Transcript faktor ponašanja konstrukcije

DUKTILNOST I NOSIVOST
KONSTRUKCIJA
U SEIZMIČKIM PODRUČJIMA
OPĆENITO O DUKTILNOSTI
• Sposobnost nelinearnog odgovora nosive konstrukcije u
seizmičkom području je jedno od glavnih svojstava kojeg
konstrukcija mora posjedovati.
• Duktilnost je bitna iz razloga da se veći dio seizmičke energije
koji se unosi u konstrukciju tijekom potresa, disipira (troši)
plastičnim deformiranjem iste
(pretežito armature kod armiranobetonskih konstrukcija).
• Nelinearno ponašanje konstrukcije ovisi o svojstvima
materijala od kojih je ona napravljena u jednakoj mjeri kao i o
načinu konstruiranja i oblikovanja detalja konstrukcije
(konstruktivni sistem, spojevi i sl.).
OPĆENITO O DUKTILNOSTI
Postoje dvije krajnosti prilikom definiranja ponašanja materijala, a to
su krto i duktilno ponašanja. Na slici prikazan je radni dijagram
naprezanje-deformacija krtog i duktilnog materijala.
Radni dijagrami krtog i duktilnog matrijala
OPĆENITO O DUKTILNOSTI
Promatrajući prikazani dijagram lako je uočljivo da krti materijal
prije loma ima veoma male nelinearne deformacije. Krti
materijal ponaša se gotovo linearno-elastično. Sa druge
strane, duktilni materijal može pretrpjeti značajne nelinearne
deformacije, prije nego nastupi konačni slom.
OPĆENITO O DUKTILNOSTI
Ukoliko je otkazivanje neke konstrukcije neizbježno, duktilni lom
je mnogo povoljniji u odnosu na krti lom, iz razloga što je u
tom slučaju otkazivanje konstrukcije najavljeno. Prije
potpunog otkazivanja konstrukcije javljaju se značajne
nelinearne deformacije u vidu formiranja plastičnih zglobova
(drobljenjem betona uslijed tlaka, te tečenje armature uslijed
vlaka).
Suvremene armiranobetonske konstrukcije pokazuju relativno
dobro duktilno ponašanje, što je dokazano brojnim
eksperimentalnim istraživanjima, cikličkim opterećenjima koja
simuliraju djelovanje potresa kao i ponašanjem takvih
konstrukcijama u stvarnim potresima.
OPĆENITO O DUKTILNOSTI
Značajnu ulogu za takvo ponašanje konstrukcija ima
konstruktivno oblikovanje u skladu sa novim tehničkim
saznanjima u tom području, takozvanom kapacitativnom
projektiranju (Capacity design).
OPĆENITO O DUKTILNOSTI
Rezultat cikličkog opterećenja na jednom ispitanom
armiranobetonskom konzolnom stupu prikazan je dijagramom
sila-pomak na slici.
Dijagram sila-pomak ciklički opterećenog konzolnog stupa
OPĆENITO O DUKTILNOSTI
Ispitivani model je pokazao značajnu sposobnost
nelinearnog deformiranja prije konačnog otkazivanja.
Krivulja u prikazanom dijagramu naziva se krivulja
histereze.
Histereza je pojava kod koje posljedice koje izaziva neki
uzrok ne isčezavaju uklanjanjem uzroka. U
promatranom primjeru histerezna krivulja više puta
mijenja kvadrante koordinatnog sustava uslijed
cikličkog opterećenja te vidljivo dočarava nelinearno
ponašanje konstrukcije, a samim time i histereznu
disipaciju seizmičke energije, koja se u konstrukciju
unosi tijekom djelovanja potresa.
OPĆENITO O DUKTILNOSTI
Kada deformacija dosegne granicu popuštanja, opterećenje neće
dalje rasti (postoji mogućnost blažeg rasta ili čak smanjivanja),
a deformacije dalje rastu. To rezultira disipacijom unijete
seizmičke energije. Na taj način krivulja oblikuje ograničenu
površinu. Površina koju zatvara krivulja histereze predstavlja
utrošenu (disipiranu) energiju koja se unosi u konstrukciju te
što je ta površina veća odgovor konstrukcije na djelovanje
potresa je povoljniji.
OPĆENITO O DUKTILNOSTI
Za vrijeme potresa konstrukcija se podvrgava oscilatornim
gibanjima s promjenjivim deformacijama. Ciklički testovi koja
simuliraju ovakva stanja mogu se provesti na dijelove
konstrukcija, spojeve, modele u određenom mjerilu ili na
modelima u stvarnoj veličini.
Odnos sila-deformacija prikazuje histereznu petlju koja nastaje
pod cikličkim opterećenjem, a uslijed neelastičnog ponašanja.
Oblik histerezne petlje ovisi o konstruktivnom sistemu te o
materijalu.
OPĆENITO O DUKTILNOSTI
Jasno je da projektirati konstrukcije tako da se i uslijed
najsnažnijih potresa ponašaju elastično nema ekonomskog
opravdanja.
Navedeno nema ni tehničkog opravdanja ukoliko nije moguće
osigurati duktilno ponašanje takve predimenzionirane
konstrukcije.
Kod primjene uobičajenih metoda proračuna seizmički otpornih
konstrukcija (primjena metode sila), kod kojih se pretpostavlja
linearno-elastično ponašanje materijala, stvarno nelinearno
ponašanje konstrukcije uzima se u obzir preko svjesnog
umanjenja nosivosti konstrukcije ovisno o duktilnosti. Pri
tome je potrebno računati na oštećenja konstrukcije, ali ne bi
trebalo doći do otkazivanja.
OPĆENITO O DUKTILNOSTI
Duktilne konstrukcije je moguće proračunavati na znatno
umanjene seizmičke sile u odnosu na konstrukciju koja se
čitavo vrijeme ponaša elastično, što je iz ekonomskih i
estetskih razloga prihvatljivije.
Duktilnost je mjera nelinearnog ponašanja konstrukcije. Kod
definiranja duktilnosti pretpostavlja se elasto-plastični radni
dijagram materijala.
OPĆENITO O DUKTILNOSTI
Mjera duktilnosti, kao fizikalna veličina, definirana je
koeficijentom duktilnosti koji predstavlja odnos između
ukupne elasto-plastične deformacije (deformacija na granici
