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ÂNGULOS
1) OPERAÇÃO COM ÂNGULOS 38 o 29’ 51’’ + 15 o 45’ 24’’ 38 o 29’ 51’’ + 15 o 45’ 24’’ 53º 74’ 75’’ 54º 15’ 15’’
2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
Ângulo agudo:
90º
Ângulo reto: Ângulo obtuso: Ângulo raso:
= 90º > 90º = 180º
2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
Ângulo nulo:
= 0 o (lados coincidentes)
Ângulo de 1 volta: Ângulos adjacentes:
= 360 o Mesmo comum comuns vértice entre os e um lados lado não
Ângulos consecutivos:
Mesmo vértice e, dois a dois, um lado comum.
2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
Ângulos complementares: Ângulos suplementares:
+ = 90º + = 180º
Ângulos replementares:
+ = 360º
3) ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL.
t
c b d a
r
g f h e
s Correspondentes
: a e e; d e h; b e f; c e g.
Opostos pelo vértice:
a e c; b e d; e e g; f e h.
Alternos internos:
d e f; c e e.
Alternos externos:
a e g; b e h.
Colaterais internos:
d e e; c e f.
Colaterais externos:
a e h; b e g.
Questão 3:
(UFES)
O triplo do complemento de um parte do suplemento deste ângulo é igual à terça ângulo. Este ângulo mede: a) 45 o b) 48 o c) 56 o 30 ’ 15 ’ d) 60 o e) 78 o 45 ’
Questão 3: Solução: O triplo do complemento de um suplemento deste ângulo.
ângulo é igual à terça parte do
3 .( 90
x
) 1 3 .( 180
x
)
x 60’ 630º 8 6º 78º
270 3
x
810 9
x
1 3 .( 180 180
x
x
) 8
x
630
360º 8 0 45’ x
78
o
45 '
Questão 13:
(UF-ES)
3 + Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas então vale: a)225 o b)195 o c)215 o d)175 0 e)185 0
Questão 13: Solução:
= 45º
= 60º
3 3 3 .
45 60 195
o 15º 30º 30º 60º 60º
Questão 16:
(UF-MG)
Na figura, AC = CB = BD e A = 25 o . O ângulo x mede: a)50 o b)60 o c)70 o d)75 o e)80 o
Questão 16: Solução: AC = CB = BD 130º 50º 25º 50º
POLÍGONOS
1) POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO-CONVEXOS CONVEXO NÃO-CONVEXO
2) SOMA DOS ÂNGULOS n = 3 n = 4 n = 5 1 x 180º S i = 180º 2 x 180º S i = 360º 3 x 180º S i = 540º S i = (n – 2).180
o
2) SOMA DOS ÂNGULOS S e = 360 o
3) NÚMERO DE DIAGONAIS n o de diagonais determinadas a partir de 1 vértice: (n – 3) n o de diagonais de um polígono c/ n lados:
d
n
.(
n
3 ) 2
Questão 2:
(CESCEM-adaptada)
a soma dos Se ABCDE é um polígono regular, então ângulos assinalados na figura é: a) 90 o b)120 o c)144 o d)154 o e)180 o
Questão 2: Solução: 180º – C – E S i
(
n
2 ).
180
o S i
( 5
S i
540
o
2 ).
180
o 180º – B – D 180º – A – D 180º – A – C 180º – B – E
180 – A – C + 180 – B – D + 180 – C – E + 180 – A – D + 180 – B – E = 540 2A + 2B + 2C + 2D + 2E = 360 2.(A + B + C + D + E) = 360 (A + B + C + D + E) = 180 º
Questão 4:
(ESAF/2006)
Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus ao vértices é igual número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a: a) 11 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18
Questão 4: Solução: O número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono.
Diagonais a partir de um dos vértices: (n – 3) Diagonais de um hexágono: d d d
n
.(
n
2 3 6 .( 6 2 3 ) ) 9
Então: n – 3 = 9 n = 12
Questão 6:
No hexágono ABCDEF abaixo, a medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.
a)100 o b)110 o c)120 o d)130 o e)140 o
Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.
x 4x
5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180
5x + 520 = 720 5x = 200 x = 40
Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.
