Transcript 6_Analisis_Survival

Model untuk Data Survival
Model Cox PH (Cox, 1972) melakukan pemodelan terhadap
fungsi, karena hazard yg lebih besar berkaitan secara langsung
dengan waktu ketahanan yang lebih singkat.
Model Cox secara umum sbb:
h t   h 0 t  exp  1 x 1   2 x 2     p x p 
h0(t) adalah hazard baseline (dasar) pada waktu t yang bernilai
sama bagi semua pengamatan, x1, x2,…, dan xp mrp kovariat.
Jika dua individu punya kovariat (x11,x2) dan (x12,x2). Maka, rasio
h t 
h12 t   1
hazardnya adalah
h 2 t 
h12 t  
h 0 t  exp  1 x 11   2 x 2 
h 0 t  exp  1 x 12   2 x 2 

e
e
 1 x 11
 1 x 12
e
 1  x 11  x 12

Di sini tampak bahwa, rasionya tidak lagi mengandung hazard
dasar h0(t).
Jika X1 adalah penanda grup, maka rasio hazard dari pasien 1 di
grup A (X11 = 1) dan pasien 2 di grup B (X12 = 0) adalah
h12 t   e
 1  x 11  x 12

e
1
Jadi 1 = log [h12(t)] mrp log rasio hazard bagi grup A thdp
grup B, dan e  mrp rasio risiko dr grup A thd grup B.
1
Jika X1 mrp level dari variabel kontinu (misal., Umur (tahun))
maka rasio hazard dari dua pasien dengan selisih umur satu
tahun (yakni, X11 = X12 + 1) adalah
h12 t   e
 1  x 11  x 12

e
1
Jadi 1 = log [h12(t)] mrp log rasio hazard dua orang pasien

berbeda satu tahun. e
adalah rasio risiko antara dua pasien
berbeda satu tahun.
1
Kovariat kategori X3 (>2 grups) dikonversi ke dalam variabel
“dummy” (yaitu, berisi 0-1). Banyaknya variabel dummy adalah
kurang satu dari banyaknya kategori.
Misal kovariat dgn empat level stadium tumor dikonversi menjadi:
Stadium
Tumor (X3)
Konversi
Z1
Z2
Z3
1
0
0
0
2
1
0
0
3
0
1
0
4
0
0
1
Nilai  bagi setiap variabel dummy adalah log rasio hazard dari
kategori tsb terhadap kategori referensi (stadium 1 pada contoh ini).
Koefisien  dari model Cox PH dapat ditaksir dengan
menggunakan metode kemungkinan maksimum.
Jika kita punya n subyek, dimana terdapat r yang mati sedangkan
n-r sisanya tersensor kanan. r yang tsb diurutkan
t 1  t  2     t  r 
dimana t(j) adalah waktu kematian urutan ke-j.
R(t(j)) : risk set, himpunan subyek-subyek yg berisiko mati pada
waktu t(j) (terdiri atas yg masih hidup dan yg tidak tersensor
sesaat sebelum t(j))
Cox (1972) menunjukkan bhw fungsi kemungkinan utk model PH
r
exp  ' x  j  
L    
j  1  l  R t  exp   ' x l 
j
x(j) vektor kovariat dari subyek yang mati pada t(j).
Jika kita punya n waktu ketahanan, t1, t2,…, tn, dan indikator
penyensoran
 0,
i  
1,
tersensor kanan
lengkap
Fungsi kemungkinan dpt dinyatakan dlm bentuk lain sbg
L   
n

i 1


exp   ' x i 


  l  R  t  exp   ' x l  
i


i
Fungsi log-kemungkinannya
log L    
n

i 1
i
 ' x
i
 log

l R  t i


exp   ' x l 
Penaksir kemungkinan maksimum bagi parameter  diperoleh dgn
cara memaksimumkan fungsi log-kemungkinan ini dgn
menggunakan metode numerik, seperti metode NewtonRaphson.
Data ketahanan hidup 90 pasien kanker larynx. Data ini juga berisi
nilai-nilai dua kovariat (Usia dan Stadium). Karena kovariat
Stadium merupakan variabel kategorik dgn 4 level, maka kita
transormasi ke dalam variabel dummy,
Z1 = 1 jika pasien stadium 2, 0 lainnya
Z2 = 1 jika pasien stadium 3, 0 lainnya
Z3 = 1 jika pasien stadium 4, 0 lainnya
Hal ini berarti pasien stadium 1 merupakan grup pembanding
(referensi), dimana dia punya Z1 = Z2 = Z3 = 0.
Model Cox PH utk subyek ke-i
h i t   h 0 t  exp   1Z 1i   2 Z 2 i   3 Z 3 i   4 Age i 
Output model Cox PH mirip dgn output model regresi multipel.
• Efek (pengaruh) dr masing-masing kovariat
Lihat koefisien  dr kovariat tsb, lalu lihat juga p value-nya.
Bandingkan dgn  yg digunakan (jika p value-nya lebih kecil
maka kovariat ini signifikan).
• Memeriksa signifikansi model secara keseluruhan
Seperti nilai R2 dalam regresi multipel, dalam model Cox PH
adalah nilai log-kemungkinannya. Jika p valuenya lebih kecil dr
, berarti model secara keseluruhan adalah signifikan.
>
>
>
>
>
>
larynx <- read.table("C:\\larynx.csv",header=T,sep=",")
attach(larynx)
Z1 <- 1*(stage==2)
Z2 <- 1*(stage==3)
Z3 <- 1*(stage==4)
coxfit <- coxph(Surv(time,status)~Z1+Z2+Z3+age)
coef exp(coef) se(coef)
z
p
Z1 0.1400
1.15
0.4625 0.303 7.6e-01
Z2 0.6424
1.90
0.3561 1.804 7.1e-02
Z3 1.7060
5.51
0.4219 4.043 5.3e-05
age 0.0190
1.02
0.0143 1.335 1.8e-01
Rsquare= 0.184
(max possible=
Likelihood ratio test= 18.3 on
Wald test
= 21.1 on
Score (logrank) test = 24.8 on
 Significant
0.987 )
4 df,
p=0.00107
4 df,
p=0.000296
4 df,
p=5.57e-05
• Stadium tumo
Z1, Z2, dan Z3 membandingkan tumor stadium 2, 3 dan 4 dengan
stadium 1. Tumor paling parah (Z3, Stage 4) adalah signifikan
berbeda dgn Stadium 1 (p=5.3e-05). Nilai rasio log-hazard 5.51,
artinya risiko meninggal bagi stadium paling parah adalah
sekitar 5.5 kalinya dibandingkan stadium paling awal.
• Usia
ˆ 4 = 0.0190. Rasio hazard 1.02 artinya setiap peningkatan usia
1 tahun risiko meninggalnya bertambah sekitar 2%. Usia tidak
signifikan (p=0.18).