ÂNGULOS

1) OPERAÇÃO COM ÂNGULOS 38 o 29’ 51’’ + 15 o 45’ 24’’ 38 o 29’ 51’’ + 15 o 45’ 24’’ 53º 74’ 75’’ 54º 15’ 15’’

2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

Ângulo agudo:

  90º

Ângulo reto: Ângulo obtuso: Ângulo raso:

 = 90º  > 90º  = 180º

2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

Ângulo nulo:

 = 0 o (lados coincidentes)

Ângulo de 1 volta: Ângulos adjacentes:

 = 360 o Mesmo comum comuns vértice entre os e um lados lado não

Ângulos consecutivos:

Mesmo vértice e, dois a dois, um lado comum.

2) CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS

Ângulos complementares: Ângulos suplementares:

     +  = 90º  +  = 180º

Ângulos replementares:

   +  = 360º

3) ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E UMA TRANSVERSAL.

t

c b d a

r

g f h e

s Correspondentes

: a e e; d e h; b e f; c e g.

Opostos pelo vértice:

a e c; b e d; e e g; f e h.

Alternos internos:

d e f; c e e.

Alternos externos:

a e g; b e h.

Colaterais internos:

d e e; c e f.

Colaterais externos:

a e h; b e g.

Questão 3:

(UFES)

O triplo do complemento de um parte do suplemento deste ângulo é igual à terça ângulo. Este ângulo mede: a) 45 o b) 48 o c) 56 o 30 ’ 15 ’ d) 60 o e) 78 o 45 ’

Questão 3: Solução: O triplo do complemento de um suplemento deste ângulo.

ângulo é igual à terça parte do

3 .( 90 

x

)  1 3 .( 180 

x

)

x 60’ 630º 8 6º 78º

270  3

x

810  9

x

  1 3 .( 180 180 

x



x

) 8

x

 630

360º 8 0 45’ x

 78

o

45 '

Questão 13:

(UF-ES)

3  +  Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas então vale: a)225 o b)195 o c)215 o d)175 0 e)185 0

Questão 13: Solução:



= 45º



= 60º

3    3     3 .

45  60  195

o 15º 30º 30º 60º 60º

Questão 16:

(UF-MG)

Na figura, AC = CB = BD e A = 25 o . O ângulo x mede: a)50 o b)60 o c)70 o d)75 o e)80 o

Questão 16: Solução: AC = CB = BD 130º 50º 25º 50º

POLÍGONOS

1) POLÍGONOS CONVEXOS E NÃO-CONVEXOS CONVEXO NÃO-CONVEXO

2) SOMA DOS ÂNGULOS n = 3 n = 4 n = 5 1 x 180º S i = 180º 2 x 180º S i = 360º 3 x 180º S i = 540º S i = (n – 2).180

o

2) SOMA DOS ÂNGULOS    S e = 360 o   

3) NÚMERO DE DIAGONAIS n o de diagonais determinadas a partir de 1 vértice: (n – 3) n o de diagonais de um polígono c/ n lados:

d



n

.(

n

 3 ) 2

Questão 2:

(CESCEM-adaptada)

a soma dos Se ABCDE é um polígono regular, então ângulos assinalados na figura é: a) 90 o b)120 o c)144 o d)154 o e)180 o

Questão 2: Solução: 180º – C – E S i

 (

n

 2 ).

180

o S i

 ( 5 

S i

 540

o

2 ).

180

o 180º – B – D 180º – A – D 180º – A – C 180º – B – E

180 – A – C + 180 – B – D + 180 – C – E + 180 – A – D + 180 – B – E = 540 2A + 2B + 2C + 2D + 2E = 360 2.(A + B + C + D + E) = 360 (A + B + C + D + E) = 180 º

Questão 4:

(ESAF/2006)

Em um polígono de n lados, o número de diagonais determinadas a partir de um de seus ao vértices é igual número de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a: a) 11 b) 12 c) 10 d) 15 e) 18

Questão 4: Solução: O número de diagonais determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número de diagonais de um hexágono.

Diagonais a partir de um dos vértices: (n – 3) Diagonais de um hexágono: d d d

 

n

.(

n

2  3 6 .( 6 2  3 ) )  9

Então: n – 3 = 9 n = 12

Questão 6:

No hexágono ABCDEF abaixo, a medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.

a)100 o b)110 o c)120 o d)130 o e)140 o

Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.

x 4x

5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180

5x + 520 = 720 5x = 200 x = 40

Questão 6: Solução: A medida do ângulo ABC é o quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.