loma) i deformacije na granici plastifikacije (deformacija na
granici popuštanja), što je prikazano bilinearnim dijagramom
(elastično- idealno plastično ponašanje) na slici.
OPĆENITO O DUKTILNOSTI
Bilinearni dijagram sila-pomak
Koeficijent duktilnosti definiran je sljedećom jednadžbom:
- koeficijent duktilnosti pomaka
- ukupni elasto-plastični pomak
- pomak na granici plastifikacije
OPĆENITO O DUKTILNOSTI
Kod stvarnih armiranobetonskih konstrukcija je dijagram
ponašanja materijala zakrivljen iz razloga što se plastifikacija
postepeno razvija, od pojave prvih pukotina do formiranja
plastičnih zglobova.
U promatranom je slučaju duktilnost definirana uz pretpostavku
elasto-plastičnog ponašanja materijala, te monotonog porasta
opterećenja. Kod stvarnog utjecaja potresa na konstrukciju,
naprezanja i deformacije mijenjaju predznak u radnom
dijagramu uz postepeno opadanje krutosti, što dovodi do
ponašanja materijala koji je prikazan dijagramom histerezne
krivulje koji je prethodno prikazan na slici.
OPĆENITO O DUKTILNOSTI
Kod analitičkog modela nelinearne analize konstrukcija pod
utjecajem potresa, duktilnost predstavlja ključnu ulogu.
Konstrukcijska sposobnost za histereznu disipaciju energije koja
se u konstrukciju unosi tijekom potresa ovisna je o duktilnosti.
Duktilnost neke konstrukcije proizlazi iz lokalne sposobnosti
kritičnih područja (odabranih poprečnih presjeka u sklopu
konstruktivnih elemenata ili spojeva) da ostvare velike
plastične deformacije. To se naziva lokalnom duktilnošću.
OPĆENITO O DUKTILNOSTI
Lokalna duktilnost se ostvaruje projektiranjem baziranim na
sposobnosti konstrukcije da se povoljno ponaša za vrijeme
djelovanja potresa.
Takav vid projektiranja uključen je u suvremenim propisima za
projektiranje seizmički otpornih konstrukcija, kao što je
Eurocode 8, a koji daje smjernice za konstrukcijsko oblikovanje
seizmički otpornih duktilnih konstrukcija.
VRSTE DUKTILNOSTI
Prema načinu deformiranja konstrukcija, njezinih konstruktivnih
elemenata ili spojeva, razlikuju se sljedeće vrste duktilnosti:
•
•
•
•
duktilnost izduženja (skraćenja)
duktilnost zakrivljenosti
rotaciona duktilnost
duktilnost pomaka
VRSTE DUKTILNOSTI
Duktilnost izduženja (skraćenja) se definira na centrički
napregnutom štapnom elementu jedinične duljine, a pokazuje
koliko puta je ukupno elasto-plastično izduženje (skraćenje) na
granici loma elementa veće od onoga na granici pojave
plastifikacije (tečenja) te je definirana jednadžbom:
- koeficijent duktilnosti izduženja (skraćenja)
- ukupno elasto-plastično izduženje (skraćenje)
- izduženje (skraćenje) na granici plastifikacije
VRSTE DUKTILNOSTI
Duktilnost zakrivljenosti je definirana na elementu jedinične
duljine koji je napregnut na savijanje te predstavlja odnos
ukupne zakrivljenosti poprečnog presjeka na granici loma i
zakrivljenosti poprečnog presjeka elementa na granici
popuštanja , a prikazuje se sljedećom jednadžbom:
- ukupna nelinearna zakrivljenost presjeka
ili
- zakrivljenost presjeka na granici plastifikacije
- koeficijent duktilnosti zakrivljenosti
- ukupna elasto-plastična zakrivljenost
- zakrivljenost na granici plastifikacije
VRSTE DUKTILNOSTI
Rotaciona duktilnost definira se na plastičnom zglobu duljine ,
koji je opterećen momentom savijanja i uzdužnom silom, a
pokazuje odnos ukupnog kuta zaokreta poprečnog presjeka i
kuta zaokreta na granici plastifikacije poprečnog presjeka .
Rotaciona duktilnost se također može dobiti i integracijom
duktilnosti zakrivljenosti po duljine plastičnog zgloba.
Rotaciona duktilnost definirana je jednadžbom:
- koeficijent rotacione duktilnosti
- ukupni elasto-plastični kut zaokreta
- kut zaokreta na granici plastifikacije
VRSTE DUKTILNOSTI
Kada se općenito govori o duktilnosti uglavnom se misli na
duktilnost pomaka. Duktilnost pomaka može se definirati za
jedan element (lokalna duktilnost) ili pak za čitavu
konstrukciju (globalna duktilnost). Postoji veza između lokalne
duktilnosti pojedinih konstruktivnih elemenata i globalne
duktilnosti konstrukcije.
Duktilnost pomaka predstavlja odnos između ukupnog elastoplastičnog pomaka na granici loma i pomaka na granici
plastifikacije, a definirana je jednadžbom:
ili
- koeficijent duktilnosti pomaka
- ukupni elasto-plastični pomak
- pomak na granici plastifikacije
DUKTILNOST POMAKA
Duktilnost pomaka μΔ se može
definirati za jedan element ili za
čitavu konstrukciju (tada se govori
o globalnoj duktilnosti). Kada se
općenito govori o duktilnonsti
uglavnom se misli na duktilnost
pomaka.
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA
Analiza duktilnosti na obostrano upetom armiranobetonskom
elementu (vrijedi i za predgotovljeni betonski element čiji su
spojevi oblikovani na način da je ekvivalentan obostrano
upetom monolitnom elementu).
Obostrano upeti armiranobetonski element
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA
Za elemente napregnute savijanjem, kao što su grede i stupovi
osnovni izvor duktilnosti je duktilnost zakrivljenosti.
Duktilnost zakrivljenosti predstavlja odnos ukupne zakrivljenosti
poprečnog presjeka na granici loma i zakrivljenosti poprečnog
presjeka elementa na granici popuštanja, te je prikazana
jednadžbom (3).

