Transcript Определение.

МАТЕМАТИКА
VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ
НЕСКОЛЬКИХ НЕЗАВИСИМЫХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Лекция
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ и ЧАСТНЫЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ.
1. О п р е д е л е н и я.
Для упрощения записи и изложения мы ограничимся здесь случаем
функций двух независимых переменных; всё дальнейшее, однако,
справедливо и для функций любого чиста переменных.
Пусть в некоторой открытой области D имеем функцию u  f ( x, y ); возьмём
точку M 0 ( x0 , y0 )в этой области, придадим значению x0приращение x, тогда
функция получит приращение  xu   x f ( x0 , y0 )  f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 ),
которое называют её частным приращением (по x ), поскольку оно
вызвано изменением значения лишь одной переменной x .
Определение. Предел отношения частного приращения функции f ( x, y )
по x к приращению x , когда x стремиться к нулю называется частной
производной функции f ( x, y ) по x в точке M 0 ( x0 , y0 ) , и обозначается
u
f ( x0  x, y0 )  f ( x0 , y0 )
u
 ux  lim x  lim
x 0 x
x 0
x
x
u
Как видно из определения, частная производная
есть обычная
x
производная от функции u  f ( x, y ), рассматриваемой как функция только
от переменной x при фиксированном y .
Функция двух переменных u  f ( x, y ) изображается в трёхмерном
пространстве, где задана прямоугольная система координат Oxyz ,
поверхностью – геометрическим местом точек ( x, y, f ( x, y )) , где M ( x, y )
принадлежит области задания функции. Очевидно, что величина f x( x0 , y0 )
(если она существует) равна тангенсу наклона к оси Ox касательной к
сечению этой поверхности плоскостью y  y0 в точке, имеющей абсциссу x0
Совершенно аналогично можно определить частную производную по y
в точке M 0 ( x0 , y0 ) :
 yu
f ( x0 , y0  y)  f ( x0 , y0 )
u
(26.2)
 lim
 lim
y y 0 y y 0
y
Из определения частной производной следует, что правила вычисления
частных производных совпадают с правилами вычисления производной
функции одного переменного, и только следует каждый раз помнить, по
какому переменному ищется производная.
Замечание. Частные производные более, чем двух переменных,
определяются аналогично. Так, для функции u  f ( x, y, z , t ) имеем:
u
f ( x0  x, y0 , z0 , t0 )  f ( x0 , y0 , z0 , t0 )
u
 lim x  lim
x x0 x x0
x
Пример 1.
Найти частные производные функции u  x 2  y 3  xtz5 .
Решение. u
 2 x  tz 5 ,
x
u
 3y2,
y
u
 5 xtz4 ,
z
u
 xz5 .
t
u
Определение. Произведение частной производной x на
произвольное приращение x называется частным
дифференциалом по x функции u  f ( x, y ) , и его обозначают d x u
d xu 
u
x
x
(26.3)
Если под дифференциалом dx независимой переменной x понимать
приращение x , то формулу (26.3) можно записать в виде:
d xu 
Аналогично,
d yu 
u
dy
y
u
dx
x
частный дифференциал по y функции u  f ( x, y )
(26.4)
(26.5)
.
t
Определение. Полным приращением функции u  f ( x, y ) называется:
(26.7)
u  f ( x  x, y  y )  f ( x, y )
Теорема. Если частные производные f x( x, y ), f y ( x, y )существуют не
только в точке M ( x, y ) , но и в некоторой её окрестности, и кроме того
непрерывны (как функции от x, y ) в этой точке, то имеет место
формула:
f ( x, y )
f ( x, y )
u 
x 
y   (x, y )x   (x, y )y,
(26.8)
x
y
где  (x, y ),  (x, y ) б.м.в. при x  0, y  0.
Доказательство. Преобразуем равенство (26.7) к виду:
(26.9)
u  [ f ( x  x, y  y )  f ( x, y  y )]  [ f ( x, y  y )  f ( x, y )].
Выражения, стоящие в квадратных скобках можно рассматривать как
разность двух значений функции одной независимой переменной (в первой
скобке – переменной y ,т.к. x остаётся неизменным; во второй –
переменной x , т.к. y  y остаётся неизменным). Применяя к этим
разностям теорему Лагранжа, получим:
f ( x, y)
f ( x, y)
x,
f ( x, y  y)  f ( x, y) 
y, f ( x  x, y  y)  f ( x, y  y) 
x
y
где
y  y  y  y,
x  x  x  x.
Подставляя эти выражения разностей функций в формулу (26.7), получим
f ( x, y  y)
f ( x, y)
x 
y
(26.10)
x
y
Так как, по условию, частные производные непрерывны, то
f ( x, y  y ) f ( x, y )
f ( x, y ) f ( x, y )
( 26.11)
lim

