dapat
merusak hasil kesimpulan penelitian tersebut. Jika dalam laporan maksimal 6
sampel kuisioner. Berapakah kemungkinannya dalam 6 sampel tersebut terdapat 2
kuisioner dengan data palsu? (Misalkan X adalah event pemilihan ruang sampel tsb)
2 kuisioner diambil dari total 6 data palsu menghasilkan kombinasi sebanyak
6
6!
6  5  4 !
  

 15
2  4 !
 2  2!6  2!
4 sampel yang lain adalah data yang benar, menghasilkan kombinasi sebanyak:
 44
44!
44 43 42 41 40!
  

 135,751
4  3  2  40!
 4  4!44  4 !
total kombinasi tanpa memperhatikan data adalah:
 50
50!
50 49 48 47 46 45 44!
  

 15,890,700
6


6
!
50

6
!
6
!

44
!
 
Jadi probabilitas nya adalah:
Sampel
15 135751
P( X ) 

 0.128
Ruang sampel 15890700
15 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Responsi #1
1. Jika diketahui A = {x | x < 72.5  x  R+} dan B = {x | x > 52.5  x  R+}. Gambarkan
untuk setap event berikut ini
a. A’ dan B’
b. A ∩ B
c. A U B
2. Tuliskan ruang sampel dari penerimaan sinyal 8 bit informasi dari suatu sistem
komunikasi? Jika diimplementasikan sistem error correction berapakah ruang
sampelnya sekarang?
3. Diketahui nomor telepon dosennya adalah 081564540xxx, dan untuk menguji setiap
tebakan, dibutuhkan biaya konfirmasi sebesar 1000 rupiah, carilah kemungkinan
biaya maksimal yang harus disediakan mahasiswa tersebut,
a. Jika kombinasi 3 angka terakhir dipilih dengan metoda non-replacement
b. Jika kombinasi 3 angka terakhir dipilih dengan metoda replacement
c. Berapakah peluang terdapat angka 9 dalam nomor tersebut
d. Berapakah peluang 3 angka terakhir tersebut adalah 999
16 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teori probabilitas diskrit
 Apakah itu probabilitas (Peluang)?
 Probabilitas munculnya angka dan gambar pada pelemparan koin adalah 50 : 50
 Probabilitas saya dapat A pada matakuliah ini adalah 30%
 Probabilitas presiden Indonesia tahun 2014 adalah laki-laki 80%
 Menurut saya kemungkinan besok akan hujan karena sudah 3 hari ini hujan,
tetapi menurut teman saya tidak mungkin besok hujan karena sekarang sudah
masuk musim kemarau
 Karakteristik?
 Merupakan prediksi akan peristiwa yang akan datang berdasarkan pengetahuan
masa lalu.
 Adanya ketidakpastian perihal yang akan terjadi

Sudut pandang dari probabilitas dapat ditinjau dari:
 Frekuensi relatif
 Subjektif
17 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teori probabilitas diskrit
 Probabilits klasik (Equally likely Outcome):
Ketika ruang sampel terdiri dari n kemungkinan outcome yang equally likely,
probabilitas masing-masing outcome adalah 1/n
Misalkan sebuah subset dengan r outcome diklasifikasikan sebagai outcome yang
sukses maka:
P(E) = (Jumlah outcome sukses) / (Jumlah equally likely outcome) = r/n
 Probabilits statistik (Law of Large Number):
Suatu percobaan statistik yang dilakukan sebanyak n, dan r adalah frekuensi relatif
dari event E muncul sebagai outcome, maka :
P(E) = (frekuensi relatif event E) / (Jumlah percobaan)
 Contoh soal 10: eksperimen statistik memiliki outcome {a, b, c, d} dengan
probabilitas 0,1, 0.3, 0.5 dan 0.1; Jika A ={a, b}, B={b, c,d} dan C={d}. Tentukanlah
P(A), P(B), P(C), P(A’), P(B’), P(C’), P(A ∩ B), P(A U B) dan P(A ∩ C)
18 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teori probabilitas diskrit
 Illustrasi
Seorang anak melemparkan 2 buah dadu 50 kali dan mencatat jumlahnya sbb:
4 10 6
7 10 10
6 10 9
5 5 5
7
4
4
8
5 10
4 7
8 4
5
4
8
3
6
8
8
5
7
7
6 11 11 3 3
7 4 10 11 3
3 7 5 4 11
6
8
9
Berapakah probabilitas munculnya jumlah kedua dadu tersebut = 6
 Andi seorang mahasiswa Teknik Elektro UIN suska akan menjawab 5/50 =0.1
 Budi temannya menjawab 0.139 berdasarkan perhitungan pasangan dadu
11
12
13
14
15
16
21
22
23
24
25
26
31
32
33
34
35
36
41
42
43
44
45
46
51
52
53
54
55
56
61
62
63
64
65
66
19 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teori probabilitas diskrit
 Aksioma Probabilitas
 P(S)=1
 0  P(E)  1
 Untuk 2 buah event E1 dan E2 dengan E1 ∩ E2 = 
P(E1 U E2) = P(E1) + P(E2)
 Probabilitas bersyarat (Kondisional)
 Misalkan event A memberikan kondisi bahwa suatu outcome telah memenuhi
syarat. Maka probabilitas dapat diperbaiki untuk memasukan pengetahuan ini.
 Probabilitas dari suatu event B dengan memperhatikan pengetahuan tersebut,
maka outcome akan memenuhi event A dinotasikan sebagai berikut:
P(B | A) = P(A ∩ B)/ P(A) di mana P(A) > 0
 Ini disebut dengan probabilitas B pada saat event A diketahui.
20 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teori probabilitas diskrit
 Mutually Exclusive
 Dua buah event dikatakan mutually exclusive (disjoint) jika mereka tidak dapat
muncul bersamaan dalam satu waktu
 Jika A dan B adalah event mutually exclusive, maka P(A U B) = P(A) + P(B)
 Kumpulan event E1, E2, …, Ek dikatakan mutually exclusive jika untuk seluruh
pasangan Ei ∩ Ej =  sehingga P(E1 U E2 U…U Ek) = P(E1) + P(E2)+…+ P(Ek)