  u
y
(3)
Plastičnu komponentu ukupne zakrivljenosti poprečnog presjeka
možemo prikazati sljedećom jednadžbom (6):
   
(6)
 p - plastična komponenta ukupne zakrivljenosti poprečnog
presjeka
p
u
y
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA
Iz jednadžbe (6) slijedi ukupna zakrivljenost poprečnog presjeka:
(7)
u   y   p
Uvrštavanjem jednadžbe (7) u jednadžbu (3), duktilnost
zakrivljenosti je moguće napisati na sljedeći način:
y  p
 
y
(8)
Nakon sređivanja jednadžbe (8) dobije se sljedeća jednadžba:
p
  1
 1  p
y
(9)
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA
Izražena pomoću pomaka, duktilnost je definirana jednadžbom
(5). Pomak na granici plastifikacije (elastična komponenta
pomaka), definiran je preko zakrivljenost na granici
plastifikacije jednadžbom:
y 
 yl 2
6
(10)
l - duljina elementa
(5)
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA
Plastičnu komponentu ukupnog pomaka elementa moguće je
prikazati preko plastične komponente ukupnog kuta zaokreta
elementa u ležaju, sljedećom jednadžbom:
 p   pl
(11)
 p - plastična komponenta ukupnog pomaka
 p - plastična komponenta ukupnog kuta zaokreta
Plastična komponenta ukupnog kuta zaokreta izražena pomoću
plastične komponente ukupne zakrivljenosti definirana je
jednadžbom:
 p   pl p
(12)
l p - duljina zone plastifikacije – plastični zglob
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA
Uvrštavanjem jednadžbe (12) u jednadžbu (11), plastičnu komponentu
ukupnog pomaka elementa moguće je napisati na sljedeći način:
 p   pl pl
(13)
Ukupni pomak elementa sastoji se od elastične i plastične komponente
pomaka:
u   y   p
(14)
Uvrštavanjem jednadžbe (14) u jednadžbu (5), dobije se sljedeća jednadžba za
duktilnost pomaka:
y p
 
y
(15)
Nakon sređivanja jednadžbe (15) dobije se:
p
  1 
y
(16)
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA
Uvrštavanjem jednadžbi (10) i (13) u jednadžbu (16) slijedi
jednadžba:
y 
 yl 2
6
(10)
 p   pl pl
p
  1 
 y (16)
(13)
  1
Iz jednadžbe (9) slijedi:
p
p 
 y (18)
p
  1
 1  p
(9)
y
Uvrštavanjem jednadžbe (18) u jednadžbu (17) slijedi:
p
p 
y
(18)
  1
6  pl p
 yl
(17)
  1  6 p
lp
l
(19)
6  pl p
 yl
(17)
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA
Prema odredbi Eurocodea 8 da se za armiranobetonske konstrukcije visokog
razreda duktilnosti DCH (Ductility Class High) u seizmičkim područjima
može koristiti isključivo armaturni čelik razreda duktilnosti C prema
Eurocodeu 2, dakle čelik oznake B450C,
slijedi da omjer vlačne čvrstoće i granice razvlačenja iznosi:
ft
 1,15
fy
Iz navedenog omjera i ostalih konstruktivnih mjera koje služe za osiguravanje
formiranja plastičnih zglobova, kod obostrano upetog elementa prema
slici, moguće je odrediti duljinu zone plastifikacije – plastičnog zgloba, koja
iznosi:
l p  0,083l (20)
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA
Nakon uvrštavanja jednadžbe (20) u jednadžbu (19) slijedi:
lp
  1  6 p
l p  0,083l
  1 0,5 p
l (19)
(20)
(21)
Iz jednadžbe (9) slijedi:
p
  1
 1  p
(9)
y
 p   1
(22)
Uvrštavanjem jednadžbe (22) u jednadžbu (21), moguće je napisati:
 p   1
(22)
  1 0,5 p
(21)
  1  0,5(   1) (23)
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA
Nakon sređivanja jednadžbe (23) slijedi jednadžba za duktilnost
pomaka:
  1  0,5(   1) (23)
 