,
lim

,
x 0

x

0
x
x
y
y
y 0
y 0
(т.к. x  x  x  x, y  y  y  y , то при x  0, y  0 x  x, y  y). Равенства
(26.11) по теореме о связи предела и б.м.в. можно записать в виде:
u 
f ( x, y) f ( x, y)
f ( x, y  y ) f ( x, y )

 ,
(26.12)

,
y
y
x
x
2
2
где  ,  - б.м.в. при x  0, y  0 , т.е. когда   (x)  (y )  0..
В силу равенств (26.12) соотношение (26.10) принимает вид (26.8), ч.т.д
Замечание. Аналогично можно доказать теорему о приращении функции
любого числа независимых переменных.
Для функции y  f (x), одной независимой переменной, в предположении
существования в точке x конечной производной f (x ) , для приращения
функции, как известно, имеет место формула:
y  f ( x)x  x,    (x)  0, x  0
3.
Дифференцирование сложной функции нескольких
независимых переменных
Рассмотрим случай, когда u  f ( x, y, z ), а переменные x, y, z в свою
очередь зависят от двух переменных: x  x(v, w), y  y (v, w), z  z (v, w).
Тогда функция u  f ( x(v, w), y (v, w), z (v, w))
есть сложная функция
переменных v, w .
Предположим, что функции
u  f ( x, y, z );
x  x(v, w), y  y (v, w), z  z (v, w)
имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам.
Дадим аргументу v приращениеv , сохраняя w неизменным, тогда
функции x  x(v, w), y  y (v, w), z  z (v, w). получат приращения  v x,  v y,  v z,
следовательно, получит приращение функция u  f ( x, y, z ) , которое
определяется формулой (26.8):
f
f
f
u   v x   v y   v z   v x   v y   v z.
x
y
z
Отсюда
 x
 y
 z
u f  v x f  v y f  v z



 v   v   v .
v x v y v z v
v
v
v
Если v  0, то  v x,  v y,  v z  0 ( в силу непрерывности функций
x(v, w), y (v, w), z (v, w) ) тогда и  ,  ,   0
. Переходя к пределу при v  0
получим:
 x x
 y y
 z z
u u
lim
 ; lim v  ; lim v  ; lim v  ;
v 0 v
v v0 v v v 0 v v v0 v v
lim   0; lim   0; lim   0;
v  0
v  0
v 0
u u x u y u z
(26.13)



.
v x v y v z v
Если бы приращение w получило переменное w , при неизменном v ,
то с помощью аналогичных рассуждений получили:
u u x u y u z
(26.14)



.
w x w y w z w
Формулы (26.13),(26.14) легко обобщаются для случая произвольного
числа независимых переменных.
Примечание. Если задана функция z  f ( x, y, u, v), где y, u , v в свою
очередь зависят от одного аргумента x :
и, следовательно,
y  y ( x), u  u ( x), v  v( x),
то по сути дела, z является функцией только одного переменного x и
можно ставить вопрос о нахождении производной dz .
dx
dz z x z y z u z v




,
dx x x y x u x v x
и так какy, u, v - функции только одного переменного x ,то частные
производные обращаются в обыкновенные; кроме того, x  1; поэтому
dz z z dy z du z dv
x
 


