4/28/2020

VEKTOR

Fisika I 1

BAB I : VEKTOR

Besaran vektor adalah besaran yang terdiri dari dua variabel, yaitu besar dan arah. Sebagai contoh dari besaran vektor adalah perpindahan.

Sebuah besaran vektor dapat dinyatakan oleh huruf di cetak tebal (misal

A

) atau diberi tanda panah diatas huruf (misal A ). Dalam handout ini sebuah besaran vektor dinyatakan oleh huruf yang dicetak tebal.

Perpindahan dari a ke b dinyatakan oleh vektor

R R

b 4/28/2020 a Fisika I 2

PENJUMLAHAN VEKTOR

Penjumlahan vektor vektor

S R

yang menyatakan perpindahan a ke b dan yang menyatakan perpindahan b ke c menghasilkan vektor

T

yang menyatakan perpindahan a ke c.

Cara menjumlahkan dua buah vektor dengan mempertemukan ujung vektor pertama, vektor

R

, dengan pangkal vektor kedua, vektor

S

.

Maka resultan vektornya, vektor

T

, adalah menghubungkan pangkal vektor pertama dan ujung vektor kedua.

b

S R T

=

R

+

S T

c a 4/28/2020 Fisika I 3

BESAR VEKTOR RESULTAN

Jika besar vektor

R

dinyatakan oleh R dan besar vektor dinyatakan oleh S, maka besar vektor

T

sama dengan :

S

T  R 2  S 2  2RS cos θ (1.1) θ

S R T

=

R

+

S T

Sudut vektor θ menyatakan sudut yang dibentuk antara vektor

S R

dan 4/28/2020 Fisika I 4

PENGURANGAN VEKTOR

Untuk pengurangan vektor, misal penjumlahan dari

A A

– + (-

B

). Vektor -

B B

dapat dinyatakan sebagai atau negatif dari vektor

B

adalah sebuah vektor yang besarnya sama dengan vektor

B

tetapi arahnya berlawanan.

D D

=

A

–

B A B -B

4/28/2020 Fisika I 5

CONTOH

Sebuah mobil bergerak ke Utara sejauh 20 km, kemudian bergerak ke Barat sejauh 40 km dan bergerak ke Selatan sejauh 10 km. Tentukan jarak perpindahan mobil itu !

40 km B U 10 km S 20 km 4/28/2020 Fisika I 6

Jawab :

CONTOH

40 km

B C

10 km 20 km

A

10 km 40 km Jika perpindahan pertama dinyatakan vektor kedua dinyatakan vektor

B A

, perpindahan , dan perpindahan ketiga dinyatakan vektor

C

, maka perpindahan total dinyatakan vektor

D

.

Dari gambar di atas dapat diketahui panjang vektor

D

adalah :

40

2 

10

2 

10 17 m

4/28/2020 Fisika I 7

VEKTOR SATUAN

Vektor satuan didefenisikan sebagai :

r



R

R

(1.2) Vektor satuan

r

tidak mempunyai dimensi dan besarnya adalah satu satuan. Dari persamaan di atas, sebuah besaran vektor dapat dinyatakan sebagai besar vektor tersebut dikali vektor satuan. Vektor satuan

r

menyatakan arah dari vektor

R

.

Terdapat vektor satuan standar dalam koordinat Kartesian di mana arah-arah dari masing-masing sumbu dinyatakan dalam vektor satuan.

