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Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1. Ziele der Varianzanalyse 2. Formale Hypothesen 3. Strukturgleichung und Kodierung 4. Quadratsummenzerlegung 5. Erwartungswerte 6. F-Test 7. anova und glm in SPSS 8. Voraussetzungen der Varianzanalyse 9. Effektstärke 05_anova1 1 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Ziele der Varianzanalyse • Vergleich von Mittelwerten • Warum kein t-Test?! • Einfaktorielle ANOVA mit zwei Gruppen entspricht den t-Test! 05_anova1 strukturell 5 7 3 bildhaft 12 7 8 4 6 M=5 10 13 M=10 2 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) t-Test: Test bei unabhängigen Stichproben Levene-Test der Varianzgleichheit MEM Varianzen sind gleich Varianzen sind nicht gleich F 1.455 T-Test für die Mittelwertgleichheit Sig nifikanz .262 T -3.727 -3.727 8 Sig . (2-seitig) .006 Mittlere Differenz -5.0000 Standardfehle r der Differenz 1.34164 6.680 .008 -5.0000 1.34164 df 95% Konfidenzintervall der Differenz Untere Obere -8.09383 -1.90617 -8.20350 -1.79650 ANOVA (F-Test): Tests der Zwischensubjekteffekte Abhäng ige Variable: MEM Quelle Korrigiertes Modell Konstanter Term BED Fehler Gesamt Korrigierte Gesamtvariation Quadratsum me vom Typ III 62.500a 562.500 62.500 36.000 661.000 98.500 df 1 1 1 8 10 9 a. R-Quadrat = .635 (korrig iertes R-Quadrat = .589) 05_anova1 Mittel der Quadrate 62.500 562.500 62.500 4.500 F 13.889 125.000 13.889 Sig nifikanz .006 .000 .006 Beide Tests sind äquivalent, d.h. sie liefern den gleichen p-Wert. Zudem gilt: F = t² = (-3.73)² = 13.89 3 Alpha-Fehler Kumulierung Mehrere Gruppen: • Wenn drei Gruppen verglichen werden sollen, sind verschiedene Vergleiche möglich: (1) struk vs. bild: t(8) = -3,73; p = .006 (2) struk vs. emo: t(8) = -9.04; p = .000 (3) bild vs. emo: t(8) = -1.69; p = .129 • Frage: Hängt die Erinnerungsleistung von der Lernbedingung ab? 05_anova1 4 Alpha-Fehler Kumulierung Mehrere Gruppen: • Bei jedem der 3 Vergleiche besteht die Gefahr fälschlicherweise einen signifikanten Effekt zu finden (α = 0.05). • Die Wahrscheinlichkeit, bei keinem der Vergleiche einen Fehler zu machen beträgt nach dem Multiplikationstheorem: p(kein Fehler) = 0.95 ∙ 0.95 ∙ 0.95 = 0.86 • Die Wahrscheinlichkeit (mindestens) einen Fehler zu machen beträgt damit: p(Fehler) = 1 - p(kein Fehler) = 1 – 0.86 = 0.14 p(Fehler) = 1 - (1- α)³ Dies wird als α-Fehler-Kumulierung (bzw. α-Fehler-Inflation) bezeichnet. 05_anova1 5 Alpha-Fehler Kumulierung Zwei-faktorielle Versuchspläne: männlich weiblich • strukturell bildhaft emotional 5 7 3 4 6 6 8 4 5 7 12 7 8 10 13 13 8 9 11 14 12 11 12 12 13 13 12 13 13 14 Bei 6 Gruppen gibt es bereits 15 Einzelvergleiche… p(Fehler) = 1 - (.95)15 = 1 - .46 = .54 05_anova1 6 Alpha-Fehler Kumulierung Definition Gruppen Der kumulierte α-Fehler gibt 3 die Wahrscheinlichkeit an, 4 5 mindestens einen statistisch 6 Bedeutsamen Gruppen7 unterschied zu finden, obwohl 8 in der Population alle Gruppen 9 gleich sind. 10 11 12 13 14 15 05_anova1 Vergleiche 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 Kumulierter α-Fehler 0.143 0.264 0.401 0.537 0.659 0.762 0.842 0.901 0.940 0.966 0.982 0.991 0.995 7 Alpha-Fehler Kumulierung Bonferroni-Korrektur • Mit der Bonferoni-Korrektur wird das α-Fehler-Niveau für jeden einzelnen Test soweit herabgesetzt, dass der kumulierte Fehler nur noch .05 beträgt. adj NTests • Beispiel: 6 Gruppen 15 Tests αadj =.05 / 15 = .003 • Nachteil: Viele Gruppen sehr niedriges Alpha-Niveau bei den einzelnen Test geringe Power (großer β-Fehler) • Besser: Berechnung einer Varianzanalyse (Ein Test für alle Mittelwerte!) 