,
(26.15)
dx x y dx u dx v dx
Эта формула носит название формулы для вычисления полной
dz
z
производной
( в отличие от частной производной
).
dx
x
По формуле (26.13) имеем:
4.
Производная функции, заданной неявно.
Определение. Функция y  f ( x1 , x2 ,...xn ) задана неявно, если значение
находится по заданным значениям аргументов ( x1 , x2 ,...xn )из уравнения, y
неразрешённого относительно y :
(26.16)
F ( x1 , x2 ,...xn , y)  0
Теорема. Пусть непрерывная функция y от x задаётся неявно
уравнением F ( x, y )  0 , и F ( x, y ), Fx( x, y ), Fy ( x, y ) - непрерывные функции в
некоторой области D , содержащей точку M ( x, y ) , координаты которой
удовлетворяют уравнению (26.16); кроме того, в этой точке Fy ( x, y )  0 .
Тогда функция y от x имеет производную
F ( x, y)
(26.17)
yx   x
.
Fy ( x, y)
Доказательство. Дадим независимому переменному x приращение x
Функция y получит приращение y , т.е. значению аргумента x  x
соответствует значение функции y  y . В силу уравнения F ( x, y )  0
будем иметь: F ( x  x, y  y )  0
Тогда
F ( x  x, y  y )  F ( x, y )  0
Левую часть последнего равенства, являющуюся полным приращением
функции двух переменных по формулу (23.8) можно записать в виде:
F ( x  x, y  y )  F ( x, y) 
F
F
x 
y  x  y,
x
y
где  ,  - б.м. в. при x, y  0.
Так как левая часть этого выражения равна нулю, то можно записать:
F
F
x 
y  x  y  0.
x
y
y
F
F
 (
  ) /(
  ).
Отсюда
x
x
y
F
Устремляя x к нулю и учитывая, что при это  ,   0, и
 0в пределе
y
F F
получим:
yx  
/
,
x y
ч.т.д.
(26.18)
Рассмотрим теперь уравнение вида: F ( x, y, z )  0
Определение. Если каждой паре чисел x, y из некоторой области
соответствует одно или несколько значений z , удовлетворяющих
уравнению (26.18), то это уравнение неявно определяет одну или
несколько однозначных функций z от x, y .
Например, уравнение
x2  y 2  z 2  R2  0
неявно определяет две непрерывные функции z от x, y , которые можно
выразить явно, разрешив уравнение относительно z :
z  R2  x2  y2 ,
z   R2  x2  y2 .
z  z
,
Найдём частные производные
неявной функции z от x, y ,
x  y
определяемой уравнением (26.18).
z
Когда мы ищем
мы считаем y постоянным, и по формуле (26.17)
x
z
F F
 ( ) /( ).
получим:
x
x
z
Таким же путём находим: z
F F
 ( ) /( ).
y
y
z
Аналогичным образом определяются неявные функции любого числа
переменных и находятся их частные производные.
u u
Пример 2. Найти частные производные ,
функции

v

w
x  v  w,
u  ln( x 2  y),
y vw
Решение.
u
2x
u
1
x
x
y
y
 (ln( x 2  y ))x  2
,
 (ln( x 2  y ))y  2
;
 1,
 1,  1,
 1,
x
x  y y
x  y v
w
v
w
Отсюда по формулам (26.7) получим:
u
2x
1
2(v  w)  1
 2
1  2
1 
,
v x  y
x y
(v  w) 2  (v  w)
u
2x
1
 2(v  w)  1
 2
 (1)  2
 1
w x  y
x y
(v  w) 2  (v  w)
Пример 3. Найти частные производные функции z , неявно заданной
уравнением
e z  x 2 y  z  5  0.
Решение. Здесь F ( x, y, z )  e z  x 2 y  z  5.
F
F
F
 2xy,
 e z  1,
 x2 ,
x
z
y
2
z
2 xy