20º



80º

5x + 160 + 120 + 90 + 150 = (6 – 2).180

5x + 520 = 720 5x = 200 x = 40   + 20 + 160 + 80 = 360 = 100º

Questão 8:

Na figura seguinte, o valor de a) 90 o b) 95 o c) 100 o d) 110 o e) 120 o  é:

Questão 8: Solução:

110º 75º

TRIÂNGULOS

1) CONDIÇÃO DE EXISTÊNCIA

Em todo triângulo, qualquer lado é menor que a soma e maior que a diferença entre os outros dois.

b c a  b - c   a  b + c

2) ELEMENTOS Altura: é o segmento de reta que liga um vértice ao lado oposto, perpendicularmente.

Bissetriz interna

: é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos de medidas iguais.

AB  BP AC PC 2) ELEMENTOS Observação: Teorema da Bissetriz Interna.

A bissetriz interna de um triângulo determina sobre o lado oposto dois segmentos proporcionais aos outros dois lados.

A

AB



BP AC PC

B P C

2) ELEMENTOS

Mediana

: é o segmento de reta que liga um vértice ao ponto médio do lado oposto.

Mediatriz

: é a reta perpendicular a um lado, que o divide em dois segmentos de mesma medida.

2) ELEMENTOS

Baricentro

: é o ponto de interseção das medianas. OBSERVAÇÃO: O baricentro divide cada mediana na razão 2/3 a partir do vértice.

2) ELEMENTOS

Incentro

: é o ponto de interseção das bissetrizes. OBSERVAÇÃO: O incentro é o centro da circunferência inscrita no triângulo. Assim, o incentro é eqüidistante dos lados do triângulo.

2) ELEMENTOS

Circuncentro

: é o ponto de interseção das mediatrizes.

OBSERVAÇÃO: O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. Assim o circuncentro é eqüidistante dos vértices do triângulo.

2) ELEMENTOS

Ortocentro

: é o ponto de interseção das alturas.

2) ELEMENTOS

OBSERVAÇÃO:

Os três pontos de interseções, baricentro, circuncentro e ortocentro, de uma maneira geral são pontos distintos.

Mas em qualquer triângulo, eles estão alinhados (Reta de Euller).

Se o triângulo for eqüilátero, os quatro pontos (baricentro, incentro, ortocentro e circuncentro) são coincidentes.

2) ELEMENTOS

3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS Dois triângulos são semelhantes quando possuem

homólogos

* proporcionais e

lados

ângulos respectivamente de mesmas medidas.

* lados homólogos: são lados opostos a ângulos iguais.

3) SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 45 o 60 o 45 o 60 o 2 cm 50 o 3 cm 3 cm 50 o 4,5 cm 4 cm 2 cm 3 cm 8 cm 4 cm 6 cm

4) RELAÇÕES RETÂNGULO MÉTRICAS NO TRIÂNGULO A b h C

m

a

n

c B b 2 = a.m

h 2 = m.n

a.h = b.c

a 2 = b 2 + c 2 c 2 = a.n

5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER Triângulo Acutângulo: Num triângulo acutângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados, produto de um deles pela

menos

duas vezes o projeção do outro sobre ele.

C A b

m

c h a

n

B a 2 = b 2 + c 2 - 2c.m

5) RELAÇÕES MÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER Triângulo Obtusângulo: Num triângulo obtusângulo qualquer, o quadrado do lado oposto a um ângulo agudo é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados,

mais

duas vezes o produto de um deles pela projeção do outro sobre ele. C a a 2 = b 2 + c 2 + 2c.n

h b

n

A

m

c B

6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS C hipotenusa cateto oposto B  cateto adjacente A

sen

 

cateto oposto hipotenusa

cos  

cateto adjacente hipotenusa tg

 

cateto oposto cateto adjacente

6) RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 30 o 45 o 60 o

sen

1 2 2 2 2 3

cos

1 2 2 3 2 2

tg

3 3 1 3

7) LEI DOS SENOS

Num triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos dos ângulos opostos.

a senA  b senB  c senC  2 .

r

8) LEI DOS COSSENOS

Num triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.

a 2 = b 2 + c 2 – 2.b.c.cosA

Questão 3

(COVEST 2003)

10 100 – 1 e 10 100 Um + 1: a) é isósceles triângulo com lados medindo 2.10

b) é retângulo c) tem d) tem área 10 150 – 1 perímetro 4.10

150 e) é acutângulo 50 ,

Solução:

( 10 100  1 ) 2  ( 10 100  1 ) 2  ( 2 .

10 50 ) 2 10 200  2 .

