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MECÂNICA - ESTÁTICA
Análise Estrutural
Cap. 6
Objetivos
Mostrar como determinar as forças nos elementos de
uma treliça utilizando o método dos nós e o método
das seções.
Analisar as forças que atuam nos elementos de
estruturas e máquinas compostas por elementos
conectados por pinos.
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© 2014 Curotto, C.L. - UFPR
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6.1 Treliças Simples
Treliça é uma estrutura composta por elementos esbeltos unidos
por rótulas em suas extremidades
Elemento ou Membro
(Peça de Madeira)
Ligação
(Placa de Reforço)
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6.1 Treliças Simples
Treliça é uma estrutura composta por elementos esbeltos unidos
por rótulas em suas extremidades
Elemento ou Membro
(Barra Metálica
Rótula
(Parafuso)
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6.1 * - Geometria de uma Treliça Simples
Para prevenir o colapso, a geometria da treliça deve ser rígida
Adicione o membro AC para estabilizar a treliça
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6.1 * - Geometria de uma Treliça Simples
A geometria mais simples de uma treliça rígida é um triângulo
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6.1 * - Geometria de uma Treliça Simples
Uma treliça simples é construída a
partir de um triângulo básico ao qual
são adicionados consecutivamente dois
membros formando novos triângulos
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6.1 * - Treliças Planas
A terça transmite a carga do telhado para os nós da treliça
terça
Rolete
Pino
Treliça de Telhado
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6.1 * - Treliças Planas
Treliça de Telhado
Vista Frontal
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6.1 * - Treliças Planas
Treliça de Ponte
Rolete
O carregamento do piso é transmitido para as longarinas, que
transmitem para as transversinas, que transmitem para os nós A, B,
C, D e E das duas treliças de suporte
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6.1 * - Treliças Planas
Treliça de Ponte
Vista Frontal
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6.1 * - Treliças Planas - Premissas de Projeto
Para determinar as forças desenvolvidas em cada membro
da treliça  Assume-se:
1. Todas as cargas são aplicadas nos nós
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6.1 * - Treliças Planas - Premissas de Projeto
Para determinar as forças desenvolvidas em cada membro
da treliça  Assume-se:
2a. Membros são unidos por pinos lisos
Elemento ou Membro
(Barra Metálica
Rótula
(Parafuso)
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6.1 * - Treliças Planas - Premissas de Projeto
Para determinar as forças desenvolvidas em cada membro
da treliça  Assume-se:
2b. Se as conexões forem soldadas ou parafusadas  os eixos
geométricos dos membros devem ser concorrentes
Elemento ou Membro
(Peça de Madeira)
Ligação
(Placa de Reforço)
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6.1 * - Treliças Planas - Premissas de Projeto
• Cada membro atua como um elemento de
duas forças
• Se a força tende a alongar o membro 
Força de Tração (T)
• Se a força tende a encurtar o membro 
Força de Compressão (C)
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6.2 O Método dos Nós
Para analisar uma treliça
precisamos das forças em
cada membro
Se considerarmos a treliça como
um todo
 forças nos membros serão
forças internas
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6.2 O Método dos Nós
Para analisar uma treliça precisamos das forças em
cada membro
Se considerarmos a treliça como um todo  forças nos
membros serão forças internas
Se considerarmos o equilíbrio de um nós (método dos
nós)  forças nos membros serão forças externas
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6.2 O Método dos Nós
Desde que em cada nó as forças são coplanares e
concorrentes:
M = 0 é automaticamente satisfeita
Equações de equilíbrio se reduzem a:
Fx=0
Fy=0
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6.2 O Método dos Nós (Exemplo 6.1)
Escolha um nó com ao menos uma e no máximo duas
incógnitas (Nó B, por exemplo)
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6.2 O Método dos Nós (Problema 6.B)
Escolha um nó com ao menos uma e no máximo duas
incógnitas. Quando isso não for possível uma ou mais
reações de apoio devem ser calculadas antes.
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6.2 O Método dos Nós (Exemplo 6.1)
Desenhe o diagrama de corpo livre para o nó B
Sentidos das forças FBA e FBC são determinados por inspeção
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6.2 O Método dos Nós (Exemplo 6.1)
Aplique as equações de equilíbrio para determinar o
módulo e o sentido das forças nos membros



