Transcript 第二章

第二章
自动控制系统的数学模型
本章要点
•了解建立系统动态微分方程的一般方法。
•掌握传递函数的概念及性质。
•掌握典型环节的传递函数。
•掌握由系统微分方程组建立动态结构图的方法。
•掌握用动态结构图等效变换求传递函数和用梅森公
式求传递函数的方法。
•掌握系统的开环传递函数、闭环传递函数，对参考
输入和对干扰的系统闭环传递函数及误差传递函数
的概念。
主要内容
2.1 微分方程式的编写
2.2 非线性数学模型的线性化
2.3 传递函数
2.4 系统动态结构图
2.5 系统传递函数和结构图的等效变换
2.6 信号流图

小 结
2.1 微分方程式的编写
数学模型:描述控制系统输入、输出变量以及内部各变量之间
关系的数学表达式。
常用的数学模型有微分方程、差分方程、传递函数、脉冲传
递函数和状态空间表达式等。建立合理的数学模型，对于系
统的分析研究是至关重要的。
系统数学模型的建立，一般采用解析法或实验法。
一、建立微分方程的步骤
（1）确定输入、输出变量，设置中间变量
（2）根据各变量所遵循的基本定律(物理定律、化学定律)或通
过实验等方法得出的基本规律，列写方程组，忽略次要因素,适
当简化。
（3）消去中间变量，
（4）整理规范化,与输出量有关的写在等式左边,并按降幂排列
例2-1 列写如图所示RC网络的微分方程。
R
ui
i
解：由基尔霍夫定律得，
C
uo
ui  Ri  uo
duo
iC
dt
duo
RC
 u o  ui
dt
例2-2 试列写图中所示RC无源网络的微分方程。输入为
ui(t)，输出为u0(t) 。
解：根据基尔霍夫定理，可列出以下式子：
1
u i (t )  R1i1 (t ) 
(i1 (t )  i2 (t )) dt

C1
1
1
(i1 (t )  i2 (t )) dt  R2i2 (t ) 
i2 (t )dt


C1
C2
1
u 0 (t ) 
i2 (t )dt

C2
整理得：
d 2 u 0 (t )
du 0 (t )
R1 R2 C1C 2
 ( R1C1  R2 C 2  R1C 2 )
 u 0 (t )  u i (t )
2
dt
dt
令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2 则得
d 2u0 (t )
du0 (t )
T1T2

(
T

T

T
)
 u0 (t )  ui (t )
1
2
3
2
dt
dt
该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。
例2-3 电枢控制的他激直流电动机如图3所示，电枢输入电压
ud(t)，电动机输出转角为。Rd 、Ld 、id(t)分别为电枢电路的
电阻、电感和电流，ed为反电势，n为电动机的转速， M为
电动机的转速，GD2为电动机的飞轮惯量。
解： 电枢回路电压平衡方程为
did
ed  Rd id  Ld
 ud
dt
ed  Ce n
did
Ce n  Rd id  Ld
 ud
dt
机械运动方程为
GD 2 dn
M
375 dt
消去中间变量
M  Cmid
Ld GD2 Rd d 2 n GD2 Rd dn
ud

n
2
Rd 375 CmCe dt
375CmCe dt
Ce
2.2 非线性数学模型的线性化
实际的物理系统往往有间隙、死区、饱和等各类
非线性现象。严格地讲，几乎所有实际物理和化学系
统都是非线性的。目前，线性系统的理论已经相当成
熟，但非线性系统的理论还远不完善。因此，在工程
允许范围内，尽量对所研究的系统进行线性化处理，
然后用线性理论进行分析不失为一种有效的方法。
当非线性因素对系统影响较小时，一般可直接将系统当
作线性系统处理。另外，如果系统的变量只发生微小的偏移，
则可通过切线法进行线性化，以求得其增量方程式。
非线性函数的线性化，是指将非线性函数在工作点附近
展开成泰勒级数，忽略掉高阶无穷小量及余项，得到近似的
线性化方程，来替代原来的非线性函数。
假如元件的输出与输入
之 间 关 系 x2=f(x1) 的 曲 线 如
图， 元件的工作点为 (x10 ，
x20)。将非线性函数 x2= f(x1)
在工作点(x10 ，x20)附近展开
成泰勒级数
df
x2  f ( x1 )  f ( x10 ) 
dx1
1 d2 f

