Transcript 07_anova3

Varianzanalyse III: Zweifaktorielle Varianzanalyse
Varianzanalyse III: Zweifaktorielle Varianzanalyse
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
Haupteffekte
Interaktionseffekte
Strukturgleichung
Quadratsummen
F-Test
Interaktionsformen
SPSS
Mehrfaktorielle ANOVA
Zufallseffekte
07_anova3
1
Zweifaktorielle Varianzanalyse
Zweifaktorielle Varianzanalyse
• Wenn mehrere unabhängige Variablen (UVs) vorliegen, muss eine
mehrfaktorielle Varianzanalyse berechnet werden.
• Es wird dann untersucht, ob die AV von den unterschiedlichen
UVs abhängt.
• Beispiel: „Hängt die Gedächtnisleistung (AV) von der
Lernbedingung (UV1) und dem Geschlecht (UV2) ab?“
07_anova3
2
Zweifaktorielle Varianzanalyse
Effekt der Lernbedingung
07_anova3
strukturell
5
bildhaft
12
emotional
12
7
3
4
7
8
10
11
12
12
6
13
13
3
Zweifaktorielle Varianzanalyse
Effekt des Geschlechts
männlich
5
7
3
4
6
weiblich
6
8
4
5
7
07_anova3
4
Zweifaktorielle Varianzanalyse
Zweifaktorielles Design
männlich
weiblich
07_anova3
strukturell
bildhaft
emotional
5
12
12
7
7
11
3
8
12
4
10
12
6
13
13
6
13
13
8
8
12
4
9
13
5
11
13
7
14
14
5
Effekte der zweifaktoriellen ANOVA
Zellen und Randmittelwerte
Faktor B
Faktor A
B1: strukturell
B2: bildhaft
B3: emotional
A1: männlich
y 11  5
y 12  10
y13  12
y1 .  9
A2: weiblich
y 21  6
y 22  11
y 23  13
y 2 .  10
y .2  10 . 5
y .3  12 . 5
y ..  9 . 5
y .1  5 . 5
07_anova3
6
Effekte der zweifaktoriellen ANOVA
Haupteffekt A
• Der Haupteffekt der Stufe j des Faktors A berechnet sich als:
a j  y j .  y ..
a1  y1 .  y ..  9  9 . 5   0 . 5
a 2  y 2 .  y ..  10  9 . 5  0 . 5
 Die Summe der Effekte ist Null
07_anova3
7
Effekte der zweifaktoriellen ANOVA
Haupteffekt B
• Der Haupteffekt der Stufe k des Faktors B berechnet sich als:
b k  y . k  y ..
b1  y 1  y   5 . 5  9 . 5   4
b 2  y  2  y   10 . 5  9 . 5  1
b 3  y 3  y   12 . 5  9 . 5  3
 Die Summe der Effekte ist Null
07_anova3
8
Effekte der zweifaktoriellen ANOVA
„Zelleneffekte“
[ab] 11  5  9 .5   4 .5
• Der Effekt eine Kombination
bestimmter Stufen der Faktoren A und B
berechnet sich als:
[ab] 12  10  9 .5  0 .5
[ ab ] jk  y jk  y ..
 Die Summe der Effekte ist Null
 Der „Zelleneffekt“ ist wenig
aussagekräftig, da er auch von den
Haupteffekten beeinflusst wird.
07_anova3
[ab] 13  12  9 .5  2 .5
[ab]
21
 6  9 .5   3 .5
[ab]
22
 11  9 .5  1.5
[ab]
23
 13  9 .5  3 .5
9
Effekte der zweifaktoriellen ANOVA
Interaktionseffekte (A x B)
• Ein Interaktionseffekt wird als Differenz der Zelleneffekt und der
beteiligten Haupteffekte berechnet:
( ab ) jk  [ ab ] jk  a j  b k
 ( y jk  y ..)  ( y j .  y ..)  ( y . k  y ..)
 y jk  y j .  y . k  y ..
 Die Summe der Effekte ist Null
 Der Interaktionseffekt gibt die Wirkung der Kombination
bestimmter Faktorstufen über die Haupteffekte hinaus an.
07_anova3
10
Effekte der zweifaktoriellen ANOVA
Interaktionseffekte (A x B)