05_anova1 8 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1. Ziele der Varianzanalyse 2. Formale Hypothesen 3. Strukturgleichung und Kodierung 4. Quadratsummenzerlegung 5. Erwartungswerte 6. F-Test 7. anova und glm in SPSS 8. Voraussetzungen der Varianzanalyse 9. Effektstärke 05_anova1 9 Hypothesen der Varianzanalyse Varianzanalyse für Mittelwertsvergleiche? H0: Alle Mittelwerte sind gleich: μ1 = μ2 = … = μp μi = μj (für alle i,j) bzw. H0: Alle Effekte sind Null H0: α1 = α2 = … = αp = 0 αi = 0 (für alle i) bzw. H0: Die Varianz der Effekte ist Null H0: σ²α = 0 oder σ²Effekt=0 05_anova1 10 Hypothesen der Varianzanalyse Varianzanalyse für Mittelwertsvergleiche? H1: Mindestens zwei Mittelwerte sind verschieden μi ≠ μj (für mind. ein Paar i, j) bzw. H1: Mindestens ein Effekt ist ungleich Null αi ≠ 0 (für mindestens ein i) bzw. H1: Varianz der Effekte ist größer als Null σ²α > 0 oder σ²Effekt>0 globale (ungerichtete) Alternativhypothese 05_anova1 11 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1. Ziele der Varianzanalyse 2. Formale Hypothesen 3. Strukturgleichung und Kodierung 4. Quadratsummenzerlegung 5. Erwartungswerte 6. F-Test 7. anova und glm in SPSS 8. Voraussetzungen der Varianzanalyse 9. Effektstärke 05_anova1 12 Strukturgleichung • Nach dem Allgemeinen Linearen Modell kann der Wert der AV für Vp i in der Bedingung j geschätzt werden als: yij a0 a j ei, j • Wobei gilt: a0 y aj yj y • Und folglich: yij y ( y j y) ei, j 05_anova1 13 Strukturgleichung Eigenschaften der Strukturgleichung • Es gilt wiederum die Bedingung der kleinsten Quadrate: 2 e i1 i minimal N • Der Mittelwert der Fehler (ei,j) ist Null: e 0 • Der Mittelwert der Effekte (aj) ist Null (ohne a0): a 0 05_anova1 14 Designmatrix: Dummy- und Effektkodierung Y= X ∙ a + e 5 1 7 1 3 1 4 1 6 1 12 1 7 1 8 1 10 1 13 1 AV 05_anova1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 1 7.5 1 0 2.5 1 2 2.5 3 1 1 2 0 1 3 1 Designmatrix Effekte (Indikatorvariablen) Fehler 15 Designmatrix: Dummy- und Effektkodierung yij a0 x0 a1 x1 a2 x2 a3 x3 eij y12 a0 1 a1 0 a2 1 a3 0 e12 a0 a2 e12 Die Varianzanalyse verwendet jedoch nur 2 Variablen (k-1), um die Zugehörigkeit zu den 3 Gruppen zu kodieren. 05_anova1 16 Designmatrix: Dummykodierung yij a0 x0 a1 x1 a2 x2 eij y13 a0 1 a1 0 a2 0 e12 a0 e13 Nachteil: Der Effekt für Gruppe 3 kann nicht mehr angegeben werden! 