2! dx12
x10
2
(
x

x
)

x10
1
10
( x1  x10 )
当(x1－x10)为微小增量时，可略去二阶以上各项，写成
df
x2  f ( x10 ) 
dx1
x10
( x1  x10 )
 x20  K ( x1  x10 )
df
x10
其中
为工作点(x10 ，x20)处的斜率，
dx1
即此时以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增
K
量方程，经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。
例2-4 下图为一铁芯线圈，输入为ui(t)，输出为i(t)。
线圈的微分方程为 dΦ (i ) di
  Ri  u i (t )
di dt
当工作过程中线圈的电压和电流只在工作点（ u0,i0 ）
附近变化时，即有
ui (t )  u 0  ui (t )
i  i0  i
线圈中的磁通 Φ 对 Φ0 也有增量变化，假如在i0附近
连续可微，将在i0 附近展开成泰勒级数，即
d
1 d 2
   0  ( ) i 0 i  ( 2 ) i 0 (i) 2  
di
2! di1
因是微小增量，将高阶无穷小量略去，得近似式
d
   0  ( ) i 0 i
di
di
L
 Ri  u i (t )
dt
这就是铁芯线圈的增量化方程，为简便起见，常略
去增量符号而写成
di
L  Ri  u i (t )
dt
2.3 传递函数
一、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯
变换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系
统的传递函数。 即，
X c (s)
W ( s) 
X r ( s)
若已知线性定常系统的微分方程为
d n xc (t )
d n 1 xc (t )
dxc (t )
a0

a



a
 an xc (t )
1
n 1
n
n 1
dt
dt
dt
d m xr (t )
d m 1 xr (t )
dxr (t )
 b0
 b1
   bm 1
 bm xr (t )
m
m 1
dt
dt
dt
式中xc(t)为输出量，xr(t)为输入量 。
设c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上式取拉氏
变换，得
(a0 s n  a1s n1    an1s  an ) X c ( s)
 (b0 s m  b1s m1    bm1s  bm ) X r ( s)
则系统的传递函数为
X c ( s) b0 s m  b1s m1    bm1s  bm
W ( s) 

X r ( s) a0 s n  a1s n 1    an 1s  an
或写为
X c (s)
W ( s) 
X r ( s)
二、传递函数的性质
1.作为一种数学模型，传递函数只适用于线性定常系统，
这是由于传递函数是经拉普拉斯变换导出的，而拉氏变
换是一种线性积分运算。
2.传递函数是以系统本身的参数描述的线性定常系统输
入量与输出量的关系式，它表达了系统内在的固有特性，
只与系统的结构、参数有关，而与输入量或输入函数的
形式无关。
3.传递函数的主要特征可由其零点和极点表示
m
' m 1
1
' n 1
1
b0 s  d s    d
W s  

n
'
a0 s  c s   cn
m
'
m
K g  s  z i 
i 1
 s  p 
n
j
j 1
4.传递函数的拉氏反变换是单位脉冲响应函数
5.传递函数分母多项式称为特征多项式，记为
D( s)  a0 s  a1 s
n
n 1
   a n1 s  a n
而D(s)=0称为特征方程。传递函数分母多项式的阶次总
是大于或等于分子多项式的阶次，即n≥m。这是由于实
际系统的惯性所造成的。
三、传递函数举例说明
例2-5
如图所示的RLC无源网络，
图中电感为L（亨利），电
阻为R（欧姆），电容为C
（法），试求输入电压ui(t)
与输出电压uo(t)之间的传
递函数。
di
解： uc  uo  L  Ri
dt
duo
iC
dt
d 2uo
duo
LC 2  RC
 u o  ui
dt
dt
两边取拉氏变换
LCs
2

 RCs  1 U o s   U i s 
U o s 
1

U i s  LCs 2  RCs  1
解：用直接求的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分
别为R、1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。
U i ( s )   Ls  R  1/  sC   I ( s )
Uo (s)  1/ sC  I (s)
则传递函数为
U o (s)
1/ sC
1