( ab ) jk  y jk  y j .  y . k  y ..
( ab ) 11  5  9  5 . 5  9 . 5  0
( ab ) 12  10  9  10 . 5  9 . 5  0
( ab ) 13  12  9  12 . 5  9 . 5  0
( ab ) 21  6  10  5 . 5  9 . 5  0
( ab ) 22  11  10  10 . 5  9 . 5  0
( ab ) 23  13  10  12 . 5  9 . 5  0
 Es liegen im Beispiel keine Interaktionseffekte vor!
07_anova3
11
Beispiele für Interaktionseffekte
Beispiel 1: Einfluss bildhafter
Verarbeitung auf die
Gedächtnisleistung bei Männern
und Frauen
strukturell
bildhaft
Frauen
5
13
9
Männer
5
10
7.5
5
11.5
8.25
14
12
10
8
Frauen
6
Männer
4
2
0
strukturell
bildhaft
 Interaktion: Frauen profitieren
von bildhafter Verarbeitung stärker
als Männer
07_anova3
12
Beispiele für Interaktionseffekte
strukturell
bildhaft
gesamt
F
5 (-0.75)
13 (0.75)
9
M
5 (0.75)
10 (-0.75)
7.5
G
5
11.5
8.25
( ab ) jk  y jk  y j .  y . k  y ..
( ab ) 11  5  9  5  8 . 25   0 . 75
( ab ) 12  13  9  11 . 5  8 . 25  0 . 75
( ab ) 21  5  7 . 5  5  8 . 25  0 . 75
( ab ) 22  10  7 . 5  11 . 5  8 . 25   0 . 75
07_anova3
13
Beispiele für Interaktionseffekte
Beispiel 2: Einfluss bildhafter
Verarbeitung auf die
Gedächtnisleistung bei Männern
und Frauen
14
12
10
8
Frauen
6
Männer
strukturell
bildhaft
Frauen
5
11.5
8.25
4
Männer
5
11.5
8.25
2
5
11.5
8.25
0
strukturell
bildhaft
 Interaktion: Frauen profitieren
von bildhafter Verarbeitung stärker
als Männer
07_anova3
14
Beispiele für Interaktionseffekte
strukturell
bildhaft
gesamt
F
5 (0)
11.5 (0)
8.25
M
5 (0)
11.5 (0)
8.25
G
5
11.5
8.25
( ab ) jk  y jk  y j .  y . k  y ..
07_anova3
15
Beispiele für Interaktionseffekte
Beispiel 3: Einfluss von Alkohol auf
die Reaktionszeit bei Männer und
Frauen
600
500
400
Frauen
300
Männer
200
ohne Alk.
mit Alk.
Frauen
230
500
365
100
Männer
230
350
290
0
230
425
327.5
ohne Alkohol
mit Alkohol
 Interaktion: Frauen werden
durch Alkohol stärker
beeinträchtigt als Männer
07_anova3
16
Beispiele für Interaktionseffekte
Beispiel 4: Wirksamkeit der Medikamente M1 und M2 bei Männer
und Frauen.
• zwei Medikamente M1 und M2 (Faktor A)
• an Männern und Frauen getestet (Faktor B)
• keinen Unterschied zwischen den Geschlechtern und den
Medikamenten
• aber eine Wechselwirkung (Interaktion):
- bei Frauen wirkt M1 gut, M2 kaum
- bei Männern entgegengesetzt
 M1 für Frauen, M2 für Männer besser geeignet
07_anova3
17
Strukturgleichung
Strukturgleichung (2-fakt. ANOVA)
y ijk  y ..  a j  b k  ( ab ) jk  e ijk
y ijk  y ..
Gesamtmittelwert
 ( y j .  y ..)
Effekt Faktor A
 ( y . k  y ..)
Effekt Faktor B
 ( y jk  y j .  y . k  y ..)
Interaktion
 e ijk
„Fehler“
= Strukturgleichung einfaktorielle ANOVA + Effekt des zweiten
Faktors + Interaktionseffekt
07_anova3
18
Quadratsummen
Quadratsummenzerlegung
SStotal =
SStotal =
07_anova3
SSbetween
SSFaktor A + SSFaktor B + SSAxB
+ SSwithin
+ SSwithin
19
Quadratsummen
Quadratsummen
p
SS FaktorA 
n
p
( y j .  y ..)²
q
( y . k  y ..)²
j 1
q
SS FaktorB 
n
k 1
p
SS
AxB