1
(1    ) (24)
2
Iz jednadžbe (24) je vidljivo da je duktilnost pomaka elementa
uvijek manja od duktilnosti zakrivljenosti poprečnog presjeka
dotičnog elementa.
Na navedeni način je moguće, analizom odabranog tipa
međusobnog spoja pojedinih predgotovljenih betonskih
elemenata, na temelju nelinearnih karakteristika i radnog
dijagrama spoja (dobivenih na stvarnim ili računalnim
modelima), odrediti duktilnost zakrivljenosti poprečnog
presjeka u spoju (lokalna duktilnost) te uvrštavanjem rezultata
u jednadžbu (24) dobiti vrijednost duktilnosti pomaka
elementa.
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG ELEMENTA
l p  0,083l
dužina plastičnog zgloba
lp = 0.08l + 6db
promjer
lp = 0.08l + 0.022 · fy · db
granica razvlačenja, promjer
lp = 0.18ls + 0.025 fy · db
lp = 0.08ls + 0.017 fy · db
ls - dužina posmika
monotono opterećenje
cikličko opterećenje
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA
Veza između lokalne duktilnosti pojedinih elementata ili spojeva i
globalne duktilnosti konstrukcije, koja je zaslužna za disipaciju
seizmičke energije, ovisna je o konačnom mehanizmu loma
konstrukcije.
Distribucija formiranih plastičnih zglobova u trenutku otkazivanja
konstrukcije postavlja geometrijska pravila o kojima ovise
krajnji rezultati ponašanja konstrukcije pod djelovanjem
potresa. Mogući mehanizmi otkazivanja jedne n-terokatne
okvirne konstrukcije prikazani su na slici.
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA
Mehanizmi otkazivanja n-tero katnog armiranobetonskog okvira
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA
Na slici (a) prikazana je elastična deformacija n-terokatnog okvira na
granici popuštanja (formiranja prvog plastičnog zgloba). Globalni
pomak vrha okvira definiran je sljedećom jednadžbom:
 y  n y (25)
y
n
y
- globalni pomak vrha okvira
- broj katova
- elastična komponenta međukatnog pomaka (Interstorey drift)
Slika (b) prikazuje povoljan mehanizam formiranja plastičnih zglobova
prije otkazivanja konstrukcije, koji se postiže kapacitativnim
projektiranjem prema pravilu „slabe grede – jaki stupovi“. Na taj se
način postiže poželjan mehanizam sloma konstrukcije, takozvani
bočno-gredni mehanizam.
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA
U ovakvom se slučaju plastični zglobovi ranije formiraju u horizontalnim
elementima (gredama) te na taj način njihova nosivost bude iscrpljena
prije dostizanja granične nosivosti vertikalnih elemenata (stupova).
Navedeno je povoljno iz razloga što je u potresu uočeno da se grede neće
urušiti čak i onda kada su teško oštećene u područjima formiranja
plastičnih zglobova, ali se zato nosivost konstrukcije ubrzano smanjuje ako
se plastifikacija dogodi u nekom od poprečnih presjeka stupova.
Globalna plastična komponenta pomaka vrha okvira je u ovom slučaju
jednaka zbroju plastičnoj komponenti međukatnih pomaka pojedine etaže:
 p  n p
p
p
(26)
- globalna plastična komponenta pomaka vrha okvira
- plastična komponenta međukatnog pomaka
(Interstorey drift)
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA
U promatranom slučaju povoljnog mehanizma otkazivanja
konstrukcije globalna duktilnost pomaka konstrukcije
definirana je jednadžbom (1). Nadalje vrijedi da se ukupni
pomak vrha konstrukcije sastoji od elastične i plastične
komponente pomaka:
 
u
y
u   y   p
(1)
(27)
Uvrštavanjem jednadžbe (27) u jednadžbu (1) slijedi:
 
y  p
(28)
Slijedi uvrštavanje jednadžbi (25) i (26) u jednadžbu (28):
 y  n y
y
(25)
 p  n p
(26)
 
n y  n p
n y
(29)
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA
Nakon sređivanja jednadžbe (29) slijedi:
 
n y  n p
n y
(29)
y p
 
y
(30)
Uvrštavanjem jednadžbe (15) u jednadžbu (30) slijedi da je
globalna duktilnost konstrukcije u promatranom slučaju
povoljnog mehanizma formiranja plastičnih zglobova,
jednaka lokalnoj duktilnosti konstruktivnih elemenata:
y p
 