05_anova1 17 Designmatrix: Effektkodierung yij a0 x0 a1 x1 a2 x2 eij y13 a0 1 a1 (1) a2 (1) e13 a0 a1 a2 e13 a0 a3 e13 a1 a2 a3 0 a3 a1 a2 05_anova1 18 Kodierung • Je nachdem, ob die Dummycodierung oder die Effektkodierung gewählt wird, ergibt sich eine unterschiedliche Strukturgleichung für „letzte“ Gruppe. Bei der Dummykodierung: yij=a0+eij Annahme: kein Effekt in Gruppe j (Kontrollgruppe) Bei der Effektkodierung: yij=a0+aj+eij Annahme: Effekt in Gruppe j (z.B. Placebo) 05_anova1 19 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1. Ziele der Varianzanalyse 2. Formale Hypothesen 3. Strukturgleichung und Kodierung 4. Quadratsummenzerlegung 5. Erwartungswerte 6. F-Test 7. anova und glm in SPSS 8. Voraussetzungen der Varianzanalyse 9. Effektstärke 05_anova1 20 Quadratsummen Quadratsummen werden zur Berechnung der Varianz verwendet: Quadratsumme n ˆ 2 05_anova1 y i 1 y 2 i n 1 Freiheitsgrade 21 Quadratsummen • Die Varianz entspricht der „mittleren Quadratsummen“ (Mean Sum of Squares, MS) „Quadratsumme“ (QS) oder „Sum of Squares“ (SS) n SS ˆ MS df 2 y y i 1 2 i n 1 Freiheitsgrade oder „degrees of freedom“ 05_anova1 22 Beispiel: Quadratsumme strukturell bildhaft y11=5 y12=12 y21=7 y22=7 y31=3 y32=8 y41=4 y42=10 y51=6 y52=13 M1=5 M2=10 G=7.5 05_anova1 SStotal yij y n p i 1 j 1 2 SStotal (5 - 7.5)2 (7 - 7.5)2 (3 - 7.5)2 (4 - 7.5)2 (6 - 7.5)2 (12- 7.5)2 (7 - 7.5)2 (8 - 7.5)2 (10- 7.5)2 (13- 7.5)2 SStotal 6.25 0.25 20.25 12.25 2.25 20.25 0.25 0.25 6.25 30.25 98.50 23 Beispiel: Freiheitsgrade der Quadratsumme strukturell bildhaft y11=5 y12=12 y21=7 y22=7 y31=3 y32=8 y41=4 y42=10 y51=6 y52=13 M1=5 M2=10 G=7.5 05_anova1 dftotal N 1 n p 1 dftotal 10 1 5 2 1 9 24 Beispiel: Gesamtvarianz strukturell bildhaft y11=5 y12=12 y21=7 y22=7 y31=3 y32=8 y41=4 y42=10 y51=6 y52=13 M1=5 M2=10 G=7.5 05_anova1 ˆ 2 total SStotal dftotal y n ˆ 2 total i 1 p j 1 y 2 ij n p 1 98.5 10.94 9 25 Quadratsummenzerlegung • Gesamt-Quadratsumme (QStotal, SStotal) y • Quadratsumme innerhalb der Gruppen (QSinnerhalb, QSFehler, SSwithin , SSError) y • Quadratsumme zwischen den Gruppen (QSzwischen, QSEffekt, SSbetween, SSTreatment) n y 05_anova1 n i 1 n i 1 ij y ij yj p j 1 p j 1 2 p j 1 2 j y 2 j 26 Beispiel: Varianz innerhalb der Gruppen SSwithin yij y j n strukturell bildhaft y11=5 y12=12 y21=7 y22=7 y31=3 y32=8 y41=4 y42=10 y51=6 y52=13 M1=5 M2=10 G=7.5 2 i 1 j 1 SSwithin (5 - 5)² (7 - 5)² (3 - 5)² (4 - 5)² (6 - 5)² (12- 10)² (7 - 10)² (8 - 10)² (10- 10)² (13- 10)² 0 4 4 11 4 9 4 0 9 36 dfwithin N p 10 2 8 ˆ 05_anova1 p 2 within 36 4.5 8 27 Beispiel: Varianz zwischen den Gruppen SSbetween n j y j y p strukturell bildhaft y11=5 y12=12 y21=7 y22=7 y31=3 y32=8 y41=4 y42=10 y51=6 y52=13 M1=5 M2=10 G=7.5 2 j 1 SSbetween 5 (5 - 7.5) 2 5 (10- 7.5) 2 5 (-2.5)2 5 (2.5) 2 31.25 31.25 62.50 dfbetween p 1 2 1 1 ˆ 05_anova1 2 between 62.50 62.50 1 28 Beispiel: Zwischenergebnisse SS total 98.50 10.94 dftotal 9 Gesamtvarianz ˆ 2 total Varianz innerhalb ˆ 2 within Varianz zwischen ˆ 2 between 05_anova1 SSwithin 36 4.50 dfwithin 8 SSbetween 62.50 62.50 dfbetween 1 29 Beispiel: Zwischenergebnisse Additivität • Quadratsummen sind additiv! QStotal QSzwischen QSinnerhalb • Freiheitsgrade sind additiv! dftotal dfzwischen dfinnerhalb • Varianzen sind nicht additiv! ˆ 05_anova1 2 total ˆ 2 zwischen ˆ 2 innerhalb 30 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1. Ziele der Varianzanalyse 2. Formale Hypothesen 3. Strukturgleichung und Kodierung 4. Quadratsummenzerlegung 5. Erwartungswerte 