q
n
p ,q
( y jk  y j .  y . k  y ..)²
j 1 k 1
n
SS within 
q
   (y
i 1
07_anova3
p
ijk
 y jk )²
j 1 k 1
20
Quadratsummen
Mittlere Quadrate und Freiheitsgrade
MS
MS
MS
FaktorA
FaktorB
FaktorAxB
MS
07_anova3
within

SS FaktorA

SS FaktorB


p 1
q 1
p = Anzahl der Stufen von Faktor A
q = Anzahl der Stufen von Faktor B
n = Anzahl Vpn in jeder Zelle
(Annahme gleichbesetzter
Zellen)
SS FaktorAxB
( p  1)  ( q  1)
SS within
p  q  ( n  1)
21
Der F-Test
Statistische Hypothesen
Bei einer 2-faktorienllen ANOVA gibt es drei Nullhypothesen:
1. H0 für Faktor A:
j 0
für alle j, oder:
 1 .   2 .   3 .  ...   p .
2. H0 für Faktor B:
k  0
für alle k, oder:
 1    2   3  ...    q
3. H0 für A x B:
  jk  0
07_anova3
für alle jk, oder:
 jk   j     k   
22
Der F-Test
Drei F-Tests
FA 
FB 
MS
MS
within
MS
FaktorB
F AxB 
07_anova3
FaktorA
MS
within
MS
MS
AxB
within
df Zähler  p  1
df Nenner  p  q  ( n  1) bzw . N  p  q
df Zähler  q  1
df Nenner  p  q  ( n  1) bzw . N  p  q
df Zähler  ( p  1)  ( q  1)
df Nenner  p  q  ( n  1) bzw . N  p  q
23
Der F-Test
Erklärte Varianzanteile
R
2
y .( A , B , A  B )
R
2
y.A
R
R
07_anova3
2
y .B
SS

