Transcript Non-parametric method, Hypothesis testing: Categorical data

生物統計學Biostatistics
Estimation / Hypothesis testing
Nov 30, 2010
Tsuo-Hung Lan MD, PhD
Institute of Brain Science, Yang-Ming University
Department of Psychiatry, Taichung Veterans General Hospital
點估計與區間估計



推論統計的理論乃在根據樣本的訊息，猜測母體的特性或參數。主要
的推論型式是參數（母數）的估計與假設的檢定，參數的估計又可分
為
 點估計（point estimation）：根據樣本資料，求得一統計量的觀
測值，作為參數（母數）的估計值。
 區間估計（interval estimation）：根據樣本資料，求得兩個數值，
構成一個信賴區間（confidence interval，C. I.），概括出參數
（母數）的可能範圍。
點估計之優點為算法簡單，意義簡單明瞭；但其缺點為無法判斷估計
結果的準確性，且其估計值會因樣本不同而有所差異。所以才會有區
間估計之推出。
假定，我們估計全體大學生平均每月可用零用金為5000元，那是點估
計，該估計為單一數值，可視為線上的一點；若我們估計全體大學生
平均每月可用零用金介於4000~6000元，那就是區間估計，因為涉及
兩點，可視為線上的一個區段。
母體平均數μ的估計

實務上，最常碰到對母體均數μ的估計。如：大
學生的平均智商、平均成績、平均身高、平均手
機的使用月費；國民平均所得、工廠的平均生產
數量、……。

估計母體平均數μ的方法可為：樣本中位數與平
均數。
其中，以樣本平均數為最優，因其具有不偏性與
一致性。
大樣本時

若樣本數n>30，則以其為μ的點估計。若樣本數
n>30，且母體變異數σ2已知，則以
x  z / 2

n
為μ的100（1-α）%之信賴區間。
 但實務上，母體變異數σ2通常未知，當樣本數
n>30，可以樣本標準差S來取代母體標準差σ。
S
故以
x  z / 2
n
為μ的100（1-α）%之信賴區間。
信賴區間之範圍
α為顯著水準，α=0.05時表求算95%信賴區間之
範圍。σ為母體標準差，n為樣本數。
 若處理對象為常態分配，母體標準差（σ）已知，
其計算公式為：


z / 2
n
實務上，很少會已知母體標準差，故以樣本標準
S
差來替代。其計算公式為：
z / 2
n
故其μ的100（1-α）%之信賴區間為：
x  CONFIDENCE( , , n)
小樣本時


若母體為常態分配，樣本數n<30，仍以其為μ的點估
計。若母體為常態分配，樣本數n<30，且母體變異數
σ2已知，則以

x  z / 2
n
為μ的100（1-α）%之信賴區間。
但實務上，母體變異數σ2通常未知，當樣本數n<30，
因為樣本太小，樣本標準差S的變化會較大，就不可以
樣本標準差S來取代母體標準差σ。故以
x  t  / 2 ( n 1)
S
n
為μ的100（1-α）%之信賴區間。

如為雙尾，即求左右兩尾之陰影部份：
t分配之圖形及機率值，將隨自由度不同而略有不
同。
母體比例p的估計
估計母體比例p：
如：估計平均失業率、產品不良率、品牌佔有率、政策支
持率、候選人支持率、政黨支持率、數位相機擁有率、個
人電腦擁有率、……。
 若樣本數n>30，則以其樣本比率為母體比例p的點估計。
母體比例p的100（1-α）%之信賴區間為：
pˆ (1  pˆ )
pˆ (1  pˆ )
pˆ  z / 2
n
其中， z / 2

