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“Su alcuni problemi nella Teoria
dei Linguaggi Formali”
Unita’ di Salerno
Marcella Anselmo
Clelia De Felice
Rosalba Zizza
Splicing Systems
Proposition
[Bonizzoni, cdf, Mauri, Zizza 2002]
Let L be a regular language, t  N, mi = wi [xi] be a
constant class, with [xi] being a simple or finite class, i 
{1, ..., t}. Let
L(mi)={y  L | y=y’1 m y’2, y’1 , y’2 A*, m  mi
}
Then, the language
L’ =
t

L(mi)
i 1
is a finite splicing language.
Head, Goode, Pixton 2002 (?)
Codici
(teoria classica)
DEFINITIONS
C  A* code   c1 , c2 , ..., ck , c’1 , c’2 , ..., ch  C
[ c1 c2 ... ck= c’1 c’2 ... c’h  h=k, i ci = c’i ]
(Finite codes)
C  A* prefix code 
C  C A+ = 
C  A* maximal code over A 
(C’ code, C  C’  C = C’ )
Conjecture 1 (Schützenberger). Every finite maximal code can
be obtained by composition of prefix and suffix codes.
(FALSE)
(Cèsari 1974, Boë 1978, Vincent 1985)
Conjecture 2 Every factorizing code can be obtained by
substitution of prefix and suffix codes.
RESULTS
[cdf, MFCS 00, IC 01]
Counterexamples to Conjecture 1 (Cèsari 1974, Boë 1978, Vincent
1985) can be obtained by substitution of prefix and suffix codes.
Proposition 1 Conjecture 2 is true for C=P(A-1)(1+w), w  A*
Proposition 2 C factorizing code, an  C, n >1 such that
ai bz  C i<n ; ybaj  C j <n.

C can be obtained by substitution of factorizing codes C(h) with
ak  C(h) , k < n.
Proposition 3 C=P(A-1)S+1 maximal code, PZ<a>, S Z<A>.
C can be obtained by substitution of prefix and suffix codes
Proposition 4
[cdf 02]
The relation
C=(a{0,2,4} + a{0,2,4}ba{0,7,9,11} ) (a+b-1) (a{0,1,6,7} + a{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}ba19 ) + 1
defines a 3-code C which cannot be obtained by substitution
(with other codes).
[cdf 02] Characterization of subsets C1  a*ba* such that
 n N ,  a factorizing code C with
C1  an = C  (a*ba*  an)
Corollary [cdf 02] Given X  a*ba* we can decide
whether  a factorizing code C such that X  C.
Proposition 5 [cdf IJAC 99]
Let C1 be a subset of a*ba* which satisfies inequalities
• C1 = aI baJ +  ai baLi (a-1) aJ +  aMj (a-1) aI b aj  0
iI’
jJ’
• aI aJ = (an-1) / (a-1)
Then, there exists an arrangement of C1 over a matrix
C1 =
j1,1 
 i1,1
 a ba
 i 2 ,1
j 2 ,1 
 a ba


 is , t
js , t
 a ba
  ai1, t ba j1, t 

  ai2 ,t ba j2 , t 




j
i
s,t
s
,
t
  a ba 
such that, for any row Tp and any column Rq , (Tp, Rq) is a Hajós
factorization of Zn having (I,J) as a Krasner companion factorization.
Equazioni tra
linguaggi
Equazione di coniugazione XZ=ZY
per linguaggi X,Y,Z.
Problema 1: Dato Z, caratterizzare (X,Y) tali che XZ=ZY
Problema 2: Data (X,Y), caratterizzare Z tale che XZ=ZY
• Generalizzazione della equazione di commutazione XZ=ZX
tra linguaggi (risolta per |X|=2 e per X prefisso [ Choffut,
Karhumaki, Ollinger 1999; Ratoandramanana 1989] ).
• Estensione ai linguaggi della equazione di coniugazione tra
parole xz=zy.
RISULTATI NOTI
[Cassaigne, Karhumaki, Manuch 2001]
x
z
X,Y overlapping
Z
y
z’
biprefisso
x
z
X,Y non overlapping
z’
Caratterizzazione di (X,Y) tali che XZ=ZY con:
- Z biprefisso e |Z|=2
- Z biprefisso, con soluzioni non overlapping
Caratterizzazione di Z tale che XZ=ZY con |X|=|Y|=2
y
OPEN:
XZ=ZY, Z biprefisso, X,Y overlapping
x
CONTRIBUTI
[cdf, Zizza 02]
z
z’
y
Z uniforme  X=Y
 i, wZ t.c. |w|=i  X=Y
XZ = ZX risolta per Z prefisso
[Choffut, Karhumaki, Ollinger 1999; Ratoandramanana 1989]
Codici
(teoria non classica)
Decifrabilita’ di codici
UD (unica decodifica di concatenazione di parole di codice)
MSD (unica decodifica a meno di una permutazione delle parole di codice)
SD (unica decodifica sullo stesso insieme delle parole di codice)
UD  MSD  SD
• Ogni UD soddisfa la disuguaglianza di Kraft-McMillan.
• Esistono MSD che non soddisfano la disuguaglianza di KraftMcMillan [Restivo, 1989]
RISULTATI NOTI
|C|=2
|C|=4
E PROBLEMI APERTI
UD = MSD = SD
[Lempel 86; Guzman 95]
UD  MSD  SD
[Guzman 95;
Head,Webwer 95]
?
C={c1 , c2 , c3 }
|c1 | = | c2 |  | c3 |
UD = MSD =SD
[Blanchet-Sadri, 2001]
Distribuzione di
lunghezze
uX =(un) n1
un= Card(XAn)
(length ditribution of XA+
)
uX(z)=  un zn
Problema 1 Caratterizzazione della distribuzione delle lunghezze
di un codice biprefisso
(Risultati parziali ed una congettura
[Ahlswede, Balkenhol, Khachatrian, 1997])
Problema 2 Semplificazione della caratterizzazione della
distribuzione delle lunghezze di un codice circolare
1. CONVEGNO
2. LETTERA
3. INVITI