•Vektor satuan

i

•Vektor satuan

j

•Vektor satuan

k

menyatakan arah sumbu X positif menyatakan arah sumbu Y positif menyatakan arah sumbu Z positif 4/28/2020 Fisika I 8

PENULISAN VEKTOR SECARA ANALITIS

R z

R

R y R x Vektor

R

dinyatakan oleh :

R

= R x

i

+ R y

j

+ R z

k Vektor dalam 2 Dimensi

Besar vektor

R

adalah : R  R x 2  R y 2  R z 2 Vektor satuan standar tersebut setiap vektor dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari vektor komponen masing-masing sumbu koordinat. 4/28/2020 Fisika I 9

CONTOH

Sebuah vektor perpindahan dari titik (2,2) ke titik (-2,5). Tentukan : a. Vektor perpindahan dinyatakan secara analitis b. Sudut yang dibentuk vektor tersebut dengan sumbu X c. Panjang vektor y Jawab : (-2,5) ujung R y  (2,2) pangkal x a.

R x Vektor perpindahan :

R R

= (x ujung = (-2 – x pangkal )

i

– 2)

i

+ (5 – 2) + (y

j

ujung = -4

i

– y + 3

j

pangkal )

j

4/28/2020 Fisika I 10

CONTOH

b.

(-2,5) ujung y R y  (2,2) pangkal x R x Sudut yang dibentuk :  

tan

 1

R R

y x 

tan

 1 

3 4



37

o c.

Besar vektor

R

= R x 2  R y 2  3 2  4 2  5 satuan 4/28/2020 Fisika I 11

PENJUMLAHAN VEKTOR CARA ANALITIS

Jika diketahui sebuah vektor

A

y B

j

, maka penjumlahan vektor = x A

i A

+

B

+ y A

j

= (x dan vektor A + x B )

i B

+ (y A = x + y B Atau secara umum jika menjumlahkan n buah vektor berlaku : B

i

)

j

+ .

R

= (x 0 + …+x i + …+x n )

i

+ (y 0 + …+y i + …+y n )

j

(1.3) y A + y B y B y A

B A

x B x A

B A

x A + x B 4/28/2020 Fisika I 12

CONTOH

Diketahui dua buah vektor.

A

= 3

i B

= 2

i

+ 2

j

 4

j

Tentukan : a.

b.

A

+

A



B

dan

B

dan 

A

+ 

A



B



B

 Jawab : a.

A

+

B

= 3

i

+ 2

j

+ 2

i

 4

j

= 5

i

 2

j

b.



A

+

B

 =

5

2 

(



2 )

2 

29

A



B

= 3

i

+ 2

j

 (2

i

 4

j

) =

i

+ 6

j



A



B

 =

1

2 

6

2 

37

4/28/2020 Fisika I

A



B -B A B

13

SOAL

1.

Nyatakan sebuah vektor yang mempunyai besar 4 satuan dan arahnya 60 o dari sumbu X positif secara analitis dan tentukan vektor satuannya!

2. Sebuah benda bergerak dari titik (1,2)m ke titik (5,0)m. Tentukan : a. Vektor perpindahan benda tersebut b. Jarak perpindahan c. Arah dari vektor perpindahan benda tersebut dinyatakan oleh vektor satuannya 3.

Diketahui

A

= 3

i

+ 4

j

. Tentukan konstanta skalar c sehingga berlaku cA = 10 satuan !

4. Diketahui a.

b.

A



A

+ +

B B

-

A

= 2

i C

+

C

 + 4

j

,

B

= -7

i

, dan

C

= 8

j

. Tentukan : 4/28/2020 Fisika I 14

SOLUSI

1.

R

= R x

i

+ R y

j

Diketahui : R R x y = R cos = R sin   Dengan demikian

R

= 4 cos 60 = 4 sin 60 = 2

i

+ 2 o 3

j

o = 2 3 satuan satuan = 2 satuan Vektor satuan :

r

= cos 60 o Y + sin 60 o = ½

i

+ ½ 3

j R

 60 o X 4/28/2020 Fisika I 15

SOLUSI

Y 2.

2

R a.

b.

c.

1 X 5

R

= (x 2 – x 1 )

i

+ (y 2 – y 1 ) titik akhir (x 2 ,y 2 ) = (5,0).

Dengan demikian vektor

R j

. Titik awal (x 1 ,y 1 ) = (1,2) dan = 4

i

– 2

j

.