20º
80º
5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180
5x + 520 = 720 5x = 200 x = 40 + 20 + 160 + 80 = 360 = 100º
Questão 8:
Na figura seguinte, o valor de a) 90 o b) 95 o c) 100 o d) 110 o e) 120 o é:
Questão 8: Solução:
110º 75º
TRIÂNGULOS
1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA
Em todo triângulo, qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença entre os outros dois.
b c a b - c a b + c
2) ELEMENTOS Altura: é o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto, perpendicularmente.
Bissetriz interna
: é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos de medidas iguais.
AB BP AC PC 2) ELEMENTOS Observação: Teorema da Bissetriz Interna.
A bissetriz interna de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados.
A
AB
BP AC PC
B P C
2) ELEMENTOS
Mediana
: é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.
Mediatriz
: é a reta perpendicular a um lado, que o divide em dois segmentos de mesma medida.
2) ELEMENTOS
Baricentro
: é o ponto de interseção das medianas. OBSERVAÇÃO: O baricentro divide cada mediana na razão 2/3 a partir do vértice.
2) ELEMENTOS
Incentro
: é o ponto de interseção das bissetrizes. OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Assim, o incentro é eqüidistante dos lados do triângulo.
2) ELEMENTOS
Circuncentro
: é o ponto de interseção das mediatrizes.
OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Assim o circuncentro é eqüidistante dos vértices do triângulo.
2) ELEMENTOS
Ortocentro
: é o ponto de interseção das alturas.
2) ELEMENTOS
OBSERVAÇÃO:
Os três pontos de interseções, baricentro, circuncentro e ortocentro, de uma maneira geral são pontos distintos.
Mas em qualquer triângulo, eles estão alinhados (Reta de Euller).
Se o triângulo for eqüilátero, os quatro pontos (baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro) são coincidentes.
2) ELEMENTOS
3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes quando possuem
homólogos
* proporcionais e
lados
ângulos respectivamente de mesmas medidas.
* lados homólogos: são lados opostos a ângulos iguais.
3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 45 o 60 o 45 o 60 o 2 cm 50 o 3 cm 3 cm 50 o 4,5 cm 4 cm 2 cm 3 cm 8 cm 4 cm 6 cm
4) RELAÇÕES RETÂNGULO MÉTRICAS NO TRIÂNGULO A b h C
m
a
n
c B b 2 = a.m
h 2 = m.n
a.h = b.c
a 2 = b 2 + c 2 c 2 = a.n
5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER Triângulo Acutângulo: Num triângulo acutângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, produto de um deles pela
menos
duas vezes o projeção do outro sobre ele.
C A b
m
c h a
n
B a 2 = b 2 + c 2 - 2c.m
5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER Triângulo Obtusângulo: Num triângulo obtusângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados,
mais
duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele. C a a 2 = b 2 + c 2 + 2c.n
h b
n
A
m
c B
6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS C hipotenusa cateto oposto B cateto adjacente A
sen
cateto oposto hipotenusa
cos
cateto adjacente hipotenusa tg
cateto oposto cateto adjacente
6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 30 o 45 o 60 o
sen
1 2 2 2 2 3
cos
1 2 2 3 2 2
tg
3 3 1 3
7) LEI DOS SENOS
Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.
a senA b senB c senC 2 .
r
8) LEI DOS COSSENOS
Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.
a 2 = b 2 + c 2 – 2.b.c.cosA
Questão 3
(COVEST 2003)
10 100 – 1 e 10 100 Um + 1: a) é isósceles triângulo com lados medindo 2.10
b) é retângulo c) tem d) tem área 10 150 – 1 perímetro 4.10
150 e) é acutângulo 50 ,
Solução:
( 10 100 1 ) 2 ( 10 100 1 ) 2 ( 2 .
10 50 ) 2 10 200 2 .
10 100 1 10 200 2 .
10 100 1 4 .
10 100
O triângulo é retângulo.