z
x
 z
,
 z .
x
e 1
y
e 1
Лекция
ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ и
ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ.
1. Определение, свойства и вычисление дифференциала
Сумма двух последних слагаемых правой части в формуле полного
приращения функции (23.8) является бесконечно малой высшего порядка
относительно   x 2  y.2 Действительно, отношение (x /  )  0 при
  0, т.к.  - б.м.в., а x /   1 ,т.е. (x /  )- ограниченная величина.
Аналогично проверяется, что ( y /  )  0при   0 .
Сумма первых двух слагаемых есть выражение линейное относительно x
y . При f x( x, y )  0, f y ( x, y )  0 это выражение представляет собой
главную часть приращения, отличаясь от u на бесконечно малую
высшего порядка относительно  .
Определение. Функция u  f ( x, y ) , полное приращение u которой в
данной точкеM ( x, y ) может быть представлено в виде суммы двух
слагаемых: выражения линейного относительно x, y , и величины
бесконечно малой высшего порядка относительно  называется
дифференцируемой в данной точке, а линейную часть приращения
называется полным дифференциалом и обозначается через du , df .
Теорема. Для того, чтобы функция u  f ( x, y ) была дифференцируемой в
точке M ( x, y ) необходимо, чтобы она имела в этой точке частные
производные, и достаточно, чтобы она имела в этой точке
непрерывные частные производные.
Доказательство следует из формулы (26.8).
Таким образом, для функции двух и более независимых переменных
из дифференцируемости её следует существование частных производных
этой функции; обратное утверждение неверно: из существования частных
производных не следует дифференцируемость функции.
x
Замечание. Для функции одной переменной
y  f (x) существование у
неё производной в точке x является необходимым и достаточным
условием её дифференцируемости в этой точке.
Из формулы (26.8) также следует утверждение.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна
в этой точке. (Доказательство следует из (26.8) и критерия Коши).
Из формулы (26.8) и определения полного дифференциала следует
формула вычисления полного дифференциала:
( 27.1)
du  f x( x, y )x  f y ( x, y )y.
Равенство (26.8) можно переписать в виде:
u  du  x  y
(27.2)
и с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно
можно написать следующее приближённое равенство: u  du (27.3)
Примечание 1. Приращения независимых переменных x  dx, y  dy
называют дифференциалами независимых переменных
.
Тогда выражение полного дифференциала примет вид:
du 
f
f
dx  dy.
x
y
(27.4)
Примечание 2. Предыдущие рассуждения и определения
соответственным образом обобщаются на функции любого числа
аргументов.
Если имеем функцию любого числа переменных u  f ( x, y, z ,..., t ) , причём
все частные производные f x, f y, f z,..., f t непрерывны в точке M ( x, y, z ,..., t ), то
выражение:
du  f xdx  f ydy  f zdz  ...  f tdt
(27.5)
является её полным дифференциалом. Доказательство того, что разность
u  du является бесконечно малой более высокого порядка, чем  ,
проводится совершенно также, как и для функции двух переменных.
Примечание 3. Для функции нескольких переменных, как и для функции
одной переменной, имеет место инвариантность формы первого
дифференциала.
Доказательство. Если функция u  f ( x, y, z ) имеет непрерывные
частные производные u x , u y , u z , причём x, y, z в свою очередь,
являются функциями от новых переменных t, v: x   (t , v), y   (t , v), z   (t , v),
также имеющими непрерывные частные производные xt, xv , yt, yv , zt, zv ,
тогда не только существуют производные от сложной функции u по t и v ,
но эти производные также непрерывны по t и v .
Если бы x, y, z были независимыми переменными, то, как мы знаем,
полный дифференциал функции u был бы равен:
du  ux dx  uy dy  uz dz
В данном случае u зависит через посредство x, y, z от переменных t, v .
Следовательно, по отношению к этим переменным, дифференциал
du  utdt  uv dv
запишется в виде:
a в силу формулы вычисления производной сложной функции:
ut  ux xt  uy yt  uz zt ,
uv  u x xv  uy yv  u z zv ,
получим:
du  (ux xt  uy yt  uz zt )dt  (ux xv  uy yv  uz zv )dv.
Перегруппируем члены этого выражения
du  ux ( xtdt  xv dv)  uy ( ytdt  yv dv)  uz ( ztdt  zv dv).
Нетрудно видеть, что выражения, стоящие в скобках, есть
дифференциалы функций x, y, z от t, v , так что мы можем записать:
du  ux dx  uy dy  uz dz.
Таким образом, мы пришли к той же самой форме полного
дифференциала, что и в случае, когда x, y, z были независимыми
переменными. (Но смысл символов dx, dy , dz здесь, конечно, другой).
Следствие. Для случая, когда u, v были функциями одного
переменного, имели место следующие формулы:
u
vdu  udv
d (Cu)  Cdu, d (u  v)  du  dv, d (uv)  vdu  udv, d ( ) 
.
2
v
v
Эти формулы верны и в том случае, когда u, v являются функциями
любого числа переменных, т.е. когда u  f ( x, y,...), v  g ( x, y,...).
Докажем, например, последнюю формулу.
Для этого примем сначала u, v за независимые переменные, тогда
u
1
u
vdu  udv
d ( )  du  2 dv 
.
v
v
v
v2
Видим, что при этом предположении дифференциал имеет тот же вид, что
и для функций u, v одной переменной.
На основании инвариантности формы дифференциала можно
утверждать, что эта формула справедлива и в том случае, когда u, v
являются функциями любого числа переменных.
Доказанное свойство полного дифференциала и следствие из него
позволяют упрощать вычисление полного дифференциала.
Пример 1.
x
1
x
ydx  xdy
1)d (arctg ) 
d
(
)