R =

r

 R

R

R x 2   R 2 y 2 5  5

i

 4 2  5 5 2 2

j

 2 5 m 4/28/2020 Fisika I 16

SOLUSI

3

2 

4

2 Dengan demikian nilai c = 2 satuan 4. a.

A

+

B

–

C =

2

i

+ 4

j

- 7

i

- 8

j =

-5

i

- 4

j

b. 

A

+

B

+

C

 =  2

i

+ 4

j

- 7

i

+ 8

j



=

 -5

i

+ 12

j

  -5

i

+ 12

j

 5  12 4/28/2020 Fisika I 17

PERKALIAN SKALAR

Perkalian skalar atau juga sering disebut perkalian titik dari dua buah vektor menghasilkan besaran skalar di mana berlaku :

A

.

B

= AB cos  (1.4) Jika diketahui maka :

A

= a x

i

+ a y

j

+ a z

k

dan

B

= b x

i

+ b y

j

+ b z

k

,

A

.

B =

a x b x + a y b y + a z b z (1.5) Sebagai hasil perkalian skalar adalah usaha, tenaga potensial, fluks magnet, dan lain-lain.

A



B

4/28/2020 Fisika I 18

PERKALIAN SKALAR

Perhatikan samping ini !

animasi di Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :

i

.

i

=

j

.

j

=

k

.

k

= 1

i

.

j

=

j

.

k

=

k

.

i

= 0 4/28/2020 Fisika I 19

CONTOH

Diketahui dua buah vektor, sudut antara vektor

A

dan

B A

!

= 3

i

+ 4

j

dan

B

= 4

i

 2

j

. Tentukan Jawab : Untuk vektor

A

menentukan dan

B

persamaan (1.4).

sudut antara dapat menggunakan

A . B

cos

= (3

i

4.(-2) = 4  

A

+ 4

j

)

.

.

B

AB

(4

i

Besar vektor Besar vektor

A B

= =  2

j

) = 3.4 + 3 2

4

2  4 2 

(



2 )

2  5 

20 cos

 

A .

B



AB 2 125

 A B

A

Dengan demikian  = 79,7 o

B

4/28/2020 Fisika I 20

PERKALIAN VEKTOR

Perkalian vektor atau perkalian silang dari dua buah vektor menghasilkan besaran vektor lain di mana berlaku :

A



B

=

C

(1.6) Besar vektor

C

adalah : C = AB sin Arah vektor

C

 (1.7) selalu tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor

A

dan vektor

B

. Untuk menentukan arah vektor

C

dapat diperhatikan gambar di bawah ini. Diketahui bahwa hasil 

B

tidak sama dengan

B



A A

. Walaupun besar vektor hasil perkalian silang itu sama, tetapi arahnya saling berlawanan.

C = A



B B



B

C = -C’

A



A C’ = B



A

4/28/2020 Fisika I 21

PERKALIAN VEKTOR

Perhatikan animasi di samping ini !

Perlu diperhatikan dan diingat dalam perkalian titik adalah :

i



i

=

j



j j i

 

j i

= = -

k k

; ;

j k

= 

k



k j

 =

k i

; = 0

k

 = -

i

;

i



i

=

k j

= -

j

4/28/2020 Fisika I 22

PERKALIAN VEKTOR

Untuk menentukan arah dari hasil perkalian silang dari dua buah vektor dapat menggunakan

aturan tangan kanan

. Jika urutan perkalian dari dua vektor (misal

A



B

), maka empat jari menyatakan arah putaran sudut terkecil dari vektor

A

ke vektor Ibu jari menyatakan arah dari hasil kali kedua vektor tersebut.

B

.

Untuk memahami aturan ini perhatikan animasi di bawah ini : 4/28/2020 Fisika I 23

CONTOH

Diketahui dua buah vektor.

A

= 3

i

+ 4

j

Tentukan : a.