6. F-Test 7. anova und glm in SPSS 8. Voraussetzungen der Varianzanalyse 9. Effektstärke 05_anova1 31 Erwartungswerte Gedankenexperiment 1: „Die H0 gilt in der Population“ • Gegeben seien zwei Populationsverteilungen, mit µ1 = µ2 = 7.5 und identischen Populationsvarianzen von σ1 = σ1 = 2.25 • Aus jeder Population wird eine Stichprobe der Größe N=5 gezogen und es wird die Varianz innerhalb und die Varianz zwischen den Bedingungen berechnet • Der Vorgang wird sehr oft wiederholt und der Mittelwert (Erwartungswert) der beiden Varianzen wird berechnet 05_anova1 32 Gedankenexperiment 1: „Die H0 gilt“ Gedankenexperiment 1: „Die H0 gilt in der Population“ • Varianz innerhalb der Gruppen: 2 2 2 E(ˆ innerhalb ) innerhalb Fehler 2.25 – „Varianz innerhalb“ schätzt die Fehlervarianz • Varianz zwischen den Gruppen: 2 2 2 ˆ E( zwischen ) n Effekt Fehler 2.25 – „Varianz zwischen“ schätzt Effekt- und Fehlervarianz – Unter der Nullhypothese ist Effektvarianz=0 05_anova1 33 Gedankenexperiment 1: „Die H0 gilt“ Gedankenexperiment 1: „Die H0 gilt in der Population“ • Unter der Nullhypothese schätzt die Stichprobenvarianz innerhalb der Gruppen die Fehlervarianz in der Population • Die Stichprobenvarianz zwischen den Gruppen schätzt ebenfalls die Fehlervarianz in der Population 05_anova1 34 Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt“ Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt in der Population“ • Gegeben seien zwei Populationsverteilungen, mit µ1 = 5 und µ2 = 10 und identischen Populationsvarianzen von σ1 = σ2 = 2.25 • Aus jeder Population wird eine Stichprobe der Größe N=5 gezogen und es wird die Varianz innerhalb und die Varianz zwischen den Bedingungen berechnet • Der Vorgang wird sehr oft wiederholt und der Mittelwert (Erwartungswert) der beiden Varianzen berechnet 05_anova1 35 Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt“ Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt in der Population“ • Varianz innerhalb der Gruppen: 2 2 2 E(ˆ innerhalb ) innerhalb Fehler 2.25 – „Varianz innerhalb“ schätzt die Fehlervarianz • Varianz zwischen den Gruppen: 2 2 2 E(ˆ zwischen ) n Effekt Fehler 5 12.5 2.25 64.75 p 2 Effekt 05_anova1 i 1 2 i p 1 5 7.52 10 7.52 1 12.5 36 Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt“ Gedankenexperiment 2: „Die H1 gilt in der Population“ • Unter der Alternativhypothese schätzt die Stichprobenvarianz innerhalb der Gruppen die Fehlervarianz in der Population • Die Stichprobenvarianz zwischen den Gruppen schätzt die Summe aus Effektund Fehlervarianz in der Population 05_anova1 37 Gedankenexperimente: Zwischenergebnisse Ergebnisse: 2 2 2 ˆ zwischen schätztnEffekt Fehler 2 ˆinnerhalb schätzt2Fehler 2 ˆ zwischen 2 ˆ innerhalb 05_anova1 schätzt 2 2 n Effekt Fehler 2 Fehler 38 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1. Ziele der Varianzanalyse 2. Formale Hypothesen 3. Strukturgleichung und Kodierung 4. Quadratsummenzerlegung 5. Erwartungswerte 6. F-Test 7. anova und glm in SPSS 8. Voraussetzungen der Varianzanalyse 9. Effektstärke 05_anova1 39 Der F-Test Der F-Test vergleicht zwei Varianzen: Fdf Zähler ,df Nenner Var1 Var2 • Hypothesen: – H0: Varianzen