.
2
2
2
y 1  ( x / y)
y
x y
x
( x 2  y 2  z 2 )dx  xd( x 2  y 2  z 2 ) ( y 2  z 2  x 2 )dx  2 xydy  2 xzdz
2)d ( 2
)

.
x  y2  z2
( x 2  y 2  z 2 )2
( x2  y 2  z 2 )2
Так как коэффициентами при дифференциалах независимых переменных
являются соответствующие частные производные, то отсюда сразу же
получаются и значения этих производных. Например, для u  (arctg ( x / y )
имеем непосредственно u
y
u
x
 2
,


,
2
2
2
x x  y
y
x y
а для u  x /( x 2  y 2  z 2 ) получим
u
2 xy
u
2 xz
u
y2  z 2  x2


,


.
 2
,
2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2

y
(
x

y

z
)

z
(
x

y

z
)
x ( x  y  z )
2.
Применение полного дифференциала
в приближённых вычислениях.
Пусть функция z  f ( x, y ) дифференцируема в точке M ( x, y ) , тогда из
формулы
z  f ( x  x, y  y )  f ( x, y )  f ( x  x, y  y )  f ( x, y )  z,
и из формулы (27.3)
приближённую формулу
z  dz 
f
f
x  y,
x
y
f
f
x  y,
(27.6)
x
y
верную с точностью до б.м.в. высшего порядка относительно x, y.
f ( x  x, y  y )  f ( x, y ) 
Пример 2. Вычислить объём материала, нужного для изготовления
цилиндрического стакана следующих размеров: радиус внутреннего
цилиндра- R , высота внутреннего цилиндра- H , толщина стенок и дна
стакана- k .
Решение. Дадим два решения этой задачи: точное и приближённое.
а) Точное решение. Искомый объём V равен разности объёмов внешнего и
внутреннего цилиндров. Так как радиус внешнего цилиндра равен R а k
H  k, то
высота
V   ( R  k ) 2 ( H  k )  R 2 H   (2RHk  R 2 k  Hk 2  2Rk 2  k 3 ) (27.7)
б) Приближённое решение. Обозначим через f объём внутреннего
цилиндра, тогда f  R 2 H. Это функция двух переменных R, H . Если
увеличим R и H на k , то функция f получит приращение  f , что и
будет искомым объёмом V , т.е. V  f . Тогда на основании (27.6) имеем
f
f
приближённое равенство:
V  df 
R 
H .
R
H
А так как f
f
 2RH ,
 R 2 ,
R  H  k ,
R
H
то получаем
V   (2RHk  R 2 k ).
Сравнивая результаты точного и приближённого решений, видим, что они
отличаются на величину  (2 Rk 2  Hk 2  k 3 ) , состоящую из членов
второго и третьего порядка малости относительно k .
В частности, если R  4см, H  20см, k  0,1см , то по точной формуле
имеем: V   (2  4  20  0,1  42  0,1  2  4  0,12  0,13 )  17,881 ,
по приближённой формуле имеем: V   (2  0,4  0,1  42  0,1)  17,6 .
Следовательно, приближённая формула даёт ответ с ошибкой меньшей,
0,3
100% , т.е. менее 2% измеренной
чем 0,3 , что составляет
17,881
величины.
3. Приложения дифференциала к оценке погрешности
при вычислениях.
Пусть некоторая величина u является функцией величин x, y, z,..., t:
u  f ( x, y, z ,..., t ) , причём, определяя каким-то способом значения величин
x, y, z,..., t , мы допускаем погрешности: x, y, z,..., t . Тогда значение u ,
Вычисленное по неточным значениям аргументов, получится с
