DEA-perusteiset resurssien allokointimallit

Mat-2.4142 Optimointiopin seminaari Kevät 2013 Esitelmä 10 Juuso Saarnikko

Työn saa tallentaa ja julkistaa Aalto-yliopiston avoimilla verkkosivuilla. Muilta osin kaikki oikeudet pidätetään.

Sisältö

• Johdanto • Resurssien allokointimallit (2 kpl) • Sovellus • Yhteenveto • Kotitehtävä

Johdanto

• Klassinen päätöksentekijän ongelma – Miten päätöksentekijä valitsee rajoitettujen resurssien käyttökohteet?

• Monta eri näkökulmaa otettava huomioon – Millä perusteilla eri vaihtoehtojen ”hyvyyttä” mitataan?

• Tasapuolisuus • Tekninen tehokkuus (DEA) • Tulostavoitetehokkuus • Tuotostavoitteet • DEA-pohjaisten resurssien allokointimenetelmien avulla pystytään analysoimaan mahdollisia tuotantojoukkoja ja tuotos/panossuhteita ja niiden optimoimista

Johdanto

• Yleinen tilanne: keskitetty päätöksentekijä, jonka alla toimintayksikköjä, joiden resurssit rajoitetut – Esimerkiksi miten jaetaan resursseja kauppaketjun eri kauppojen välillä • Yleensä tavoitteena jakaa resurssit mahdollisimman tehokkaasti kokonaishyöty tai jokin muu kriteeri maksimoiden (tuotosten kokonaissumma mahdollisimman suuri)

DEA perusteiset resurssien allokointimallit, intro

• Perinteinen DEA-malli ei riittävä – Ei huomioi päätöksentekijän preferenssejä – Mahdollistaa usein vain yhden yksikön tarkastelun ja analysoinnin kerrallaan suhteessa muihin – Ei huomioi kaikkia eri näkökulmia yksiköiden arvioinnissa • DEA-pohjainen resurssien allokointimenetelmä laajentaa perinteisen DEA-mallin sopivuutta tutkia resursseja

Resurssien allokointimalli #1

DEA-RAM (Resource allocation model)

• Golanyn ja Tamirin malli – Rakennettu additiivisen DEA-mallin pohjalta • Pyrkii maksimoimaan tulostavoitetehokkuuden • Perusmalli rakennettu tilanteeseen, jossa monta panosta mutta vai yksi tuotos

Taustaa

Efficiency – Effectiveness – Equality

• DEA alun perin kehitetty vain teknisen tehokkuuden (efficiency) analysointiin • Teknisen tehokkuuden parantamista ja tulostavoitetehokkuuden (effectiveness) analysointia varten monia jatkomalleja kehitetty tämän jälkeen – Resurssien allokointia myös muun kuin pelkän teknisen tehokkuuden nojalla – Tuotosjoukon tarkkailua annetuilla panoksilla, tai toisin päin • Muuttuja/Tavoite

Efficiency vs. Effectiveness

• Efficiency – Kuvaa valitun toiminnan tehokkuutta tavoitteen saavuttamiseksi – Kurssilta aikaisemmin tuttu tehokkuus – ”Tekninen tehokkuus” • Effectiveness – Kuvaa sitä kuinka hyvin asetetut tavoitteet saavutetaan – ”Tulostavoitetehokkuus” – Teknisesti tehokkaiden (efficient) yksiköiden tulostavoitetehokkuutta (effectiveness ) voidaan vielä parantaa ja kehittää • Resurssien allokointimalli yhtenä potentiaalisena vaihtoehtona

Equality

• Tasapuolisuusaste • Mittaa resurssien jakamisen tasapuolisuutta päätöksentekijän päätöksen alaisuudessa oleville tuotantoyksiköille • Gini-mittari epätasapuolisuudelle (Mandell, 1991)

• • • • 1 2 3 4

Selventävä esimerkki

Efficiency – Effectiveness – Equality School Teachers Test Attendance Students

11 13 13 12

Capital

10

SE Index

1 20 15 11 3 1 2 85 89 80 90 87 95 84 95 407 430 455 420 3 panosta, 2 tuotosta Tekninen tehokkuus (efficiency ) voidaan määrittää DEA:n keinoin – Panos/tuotossuhde Tulostavoitetehokkuus (effectiveness ) määritetään tavoitteiden saavuttamisen perusteella – Esimerkiksi koulu on tulostavoitetehokas jos sen testituloksien ka. on yli 85 ja paikallaoloprosentti vähintää 90 %.

