Transcript Mathématiques SN - École Secondaire du Mont-Sainte-Anne

Mathématiques CST
MODULE 6
Optimisation de
GRAPHES
Mathématiques CST
- L’optimisation de GRAPHES  Arbre de valeurs minimales et maximales
Arbre qui relie tous les sommets du graphe par une sélection
d’arêtes de façon que le poids de l’arbre soit le plus petit
possible (minimal) ou le plus grand possible (maximal).
MÉTHODE : Algorithme de Kruskal
1. Énumérer toutes les arêtes et les placer en ordre croissant
de poids (arbre de valeurs minimales).
2. Choisir l’arête ayant le plus petit poids.
3. Répéter l’étape 2 jusqu’à ce que tous les sommets soient reliés
en évitant celles qui formeraient un cycle simple.
Exemple : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de
trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les
immeubles sont reliés à un coût minimal.
B
1320
1160
A
C
850
835
790
D
920
E
750
2880
2640
F
MÉTHODE : Algorithme de Kruskal
1. Ordre croissant :
750 - 790 - 835 - 850 - 920 - 1160 - 1320 - 2640 - 2880
Exemple : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de
trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les
immeubles sont reliés à un coût minimal.
B
1320
1160
A
C
850
835
790
D
920
E
750
2880
2640
F
MÉTHODE : Algorithme de Kruskal
2. Arête avec le plus petit poids :
750 - 790 - 835 - 850 - 920 - 1160 - 1320 - 2640 - 2880
Exemple : Situation qui illustre les coûts estimés de la construction de
trottoirs entre des immeubles. On veut s’assurer que tous les
immeubles sont reliés à un coût minimal.
B
1320
1160
A
C
850
835
790
D
920
E
750
2880
2640
F
MÉTHODE : Algorithme de Kruskal
La construction
des trottoirs
coûtera donc
4545 $ .
3. Répéter en évitant de former un cycle simple :
750 - 790 - 835 - 850 - 920 - 1160 - 1320 - 2640 - 2880
Poids de l’arbre : 750 + 790 + 835 + 850 + 1320 = 4545
Exercice #1 : Détermine l’arbre de valeurs minimales et son poids.
4
A
2
B
1
D
G
3
6
5
3
4
H
8
6
E
5
10
C
F
5
2
I
MÉTHODE : Algorithme de Kruskal
1 – 2 – 2 – 3 – 3 – 4 – 4 – 4 – 5 – 5 – 5 – 6 – 6 – 8 – 10
inutiles
Poids de l’arbre : 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 = 20
4
Exercice #2 : Détermine l’arbre de valeurs maximales et son poids.
4
A
2
B
1
D
G
3
6
5
3
4
H
8
6
E
5
10
C
F
5
2
I
MÉTHODE : Algorithme de Kruskal
10 – 8 – 6 – 6 – 5 – 5 – 5 – 4 – 4 – 4 – 3 – 3 – 2 – 2 – 1
inutiles
Poids de l’arbre : 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 + 5 = 20
4