gleich groß F ≤ 1 – H1: Zählervarianz größer F > 1 • Wenn Femp > Fkrit wird die H0 verworfen • Fkrit hängt ab von … – dfZähler – dfNenner – α 05_anova1 40 Der F-Test Der F-Bruch für die einfaktorielle ANOVA Fdf zwischen ,df innerhalb ˆ ˆ 2 zwischen 2 innerhalb schätzt 2 2 n Effekt Fehler 2 Fehler 2 H0 : i j ( für alle i, j) oder Effekt 0 2 H1 : i j ( für ein Paari, j) oder Effekt 0 05_anova1 41 Der F-Test Der F-Bruch für die einfaktorielle ANOVA H0 : F H1 : F • 2 2 n Effekt Fehler 2 Fehler 2 2 n Effekt Fehler 2 Fehler 2 2 n 0 Fehler Fehler 2 1 2 Fehler Fehler 1 Interpretation des F-Wertes: – F = 1 σbetween = 0 – F > 1 σbetween > 0 05_anova1 H0 annehmen H0 verwerfen 42 Der F-Test Darstellung von F-Tests in Forschungsberichten: • Signifikante Ergebnisse: • „Es findet sich ein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode, F(2, 37) = 5.34; p < .05.“ • „Es findet sich ein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode (F[2, 37] = 5.34; p < .01).“ • Nicht-signifikante Ergebnisse: – „Es findet sich kein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode, F(2, 37) = 1.44; n.s.“ – „Es findet sich kein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode (F[2, 37] = 1.44; p =.25).“ – „Es findet sich kein signifikanter Einfluss des Faktors Therapiemethode, F < 1.“ 05_anova1 43 Der F-Test Darstellung von F-Tests in Forschungsberichten: • Die Angaben zum F-Test werden in der Regel am Ende des Satzes mit Komma getrennt (oder in Klammern) angegeben. • Folgende Angaben müssen aufgeführt werden: – F-Wert – Zähler und Nennerfreiheitsgrade – p-Wert (exakt oder Signifikanzniveau) • Für F und p werden immer exakt zwei Nachkommastellen angegeben • Ausnahmen: – Bei nicht-signifikanten Ergebnissen darf die Angabe des p-Werts weggelassen werden. In diesem Fall wird einfach „n.s.“ für „nicht signifikant“ angehängt. – Bei F<1 darf die Angabe der Freiheitsgrade und des p-Werts weggelassen werden. 05_anova1 44 Beispiel: F-Test Beispiel: Durchführung des F-Tests • Gedächtnisexperiment – drei Gruppen, je n=5 • UV: Instruktion – Konsonanten zählen – bildlich vorstellen – Emotionalität beurteilen • AV: Anzahl erinnerter Wörter 05_anova1 45 Beispiel: F-Test Schritte bei der Durchführung des F-Tests 1. Gruppen- und Gesamtmittelwerte bilden 2. Quadratsummen berechnen 3. Freiheitsgrade berechnen 4. Mittlere Quadratsummen berechnen 5. Empirischen F-Wert berechnen 6. Vergleich mit kritischem F-Wert 05_anova1 46 1. Gruppen- und Gesamtmittelwerte bilden strukturell bildhaft emotional y11=5 y12=12 y13=12 y21=7 y22=7 y23=11 y31=3 y32=8 y33=12 y41=4 y42=10 y43=12 y51=6 y52=13 y53=13 y1 5 y2 10 y3 12 y 9.00 05_anova1 5 7 3 4 6 25 y1 5 5 5 y2 12 7 8 10 13 50 10 5 5 12 11 12 12 13 60 y3 12 5 5 5 10 12 27 y 9 3 3 47 2. Quadratsummen berechnen strukturell bildhaft emotional y11=5 y12=12 y13=12 y21=7 y22=7 y23=11 y31=3 y32=8 y33=12 y41=4 y42=10 y43=12 y51=6 y52=13 y53=13 y1 5 y2 10 y 9.00 05_anova1 y3 12 Quadratsumme zwischen: 2 SSbetween n y j y p j 1 SSbetween 5 (5 9) 2 5 (10 9) 2 5 (12 9) 2 5 (4) 2 5 12 5 32 130.00 48 2. Quadratsummen berechnen strukturell bildhaft emotional y11=5 y12=12 y13=12 y21=7 y22=7 y23=11 y31=3 y32=8 