Questão 4
(COVEST 2006)
A ilustração a seguir representa uma escada de comprimento 2,5m apoiada em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada está a uma distância de 0,70m da parede. Determine a aresta da maior caixa que pode ser transportada pela cúbica região limitada pela escada e pela parede vertical. (Aproxime seu resultado centésimos) até os
Questão 4
x y
2 0 , 7 2 2 , 5 2
y
2 0 , 49 6 , 25
y
2 5 , 76
y
2 , 4
m x 2,4 – x
2 , 4 2 , 4
x
x
1 , 68 0 , 7 .
0 , 7
x
2 , 4 .
x
3 , 1 .
x
1 , 68
x
0 , 54
m 0,70m
Questão 8
(COVEST 2001 – 2ª fase)
Na ilustração a seguir, CD é um diâmetro da circunferência com centro em O e raio 8. AC e BD são perpendiculares a AB, e AB é tangente à circunferência em T. Se AB = 12, calcule AO.
x
8 6 6 8 8
Solução: x
2 6 2 8 2
x
2 100
x
10
Questão 12
(Vunesp-adaptada)
bissetriz do No triângulo ABC da figura, BD é ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â.
a) 60 o b) 70 o c) 80 0 d) 90 o e) 100 o
OBSERVAÇÃO:
x
x + = + x + = + + x = 2.
= +
Questão 12
(Vunesp-adaptada)
bissetriz do No triângulo ABC da figura, BD é ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â.
a) 60 o b) 70 o c) 80 0 d) 90 o
X
o
Questão 13
(COVEST 2001)
dos Na figura abaixo, BC e AC são bissetrizes ângulos DBE e DAB, respectivamente. Se o ângulo ACB mede 21 o 30 ’, qual é a medida, em graus, do ângulo ADB?
b) 41 c) 40 d) 44 e) 42
Questão 17
(UCSal/93-adaptada)
ABC, cujo Na figura abaixo têm-se o triângulo perímetro é 26cm. O losango ADEF, cujos lados medem 4cm. Se BC mede 8cm, os outros dois lados do triângulo ABC medem: a) 5 e 13 b) 6 e 12 c) 7 e 11 d) 8 e 10 e) 9 e 9
Solução: x 4 4 4 4 y 8
x + y = 10 4 4
x y
4 4 .
y
x
.
y y
16 4 .
y x
.
y
16 x = 8 e y = 2 Os lados valem 6cm e 12cm
Questão 18
(Vunesp)
Do quadrilátero ABCD de figura, sabe-se que os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45 º e 30º; o lado CD mede 2dm.
Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm: a ) 6 e 3 b ) 5 e 3 c ) 6 e d ) 6 e e ) 3 e 2 5 5
OBSERVAÇÃO:
cat. oposto hipotenusa 30 o cat. adjacente
sen
30
o
cat
.
oposto hipotenusa
1 2
tg
30
o
cat
.
oposto cat
.
adjacente
3 3
cat
.
adjacente
3 .
cat
.
oposto
3
cat
.
oposto
1 2 .
hipotenusa
cat
.
adjacente
3 .
cat
.
oposto
OBSERVAÇÃO:
4 8 4.
3 30 o 6 12 6.
3 30 o 5 10 5.
3 30 o 7 14 7.
3 30 o
Solução:
2 .
3 = 6
45 o 30 o
Questão 19
(UFBA/93-adaptada)
Considere o triângulo eqüilátero ABC, com lado medindo 6cm. Seja M o ponto médio do lado AC, e seja P o ponto do lado BC tal que PB = 2cm. Sendo x cm 2 área de um quadrado de lado MP, determine x.
a
Solução:
6 A 3 B M
x
2 P 4 3
60 o
C
x
2 3 2 4 2 2 .
3 .
4 .
cos 60
o x
2
x
2 9 16 24 .
1 2 13
Questão 20
(UnB-DF/adaptado)
Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo AMD, sabendo que M é o ponto médio de BC.
a) 15 o b) 20 o c) 30 o d) 40 o e) 50 o
OBSERVAÇÃO:
Solução: 20 o 50 o 80 o
40 o
60 o 60 o 20 o