Transcript Document
LINEARNA ALGEBRA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
Osnovni objekti prostorske geometrije so točke. premice in ravnine. Točke so podane s svojimi
koordinatami. Nekoliko presenetljivo so ravnine lažje za obravnavo kot premice, zato se jih
lotimo prej.
Ravnino lahko opredelimo na različne načine:
MATEMATIKA 1
1
LINEARNA ALGEBRA
ENAČBA RAVNINE
Označimo r ( x , y, z )
r0 ( x0 , y0 , z0 )
n (a, b, c )
Pogoj, da točka (x,y,z) leži na ravnini izrazimo vektorsko:
(normala je pravokotna na vse daljice v ravnini)
Po komponentah pa dobimo ( d n r0 ax0 by0 cz0 )
PROSTORSKA GEOMETRIJA
n
r0
r
n r r0 = 0
ax by cz d
Vsaka linearna zveza med koordinatami točk v prostoru predstavlja ravnino.
(1,1, 2)
Katero ravnino določa enačba x+y+2z=2?.
n (1,1, 2)
r0 (0, 0,1) (izberemo točko, ki ustreza enačbi)
MATEMATIKA 1
(0, 0,1)
2
LINEARNA ALGEBRA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
RAVNINA SKOZI TRI DANE TOČKE
r1
r0
r2
Normala: n (r1 r0 ) (r2 r0 ).
Pogoj, da točka r leži na ravnini : (r1 r0 ) (r2 r0 ) (r r0 ) 0
Enačba ravnine skozi točke (1,1,0), (-1,0,2) in (0,0,1):
(2, 1,2) (1, 1,1) (x, y, z) (1,1,0) 0
(1,0,1) (x, y, z) (1,1,0) 0
x z 1
MATEMATIKA 1
3
LINEARNA ALGEBRA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
RAZDALJA MED TOČKO IN RAVNINO
r1
Razdalja je enaka projekciji vektorja
do točke na smer normale.
d r1 r0 cos
n r1 r0
r0
n
(po potrebi vzamemo absolutno vrednost)
Po koordinatah: d
a( x1 x0 ) b(y1 y0 ) c( z1 z0 )
a 2 b2 c 2
ax1 by1 cz1 d
a 2 b2 c 2
(v normirano enačbo ravnine vstavimo koordinate točke)
Koliko je točka (0,3,1) oddaljena od ravnine x+y+2z=2?
d
MATEMATIKA 1
1 0 1 3 2 1 2
12 12 22
3
6
4
LINEARNA ALGEBRA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
Tudi premico lahko opredelimo na različne načine:
kot presek dveh ravnin
MATEMATIKA 1
5
LINEARNA ALGEBRA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
ENAČBA PREMICE
Označimo r ( x , y, z )
r0 ( x0 , y0 , z0 )
s (a, b, c )
r
s
r0
Pogoj, da točka (x,y,z) leži na premici izrazimo vektorsko:
(daljica na premici je vzporedna s smerjo)
s r r0 = 0
Po komponentah pa dobimo
(a, b, c ) x x 0 , y y0 , z z 0
b z z0 c y y0 , c x x 0 a z z 0 , a y y0 b x x 0 (0, 0, 0),
torej
b z z0 c y y0
c x x0 a z z0
a y y0 b x x 0
Enačbe lahko uredimo v kanonično obliko:
MATEMATIKA 1
x x0 y y0 z z0
a
b
c
6
LINEARNA ALGEBRA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
PREMICA SKOZI DANI TOČKI
r0
r
Smer s r1 r0 :
Pogoj, da točka r leži na premici : r1 r0 r r0 0
Enačba po komponentah :
r1
x x0
y y0
z z0
x1 x0 y1 y0 z1 z0
Enačba premice skozi (1,0,-1) in (2,2,1):
s (1, 2, 2),
x 1 y z 1
1
2
2
Če je katera od komponent vektorja smeri enaka 0, se enačba premice poenostavi:
r0 (1, 1, 2), s (2, 0, 1)
MATEMATIKA 1
x 1 z 2
, y 1
2
1
7
LINEARNA ALGEBRA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
PREMICA KOT PRESEK DVEH RAVNIN
Skozi točko v ravnini lahko potegnemo
nešteto premic. Poljubni dve izmed teh
določata točko.
Podobno skozi premico v prostoru lahko postavimo nešteto ravnin. Poljubni
dve izmed teh ravnin enolično določata premico.
Ravnini z normalami n0 in n1 določata
premico s smerjo s n0 n1 , za r0 pa
vzamemo eno točko iz preseka.
MATEMATIKA 1
8
LINEARNA ALGEBRA
PROSTORSKA GEOMETRIJA
PARAMETRIČNI OPIS PREMICE IN RAVNINE
r
r0
r1
r r0 t s r0 t r1 r0 , t
r2
r
r0
r1
MATEMATIKA 1
r r0 t1 r1 r0 t2 r2 r0 , t1 , t2
9