y33=12 y41=4 y42=10 y43=12 y51=6 y52=13 y53=13 y1 5 y2 10 y 9.00 y3 12 Quadratsumme innerhalb: 2 SSwithin yij y j p n j 1 i 1 SSwithin 0 2 2 2 ( 2) 2 ( 1) 2 12 2 2 ( 3) 2 ( 2) 2 0 2 32 0 2 ( 1) 2 0 2 0 2 12 38.00 05_anova1 49 3. Freiheitsgrade berechnen strukturell bildhaft emotional dfwithin N p y11=5 y12=12 y13=12 15 3 y21=7 y22=7 y23=11 12 y31=3 y32=8 y33=12 y41=4 y42=10 y43=12 y51=6 y52=13 y53=13 y1 5 y2 10 y3 12 dfbetween p 1 3 1 2 y 9.00 05_anova1 50 4. Mittlere Quadratsummen SSbetween 130.00 SSwithin 38.00 dfbetween 2 dfwithin 12 05_anova1 130 .00 MS between 65.00 2 38 .00 MS within 3.17 12 51 5. Empirischer F-Wert MSbetween 65.00 MSwithin 3.17 65.00 Femp 2, 12 20.50 3.17 05_anova1 52 6. Kritischer F-Wert 05_anova1 53 6. Kritischer F-Wert Femp 2, 12 20.50 Fkrit 2, 12 3.89 Interpretation: Die H0 wird verworfen Die H1 wird angenommen Es gibt eine Effektvarianz Die Gruppen unterscheiden sich voneinander 05_anova1 54 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1. Ziele der Varianzanalyse 2. Formale Hypothesen 3. Strukturgleichung und Kodierung 4. Quadratsummenzerlegung 5. Erwartungswerte 6. F-Test 7. anova und glm in SPSS 8. Voraussetzungen der Varianzanalyse 9. Effektstärke 05_anova1 55 anova und glm in SPSS 05_anova1 56 anova in SPSS Syntax: oneway wörter by bedingung. 05_anova1 57 anova in SPSS ONEWAY ANOVA wörter Quadrat summe Zwischen den Gruppen Innerhalb der Gruppen Gesamt 05_anova1 Mittel der Quadrate df 130,000 2 65,000 38,000 12 3,167 168,000 14 F 20,526 Signifikanz ,000 58 glm in SPSS Syntax: unianova wörter by bedingung. oder glm wörter by bedingung. 05_anova1 59 glm in SPSS Tests der Zwischensubjekteffekte Abhängige Variable:wörter Quelle Korrigiertes Modell Konstanter Term bedingung Fehler Gesamt Korrigierte Gesamtvariation Quadratsu mme vom Typ III Mittel der Quadrate df F Signifikanz 130,000a 2 65,000 20,526 ,000 1215,000 1 1215,000 383,684 ,000 130,000 2 65,000 20,526 ,000 38,000 1383,000 12 15 168,000 14 3,167 a. R-Quadrat = .774 (korrigiertes R-Quadrat = .736) 05_anova1 60 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1. Ziele der Varianzanalyse 2. Formale Hypothesen 3. Strukturgleichung und Kodierung 4. Quadratsummenzerlegung 5. Erwartungswerte 6. F-Test 7. anova und glm in SPSS 8. Voraussetzungen der Varianzanalyse 9. Effektstärke 05_anova1 61 Voraussetzungen der Varianzanalyse Voraussetzungen der Varianzanalyse • Intervallskalierte, normalverteilte abhängige Variable (AV) Berechnung von Varianzen • Mindestens 20 Elemente pro Gruppe • Ähnlich Gruppengrößen in den Zellen nmax 1.5 nmin • Varianzhomogenität 05_anova1 62 Prüfung der Varianzhomogenität Zur Überprüfung der Varianzhomogenität stehen verschiedene Tests zur Verfügung: a) Barlett-Test (sehr empfindlich gegenüber der Verletzungen der Normalverteilung) b) Levene-Test (relativ unempfindlich gegenüber Verletzungen der Normalverteilung) c) Fmax-Statistik (Hartley Test) (Nur bei gleichen Gruppen-Größen) 05_anova1 63 Der Levene-Test • Der Levene-Test ist eine Varianzanalyse über die Abweichung der individuellen Messwerte vom Gruppenmittelwert: d ij yij y j H0: d1 d2 ... d j • Wird der Levene-Test signifikant (p < .05), dann ist die Annahme der Varianzgleichheit verletzt. In diesem Fall sollte (streng genommen) keine Varianzanalyse verwendet werden. 