Tasapuolisuusaste määritetään opettajien määrällä sataa oppilasta kohden, keskiarvon ollessa 2.86

Selventävä esimerkki, tulokset

School

1 2 3 4

Efficiency

Yes No No yes

Effectiveness

No Yes No yes

Equality

Under Over Average Average • Miten näitä yksiköitä voidaan nyt vertailla eri kriteerien valossa? Miten allokoida resursseja?

 DEA perusteinen resurssien allokointimalli • Miten trade-offit arvotetaan?

DEA-RAM resurssien allokointimalli matemaattisesti, Golany&Tamir

𝑛 𝑀𝑎𝑥 𝑦 𝑗 𝑗=1 • Maksimoidaan yksikköjen tuotosten summaa (tulostavoitetehokkuutta) s.e.

𝑛 𝑌 𝑘 ∗ λ 𝑘𝑗 𝑘=1 ≥ 𝑦 𝑗 𝑛 𝑋 𝑖𝑘 ∗ λ 𝑘𝑗 ≤ 𝑥 𝑖𝑗 𝑘=1 • Tuotokset ja panokset saadaan olemassa olevasta mitatusta/havaitusta datasta allokoimalla resurssit optimaalisesti 𝑛 λ 𝑘𝑗 𝑘=1 = 1 • Rajoitetaan panokset ylärajan B alapuolelle 𝑢 𝑥 𝑖𝑗 ≤ 𝐵 𝑖 𝑗=1 λ 𝑘𝑗 , 𝑥 𝑖𝑗 , 𝑦 𝑖 ≥ 0

DEA-RAM resurssien allokointimallin lisälaajennukset

1.

• Tasapainoisuusasteen tarkkailu ja sen vertailu tulostavoitetehokkuuteen ja tekniseen tehokkuuteen Verrataan ”epätasapainoisuutta” tehokkuuksiin ja muutetaan mallia vastaavasti hyödyntäen Gini-kerrointa (1) 2.

– Harkinnanvaraiset rajoitteet Rajoitetaan päätöksentekijän päätöksiä tietylle alueelle – Esimerkiksi työntekijöiden määrää saa muuttaa vain tietyillä prosenttiosuuksilla eikä mielivaltaisesti (1) Mandell , M. B., ”Modelling Effectiveness-Equity Trade-offs in Public Service Delivery Systems,”

Management Science

., 37. 4(1991), 467-482.

DEA-RAM resurssien allokointimallin lisälaajennukset

3.

4.

5.

– – Monen tuotoksen malli • DEA-mallissa pystytään helposti analysoimaan monta tuotosmuuttujaa omaavaa mallia Resurssien allokointimalli voidaan rajoituksin muokata myös kykeneväksi ratkomaan monen tuotoksen malleja Tällöin kuitenkin joudutaan rakentamaan subjektiivisten painojen avulla yhteys eri tuotosten välille Teknisen tehokkuuden saavuttamattomuuden huomioonottaminen – Vaikka resursseja allokoitaisiinkin uudelleen, osa yksiköistä saattaa pysyä yhä teknisesti tehottomana • Mallin laajentamismahdollisuutena esitetään teknisellä tehokkuusarvolla painotettua tarkkailua tasapuolisempana vaihtoehtona – Tulostavoitetehokkuuden rajoitteet Tuodaan malliin laajennuksena alarajatavoite tulostavoitetehokkuudelle, joka tulee täyttyä ennen kuin yksikköä voidaan pitää tulostavoitetehokkaana/varteenotettavana vaihtoehtona

• • •

Vertaus aikaisempaan malliin (Mandell 1991)

Mandell kehitti aikaisemmin mallin, jossa vertaillaan tasapainoisuuden ja tulostavoitetehokkuuden painottamista ja arviointia s.e.