U i ( s ) Ls  R  1/ sC LCs 2  RCs  1
四、典型环节的传递函数
控制系统由许多元件组合而成，这些元件的物理
结构和作用原理是多种多样的，但抛开具体结构和物
理特点，从传递函数的数学模型来看，可以划分成几
种典型环节，常用的典型环节有比例环节、惯性环节、
积分环节、微分环节、振荡环节、延迟环节等。
1. 比例环节
输入量与输出量之间的表达式为
xc(t)=Kxr(t)
比例环节的传递函数为
X c ( s)
W (s) 
K
X r (s)
式中K为常数，称为比例环节的放大系数或增益。
2. 惯性环节(非周期环节)
微分方程
dxc (t )
T
 xc (t )  Kxr (t )
dt
其传递函数为 W ( s ) 
式中
X c ( s)
K

X r ( s ) Ts  1
T—— 惯性环节的时间常数
K—— 惯性环节的增益或放大系数
单位阶跃响应曲线
3. 积分环节
其传递函数
1
xc (t ) 
Ti
t
 x (t )dt
0
r
X c ( s) 1
W (s) 

X r ( s) Ti s
单位阶跃响应为
式中Ti为积分时间常数。
4.微分环节
其传递函数
dxr (t )
xc (t )  Td
dt
X c ( s)
W ( s) 
 Td s 式中Td称微分时间常数
X r (s)
单位阶跃响应曲线 xc (t )  Ke

1
Td
如图所示 ， 理 想 微 分环
节实际上 难 以 实 现 ， 因
此我们常 采 用 带 有 惯性
的微分环 节 ， 其 传 递函
数
KTd s
W ( s) 
Td s  1
5. 二阶振荡环节(二阶惯性环节)
d 2 uc
duc
LC 2  RC
 uc  u r
dt
dt
其传递函数
X c ( s)
1
W ( s) 

X r ( s) TLTc s 2  Tc s  1
n2
W ( s)  2
s  2 n s  n2
n 
1  R C
2 L
LC
1
式中  n 
为无阻尼自然振荡角频率，ζ为阻尼比，
T
在后面时域分析中将详细讨论。
6. 延迟环节(时滞环节)
延迟环节是输入信号加入后，
输出信号要延迟一段时间 τ 后
才重现输入信号，其动态方程
为
xc (t )  xr (t   )
其传递函数是一个超越函数
式中τ称延迟时间
需要指出，在实际生产中，有很多场合是存在迟延
的，比如皮带或管道输送过程、管道反应和管道混合过
程，多个设备串联以及测量装置系统等。迟延过大往往
会使控制效果恶化，甚至使系统失去稳定。
2.3 系统动态结构图
一、系统结构图的组成和绘制
由信号线、传递方框、综合点和引出点。
1. 信号线
表示信号输入、输出的通道。箭头代表信号传递的方向。
2 单元方框图
W(s)
方框的两侧为输入信号线和输出信号线，方框内写入该
输入、输出之间的传递函数W(s)。
3 相加点
＋

省略时也表示＋
表示几个信号相加、减，叉圈符号的输出量即为诸信
号的代数和，负信号需在信号线的箭头附近标以负号。
4.分支点
U (s)
U (s)
表示同一信号传输到几个地方。
二、系统方框图的绘制
例2-6 图中为一无源RC网络。选取变量如图所示，根据电
路定律，写出其微分方程组为
解：
u1 (t )  u 0 (t ) 
i1 (t ) 

R1

u 0 (t )  u 2 (t ) 
i2 (t ) 

R2

i3 (t )  i1 (t )  i2 (t ) 

1
u 0 (t ) 
i3 (t )dt 

C1


1
u 2 (t ) 
i2 (t )dt 

C2

零初始条件下，对等式两边取拉氏变换，得
U 1 (s)  U 0 (s) 
I1 (s) 

R1

U 0 (s)  U 2 (s) 
I 2 (s) 

R2

I 3 (s)  I1 (s)  I 2 (s) 

1

U 0 (s) 
I 3 (s)
C1 s


1

U 2 (s) 
I 2 (s)
C2 s

各环节方框图
RC网络方框图
2.5 系统传递函数和结构图的等效变换
一、结构图等效变换和简化
1.串联连接
Xr(s)
U s 
W1(s)
W2(s)
U ( s )  W1 ( s ) X r ( s )
X c ( s )  W2 ( s )U ( s )
X c (s)
 W1 ( s )W2 ( s )
X r (s)
Xc(s)
2. 并联连接
W1(s)
Xr(s)
－
＋
W2(s)
X c ( s)  [W1 ( s)  W2 ( s)] X r ( s)
X c (s)
 W1 ( s)  W2 ( s)
X r (s)
Xc(s)
3.反馈连接
Xr(s)
E(s)
W(s)
Xf(s) 
H(s)
X c ( s)  W (s) E (s)
X f (s)  X c (s) H (s)
E ( s)  X r (s)  X f (s)
W ( s)
X c ( s) 
X r (s)
1  W (s) H (s)
Xc(s)
4.相加点的移动
相加点后移
Xr(s)
Q(s)
W(s)