погрешностью: u  f ( x  x, y  y, z  z,..., t  t )  f ( x, y, z,..., t ).
При достаточно малых абсолютных значениях величин x, y,..., tможем
приближённо заменить полное приращение полным дифференциалом:
f
f
f
u  x  y  ...  t.
x
y
t
Здесь значения частных производных и значения погрешностей
аргументов могут быть как положительными, так и отрицательными.
Заменяя их абсолютными величинами, получим неравенство:
f
f
f
(27.8)
u 
x 
y  ... 
t .
x
y
t
Если через  x ,  y ,..., t , u обозначим максимальные абсолютные
погрешности соответствующих величин (границы для абсолютных
величин погрешностей), то можно, очевидно принять:
(27.9)
f 
f 
f 
u 
x
 y  ... 
t.
x
y
t
Пример 3.




а) Если u  x  y  z , то  u   x   y   z .



b) Если u  x  y , то  u   x   y .
с) Если u  xy , то u  x  x  y  y .
x
y  x  x  y
d) Если u 
, то 
1 
x 
u   x  2  y 
.
y
y
y
y2
Определение. Отношение погрешности x некоторой величины к
приближённому значению x этой величины называется
x
.
относительной погрешностью величины и обозначается x 
x
Определение. Максимальной относительной погрешностью
величины x называется отношение максимальной абсолютной


погрешности к абсолютной величине x и обозначается  x   x / x
Для оценки максимальной относительной погрешности функции u
разделим все числа равенства (27.9) на u  f ( x, y,..., t ) :
u
f y 
f x 
f
(27.10)

x
 y  ...  t t .
u
f
f
f
f 
f t 
f y 
И так как x  (ln f ),
 (ln f ),
 (ln f ),
f x
f t
f
y







u

ln
f

x

ln
f

y

...

ln f t   ln f . (27.11)
то
x
y
t
Из формул (27.10),(27.11) следует, что максимальная относительная
погрешность функции равняется максимальной абсолютной погрешности
логарифма этой функции.
Из формулы (27.11) следуют правила, применяемые в приближённых
вычислениях:
1) если u  xy , то, пользуясь результатами примера 3(с), получим:




x

x
y

y

x

y

 u



  x    y ,
xy
xy
x
y
т.е. максимальная относительная погрешность произведения равняется
сумме максимальных относительных погрешностей сомножителей;
x
2) если u 
, то, пользуясь результатами примера 3(d), находим:
y
 u    x    y ,
3) если u  x  y , то, пользуясь результатами примера 3(в), получим:



x


y

 u
.
x y

Если x и y близки, то может оказаться, что  u будет очень велика по
сравнению с определяемой величиной x  y . Это обстоятельство следует
учитывать при производстве вычислений.
Пример 4. Период колебания маятника равенT  2 l / g , где l - длина
маятника, g - ускорение силы тяжести.
Какую относительную погрешность в определении T мы допустим по
этой формуле, принимая
(с точностью до 0,005), l =1м
( с точностью до 0,01м), g  9,8 м / с 2 (с точностью до 0,02).
Решение. По формуле (27.11) максимальная относительная погрешность
равна
 T   ln T ,
причём в данном случае
ln T  ln 2  ln   0,5 ln l  0,5 ln g.