A



B

b. Buktikan

A



B

= 4

B

= -

B i



A

 2

j

+

k

Jawab : a.

A



B

= (3

i

+ 4

j

)  (4

i

 2

j

+

k

) = 3.4(

i



i

) + 3.(-2)(

i



j

) + 3.1(

i



k

) + 4.4(

j



i

) + 4.(-2)(

j



j

) + 4.1(

j



k

) = 12.0

– 6

k

+ 3(-

j

) + 16(-

k

) – 8.0

+ 4

i

= 4

i

– 3

j

– 22

k

b.

B



A

= (4

i

 2

j

+

k

)  (3

i

+ 4

j

) = 4.3(

i



i

) + 4.4(

i



j

) +( 2).3(

j



i

) + (-2).4(

j



j

) + 1.3(

k



i

) + 1.3(

k



j

) = 12.0 + 16

k

– 6(-

k

) – 8.0 + 3

j

+ 4(-

i

) = -4

i

+ 3

j

+ 22

k

= -

A



B

terbukti 4/28/2020 Fisika I 24

SOAL

1. Tentukan sudut yang dibentuk oleh vektor vektor

B =

3

i

– 4

k

!

A

=

i

+ 2

j

–

k

dan 2. Tentukan panjang proyeksi dari vektor arah vektor

B = i

+ 3

j

– 4

k

!

3. Diberikan tiga buah vektor :

A

= 1

i

+ 2

j

–

k B

= 4

C =

2

i j

+ 2 – 3

j k

+ 3

k

Tentukan : a.

A

. (

B



C

) b.

c.

A A

. (

B

 (

B

+ +

C

)

C

) 4. Buktikan vektor tegak lurus !

R

= 3

i

+ 2

j

- 4

k A

dan = 4

S i

= 2 + 2

i

+

j j

–

k

+ 2 terhadap

k

adalah 4/28/2020 Fisika I 25

SOLUSI

1.

2.

Menurut persamaan (1.5) vektor A :

A



1

2 

2

2

A . B



(



1)

2  = 1

.

3 + 2

.

0 + (-1)

.

(-4) = 7. Besar

6

Besar vektor B : B  3 2  (  4) 2  5 Nilai sudut antara

A

dan

B

ditentukan oleh : Dengan demikian  = 55,1 o

cos

 

A .

B



AB 5 7 6

A

 A B

B

Panjang A B besarnya : menyatakan panjang proyeksi A B  A cos  

A.B

B  4 .

1  1 2 2  .

3 3 2 

A

(  terhadap  1 ).( (  4 )  2 4 ) 

B

yang 14 26 4/28/2020 Fisika I 26

SOLUSI

3.

4.

a.

b.

c.

B



C

= ( 4

i

+ 2

j k

) + 6(

k



j

) = 8

k

+ 3

k

)  + 12

j

 (2

j

12 – 3

i k

) = 8(

i



A .

(

B



C

) = (

i

+ 2

j

–

k

)

.

(-12

i

+ 12

j

+ 8

k j

) – 12(

i



k

) = -12 + 24 ) – 6(

j

 – 8 = 4

B

+

C

= 4

i

+ 4

j

. Nilai

A .

(

B

+

C

) = (

i

+ 2

j

–

k

)

.

(4

i

+ 4

j

) = 12

A

 (

B

+

C

) = (

i

+ 2

j

–

k

)  (4

i

+ 4

j

) =

i

– 4

j

– 4

k

Dua buah vektor tegak lurus jika membentuk sudut 90 o . Menurut persamaan (1.4) dan (1.5) diperoleh :

R

.

S

= RS cos 90 o = RS . 0 = 0

R

.

S

= R x S x + R y S y + R z S z Jika diketahui

R

= 3

i

+ 2

j

- 4

k

dan

S

= 2

i

+

j

+ 2

k

, maka :

R

.