n
即為可容忍的誤差（e）。在計算樣本大小時，將其簡化
成
Z 2  p(1  p) 來計算樣本數。
n
 /2
e2
假設檢定概論


由於我們對母體的不瞭解，任何有關母體的敘述，都只是
假設而已（統計假設）。除非我們進行全面普查，否則，
一個統計假設是對或錯？根本就不可能獲得正確之答案。
但因為絕大多數之情況，是不允許也無法進行普查。所以，
才會透過抽樣調查，以抽查結果所獲得的資料，來檢定先
前統計假設，以判斷其對或錯？
如果，檢定後發現抽樣結果與統計假設間之差異很大，我
們就無法接受該統計假設（亦即，否定或棄卻該假設）。
反之，若檢定後發現抽樣結果與統計假設間之差異不大，
我們就無法棄卻（否定）該統計假設。不過，我們會比較
保守的說：無充分證據證明該假設是錯的；而不直接說接
受該統計假設。
假設檢定(Hypothesis Testing)

虛無假設(null hypothesis)





表示母體參數與樣本統計量間並未存在差異的情況。
當結論無法否定虛無假設時，表示「無充份證顯示虛無
假設為偽」。
虛無假說所陳述的事件永遠無法被證實為真。
H0：μ=μ0
對立假設




表示母體參數與樣本統計量間存在差異的情況。
H1：μμ0 (雙尾) 或
H1：μμ0 (單尾) 或
H1：μμ0 (單尾)



在進行各種統計假設檢定時，我們通常將要否定（棄卻）之事實
當作虛無假設（null hypothesis，以H0代表）。既然希望它是不對，
以將其否定，那就表示會有一個希望它是對的對立假設
（alternative hypothesis，以H1或Ha代表）。當檢定結果，得否定
該虛無假設時，就等於接受對立假設。注意，虛無假設與對立假
設間必須是週延且互斥，其間絕無重疊的模糊地帶；也無任何無
法涵蓋的真空地帶。如：
H0：μ1=μ2
H1：μ1≠μ2
若安排成
H0：μ1=μ2
H1：μ1≦μ2
就有等於時會發生重疊，而無法互斥。
但若安排成
H0：μ1<μ2
H1：μ1>μ2
則當兩者恰好等於時，就變成真空地帶，沒有被任一個假設涵蓋。
假設檢定之誤差

型一誤差(type I error) —α



型二誤差(type II error) —β


拒絶正確的虛無假設的機率(將好的當成壞的) 。
α稱為顯著水準(level of significance)
接受錯誤的虛無假設的機率(將壞的當成好的) 。
檢定力(power of the test) —1-β
決定β誤差的因素





母數的真實數值
所選擇的α水準
採用單尾或雙尾的檢定來測量假說
樣本標準差
樣本大小
降低型二誤差的方法



將α值變大
增加樣本數大小
尋求同時改善β與α誤差，即改善樣本測量方法
或觀察值，以減少樣本變異程度，使得尾端誤
差發生的面積減小。
假設檢定之類型與單/雙尾檢定

等於與不等於之雙尾檢定
H0：μ1＝μ2
H1：μ1≠μ2
無論檢定統計量之觀察值落在左側或右側之危險域（或稱棄卻域、
拒絕域），均表示μ1 ≠ μ2 。更詳細一點，若落在左側之危險域，
表示μ1＜μ2；若落在右側之危險域，表示μ1＞μ2。

等於與大於之右側單尾檢定
H0：μ1≦μ2
H1：μ1＞μ2
或
H0：μ1＝μ2
H1：μ1＞μ2
當檢定統計量之觀察值落右側之危險域，均表示μ1＞μ2。

等於與小於之左側單尾檢定
H0：μ1≧μ2
H1：μ1＜μ2
或
H0：μ1＝μ2
H1：μ1＜μ2
當檢定統計量之觀察值落左側之危險域，均表示μ1＜μ2。
統計檢定程序






設立虛無假設與對立假設
選擇統計檢定的方法
選擇需要的顯著水準
計算估計的統計量
獲得檢定的臨界值
結論：當檢定統計量的觀察值落入危險域，棄
卻虛無假設H0；反之，無法棄卻虛無假設H0
（接受虛無假設）
檢定的種類

母數檢定(paramatric tests)