𝑀𝑎𝑥 𝑍 = 𝐻(𝑥 𝑗 , 𝑢 𝑗 ) 𝑗 𝐺 ≤ 𝛿 Regressiomalli*, jolla tuotantofunktio estimoidaan 𝑥 𝑖𝑗 𝑗 ≤ 𝐵 𝑖𝑗 𝑥 𝑗𝑖 ≥ 0 Maksimoidaan oletettua tuotantofunktiota, joka riippuu panoksista 𝑖 = 1, … , 𝑠, 𝑗 = 1, … , 𝑛 𝐺 = 𝑗 𝑘>𝑗 |𝑞 𝑘 ∗ 𝑇 𝑗 𝑇 𝑗 𝑗 − 𝑞 𝑖 ∗ 𝑇 𝑘 | • Sisältää Gini-kertoimen epätasapainoisuudelle, jolla maksimiarvo *=( ei esitetä tässä esitelmässä)

Golany&Tamir vs. Mandell

Golany&Tamir

Ei tarvetta etukäteisoletuksiin tuotantofunktiosta Mallintaa lähtödataa suoraan kokoajan - Lineaarinen ohjelmointi

Mandell

- olettaa tuotantofunktion tunnetuksi - Mallintaa tuotantofunktion lähtödatan perusteella Epälineaarinen ohjelmointi - Tarkastelee tehokasta rintamaa eli parhaiksi havaittujen yksiköiden suorituskykyä empiirisessä tuotantofunktiossaan Tarkastelee yksiköiden keskimääräistä suorituskykyä tuotantofunktion estimoinnissaan

Golany&Tamir vs. Mandell

Golany&Tamir vs. Mandell

• Tuotantofunktio-oletus ja keskimääräisen suorituskyvyn tarkkailu Mandellin mallissa aiheuttavat ”alisuorittavan” ratkaisun • DEA RAM taas käyttää tehokasta rintamaa

Yhteenveto DEA-RAM

• Resurssien allokointimalli, joka pyrkii ottamaan huomioon teknisen tehokkuuden, tulostavoitetehokkuuden (ja tasapainoisuuden) • Kehitetty additiivisen DEA-mallin pohjalta • Pyrkii paikkaamaan aikaisempien mallien heikkouksia kuten edellä vertailtiin

Resurssien allokointimalli #2

Taustaa

• DEA-mallin avulla pystytään määrittämään tuotantomahdollisuusjoukko • DEA:n lisäksi hyödynnetään monitavoitteista lineaarista ohjelmointia (MOLP) – Etsitään samanaikaisesti optimaalista ratkaisua usealle eri tavoitteelle • Yksiköillä mahdollisuus muokata tuotantoaan tuotantomahdollisuusjoukossa tietyin ehdoin • Resurssien allokointia ottaen huomioon kaikkien tuotantoyksiköiden tuotokset yhtä aikaa

Taustaa

• Ratkottava ongelma samanlainen kuin edellä esitetyssä mallissa – Keskitetty päätöksentekoyksikkö • Määrittää esimerkiksi työvoimaresurssit tuotantoyksiköille kokonaistuotos maksimoiden • Miettiä kannattaako jokin yksikö sulkea jopa kokonaan • – Tuotoksia ja panoksia enemmän kuin yksi • Tarvitaan monitavoiteoptimointia (MOLP)  Ratkaisutapa tässä mallissa täten eroaa edellisestä koska useaa tavoitetta optimoidaan samanaikaisesti • Useampia tavoitteita – 𝑀𝑎𝑥 𝒚 – 𝑀𝑖𝑛 𝒙 Ei yhtä oikeaa vastausta vaan käypien ratkaisujen joukko

Tehokas resurssien allokointimalli

•

Määritelmä:

allokointimalli, jossa päätöksentekijä pyrkii allokoimaan lisäresursseja tai olemassa olevia resursseja uudelleen saavuttaakseen optimaaliset tuotokset 1.