10 100  1  10 200  2 .

10 100  1  4 .

10 100

O triângulo é retângulo.

Questão 4

(COVEST 2006)

A ilustração a seguir representa uma escada de comprimento 2,5m apoiada em uma parede vertical. A extremidade inferior da escada está a uma distância de 0,70m da parede. Determine a aresta da maior caixa que pode ser transportada pela cúbica região limitada pela escada e pela parede vertical. (Aproxime seu resultado centésimos) até os

Questão 4

x y

2  0 , 7 2  2 , 5 2

y

2  0 , 49  6 , 25

y

2  5 , 76 

y

 2 , 4

m x 2,4 – x

2 , 4  2 , 4

x



x

1 , 68  0 , 7 .

0 , 7

x

 2 , 4 .

x

3 , 1 .

x

 1 , 68 

x

 0 , 54

m 0,70m

Questão 8

(COVEST 2001 – 2ª fase)

Na ilustração a seguir, CD é um diâmetro da circunferência com centro em O e raio 8. AC e BD são perpendiculares a AB, e AB é tangente à circunferência em T. Se AB = 12, calcule AO.

x

8 6 6 8 8

Solução: x

2  6 2  8 2

x

2  100 

x

 10

Questão 12

(Vunesp-adaptada)

bissetriz do No triângulo ABC da figura, BD é ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â.

a) 60 o b) 70 o c) 80 0 d) 90 o e) 100 o

OBSERVAÇÃO:

  

x

    x +  =  +  x +  =  +  +  x = 2.

  =  + 

Questão 12

(Vunesp-adaptada)

bissetriz do No triângulo ABC da figura, BD é ângulo interno B, e CD é bissetriz do ângulo externo relativo ao vértice C. Determine a medida do ângulo interno Â.

a) 60 o b) 70 o c) 80 0 d) 90 o

X

o

Questão 13

(COVEST 2001)

dos Na figura abaixo, BC e AC são bissetrizes ângulos DBE e DAB, respectivamente. Se o ângulo ACB mede 21 o 30 ’, qual é a medida, em graus, do ângulo ADB?

b) 41 c) 40 d) 44 e) 42

Questão 17

(UCSal/93-adaptada)

ABC, cujo Na figura abaixo têm-se o triângulo perímetro é 26cm. O losango ADEF, cujos lados medem 4cm. Se BC mede 8cm, os outros dois lados do triângulo ABC medem: a) 5 e 13 b) 6 e 12 c) 7 e 11 d) 8 e 10 e) 9 e 9

Solução: x 4 4 4 4 y 8

x + y = 10 4  4 

x y

 4 4 .

y



x

.

y y

 16  4 .

y x

.

y

 16 x = 8 e y = 2 Os lados valem 6cm e 12cm

Questão 18

(Vunesp)

Do quadrilátero ABCD de figura, sabe-se que os ângulos internos de vértices A e C são retos; os ângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45 º e 30º; o lado CD mede 2dm.

Então, os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm: a ) 6 e 3 b ) 5 e 3 c ) 6 e d ) 6 e e ) 3 e 2 5 5

OBSERVAÇÃO:

cat. oposto hipotenusa 30 o cat. adjacente

sen

30

o



cat

.

oposto hipotenusa

 1 2

tg

30

o



cat

.

oposto cat

.

adjacente

 3 3

cat

.

adjacente

 3 .

cat

.

oposto

3 

cat

.

oposto

 1 2 .

hipotenusa



cat

.

adjacente

 3 .

cat

.

oposto

OBSERVAÇÃO:

4 8 4.



3 30 o 6 12 6.



3 30 o 5 10 5.



3 30 o 7 14 7.



3 30 o

Solução:

 2 .

 3 =  6

45 o 30 o

Questão 19

(UFBA/93-adaptada)

Considere o triângulo eqüilátero ABC, com lado medindo 6cm. Seja M o ponto médio do lado AC, e seja P o ponto do lado BC tal que PB = 2cm. Sendo x cm 2 área de um quadrado de lado MP, determine x.

a

Solução:

6 A 3 B M

x

2 P 4 3

60 o

C

x

2  3 2  4 2  2 .

3 .

4 .

cos 60

o x

2

x

2  9  16  24 .

1 2  13

Questão 20

(UnB-DF/adaptado)

Na figura abaixo, calcule a medida do ângulo AMD, sabendo que M é o ponto médio de BC.

a) 15 o b) 20 o c) 30 o d) 40 o e) 50 o

OBSERVAÇÃO:

Solução: 20 o 50 o 80 o

40 o

60 o 60 o 20 o