y
(15)
y p
 
y
  
(30)
(31)
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA
Navedeno je veoma bitno prilikom određivanja globalne
duktilnosti pomaka konstrukcije iz lokalne duktilnosti pomaka
konstruktivnih elemenata (lokalna duktilnost pomaka
elemenata proizlazi iz lokalne duktilnosti zakrivljenosti
poprečnih presjeka u spojevima predgotovljenih betonskih
elemenata), koju je moguće odrediti analizom konkretnih
modela spojeva predgotovljenih betonskih elemenata i
definiranjem njihovih nlinearnih karakteristika. Uvjet je da
konstrukcija bude tako projektirana (Capacity design) da je u
stanju postići povoljni mehanizam formiranja plastičnih
zglobova, dakle prema pravilu „slabe grede – jaki stupovi“.
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA
U slučaju nepovoljnog mehanizam formiranja plastičnih zglobova
prije otkazivanja konstrukcije, koji je prikazana na slici (c),
globalna plastična komponenta pomaka vrha konstrukcija
jednaka je plastičnoj komponenti međukatnog pomaka etaže
na kojoj je došlo do formiranja plastičnih zglobova:
p p
(32)
Takva konstrukcija nije u stanju postići da se plastični zglobovi
ranije formiraju u gredama, već plastični zglobovi najprije
nastupaju u stupovima. Najčešće se ta plastifikacija događa u
stupovima samo jedne etaže, nazvane „mekom etažom“ te se
u tom slučaju nosivost konstrukcije ubrzano smanjuje.
Rezultat toga je globalno urušavanje čitave konstrukcije uslijed
gubitka stabilnosti otkazivanjem „meke etaže“.
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA
Uvrštavanje jednadžbe (25) i (32) u jednadžbu (28) slijedi:
 y  n y
(25)
p p
(32)
 
y  p
y
(28)
 
n y   p
n y
(33)
Nakon sređivanja jednadžbe (33) slijedi:
  1 
1
  1
n
(34)
Za promatrani slučaj nepovoljnog mehanizma otkazivanja
konstrukcije također je moguće iz lokalne duktilnosti pomaka
konstruktivnih elemenata odrediti globalnu duktilnost pomaka
konstrukcije. Vidljivo je da globalna duktilnost ovisi o katnosti
konstrukcije. Što je katnost konstrukcije veća to globalna
duktilnost srazmjerno opada.
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA
Ako se za primjer uzme okvirna konstrukcija sa četiri etaže,
ilustriranu na slici, čija je lokalna duktilnost elemenata   5,
uvrštavanjem te vrijednosti u jednadžbu (34) slijedi da je
globalna duktilnost konstrukcije svega
  1 
1
  1
n
(34)
  2
Na navedenom primjeru je zorno dokazano da će loše
projektirana konstrukcija, koja nema povoljan mehanizam
formiranje plastičnih zglobova, samim time imati i manju
globalnu duktilnost, što će rezultirati gubitkom stabilnosti i
urušavanjem takve konstrukcije u potresu
DUKTILNOST ARMIRANOBETONSKOG OKVIRA
U slučaju jednoetažne okvirne konstrukcije, kod koje vrijedi da je,
uvrštavanjem u jednadžbu (34) slijedi da su globalna
duktilnost konstrukcije i lokalna duktilnost elementa jednake
(kao kod slučaja povoljnog mehanizma formiranja plastičnih
zglobova). Iz navedenog slijedi da u tom slučaju nije potrebno
držati se principa kapacitetnog projektiranja prema pravilu
„slabe grede – jaki stupovi“.
JEDNOETAŽNI (PREDGOTOVLJENI) (ZGLOBNI) OKVIRI
Shema jednoetažnog predgotovljenog zglobnog okvira (konzolno
upeti stup), prikazana je na slici.
Konzolno upeti stup jednoetažnih zglobnih okvira
JEDNOETAŽNI (PREDGOTOVLJENI) (ZGLOBNI) OKVIRI
Kod jednoetažnih predgotovljenih zglobnih okvira (konzolno
upeti stup), prema slici, pomak na granici plastifikacije
(elastična komponenta pomaka), definiran je preko
zakrivljenost na granici plastifikacije jednadžbom:
y 
 y h2
(35)
h - visina okvira
3
JEDNOETAŽNI (PREDGOTOVLJENI) (ZGLOBNI) OKVIRI
Plastična komponenta ukupne zakrivljenosti poprečnog presjeka,
definirana preko plastične komponente kuta zaokreta  p ,
može se prikazati sljedećom jednadžbom:
p 
p
hp' (36)
 p - plastična komponenta kuta zaokreta
h p' - visina zone plastifikacije – plastičnog zgloba
Plastičnu komponentu ukupnog pomaka stupa moguće je
definirati preko plastične komponente ukupne zakrivljenosti
poprečnog presjeka, jednadžbom:
 p   p hp' h
(37)
JEDNOETAŽNI (PREDGOTOVLJENI) (ZGLOBNI) OKVIRI
Analogno provedenom postupku prilikom analiziranja obostrano
upetog stupa, uvrštavanjem jednadžbi (35) i (37) u jednadžbu (16)
slijedi jednadžba:
y 
 yh
2
3 (35)
 p   p hp' h
(37)
p
3 p h p'
  1 
  1 
 y h (38)
 y (16)
Uvrštavanjem jednadžbe (18) u jednadžbu (38), te uzimajući u obzir
da za promatranu jednoetažna okvirna konstrukcija vrijedi da su
globalna i lokalna duktilnost jednake, što je pokazano prije, slijedi:
p
p 
 y (18)
  1 
3 p h p'
 y h (38)
  1  3 p
h p'
h
 