 R
2
y.A
R
2
y .B
R
2
y . A B
A
SS total
SS B

2
y . A B
SS total

SS
A B
SS total
24
Interaktionsformen
Es gibt drei Formen der Interaktion:
•
•
•
ordinale Interaktion
 beide Haupteffekte sind global interpretierbar
hybride Interaktion
 nur einer der beiden Haupteffekte ist global interpretierbar
disordinale Interaktion
 keiner der beiden Haupteffekte ist global interpretierbar
07_anova3
25
Interaktionsformen
Keine Interaktion
• Die Diagramme zeigen die Gruppenmittelwerte der vier Zellen.
• Beide Diagramme zeigen die gleichen Daten!
07_anova3
26
Interaktionsformen
Keine Interaktion
• Wenn die Linien der Graphen parallel verlaufen, gibt es keine
Interaktion!
07_anova3
27
Interaktionsformen
Ordinale Interaktion
• Wenn der gleiche „Trend“ für beide Linien in beiden Diagrammen
gilt (alle Graphen steigen oder alle Graphen fallen), spricht man
von einer ordinalen („geordneten“) Interaktion.
07_anova3
28
Interaktionsformen
Disordinale Interaktion
• Wenn der unterschiedliche „Trends“ für beide Linien in beiden
Diagrammen gilt (ein Graphen steigt, einer fällt), spricht man von
einer disordinalen („ungeordneten“) Interaktion.
07_anova3
29
Interaktionsformen
Hybride Interaktion
• Im linken Diagramm: gleicher Trend
Im rechten Diagramm: entgegengesetzte Trends
 „Hybride Interaktion“
07_anova3
30
Interaktionsformen
Welch Interaktionsform?
B1
B2
A1
18
22
A2
25
40
B1
B2
A1
25
20
A2
15
40
B1
B2
A1
20
30
A2
25
35
07_anova3
31
Darstellung der Ergebnisse
Darstellung der 2-faktoriellen ANOVA
strukturell
bildhaft
emotional
Männer
5.8
14.1
10.4
Frauen
5.0
10.7
16.0
Beispieltext:
„Die Anzahl erinnerter Wörter wurde mit einer 3 (Lernbedingung) x 2 (Geschlecht)
ANOVA ausgewertet. Das Geschlecht hatte keinen signifikanten Einfluss auf die
Gedächtnisleistung, F<1. Es zeigte sich jedoch ein bedeutsamer Effekt der
Lernbedingung, F(2,74) = 95.84; p<.01, sowie eine Interaktion beider Faktoren,
F(2,74) = 27.66; p<.01. Diese Interaktion ist auf einen bessere Gedächtnisleitung
von Männern in der bildhaften Bedingung (t[25]=3.61; p=.01) und eine bessere
Gedächtnisleistung von Frauen in der emotionalen Bedingung (t[24]=-6.97; p<.01)
zurückzuführen.“
07_anova3
32
SPSS
07_anova3
33
SPSS
Syntax:
glm memo by sex, bed
/plot=profile(bed*sex).
07_anova3
34
SPSS
07_anova3
35
SPSS
07_anova3
36
Mehrfaktorielle ANOVA
• Eine Varianzanalyse kann mit beliebig vielen Faktoren berechnet
werden.
• Damit sind auch Interaktionen „höherer Ordnung“ möglich: drei-,
vier-, fünf, …n-fach-Interaktionen (bei n Faktoren)
• Die Interpretation solcher Mehrfachinteraktionen ist oft
schwierig.
• Beispiel: Evaluation eines Entspannungstrainings
– Faktor A: Geschlecht des Kursleiters
– Faktor B: Geschlecht der Kursteilnehmer
– Faktor C: Art des Trainings: Progressive Muskelrelaxation (PMR) vs.
Autogenes Training (AT)
07_anova3
37
Mehrfaktorielle ANOVA
Faktor A: Geschlecht d. Th.
weiblich
Faktor B: Geschlecht (Pat.)
Faktor C: Art
des Trainings
männlich
weiblich
männlich
weiblich
AT
75
65
65
75
PMR
70
70
70
70
AT
PMR
80
80
75
75
70
m
w
65
70
m
w
65
60
60
m
07_anova3
männlich
w
m
w
38
Mehrfaktorielle ANOVA
• Eine dreifach-Interaktion (AxBxC) bedeutet, dass sich die
