Transcript 高一数学－第2课时函数的最大值

第 2 课时
函数的最大值、最小值
洪翔中学
费伟娟
【问题导思】
已知函数 f(x)＝2x，x∈[1,3]．
1．该函数图象是什么图形？
【提示】
一条线段．
2．其端点值是多少？
【提示】
f(3)＝6，f(1)＝2.
3．f(x)与端点值大小如何？
【提示】
f(1)≤f(x)≤f(3)．
1．函数的最大值
一般地，设 y＝f(x)的定义域为 A，如果存在 x0∈A，使得对
于任意的 x∈A 都有 f(x)≤f(x0)
，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最大
值，记为 ymax＝f(x0)．
2．函数的最小值
一般地，设 y＝f(x)的定义域为 A，如果存在 x0∈A，使得对
于任意的 x∈A 都有 f(x)≥f(x0) ，那么称 f(x0)为 y＝f(x)的最小值，
记为： ymin＝f(x0) .
求函数 y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值．
【思路探究】
去绝对值得分段函数→画图象→求最值
【自主解答】
x≥2
3

y＝|x＋1|－|x－2|＝2x－1 －1<x<2
－3 x≤－1

.作
出函数的图象，由图可知，y∈[－3,3]．所以函数的最大值为 3，
最小值为－3.
1．对于形如 y＝|x＋a|＋|x＋b|型的函数最值求法，常先把函
数利用“零点分段法”化成分段函数，然后画出函数图象，结合
图象求其最值．
2．图象法求最值的一般步骤：
x
求函数 f(x)＝
在区间[2,5]上的最大值与最小
x－1
值．
【思路探究】 先用定义研究函数在区间上的单调性，再求
最值．
【自主解答】
任取 2≤x1<x2≤5，
x1
x2
则 f(x1)＝
，f(x2)＝
，
x1－1
x2－1
x1－x2
x2
x1
f(x2)－f(x1)＝
－
＝
，
x2－1 x1－1 x2－1x1－1
∵2≤x1<x2≤5，
∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0，
∴f(x2)－f(x1)<0.
∴f(x2)<f(x1)．
x
∴f(x)＝
在区间[2,5]上是单调减函数．
x－1
2
∴f(x)max＝f(2)＝
＝2，
2－1
5
5
f(x)min＝f(5)＝
＝ .
5－1 4
1．当函数的图象不知或不易作出时，常利用单调性求其最
值．
2．函数的最值与单调性的关系：
若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则 f(x)在[a，b]上的最大
值为 f(a)，最小值为 f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则
f(x)在[a，b]上的最大值为 f(b)，最小值为 f(a)．