Xr(s)
W(s)
Xc(s)
Xc(s)

W(s)
Q(s)
相加点前移
X r(s)
W(s)
Xc(s)
Q(s) 
Xc(s)
Xr(s)

W(s)
Q(s)
1/W(s)
相加点之间的移动
X(s)
Xr(s)

X(s)
Xc(s)
Y(s) 

Xr(s)

Xc(s)
Y(s)
结论：多个相邻的相加点可以随意交换位置。
5.分支点的移动
分支点后移
Xr(s)
W(s)
Xc(s)
Xr(s)
Xr(s)
Xc(s)
W(s)
Xr(s)
1/W(s)
分支点前移
Xr(s)
W(s)
Xc(s)
Xc(s)
Xr(s)
Xc(s)
W(s)
Xc(s)
W(s)
分支点之间的移动
B Xr(s)
A
B
Xr(s)
A
相邻分支点交换位置，不改变信号的性质。
总结：结构图等效变换方法
1
三种典型结构可直接用公式
2
相邻综合点可互换位置、可合并…
3
相邻引出点可互换位置、可合并…
注意事项：
1
不是典型结构不可直接用公式
2
分支点相加点相邻，不可互换位置
H2
分支点移动
W3
W2
W1
W4
H3
H1
请你写出结果,行吗？
1
H2
W1
W4
W3
W2
a
H3
H1
W4
b
向同类移动
相加点移动
W2
W3
W1
错！
无用功
W2
H1
W3
W1
W2
W1
H1
作用分解
W4
W1
W2
W3
H3
H1
W4
W1
W2
W3
H1
H3
H1
H3
二、系统的传递函数
1.闭环系统的开环传递函数为：
WK s   G1 s G2 s H s 
不含极性
它是当主反馈回路断开时反馈信号B(s)与输入信号之
N
间的传递函数。
R
E
B
G1(s)
G2(s)
C
H(s)
G1 s G2 s 
2.闭环系统的闭环传递函数为： WB s  
1 G1 s G2 s H s 
3.只有给定作用下的闭环传递函数
令n(t)＝0
R
E
B
G1(s)
G2(s)
C
H(s)
C ( s)
G1G2
WBr ( s ) 

R( s ) 1  G1G2 H
G1G2
X cr ( s)  WB ( s) R( s) 
R( s)
1 G1G2 H
注：该系统为负反馈系统，系统传函中分母为1+开环传递
函数，反之，若主反馈为正反馈时，则系统传函为1－开
环传函
4.系统在扰动作用下的闭环传递函数
令r(t)＝0
WBN ( s) 
C (s)
G2

R( s) 1  G1G2 H
G2
X CN ( s ) 
N (s)
1 G1G2 H
5.系统总输出
X c s   X Cr s   X CN s 
2.6 信号流图
一、信号流图的定义
信号流图是一种用图线表示线性系统方程组的方法。
n
xi   aij x j
i  1,2,3 n
j 1
通过拉氏变换把线性方程组转化成代数方程组
X i ( s)   Wij ( s)X j ( s ) i  1,2,3 n
二、信号流图的术语
节点：表示变量或信号的点，用“○”表示。
源点：只有输出支路的节点，也称输入节点，如图中节
点X1。
汇点：只有输入支路的节点，如图节点X7。
混合节点：既有输入支路、又有输出支路的节点，如图中的
X2、X3、X4、X5、X6。
通路：沿着支路箭头方向通过各个相连支路
的路径，并且每个节点仅通过一次。如 X1 到 X2 到 X3 到 X4 或 X2
到X3又反馈回X2。
前向通道：从输入节点(源节点)到汇节点的通道。 如图X1
到X2到X3到X4到X5到X6到X7为一条前向通道，又如X1到X2到X3
到X5到X6到X7也为另一条前向通道。
闭通道(反馈通道或回环)：通道的起点就 是通道的终点，
如图X2到X3又反馈到X2；X4到X5又反馈到X4。
通道传输或通道增益：沿着通道的各支路传输的乘积。如
从X1到X7前向通道的增益G1G2G3G4G5G6。
不接触回环：如果一些回环没有任何公共的节点，称它们
为不接触回环。如－G2H1与－G4H2。
三、信号流图的性质
（1）信号流图只适用于线性系统；
（2）信号流图所依据的方程式，一定为因果函数形式的
代数方程；
（3）信号只能按箭头表示的方向沿支路传递；
（4）节点上可把所有输入支路的信号叠加，并把总和信号
传送到所有输出支路；
（5）具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有
单位传输的支路，可把其变为输出节点，即汇节点；
（6）对于给定的系统，其信号流图不是唯一的。
四、用梅森（S.J.Mason）公式求传递函数