zweifach-Interaktion (AxB) für die beiden Stufen von C
unterscheiden.
• … oder, dass sich die dass sich die zweifach-Interaktion (AxC) für
die beiden Stufen von B unterscheiden.
• … oder, dass sich die dass sich die zweifach-Interaktion (BxC) für
die beiden Stufen von A unterscheiden.
• Eine 4-fach Interaktion ist darauf zurückzuführen, dass sich die
beteiligten 3-fach Interaktionen voneinander unterscheiden.
07_anova3
39
Mehrfaktorielle ANOVA
1 Faktor:
 SStotal = SSwithin + SSA
2 Faktoren:
 SStotal = SSwithin + SSA + SSB + SSAxB
3 Faktoren:
 SStotal = SSwithin + SSA + SSB + SSC +
SSAxB + SSBxC + SSAxC + SSAxBxC
4 Faktoren:
 SStotal = SSwithin + SSA + SSB + SSC + SSD +
SSAxB + SSAxC + SSAxD +SSBxC +SSBxD+ SSCxD+
SSAxBxC + SSAxBxD + SSAxCxD + SSBxCxD +
SSAxBxCxD
07_anova3
40
Zufallseffekte
Feste Effekt vs. Zufallseffekte
• Bisher haben wir nur Varianzanalysen für so genannte feste
Effekte besprochen.
• Definition: Man spricht von festen Effekten, wenn alle möglichen
bzw. alle interessierenden Stufen eines Faktors im Versuchsplan
realisiert werden.
• Beispiele: Geschlecht, Therapieform, etc.
• In diesem Fall kann ist das Ergebnis der ANOVA nur auf die
realisierten Stufen zu beziehen.
07_anova3
41
Zufallseffekte
Zufallseffekte
• Häufig sind Gruppenbildungen jedoch nicht eindeutig, weil eine
UV keine feste Abstufungen hat.
• Beispiel:
 UV: “Extraversion” (gering, mittel, hoch)
 AV: Prüfungserfolg in einer mündlichen Prüfung.
• In diesem Fall sollte eine ANOVA mit „Zufallseffekten“ berechnet
werden.
07_anova3
42
Zufallseffekte
Zufallseffekte
• Definition: Wenn einen Faktor viele Abstufungen hat und für eine
Untersuchung “zufällig” einige davon ausgesucht werden spricht
man von Zufallseffekten.
• Beispiele: Persönlichkeitseigenschaften, Alkoholkonsum, Alter,
etc.
• Wenn ein Faktor als Zufallsfaktor betrachte wird, so ist eine
Generalisierung der Ergebnisse auf andere (nicht untersuchte)
Stufen möglich.
07_anova3
43
Zufallseffekte
Feste Effekt vs. Zufallseffekte
Feste Effekte
Zufallseffekte
• Alle möglichen / interessierenden
Stufen eines Faktors werden
realisiert.
• Einige Stufen werden aus vielen
möglichen Stufen ausgesucht.
• Keine Generalisierbarkeit auf nicht
realisierte Stufen.
• Generalisierbarkeit ist gegeben.
• Die Summe der Effekte ist Null.
• Die Summe der Effekte muss nicht
Null sein.
• H0: Alle Effekte sind Null.
αj=0 (für alle j)
• H0: Die Varianz der Effekte ist Null.
σ²(α) = 0
07_anova3
44
Zufallseffekte
Beispiel: Alter und Klausurerfolg
• Gruppenbildung:
– Alter < 24  Gruppe 1
– Alter ≥ 24  Gruppe 2
• Willkürliche Gruppenbildung
• Eigentlich soll untersucht werden,
ob der Studienerfolg vom Alter
im Allgemeinen abhängt.
07_anova3
Vp
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
20
Alter
23
19
29
21
22
19
27
24
22
28
…
20
Gruppe
1
1
2
1
1
1
2
2
1
2
…
1
Punkte
20
22
28
26
30
22
24
20
24
26
…
25
45
Zufallseffekte
Beispiel: Alter und Klausurerfolg
Gruppe 1 (jung)
yi1
(yi1-m1)²
20
25
28
9
24
1
26
1
30
25
22
9
27
4
24
1
24
1
25
0
m1=25
Σ=76
07_anova3
Gruppe 2 (alt)
yi2
(yi2-m2)²
23
0
20
9
22
1
25
4
24
1
22
1
24
1
24
1
20
9
26
9
m2=23
Σ=36
46
Zufallseffekte
Beispiel: Alter und Klausurerfolg
MS between 