Määritetään nykyisistä panoksista ja tuotoksista tuotantomahdollisuusjoukko ja muutosmahdollisuusjoukko (CCR/CRS tai BCC/VRS perustainen) 2.

3.

Oletetaan panokset resursseiksi ja tuotokset tavoitteiksi Kun kyseessä olevia tavoitteita enemmän kuin yksi puhutaan monitavoiteoptimoinnista (MOLP)

Tehokas resurssien allokointimalli

𝑀𝑎𝑥 Δ𝒚 = Δ𝒀1 = Δ𝒚 1 , Δ𝒚 2 , … , Δ𝒚 𝑛 1 s.e.

𝒚 𝑖 𝒙 𝑖 + Δ𝒚 + Δ𝒙 𝑖 𝑖 ∈ 𝑇 T = 𝒚 𝒙 𝒚 ≤ 𝒀𝝀, 𝒙 ≤ 𝑿𝝀, 𝝀 ∈ 𝟎, 𝒙 ≥ 𝟎}, 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝒏 Λ,

y

≥ Λ = λ λ ∈ R 𝑗𝑎 𝐴λ ≤ 𝑏 , • • T on tuotantomahdollisuusjoukko 𝒚 𝒙 𝑖 𝑖 + Δ𝒚 + Δ𝒙 𝑖 𝑖 kuvaa tuotos- ja panosvektoreita allokoinnin jälkeen • 𝐹 𝑖 on tuotantosuunnitelmien joukko, jonka yksikkö i voi saavuttaa. Tätä kutsutaan myös

muutosmahdollisuusjoukoksi

(transformation possibility set) 𝒚 𝑖 𝒙 𝑖 + Δ𝒚 𝑖 + Δ𝒙 𝑖 ∈ 𝐹 𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, •

r

on sallittujen resurssimuutosten joukko Δ𝒙 = Δ𝑿1 = Δ𝒙 1 , Δ𝒙 2 , … , Δ𝒙 𝑛 1 ≤ 𝑟

Tuotantomahdollisuusjoukko vs. muutosmahdollisuusjoukko

•

Tuotantomahdollisuusjoukko T

käyvät tuotantojoukot kuvaa kaikki teknisesti •

Muutosmahdollisuusjoukko F

kuvaa yksikön pystyvyyttä muuttaa tuotantoaan rajoitteiden rajoissa

•

Tehokas resurssien allokointimalli – case 1 & 2

Case 1 – Suhteelliset skaalaukset sallittuja tuotoksissa ja panoksissa • Näin rakennetaan muutosmahdollisuusjoukko F • Case 2 – Yksikön tekninen tehokkuus pidetään vakiona • Näin rakennetaan muutosmahdollisuusjoukko F • Molemmissa tapauksissa katsotaan tuotantomahdollisuusjoukot CCR/CRS ja BCC/VRS malleihin perustuen

Case 1

• Suhteellinen tuotosten ja panosten skaalaus sallittu ja rajoitettu • δ kuvaa pienimmän suhteen panosten muutokselle, joka toimii ylärajana tuotosmuuttujille • Saadaan muutosmahdollisuusjoukko F Esimerkkirajoitteet:

Case 1

• Ehdot tuotantomahdollisuusjoukolle – CCR/CRS-tapauksessa – BCC/VRS-tapauksessa

Case 1

• MOLP-ongelma saadaan muotoon • Lisäehdot BCC/VRS:lle

Case 1

• • Resurssien allokoinnin ratkaisu: – Suurimman marginaalituoton omaavalle yksikölle allokoidaan ensimmäisenä lisäresurssit kunnes yläraja saavutetaan – Jne. kunnes kaikki resurssit jaettu Esimerkin tulokset:

Case 1

• Marginaalituotto graafisesti tarkoittaa jyrkintä kulmakerrointa pisteen ja origon kautta piirrettynä (CCR-CRS) – BBC-VRS-tapauksessa tuotantomahdollisuusjoukko kuitenkin lisärajoitteena