05_anova1 64 Der Levene-Test in SPSS Test der Homogenität der Varianzen wörter LeveneStatistik 3,840 05_anova1 df1 df2 2 Signifikanz 12 ,051 p >.05 ANOVA darf verwendet werden! 65 Voraussetzungen der Varianzanalyse Die Varianzanalyse ist robust! • Bei Verletzungen der Annahmen resultieren meistens trotzdem sinnvolle Ergebnisse (Insbesondere bei großen Stichproben). • Wenn nur eine der Annahmen verletzt ist, können die Ergebnisse einer ANOVA dennoch in aller Regel verwendet werden. – Allerdings muss dann berichtet werden, dass die Annahme verletzt ist, damit der Leser weiß, das die Ergebnisse mit Vorsicht zu interpretieren sind! • Wenn allerding mehrere Voraussetzungen verletzt sind, sollte keine ANOVA mehr verwendet werden. 05_anova1 66 Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) Einfaktorielle Varianzanalyse (ANOVA) 1. Ziele der Varianzanalyse 2. Formale Hypothesen 3. Strukturgleichung und Kodierung 4. Quadratsummenzerlegung 5. Erwartungswerte 6. F-Test 7. anova und glm in SPSS 8. Voraussetzungen der Varianzanalyse 9. Effektstärke 05_anova1 67 Berechnung der Effektstärke Effektstäre • Wenn eine ANOVA ein signifikantes Ergebnis hat, stellt sich die Frage nach der Effektstärke. • Formulierungen der H1: – – „Es besteht ein statistisch bedeutsamer Zusammenhang zwischen UV und AV „Die UV erklärt einen bedeutsamen Anteil der Varianz der AV“ Der Anteil aufgeklärter Varianz (R²) kann als Maß für die Effektstärke interpretiert werden. Der Anteil aufgeklärter Varianz wird bei der ANOVA als (partielles) η² (Eta²) bezeichnet. 05_anova1 68 Berechnung der Effektstärke SSbetween R² ² SStotal 130 ² 0.77 168 Eta² kann auch aus dem F-Wert berechnet werden: F ( p 1) ² F ( p 1) ( N p) 20.53 (3 1) 41.06 ² 0.77 20.53 (3 1) (15 3) 53.06 05_anova1 69 Effektstärke in SPSS 05_anova1 70 Effektstärke in SPSS Tests der Zwischensubjekteffekte Abhängige Variable:wörter Quelle Korrigiertes Modell Konstanter Term bedingung Fehler Gesamt Korrigierte Gesamtvariation 05_anova1 Quadratsu mme vom Mittel der Typ III df Quadrate F Signifi Partielles kanz Eta-Quadrat 130,000a 2 20,526 ,000 ,774 1215,000 1 1215,000 383,684 ,000 ,970 130,000 2 65,000 ,000 ,774 38,000 1383,000 12 15 3,167 168,000 14 65,000 20,526 71 Zusammenfassung ANOVA 1. Warum Varianzanalyse? • Alphafehlerkummulierung • Bonferoni-Korrektur 2. Hypothesen • H0: Alle Mittelwerte sind gleich • H1: Nicht alle Mittelwerte sind gleich 3. Strukturgleichung und Kodierung • Y= X ∙ a + e • Dummy vs. Effektcodierung 05_anova1 72 Zusammenfassung ANOVA 4. Quadratsummenzerlegung SStotal yij y n p i 1 j 1 2 SSwithin yij y j p n 2 i 1 j 1 SSbetween n y j y p 2 j 1 5. Erwartungswerte • Unter der H0: σ²between = σ²within • Unter der H1: σ²between > σ²within 05_anova1 73 Zusammenfassung ANOVA 6. F-Test: MSbetween Femp dfZ , dfN MSwithin 7. 8. anova und glm in SPSS Voraussetzungen der Varianzanalyse • Intervallskalenniveau, Normalverteilung • Ni ≥ 20 • Nmax / Nmin < 1.5 • Varianzhomogenität 9. Effektstärke (η²) = Aufgeklärte Varianz (R²) 05_anova1 74