SS between
MS
df between

p
i 1
ni   yi  y 
2 1

df within
2
p 1
10  1  10  1
within
 20
SS within


  y
p
n
i 1
j 1
ij
 yi 
2
N  p
76  36
 6 . 22
18
• Bei einer einfaktoriellen ANOVA mit Zufallseffekten werden die
Quadratsummen wie bisher berechnet.
07_anova3
47
Zufallseffekte
Beispiel: Alter und Klausurerfolg
F df b , df w 
F1 ,18 
MS
between
MS
20
within
 3 . 21
6 . 22
• Der kritische F-Wert beträgt 4.35
kein statistisch bedeutsamer Unterschied!
• Fazit: Kein Unterschied in der Durchführung des F-Tests im
Vergleich zur Analyse mit festen Effekten.
• Dies gilt jedoch nur für die einfaktorielle ANOVA.
07_anova3
48
Zufallseffekte
Zweifaktorielle ANOVA mit Zufallseffekten
• Beispiel: Wie wirkt sich das Alter (UV1) und die Extraversion (UV2)
eines Kandidaten auf das Ergebnis einer mündlichen Prüfung aus
FA 
FB 
MS
MS
F AxB 
07_anova3
FaktorAxB
MS
MS
FaktorA
FaktorB
FaktorAxB
MS
FaktorAxB
MS
within
df Zähler  p  1
df Nenner  ( p  1)  ( q  1)
df Zähler  q  1
df Nenner  ( p  1)  ( q  1)
df Zähler  ( p  1)  ( q  1)
df Nenner  N  p  q
49
Zufallseffekte
Zweifaktorielle ANOVA mit „gemischten Effekten“
• Liegt ein Faktor mit festem Effekt und ein Faktor mit Zufallseffekt
vor, spricht man von einer ANOVA mit gemischten Effekten.
• Wichtig: Es muss bei der Berechnung der F-Tests beachtet
werden, welcher Faktor als Zufallsfaktor eingegeben wird.
• Beispiel: Der Einfluss des Geschlechts (Faktor A) und des Alters
(Faktor B) auf die Ängstlichkeit einer Person.
• Die folgenden Berechnungen gehen davon aus, dass
Faktor B der Zufallsfaktor ist.
07_anova3
50
Zufallseffekte
Zweifaktorielle ANOVA mit „gemischten Effekten“
fest 
zufällig 
FA 
FB 
MS
df Zähler  p  1
MS
FaktorAxB
df Nenner  ( p  1)  ( q  1)
MS
FaktorB
df Zähler  q  1
F AxB 
07_anova3
FaktorA
MS
within
MS
FaktorAxB
MS
within
df Nenner  N  p  q
df Zähler  ( p  1)  ( q  1)
df Nenner  N  p  q
51
Zufallseffekte
Überblick über die Berechnung der F-Tests
Faktor A
A fest,
B fest
F 
MS
Faktor B
FaktorA
MS
07_anova3
F 
MS
MS
FaktorA
FaktorAxB
FaktorB
MS
within
A zufällig,
MS FaktorA
F 
B zufällig
MS FaktorAxB
A fest,
B zufällig
F 
MS
F 
MS
MS
F 
AxB
F 
within
F 
FaktorB
within
MS
F 
MS
within
FaktorAxB
MS
FaktorAxB
MS
FaktorAxB
MS
FaktorB
MS
MS
within
FaktorAxB
MS
within
52
Zusammenfassung
Zusammenfassung
• Liegen mehrere nominalskalierte unabhängige Variablen und
eine intervallskalierte abhängige Variable vor, kann eine
mehrfaktorielle ANOVA berechnet werden.
• In diesem Fall können neben den Haupteffekten auch
Interaktionseffekte berechnet werden. Die Interaktion gib
jeweils an, ob die einzelnen Bedingungskombinationen über den
Einfluss der Haupteffekte hinaus spezifische Effekte haben.
• Auch für den Interaktionseffekt kann eine Quadratsumme
berechnet werden; daher ist auch ein F-Test für die Interaktion
möglich.
• Es wird zwischen ordinalen, disordinalen und hybriden
Interaktionen unterschieden.
07_anova3
53
Zusammenfassung
Zusammenfassung
• Liegen mehrere nominalskalierte unabhängige Variablen und
eine intervallskalierte abhängige Variable vor, kann eine
mehrfaktorielle ANOVA berechnet werden.
• In diesem Fall können neben den Haupteffekten auch
Interaktionseffekte berechnet werden. Die Interaktion gib
jeweils an, ob die einzelnen Bedingungskombinationen über den
Einfluss der Haupteffekte hinaus spezifische Effekte haben.
• Auch für den Interaktionseffekt kann eine Quadratsumme
berechnet werden; daher ist auch ein F-Test für die Interaktion
möglich.
• Es wird zwischen ordinalen, disordinalen und hybriden
Interaktionen unterschieden.
07_anova3
54
Zusammenfassung
• Mehrfaktorielle ANOVAs können mit beliebig vielen Faktoren
(=UVs) berechnet werden (aber alle npq > 20!).
• In diesem Fall ergeben sich Interaktionen höherer Ordnung,
denen auch wieder bestimmte SS zugeordnet werden können.
• Werden Stufen eines Faktors „zufällig“ aus einer großen Anzahl
möglicher Stufen ausgewählt, müssen ANOVS mit Zufallseffekten
berechnet werden
• Bei der mehrfaktoriellen Varianzanalyse beeinflusst die Art des
Faktors (fest vs. zufällig), welche Varianz im Nenner des F-Bruchs
verwendet werden muss.
07_anova3
55