推論的對象為特定之母數，如μ、p…
推論全體之分配假定為已知
資料主要為比率或區間尺度所構成
較具檢定力
無母數檢定(nonparamatric tests)


推論之對象並非某特定之母數，或不知全體分配為
何，而希望探討全體分配為某一分配，兩種分配是
否相同…。
用於檢定名目或順序尺度資料的假說
母數檢定的前提假設

觀察值必須相互獨立


觀察值必須來自於常態分配的母體


Normal probability plot…
母體的變異數必須一致


Durbin-Watson test或Durbin-H test
殘差圖…
測量尺度為區間尺度或比率尺度
選擇檢定方法之考慮準則



樣本組個數為一個、二個或k個
樣本組的資料是獨立的(來自不同母體)或相關
的(或配對式的樣本)
測量尺度為名目、順序、區間或比率尺度
單一樣本的檢定

通常用於檢定此一樣本是否來自特定母體，其
檢定的內容包括：




觀測值次數和期望值次數是否有差異?(卡方)
觀測值比例和期望值比例之間是否有差異?(二項)
所抽出的樣本資料是否符合特定的分配?(適合度)
樣本均數及母體均數之間是否有差數?(t或z)
單一樣本之母數檢定



樣本數小於30且母體標準差未知t檢定
樣本數大於30或母體標準差已知Z檢定
當樣數在120以上時，Z和t分配相同
X 
t
S/ n
X 
Z
/ n
單一樣本之無母數檢定


測量尺度為名目尺度時使用
母體僅有二個分類時適用二項式檢定


例如，某生產線之平均不良率為0.7，試問本週該
生產線的不良率是否變大?
卡方檢定(最常使用)
單一母體平均數檢定--大樣本Z檢定

單一母體，若母體標準差σ已知，其各項檢
定所使用之檢定統計量為：
X 
Z
/ n

若處理對象為大樣本（n>30），且母體標準
差σ未知，則可使用樣本標準差S來替代：
X 
Z
S/ n





數列是要檢定相對於μ之陣列或資料範圍
μ是欲檢定之母體平均數
σ是母群體已知的標準差。若σ已知，則函數之公式為：
X 
Z
/ n
若省略σ，則自動使用樣本標準差，本函數之公式將為：
X 
Z
S/ n
如：
ZTEST(數列,μ)
表以樣本標準差代替母體標準差，取抽樣之數列的平均數
（ x ）與母體均數（μ）進行檢定。
小樣本

若樣本為抽自常態母體之小樣本（n≦30），且母
體μ與σ均未知。其各項檢定所使用之檢定統計量
為：
X 
t
S/ n
分配之自由度為n-1。

事實上，「z檢定：兩個母體平均數差異檢定」所
使用之公式為：若已知兩母體之均數為μ1、μ2，
母體之變異數為σ12、σ22，當兩母體為常態或樣
本數均＞30，大樣本μ1－μ2之檢定統計量為：
Z
( X1  X 2 )   0
 12
n1



 22
n2
式中，δ0為已知常數。
若處理對象為大樣本（n>30），且母體變異數σ12、
σ22未知，則可使用樣本變異數S12、S22來替代：
Z
( X1  X 2 )   0
S12 S 22

n1 n2
T檢定


是用來進行兩組小樣本（n<30）資料之均數檢定，
或成對樣本的均數差異檢定。除成對樣本外，兩
組資料之樣本數允許不同。
單尾或雙尾其類型可分為下列三種：
1 成對
2 具有相同變異數的二個樣本
3 具有不同變異數的二個樣本


在應用t檢定時，應符合下列假設，方可得到正確
分析的結果：
 每個取樣必須隨機(random)且獨立
(independent)。
 所取樣本的母群體必須為常態分配(normal
distribution)。
由於，t分配是取決於樣本大小(n)；當樣本數超過
30(n>30)，t-分配就頗接近常態分佈，故檢定時可
改查常態分配表，或使用『資料分析』之「z檢定：
兩個母體平均數差異檢定」。
兩獨立小樣本平均數檢定(變異數相同）