S

= 3.2 + 2.1 + (-4).2 = 0 4/28/2020 Fisika I 27

BESARAN FISIS

Setiap keadaan fisis dari materi selalu dinyatakan sebagai fungsi matematis dari besaran lain yang mempengaruhinya.

S = f(x 1 , x 2 , . . . , x n ) (1.8) S menyatakan besaran yang diukur, sedangkan x i menyatakan variabel yang menentukan besaran S. Sebagai contoh gaya interaksi antar dua partikel bermuatan F ditentukan oleh besar muatan pertama q 1 , besar muatan kedua q 2 , jarak antar partikel r 12 , dan medium di mana kedua partikel tersebut berada.

Namun untuk menggambarkan sebuah besaran yang merupakan fungsi dari beberapa variabel cukup sulit. Pada pembahasan materi di sini, ditinjau besaran yang hanya bergantung pada satu variabel saja.

4/28/2020 Fisika I 28

BESARAN FISIS

Tinjau sebuah fungsi y = f(x) di bawah ini di mana nilai y hanya ditentukan oleh satu variabel, yaitu x.

y Dari grafik di samping diketahui y f(x 2 ), y 3 y 1 .

1 = f(x = f(x 3 1 ), y ), dan y 2 4 = = y 1 y 2 y 3 x x 1 x 2 x 3 x 4 Setiap besaran fisis yang bergantung pada satu variabel dapat digambarkan dalam bentuk grafik seperti di atas.

4/28/2020 Fisika I 29

BESARAN FISIS

Di bawah ini contoh besaran fisika, yaitu posisi x sebagai fungsi waktu. Posisi sebuah partikel dalam arah x sebagai fungsi waktu. 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 x(t) = (t – 3) 2 t (detik) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x (meter) 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 0 0 1 2 3 4 t 5 6 7 8 9 10 4/28/2020 Fisika I 30

BESARAN FISIS

9 8 r (m) 1 E (N/C) 9 2 2,25 7 3 1 6 4 0,5625 E(r) 5 5 0,36 4 3 E 

k

q r 2 6 0,25 7 0.1837

2 8 0,1406 1 9 0,1111 0 1 10 0,09 2 3 4 5 r 6 7 8 9 10 Medan listrik sebagai fungsi jarak. Diketahui besar q = 1 nC. 4/28/2020 Fisika I 31

CONTOH

1. Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Gambarkan grafik F sebagai fungsi jarak x !

F 4/28/2020 Fisika I x 32

CONTOH

2.

Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e -At ) dengan q dan A adalah konstanta. Gambarkan grafik Q terhadap t !

Q Q = q(1 – e -At ) q t 4/28/2020 Fisika I 33

DIFERENSIAL

Diferensial atau turunan pertama kali dibahas untuk menentukan garis singgung dari suatu kurva. Masalah ini sudah dibahas sejak jaman Archimedes sekitar abad ke 3 SM.

Dalam fisika, turunan pertama kali digunakan untuk menentukan besar kecepatan sesaat pada t tertentu dari persamaan posisi terhadap waktu.

Lihat gambar di samping.

Gradien dari garis singgung f(x) pada titik P dapat ditentukan oleh persamaan : f(c+h)

m



lim

h  0

f ( c



h )



f ( c ) h

( 1.9) P f(c) x c c+h 4/28/2020 Fisika I 34

DIFERENSIAL

Jika x = c dan x’ = c + h, maka persamaan (1.9) menjadi :

m

 x

lim

 x'

f ( x ' x ) '

 

x f ( x )

 x

lim

 x' 

f



( x x )