F
500  F B C
FB C
x
0
 2

  0
 2 
 2 
 50 0 

 2

y
0
 FB A  FB C
FB A  FB C
F B C  707.1 1 N
F B C  7 07 N
F
FB A
 2

  0
 2 
 2


 2 
 2
 707.11 
 2 


F B A  500 N
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6.2 O Método dos Nós (Exemplo 6.1)
Para determinar o sentido correto da força no membro:
Assuma que todos os membros estão tracionados
 respostas negativas significam compressão.
Determine o sentido por inspeção
 respostas negativas significam sentido contrário ao assumido.
F BC  707 N ( C )
F BA  500 N (T )
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6.2 O Método dos Nós (Exemplo 6.1)
Escolha o próximo nó (Nó C)
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6.2 Exemplo 6.1 – Dados para o Ftool
y
(0,2)
(0,0)
Material: qualquer;
Seção: qualquer
(2,0)
x
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6.2 Exemplo 6.1 – Solução do Ftool
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6.2 O Método dos Nós (Exemplo 6.1)
Agora para o nó C: FBC é conhecida
 escreva as equações de equilíbrio para determinar FCA



 FC A

F
x
0
 2 
 707.11 
 0  FC A  500 N (T )
 2 


F
y
0
 2 
C y  707.11 
 0  C y  500 N
 2 


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6.2 O Método dos Nós (Exemplo 6.1)
O último nó da treliça é o nó A:
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6.2 O Método dos Nós (Exemplo 6.1)
Finalmente para o nó A: FAB e FAC são conhecidas
 escreva as equações de equilíbrio para determinar
Ax e Ay



F
x
0
500  A x  0  A x  500 N

F
y
0
500  A y  0  A y  500 N
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6.3 Elementos de Força Nula
Se somente 2 elementos de uma treliça se unem em um
nó e não existe carga externa
 os elementos devem ter força nula
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6.3 Elementos de Força Nula
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6.3 Elementos de Força Nula
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6.3 Elementos de Força Nula
Se somente 2 elementos de uma treliça se unem em um
nó e não existe carga externa
 os elementos devem ter força nula
=
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6.3 Elementos de Força Nula
Não suportam carga
Podem ser identificados pela simples inspeção dos nós
Aumentam a estabilidade da treliça
Possibilitam cargas maiores de compressão nos
elementos por eles travados
Podem suportar cargas adicionais
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Exemplo 6.4
Usando o método dos nós, determine todos os elementos de
força nula na treliça tipo Fink (Albert Fink, (1827-1897) –
engenheiro alemão) para telhados. Assuma que todos os
nós sejam rotulados.
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Exemplo 6.4 - Solução
Por inspeção, podemos ver que os elementos DF e CG são
elementos de força nula.
Para provar, precisamos isolar cada nó e escrever as equações
de equilíbrio.
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Exemplo 6.4 - Solução
Nó G: Fy=0  FGC = 0
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Exemplo 6.4 - Solução
Nó D:  Fx=0 FDF = 0
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Exemplo 6.4 - Solução
Nó F: Fy=0  FFC = 0
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Exemplo 6.4 - Solução
Nó B:
Fx=0  2 - FBH = 0
FBH = 2 kN (C)
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Exemplo 6.4 - Solução


Nó H:
Fy=0  -2 cos + FHC cos = 0
 FHC = 2 (cos / cos ) kN (T)
desde que   90  FHC  0
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Exemplo 6.4 – Dados para o Ftool
Material: qualquer;
Seção: qualquer
y
(2,1)
(3.2,0.4)
(0.8,0.4)
(0,0)
(4,0)
(1,0)
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(2,0)
(3,0)
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x
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Exemplo 6.4 – Dados para o Ftool
Os 3 triângulos são semelhantes
1 1- x y
=
=
2
y
x
Cálculo da posição de B
y
y = 2 - 2x; y 2 = x - x 2
4 - 8x + 4x 2 = x - x 2
1
B
x = 0.8 (valor exato)
y
x
5x - 9x + 4 = 0
2
1-x
x
1
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Exemplo 6.4 – Dados para o Ftool
Ainda por semelhança de
triângulos:
Fx 1
= ; Fx 2 + Fy 2 = 2 2
Fy 2
Cálculo das componentes da
força de 2 kN perpendicular
ao banzo superior
Fy
y
B
Fx
1
y
x
1-x
Fx 2 + 4Fx 2 = 4
Fx = 0.89443 kN
Fy = -1.7889 kN
x
1
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Exemplo 6.4 – Solução do Ftool
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