Independen
 Dua buah event saling independen jika salah satu syarat berikut terpenuhi:
 P( A|B) = P(A)
 P(B|A) = P(B)
 P(A∩B) = P(A) P(B)
 Event E1, E2, …, En adalah independen jika dan hanya jika untuk sembarang
subset dari event Ei1, Ei2, …, Eik,
 P(Ei1 ∩ Ei2 ∩ … ∩ Eik) = P(Ei1) x P(Ei2) x … X P(Eik)
21 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teori probabilitas diskrit
 Contoh soal 11: Di dalam ruang teater terdapat 100 orang penonton. Misalkan event
A adalah penonton berusia muda dan event B adalah penonton wanita. Berdasarkan
hasil statistik tabel berikut carilah:
a. P(A)
Usia
b. P(B)
Muda Tua
c. P(A | B)
d. P(B |A)
Jenis
Wanita
70
9
Jawab:
kelamin Pria
16
5
P(A) = 0.86
P(B) = 0.79
P(A|B) = P(A,B)/P(B) = 0.70/0.79 = 0.886
P(B|A) = P(A,B)/P(A) = 0.70/0.86 =0.814
22 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teori probabilitas diskrit
 Aturan perhitungan probabilitas
 Pengurangan : Probabilitas bahwa event A terjadi adalah sebanding dengan 1
dikurang dengan probabilitas bahwa event A tidak akan terjadi
P(A) = 1 – P(A’)
 Perkalian : Probabilitas bahwa event A dan B sama-sama terjadi adalah
sebanding dengan probababilitas bahwa vent A terjadi dikali dengan probabilitas
bahwa event B terjadi, jika event A telah terjadi sebelumnya.
P(A ∩ B) = P(A) P(A | B):
 Penjumlahan (join probability): Probabilitas bahwa event A atau Event B terjadi
sebanding dengan probabilitas bahwa event A ditambah event B dikurangi
dengan propabilitas bahwa kedua event A dan B terjadi.
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
23 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Teori probabilitas diskrit
 Teorama Bayes
 Misalkan A1, A2,… An adalah set event yang mutually exclusive yang
membentuk ruang sampel S. Misalkan B adalah sembarang event dari ruang
sampel yang sama sehingga P(B) > 0, maka :
PAk B 
PAk B 
PAk  B
PA1  B  PA2  B    PAn  B
PAk PB Ak 
PA1 PB A1   PA2 PB A2     PAn PB An 
 Kapan teorama Bayes digunakan?
 Ruang sampel dibagi-bagi menjadi set-set event yang mutually exclusive
 Dengan ruang sampel yang sama terdapat event B, dimana P(B) >0
 Tujuan analisa adalah untuk menghitung P(Ak | B)
 Salah satu informasi dibawah ini diketahui:
 P( Ak ∩ B ) untuk setiap Ak
 P( Ak ) and P( B | Ak ) untuk setiap Ak
24 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012
Responsi #2
1. Sebuah uang logam terdiri dari G (gambar) atau A (angka), dilemparkan ke udara
sebanyak 3 kali. Berapakah peluang gambar akan muncul pertama kalinya?
2. Suatu hari sebuah pabrik dapat menghasilkan 850 produk. Tetapi 50 diantaranya
cacat produksi. Misalkan A adalah event bahwa produk pertama cacat, dan B adalah
event bahwa produksi kedua cacat (52).
a. Apakah A dan B saling independen?
b. Berapakah P(B)?
3. Peluang sebuah resistor tidak rusak adalah 0.9 dan kapasitor 0.8. Jika sebuah
rangkaian seri terdiri dari resistor dan kapasitor, berapakah peluang rangkaian
tersebut berfungsi dengan baik.
4. Sebuah stasiun BBM, memiliki 2 buah mesin pompa (A dan B). Pompa A hanya bisa
melayani kendaraan roda 2 dengan peluang berfungsi 0.75 karena jalurnya yang
sempit, sedangkan pompa B dapat melayani semua kendaraan dengan peluang
berfungsi 0.9.
a. Berapakah peluang bahwa roda 4 tidak dilayani sama sekali?
b. Berapakah peluang bahwa stasiun tersebut harus tutup sementara?
25 – Probabilitas dan Statistik
Elektro - UIN SUSKA
Update : Maret 2012