兩樣本平均數的t檢定，旨在比較變異數相同的兩個母群之間平均
數的差異，或比較來自同一母群之兩個獨立樣本之均數的不同。
若兩母群體之變異數相同（σ12=σ22），是採用總變異數t檢定
(pooled-variance t test)。其相關公式為：
t
X1  X 2
S p2
N1


S p2
N2
2
2




N

1
S

N

1
S
1
2
2
S2  1
N1  N 2  2
p
d . f .  N1  N 2  2
2
S
式中， p 即是總變異數
兩獨立小樣本均數檢定（變異數不同）

若兩母群體之變異數不同（σ12≠σ22），則將用個別變異數的t統
計量(Cochran ＆ Cox法)。其相關公式為：
t

X1  X 2
S12 S 22

N1 N 2
 S12 S 22 



N
N
2 
 1
d. f . 
2
2
 S12 
 S 22 
 


N
N
 1   2
N 1  1 N 2  1
請注意，其自由度已不再是兩母群體之變異數相等時簡單的
d.f.=N1+N2-2，依此處公式計算之自由度可能會含小數。
兩獨立樣本之無母數檢定

卡方檢定
k
m
χ2=  
i=1 j=1


(Oij-Eij)2
Eij
Oij=第ij個分類中觀察值的次數
Eij=第ij個分類所期望出現的次數
卡方檢定

邏輯


對每一類別的次數建立虛無假設
將每一類別中實際發生的次數與假設的理論次數進
行比較
k
(Oi-Ei)2
i=1
Ei
χ2= 



Oi=第i個分類中觀察值的次數
Ei=第i個分類所期望出現的次數
K=分類類別的個數
卡方檢定

自由度

單一名目變數


兩個或兩個以上的名目變數並形成交叉分類時


類別數減1(k-1)
(列數-1)(行數-1)
注意事項




自由度為1時，每一個方格內期望出現的次數最少要在5
次以上。
自由度大於1且期望次數少於5的方格超過20%時，不可
進行卡方檢定。
任一方格的期望次數等於0時亦不適用。
解決方式：將某些方格合併或以二項式檢定。
Yate之連續校正


使用時機
 在22的卡方表中，當樣本數大於40或(有任一格的理論
次數小於5)
 當樣本數介於20~40間，且其中的預期次數皆在5次以上
時。
Yate之檢定較保守，若拒絶虛無假設，則能使檢定更具有說
服力。
A
C
B
D
χ2=
n(|AD-BC|-n/2)2
(A+B)(C+D)(A+C)(B+D)
k個獨立樣本的檢定

母數檢定


變異數分析(analysis of variance，ANOVA)
無母數檢定
成對樣本



『兩獨立樣本均數檢定』，無論其變異數是否相等，其共
通點為兩組受測樣本間為獨立，並無任何關聯。如：甲乙
班、男女生、兩不同年度、都市與鄉村、……。
但若同組人，受訓後的手術時間是否短於受訓前。，兩組
受測樣本間為相依（同一個人），就要使用配對樣本的t
檢定。
其相關公式為：
d  d
d  x1  x2
t

sd / n
d. f .  n  1
式中，d為同一配對之兩資料相減之差。
兩相關樣本之無母數檢定

McNemar檢定


適用於名目尺度的資料，檢定觀察對象的意見在事
件前、後是否有顯著的改變。
H0：P(A)=P(D) ，H1：P(A)P(D) ，自由度為1
事件後
事件前
不喜歡
喜歡
喜歡
A
B
不喜歡
C
D
χ2=
(|A-D|-1)2
(A+D)
k個相關樣本的檢定

母數檢定

條件





各組所用的因子最少要有三個類別
觀察值必須是配對資料或同一事件至少測量兩次以上
資料尺度至少需區間尺度以上的等級
重複測量之變異數分析(repeated measures，
ANOVA)
無母數檢定
~The End~