2
Учитывая, что   3,14,   0,005, l  1, l  0,01, g  9,8 м / с ,  g  0,02,
получим:
 l  g 0,005 0,1 0,002

 ln T 




 0,0076.
2l 2 g
3,14
2 2  9,8
Таким образом, максимальная относительная погрешность равна:


 T  0,0076( 0,76%).
Лекция
ПРОИЗВОДНЫЕ и ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ.
1.
Производные высших порядков.
Пусть имеем функцию двух независимых переменных z  f ( x, y ).
Частные производные z
z
 f x( x, y ),
 f y ( x, y ),
x
y
вообще говоря, являются функциями переменных x, y , поэтому от них
можно снова находить частные производные.
Определение. Производная от f x( x, y ) по x называется частной
производной второго порядка от функцииz  f ( x, y ) по x
переменному и обозначается
 2 z  z
( 28.1)
 ( )  f xx ( x, y )
2
x
x x
Аналогично определяется частная производная второго порядка от
функции z  f ( x, y ) по переменному y :
 2 z  z
(28.2)



(
)

f
(
x
,
y
)
yy
y 2 y y
Определение. Производная от f x( x, y ) по y называется частной
производной второго порядка от функции z  f ( x, y ) по переменным x, y
2 z
 z
и обозначается
 ( )  f xy ( x, y)
(28.3)
xy y x
2
Аналогично определяется производная  z   ( z )  f  ( x, y)
(28.4)
yx
yx x y
Определение. Частные производные, определяемые формулами
(28.3),(28.4) называются смешанными производными второго
порядка функции z  f ( x, y ) по переменным x, y .
Аналогично определяются производные третьего , четвёртого порядков от
функции z  f ( x, y ) по переменным x, y .
Определение. Частной производной n -го порядка от функции z  f ( x, y )
по переменным x, y называется производная от производной ( n  1) -го
порядка.
Естественно возникает вопрос: будут ли равны между собой частные
производные, если они взяты по одним и тем же переменным, одно и
тоже число раз, но в разном порядке?
В общем случае ответ отрицательный, однако в некоторых случаях это
возможно.
Теорема 1. (О смешанных производных).
Если функция z  f ( x, y ) и её частные производные f x, f y , f xy , f yx
определены и непрерывны в точке ( x, y )и в некоторой её окрестности,
то в этой точке имеет место равенство:
2 z
2 z
f xy  f yx
Доказательство. Рассмотрим выражение:
(
xy