(1.10) Penulisan turunan dari suatu fungsi y = f(x) terhadap x dinyatakan oleh : f’(x) D x y

dy dx

Berlaku untuk turunan : 1. D x (cf(x)) = c D x f(x) 2. D x (f(x) + g(x)) = D x f(x) + D x g(x) 3. D x (f(x)g(x)) = (D x f(x))g(x) + f(x)(D x g(x)) 4. D x (f(g(x))) = D g(x) f(g(x)).D

x g(x) 5. D x (x n ) = nX n-1 c : konstanta (1.11a) (1.11b) (1.11c) (1.11d) (1.11e) 4/28/2020 Fisika I 35

DIFERENSIAL

Dalam fisika, suatu besaran A yang dinyatakan sebagai perbandingan besaran B terhadap besaran C selalu dinyatakan dalam bentuk :

A



dB dC

Hal ini berlaku karena pada umumnya besaran B merupakan fungsi dari besaran C. Sebagai contoh :

Kecepa tan



Jarak waktu v



dx dt Daya



Usaha waktu Arus



Mua tan waktu

P  dW dt I  dq dt 4/28/2020 Fisika I 36

CONTOH

Muatan dalam kapasitor yang terhubung dengan sumber tegangan DC bergantung pada waktu yang dinyatakan oleh fungsi : Q(t) = q(1 – e -At ) dengan q dan A adalah konstanta. Tentukan : a. Fungsi arus sebagai waktu b. Besar arus saat t = 0 c. Gambarkan grafik I(t) Jawab : a.

I

Besar arus I : 

dQ dt



d dt



q ( 1



e

 At 

)



qAe

 At qA b.

Pada saat t = 0 harga I adalah : I = qAe -A.0

= qA I(t) c.

37 t 4/28/2020 Fisika I

INTEGRAL

20 15 10 5 45 40 35 30 25 55 Integral digunakan untuk menentukan luas daerah di antara kurva fungsi f(x) dan sumbu x.

50  x Sebagai contoh diketahui y = f(x) = (x – 3) 2 dengan x = 8.

+ 5 dan luas yang ditentukan pada batas dari x = 1 sampai 0 0 1 x 0 2 x 1 3 x 2 4 x 3 5 x x 4 6 x 5 7 x 6 8 x 7 9 10 4/28/2020 Fisika I 38

INTEGRAL

Dari gambar diketahui luas yang dicari dapat didekati dengan : A(n = 7) = f(1)  x + f(2)  x + f(3)  x + f(4)  x + f(5)  x + f(6)  x + f(7)  x 7

A ( n

Nilai 

7 )

 i   0

f ( x

i

)



x

 x = 1 ditentukan dengan membagi selang 1 < x < 8 dibagi dengan n = 7. Nilai A(n = 7) = 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 14 + 21 = 70 satuan persegi.

Jika nilai n diperbesar, maka luas mendekati luas sebenarnya.

Nilai A sebenarnya diperoleh pada nilai n endekati tak hingga.

A  lim n   A ( n )  lim n   i n   0 f ( x i )  x  1  8 f ( x ) dx 4/28/2020 Fisika I 39

INTEGRAL

Dalam fisika, integral digunakan untuk suatu besaran yang merupakan hasil kali dari besaran-besaran lain dengan syarat masing-masing besaran tersebut tidak saling bebas satu sama lain.

Tinjau suatu besaran R = ST. Jika besaran S fungsi dari T, maka besaran R harus dinyatakan dalam bentuk :

R

 

S dT

Sebagai contoh : Usaha = Gaya  jarak W   F ds Fluks = Medan  luas    E dA 4/28/2020 Fisika I 40

CONTOH

Sebuah benda yang dihubungkan pada pegas mengalami gaya pegas dinyatakan sebagai F = kx dengan k adalah konstanta pegas dan x adalah jarak. Tentukan : a. Besar usaha yang dilakukan oleh gaya pegas b. Gambarkan grafik usaha sebagai fungsi waktu Jawab : a.

Usaha yang dilakukan :

W

 

F dx

 

kx dx

 1 2

kx

2 b.

W x 4/28/2020 Fisika I 41

SOAL

1.