(39)
JEDNOETAŽNI (PREDGOTOVLJENI) (ZGLOBNI) OKVIRI
Uspoređujući obostrano upeti element (stup), sa konzolno
upetim stupom, analizom geometrije momenta savijanja
moguće je napisati sljedeću jednadžbu:
hp'  2l p
(40)
Uvrštavanjem jednadžbi (40) i (20) u jednadžbu (39) te nakon
sređivanja iste na analogni način kao u prethodno
analiziranom primjeru sa obostrano upetim stupom (vodeći
računa da je h  l ), dobije se identična jednadžba (24) za
duktilnost pomaka    1 (1    ) .
2
h  2l p
l p  0,083l
'
p
(40)
(20)
  1  3 p
h p'
h
 
(39)
JEDNOETAŽNI (PREDGOTOVLJENI) (ZGLOBNI) OKVIRI
Kao što je prethodno rečeno, u slučaju jednoetažne okvirne
konstrukcije globalna duktilnost konstrukcije i lokalna
duktilnost elementa su jednake     .
Iz navedenog je vidljivo, da sa stanovišta duktilnosti, ponašanje
jednoetažnog predgotovljenog zglobnog okvira je
ekvivalentno ponašanju monolitnog okvira sa obstrano
upetim stupovima, betoniranog in situ.
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Duktilne konstrukcije moguće proračunavati na znatno umanjene
seizmičke sile u odnosu na konstrukcije koje se čitavo vrijeme
ponašaju elastično, što je iz ekonomskih i estetskih razloga
prihvatljivije.
Umjesto opsežne nelinearne analize takvih sistema, koja bi
obuhvaćala disipaciju seizmičke energije kroz duktilno
ponašanje, viskozno prigušenje i druge mehanizme, većina
propisa među kojima je i Eurocode 8, predviđaju linearnu
analizu koja se zasniva na reduciranom spektru odziva,
takozvana „metoda sila“ (Force based design).
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Prema Eurocodeu 8, redukcija elastičnog spektra odziva ostvaruje
se uvođenjem faktora ponašanja q, koji je ovisan o nosivom
sistemu i njegovoj regularnosti te klasi duktilnosti.
Način određivanja vrijednosti faktora ponašanja konstrukcije q
definiran je odredbama Eurocodea 8. Prilikom odabira faktora
ponašanja q potrebno je voditi računa dali elementi
konstrukcije, te ona kao cjelina imaju dostatnu duktilnost, te
na taj način što točnije predvidjeti ponašanje same
konstrukcije u potresu.
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Smanjenje elastičnog nivoa nosivosti predstavljeno je
koeficijentom umanjenja   ili njegovom recipročnom
vrijednošću, faktorom ponašanja konstrukcije q. Navedeno je
moguće prikazati sljedećom jednadžbom:
Fy    Fel 
Fy
αμ
Fel
q
Fel
q
(41)
- nosivost na granici plastifikacije (umanjena elastična
nosivost)
- koeficijent umanjenja
- nosivost konstrukcije koja se pri najjačem potresu
ponaša elastično
- faktor ponašanja konstrukcije
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Definicija faktora ponašanja q
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Za veličinu umanjenja elastične nosivosti Fel odgovoran je
odabrani (eksperimentalno ili analitički utvrđen) koeficijent
duktilnosti  .
U potresnom inženjerstvu postoje dva pristupa za određivanje
odnosa između elastične i elastoplastične nosivosti, odnosno
faktora ponašanja, s jedne strane jednakost najvećih pomaka i
sa druge strane jednakost energije pri promjeni oblika.
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Jednakost najvećih pomaka
Koeficijent duktilnosti  predstavlja odnos između ukupnog
elastoplastičnog pomaka i pomaka na granici popuštanja
(plastifikacije). Pristup jednakosti najvećih pomaka prikazan je
na slici.
Pristup jednakosti pomaka
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Jednakost najvećih pomaka
Kod pristupa jednakosti najvećih pomaka, prikazanog na slici,
izjednačavaju se najveći elastični i elasto-plastični pomaci, ili
općenito maksimalni linearni i nelinearni pomak:
 el   u
 el
(42)
- maksimalni linearno-elastični pomak
Iz jednadžbe (41) slijedi:
F
Fy    Fel  el
q
(41)
 
Fy
Fel
(43)
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Jednakost najvećih pomaka
Prema geometrijskim odnosima na slici, slijedi:
Fy

y
(44)
Uvrštavanjem jednadžbi (44) i (1) u jednadžbu (43), slijedi:
Fel
Fy
Fel

y
u
u
(44)
(1)
 
Fy
Fel (43)
 
1
  (45)
Nadalje iz jednadžbi (41) i (45), moguće je napisati:
F
Fy    Fel  el
q
(41)
 