Case 2

• Tehokkuus pidetään vakiona epätehokkuusluvun σ avulla resursseja allokoidessa – Tehokkuus θ=1/(1+σ) – Lisärajoitteet: • Lisäehdot BCC/VRS:lle • Myös itse MOLP-ongelma muokkautuu vastaavasti rajoitteiden pohjalta

Case 2

• • • • • •

Tehokas resurssien allokointimalli – esimerkkisovellus

Resurssien allokointi supermarketeissa – 25 myymälää Kaksi tuotosmuuttujaa – Liikevaihto – Voitto Kaksi panosmuuttujaa – Työvoima – Koko Yksiköt eivät voi vaikuttaa havaittuihin epätehokkuuslukuihin Molemmissa tapauksissa tavoite on maksimoida liikevaihto ja voitto Pareto Race menetelmänä optimointiongelman ratkaisun löytämisessä

Supermarkettien resurssiallokointisovellus

• Model 1: – Case 1 ja CRS • 1% muutokset kaikkien panosten summaan sallittuja (

r

) • Panokset rajoitettuja – 10 % lasku sallittu – 30 % kasvu sallittu • Model 2: – Case 2 ja VRS • Koko vakio • Työtuntien summan muutokset rajoitetaan yhden prosentin kasvuun (

r

) • Työtunnit rajoitettuja – 10 % lasku sallittu – 30 % kasvu sallittu • Ongelma siis käytännössä työvoiman uudelleen sijoittelun optimointi

Supermarkettien resurssiallokointisovellus

Supermarkettien resurssiallokointisovellus

• Model 1: – Solution 1 • Ratkaisu perustuen liikevaihtoon – Solution 2 • Ratkaisu perustuen voittoon – Solution 3 • Ratkaisu perustuen molempiin tekijöihin • Tehokkaat yksiköt saivat lisäresursseja • Yksikään tehoton yksikkö ei saa lisäresursseja jokaisessa ratkaisuvaihtoehdossa

Supermarkettien resurssiallokointisovellus

3, 10, 23, 25 CCR-tehokkaita

Supermarkettien resurssiallokointisovellus

• Model 2 – Solution 1 • Ratkaisu perustuen liikevaihtoon – Solution 2 • Ratkaisu perustuen voittoon • Myös jotkin epätehokkaat yksiköt saavat lisää työvoimaa • Tulokset vaihtelevat ratkaisujen 1 ja 2 välillä

Supermarkettien resurssiallokointisovellus

3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 23, 25 BCC tehokkaita

Yhteenveto

• DEA-mallin ja monitavoiteoptimoinnin yhdistävä menetelmä resurssiallokoinnille – Kaksi menetelmää 1.

Suhteellisiin muutoksiin perustuva menetelmä 2. Vakiotehokkuuksinen menetelmä 1.

Nämä muodostavat reunaehdot tehtäville (Case 1 & 2) • Käytännön sovellus, jossa molempia menetelmiä hyödynnettiin

Kotitehtävä

1.

Golanyn ja Tamirin DEA-RAM-malli a) Minkä haasteen resurssien allokointimallit kohtaavat monen tuotoksen malleissa?

b) Miksi DEA-RAM-mallin ja Mandellin mallin lopulliset kokonaistuotosarvot eroavat? Esitä asia sanallisesti ja/tai graafisesti 2.

Korhosen ja Syrjäsen tehokas resurssien allokointimalli a) b) Miten esitelmässä esitetyn tehokkaan resurssien allokointimallin case 2:ssa määritetään yksikön E uudelleen allokoidut panos- ja tuotosarvot?

Miten selittäisit tuotos/panossuhteen muutokset case 2:n tuloksissa esim. yksikölle A vaikka ehtona on, että tehokkuus säilyy vakiona?

(Case 2 = artikkelin kpl 3.2 (vakiotehokkuus))

Lähteet

• Golany ja Tamir (1995): Evaluating efficiency-effectiveness-equality trade-offs: a data envelopment analysis approach, Management Science 41/7, 1172-1184.

• Korhonen ja Syrjänen (2004): Resource allocation based on efficiency analysis, Management Science 50/8, 1134-1144.