Sebuah partikel bergerak akibat gaya yang dinyatakan oleh persamaan F(x) = Ax  Bx 2 . Jika diketahui nilai A = 10 3 N/m dan B = 5.10

3 N/m 2 . Tentukan : a. Grafik F terhadap x b. Perubahan Gaya F terhadap jarak c. Usaha yang dilakukan gaya dari x = 3 cm sampai x = 9 cm 2.

Di bawah ini grafik dari potensial listrik terhadap jarak.

V (volt) Tentukan : a. Fungsi potensial V sebagai fungsi x 8 4 b. Jika diketahui medan listrik E adalah turunan pertama dari potensial listrik V, tentukan fungsi E(x) x (m) c. Gambarkan grafik E terhadap x 10 4/28/2020 Fisika I 42

SOAL

3.

Sebuah partikel bergerak dengan kecepatan v(t) = 10t bergerak dengan posisi awal di x = 1 m. Tentukan : – 2t 2 m/s a. Gambarkan grafik v(t) b. Kecepatan saat t = 1 detik dan t = 3 detik c. Fungsi a(t) sebagai turunan pertama dari v(t) d. Gambarkan grafik a(t) e. Fungsi posisi x(t) terhadap waktu f. Posisi saat kecepatan v = 0 4/28/2020 Fisika I 43

SOLUSI

1. a.

50 F (N) 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 x (cm) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. b.

4/28/2020 Perubahan gaya terhadap jarak dinyatakan oleh

dF dx

= A – 2Bx = 10 3 – 10 4 x Fisika I 44

SOLUSI

1. c.

2. a.

8 4 Usaha yang dilakukan  2 9 .

10 W   F dx  3  .

10  2  Ax  Bx W = 36.10

-4 A : 2   A 1 2 x 2  – 234.10

-6 B = 2,43 Joule B 1 3 x 3  9 .

10  2 3 .

10  2 V (volt) Dari grafik diketahui V(x) adalah fungsi linier yang menghubungkan titik (0,4) dan titik (10,8). Dengan menggunakan persamaan garis V = ax + b.

Untuk titik (0,4) 0.a + b = 4 x (m) Untuk titik (10,8) 10.a + b = 8 10 Dengan metoda eliminasi diperoleh b = 4 dan a = 2,5.

Dengan demikian fungsi V(x) = 2,5x + 4 4/28/2020 Fisika I 45

SOLUSI

2. b.

dV ( x ) Medan listrik E(x) = = 2,5 dx Dengan demikian nilai E(x) konstan.

E (V/m) 2. c.

2,5 20 v (m/s) 15 3. a.

10 5 0 -5 -10 -15 -20 0 4/28/2020 1 2 3 4 5 6 7 Fisika I 8 9 x (m) 10 x (m) 46

SOLUSI

3. b.

3. c.

3. d.

10 Kecepatan saat t = 1 detik adalah v(1) = 10.1

– 2.1

2 = 6 m/s.

Sedangkan kecepatan saat t = 3 detik adalah v(1) = 10.3

– 2.3

2 = 12 m/s.

dv ( t ) Percepatan a(t) = = 10 – 4t dt a (m/s 2 ) 5 0 -5 -10 -15 -20 0 4/28/2020 1 2 3 4 5 6 7 Fisika I 8 9 10 x (m) 47

SOLUSI

3. e.

3. f.

Fungsi posisi x(t) = 

v ( t ) dt

 

10 t



2 t

2

dt



5 t

2  2 3

t

3 Saat v = 10t – 2t 2 = 0 terjadi saat t = 0 dan t = 5 detik. Pada saat t = 0 posisi x(0) = 0. Sedangkan pada saat t = 5 detik posisi x di : x(5) =

5 .

5

2  2 3

5

3 

125 3



41

2 3 Dengan demikian kecepatan v = 0 di posisi x = 0 dan x = 41,67 m 4/28/2020 Fisika I 48