1

(45)
q   (46)
Vidljivo je da kod pristupa izjednačavanja najvećih pomaka,
odnos između dvije nosivosti, odnosno faktor ponašanja q,
jednak je koeficijentu duktilnosti   .
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Jednakost energije pri promjeni oblika
Kod pristupa jednakosti energije pri promjeni oblika, prikazanog
na slici, izjednačavaju se rad koji izvrši elastična i elastoplastična sila.
Pristup jednakosti energije na promjeni oblika
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Jednakost energije pri promjeni oblika
Rad kojeg izvrše elastična odnosno elasto-plastična sila predstavljen je
površinom ispod odgovarajućeg dijagrama sila-pomak, pa je
moguće napisati sljedeću jednakost:
A1  A2 (47)
A1 - rad koji izvrši elastična sila
A2 - rad koji izvrši elasto-plastična sila
Ako sa A1 označi površina ispod linearno-elastičnog dijagrama, iz
geometrije sa slike je moguće napisati:
1
A1  Fel  el
(48)
2
Iz odnosa na slici, slijedi:
Fel  el

Fy  y (49)
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Jednakost energije pri promjeni oblika
Uvrštavanjem jednadžbe (49) u jednadžbu (48), slijedi:
Fel  el

Fy  y
(49)
1
A1  Fel  el
2
2el
1
(48) A1  2 Fy  y
(50)
Sa A2 je označena površina ispod elasto-plastičnog dijagrama, te
je iz geometrije sa slike. moguće napisati:
1
A2  Fy  u  Fy  y
(51)
2
Uvrštavanjem jednadžbe (1) u jednadžbu (51), te nakon
sređivanja iste, moguće je napisati:
(1)
A2 
1
Fy  y 2   1 (52)
2
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Jednakost energije pri promjeni oblika
Uvrštavanjem jednadžbe (50) i (52) u jednadžbu (47) slijedi:
2el
1
A1  Fy
2
y
A2 
(50)
1
Fy  y 2   1
2
A1  A2
(52)
(47)
1 2el 1
Fy
 Fy  y 2   1
2
y 2
(53)
Nakon sređivanja jednadžbe (53), slijedi jednadžba za
maksimalni linearno-elastični pomak:
 el   y 2   1
(54)
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Jednakost energije pri promjeni oblika
Koeficijent umanjenja je jednostavno napisati, iz odnosa prema
jednadžbi (49) te prema jednadžbi (41):
Fel  el