梅森公式的一般式为：
n
Xc
T

Xr
T
K 1
K

K
式中， T — 输出和输入之间的增益或传递函数；
Tk — 第k条前向通道的增益或传输函数；
Δ — 信号流图的特征值，
∑L1 —所有不同回环增益之和
∑L2 —所有两两互不接触回环增益乘积之和；
∑L3 —所有三个互不接触回环增益乘积之和
┆
Δk — 与第k条前向通道不接触的那部分信号流图的
Δ —称为第k条前向通道特征式的余子式。

注意事项：“回路传递函数”是指反馈回路的前向通
路和反馈回路的传递函数的乘积，并且包含代表反馈
极性的正、负号。
e
g
Xr(s)
1
a
f
b
c
d
h
前向通路两条
四个单独回路，两个回路互不接触
ab c d + e d (1 – b g)
Xc(s)
=
Xr(s) 1 – a f – b g – ch– e h g f + af c h
Xc(s)
梅逊公式例R-C
G4(s)
G11(s)
(s)
G
R(s)
G
G22(s)
(s)
G
G33(s)
(s)
H3(s)
H1(s)
△1=1
G4(s)
C(s)
G
1(s)=?
R(s)
P1=G1G2G3
L1= –G1 H1
△2=1+G1H1
G2请你写出答案，行吗？
(s)
G3(s)
(s)
G
3
P2= G4G3
L2= – G3 H3
L5 = – G1G2G3
C(s)
L3= – G1G2G3H3H1
L4= – G4G3
L1L2= (–G1H1) (–G3H3) = G1G3H1H3
L1L4=(–G1H1)(–G4G3)=G1G3G4H1
梅逊公式求E(s)
G3(s)
R(s)
R(s)
R(s)
R(s)
GG
E(S)
3(s)
G
(s)
33(s)
E(S)
E(S)
E(S)
GG
1(s)
(s)
G
(s)
P2= - G3G2H3
△2= 1
P2△2=?
N(s)
N(s)
N(s)
G2(s)
GG
2(s)
G
(s)
22(s)
11
HH
1(s)
H
(s)
11(s)
H3(s)
E(s)=
HH
2(s)
H
(s)
22(s)
HH
3(s)
H
(s)
33(s)
G1(s)
R(s)
C(s)
C(s)
C(s)
H3
2=1
E(S) P1= –G
P
1
H1(s)
1= 1 H
△△
=1+G
1
2 H
2 2(s)P1△1= ?
R(s)[ (1+G2H2) + (- G3G2H3) ] + (–G2H3) N(s)
1 - G1H1 + G2H2
C(s)
+ G1G2H3 -G1H1G2 H2
传递函数概念与后几章的关系可用下图来表示。
拉氏反变换
单位脉冲响应函数
传递函数
s  j
第三章
时域分析
第四章
根轨迹法
第五章
频率域分析
小
结
1. 用解析法建立实际系统的数学模型时，分析系统的工作
原理，忽略一些次要因素，运用基本物理、化学定律，获得
一个既简单又能足够精确地反映系统动态特性的数学模型。
2. 传递函数是经典控制理论中的一种重要的数学模型。其
定义为：在零初始条件下，系统输出的拉普拉斯与输入的
拉普拉斯变换之比。
3. 根据运动规律和数学模型的共性，任何复杂系统都可
划分为几种典型环节的组合，再利用传递函数和图解法能
较方便地建立系统的数学模型。
4. 方框图是研究控制系统的一种图解模型，它直观形象
地表示出系统中信号的传递特性。应用梅逊公式不经任何
结构变换，可求出源节点和汇节点之间的传递函数。信号
流图的应用更为广泛。