Fy  y
(49)
F
Fy    Fel  el
q
 
(41)
1
2   1
(55)
Iz jednadžbe (41), nadalje slijedi:
q  2  1
(56)
Iz jednadžbe (56) je moguće zaključiti da kod pristupa jednakih
energija pri promjeni oblika, faktor ponašanja konstrukcije
ima smanjeni rast vrijednosti u odnosu na rast vrijednosti
koeficijenta duktilnosti.
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Usporedba prikazanih pristupa
Usporedba dva prikazana pristupa određivanja faktora ponašanja
konstrukcije ovisno o koeficijentu duktilnosti prikazana je
dijagramom na slici.
Usporedba pristupa
jednakosti pomaka i
pristupa jednakosti
energije na promjeni oblika
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Usporedba prikazanih pristupa
Ako se promatra prvi ton osciliranja konstrukcije, moguće je
procjeniti da je kod „mekših“ konstruktivnih sistema
mjerodavan pristup jednakosti pomaka, a kod „krućih“ pristup
izjednačavanja energije pri promjeni oblika.
Danas u potresnom inženjerstvu prevladava mišljenje da se
pristup jednakosti pomaka može primijeniti već za periode
osciliranja konstrukcija veće od T  0,5 s (srednje-dugi
periodi osciliranja).
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Usporedba prikazanih pristupa
Usporedba dva pristupa smanjenju nosivosti ovisno o duktivnosti
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Usporedba prikazanih pristupa
Faktor umanjenja nosivosti u odnosu na period osciliranja i duktilnost
FAKTOR PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Usporedba prikazanih pristupa
Dijagram odnosa ukupne plastične deformacije Δu i maksimalne elastične
deformacije Δe za pristup jednake energije linearnog i nelinearnog sistema
ODREĐIVANJE GLOBALNE DUKTILNOSTI
BETONSKE KONSTRUKCIJE
Rezultati globalne duktilnosti  mogu se sa dovoljnom
pouzdanošću koristiti kod primjene uobičajenih metoda
seizmičke analize u svakodnevnoj inženjerskoj praksi i
projektiranju.
Navedeno je iz razloga što se vrijednosti faktora ponašanja q i q p
računaju primjenom odredbi Eurocodea 8, koje su znanstveno
utemeljene i dokazane brojnim eksperimentalnim
istraživanjima.
ODREĐIVANJE GLOBALNE DUKTILNOSTI
BETONSKE KONSTRUKCIJE
Prema Eurocodeu 8, gornja granica vrijednost faktora ponašanja
za betonske konstrukcije određena je sljedećim izrazom:
q  q0 kW  1,5
(58)
q0 - osnovna vrijednost faktora ponašanja q ovisno o vrsti
konstrukcije
kw - faktor koji odražava prevladavajući oblik sloma
konstrukcije
ODREĐIVANJE GLOBALNE DUKTILNOSTI
BETONSKE KONSTRUKCIJE
Osnovna vrijednost faktora ponašanja q0 za građevine koje
zadovoljavaju uvjet regularnosti po visini, određuje se za
različite vrste konstrukcija, ovisno o njihovom razredu
duktilnosti, prema tablici.
Vrsta konstrukcije
DCM
okvirni sistem
dvojni sistem
zidni sistem sa povezanim zidovima
3
DCH
u
1
4,5
4
u
1
u
1
zidini sistem sa nepovezanim zidovima
3,0
sistem torzijski fleksibilan
2,0
3,0
sistem obrnutog njihala
1,5
2,0
Osnovne vrijednosti faktora ponašanja q
0
ODREĐIVANJE GLOBALNE DUKTILNOSTI
BETONSKE KONSTRUKCIJE
Razred duktilnosti promatrane okvirne predgotovljene betonske
konstrukcije je DCM (srednji razred duktilnosti). Iz navedenog
slijedi da osnovna vrijednost faktora ponašanja iznosi:
q0  3
u
1
u
1
(59)
- multiplikacioni faktor
Ukoliko se vrijednost multiplikacionog faktora ne računa, za
građevine koje zadovoljavaju kriterij regularnosti u tlocrtu,
može se kod okvirnih konstrukcije u ovisnosti o
karakteristikama konstrukcije odrediti prema tablici.
ODREĐIVANJE GLOBALNE DUKTILNOSTI
BETONSKE KONSTRUKCIJE
u
Ukoliko se vrijednost multiplikacionog faktora  1 ne računa, za
građevine koje zadovoljavaju kriterij regularnosti u tlocrtu,
može se kod okvirnih konstrukcije u ovisnosti o
karakteristikama konstrukcije odrediti prema tablici.
Vrsta konstrukcije
u
1
jednokatne građevine
1,1
višekatne, jednorasponske okvirne konstrukcije
1,2
višekatne, višerasponske okvirne konstrukcije, kao i dvojni
sistemi ekvivalentni okvirnim
1,3
u
Vrijednosti multiplikacionog faktora 
1
ODREĐIVANJE GLOBALNE DUKTILNOSTI
BETONSKE KONSTRUKCIJE
Faktor prevladavajućeg oblika sloma konstrukcije kW , definiran je
prema tablici.
Vrsta konstrukcije
kW
okvirne konstrukcije te njima ekvivalentni dvojni sistemi
1,0
zidni sistemi
sistemi ekvivalentni zidnim
torzijski fleksibilni sistemi
0,5 
1 0
 1,0
3
Vrijednosti faktora prevladavajućeg sloma konstrukcije
Za promatrani okvirni sistem, vrijednost faktora prevladavajućeg
oblika sloma konstrukcije iznosi:
kW  1,00
ODREĐIVANJE GLOBALNE DUKTILNOSTI
BETONSKE KONSTRUKCIJE
Uvrštavanjem vrijednosti osnovnog faktora ponašanja q0 te
faktora prevladavajućeg oblika sloma konstrukcije kW u
jednadžbu (58), dobije se vrijednost faktora ponašanja za
monolitnu betonsku konstrukciju q , koja iznosi:
q  3,90  1,00  3,90  u
q0  3 1,30  3,90
 1,30
1
U konačnosti je moguće uvrštavanjem u jednadžbu (57)
dobivenih vrijednosti faktora ponašanja za monolitnu
betonsku konstrukciju q te faktora smanjenja ovisnog o
konstrukcijskoj sposobnosti disipacije seizmičke energije k p ,
dobiti vrijednost faktora ponašanja q p predgotovljene
betonske konstrukcije, koja iznosi:
q p  1,00  3,90  3,90
ODREĐIVANJE FAKTORA PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Faktor ponašanja q p predgotovljene betonske konstrukcije
određuje se prema odredbama Eurocodea 8. Faktor
ponašanja q p , za predgotovljene konstrukcije koje
zadovoljavaju sve proračunske odredbe izračunava se
primjenom sljedeće jednadžbe:
qp  k pq
(57)
q p - faktor ponašanja za predgotovljene betonske
kp
q
konstrukcije
- faktor smanjenja ovisan o konstrukcijskoj sposobnosti
disipacije seizmičke energije
- faktor ponašanja za monolitne betonske konstrukcije
ODREĐIVANJE FAKTORA PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Redukcijski faktor k p ovisan je o kapacitetu disipacije seizmičke
energije predgotovljene konstrukcije, a definiran je u ovisnosti
o tipu spoja između predgotovljenih elemenata. Vrijednost
faktora smanjenja k p može poprimiti sljedeće vrijednosti:
k p = 1,00
k p = 0,50
- za konstrukcije sa spojevima prema odredbama
Eurocodea 8
- za konstrukcije sa ostalim spojevima
ODREĐIVANJE FAKTORA PONAŠANJA KONSTRUKCIJE
Budući da promatrana predgotovljena konstrukcija posjeduje
takve spojeve da je isti čine ekvivalentnu monolitnoj
konstrukciji u pogledu duktilnosti i disipacije seizmičke
energije, primijenjeni tipovi spojeva moraju zadovoljiti
odredbe Eurocodea 8 u dijelu koji se odnosi na predgotovljene
betonske konstrukcije. Iz navedenog slijedi da je vrijednost
redukcionog faktora k p  1,00 .