yx
).
A  [ f ( x  x, y  y )  f ( x  x, y )]  [ f ( x, y  y )  f ( x, y )].
Если введём вспомогательную функцию  ( x)  f ( x, y  y )  f ( x, y ), ,то
A можно записать в виде:
A   ( x  x)   ( x).
Так как, по предположению, f x определена в окрестности точки ( x, y ), то,
следовательно,  (x ) дифференцируема на отрезке [ x, x  x] , но тогда ,
применяя теорему Лагранжа, получим: A  x (x ) , где x  x  x  x
и  ( x)  f x( x, y  y)  f x( x, y).
Так как f xy определена в окрестности точки ( x, y ) , то f x
дифференцируема на отрезке [ y , y  y ] , поэтому, применив к полученной
разности вновь теорему Лагранжа ( по переменному y ), будем иметь:
где
y  y  y  y
f x( x, y  y)  f x( x, y)  yf xy ( x, y),
Следовательно, первоначальное выражение A  xyf  ( x, y ).
(28.5)
xy
Переставив в выражении для A средние слагаемые, получим:
A  [ f ( x  x, y  y )  f ( x, y  y )]  [ f ( x  x, y )  f ( x, y )].
Введём вспомогательную функцию  ( y )  f ( x  x, y )  f ( x, y ),
тогда A   ( y  y )  ( y ). Применяя теорему Лагранжа, получим:
A  y ( y ), где y  y  y  y, и  ( y)  f y( x  x, y)  f y( x, y).
Применив ещё раз теорему Лагранжа, получим:
где
x  x  x  x.
f y( x  x, y)  f y ( x, y)  xf yx ( x, y),
Следовательно, первоначальное выражение A можно записать в виде:
A  yxf yx ( x, y).
(28.6)
Левые части равенств (25.5),(25.6) равны, следовательно, равны и
правые части, т.е. xyf xy ( x, y)  yxf yx ( x, y).
Откуда
f xy ( x, y)  f yx ( x, y).
Переходя в этом равенстве к пределу при x  0, y  0 , получим:
lim f xy ( x, y )  lim f yx ( x, y ).
x 0
y 0
x 0
y 0
Так как f xy , f yx непрерывны в точке ( x, y ), то
lim f xy ( x, y)  f xy ( x, y),
x 0
y 0
lim f yx ( x, y )  f yx ( x, y ).
x 0
y  0
Таким образом, f xy ( x, y )  f yx ( x, y ), ч.т.д.
Аналогичная теорема имеет
место для функции любого числа переменных.
Пример 1.  3u
 3u
,
, если u  e xy sin z. .
Найти
xyz yzx
3
Решение.
2

u
xy

u
u
xy

e
(1  xy) cos z,
xy

e
(
1

xy
)
sin
z
,
 ye sin z ,

x

y

z
xy  2u
x
 3u
u
xy
xy
 e xy (1  xy) cos z.
 ye cos z,
 xe sin z,
yzx
yz
y
3
3
Следовательно,
u
u

.
xyz yzx
2.
Поверхности уровня.
Пусть в пространстве Oxyz имеется область D , в которой задана
функция u  u ( x, y, z ).
Рассмотрим точки области D , в которых функция u  u ( x, y, z ). имеет
постоянное значение C :
Совокупность этих точек образует некоторую поверхность. (Если возьмём
другое значениеC , то получим другую поверхность). Эти поверхности
называются поверхностями уровня.
Если функция u есть функция двух переменных x, y ,т.е. u  u ( x, y ). , то
поверхностями уровня будут линии u ( x, y )  C на плоскости Oxy , которые
называются линиями уровня.
Зная линии уровня , можно исследовать характер исходной поверхности.
2
2
Пример 2. Определить линии уровня функции u  1  x  y
Решение. Линиями уровня будут линии,
уравнения которых 1  x 2  y 2  C
Это окружности с радиусом 1  C
x
(в частности, при C  0 получаем окружность
x 2  y 2  1)
u
u C
y
y
x
3.
Дифференциалы высших порядков.
Определение. Дифференциал от дифференциала первого порядка
функции z  f ( x, y )называется дифференциалом второго порядка и
2
d
z  d (dz )
обозначается :
Следует подчеркнуть, что приращения dx, dy, при этом рассматриваются
как постоянные и остаются одними и те ми же при переходе от одного
дифференциала к другому.
Таким образом, если воспользоваться правилами дифференцирования,
z
z
z
z
то получим: d 2 z  d (dz )  d ( dx 
dy )  d ( )dx  d ( )dy
2 x
y2
x 2
y 2
 z
 z
 z
 z
 z 2
 z
2 z 2
2
d z  ( 2 dx 
dy)dx  (
dx  2 dy)dy  2 dx  2
dxdy  2 dy
x
xy
yx
y
x
xy
y
2
2
Аналогично определяется дифференциал третьего порядка и выше.
Определение. Дифференциал от дифференциала ( n  1) -го порядка
называется дифференциалом n -го порядка: d n z  d (d n 1 z )
Если функция z  f ( x, y ) имеет непрерывные частные производные всех
порядков до n -го порядка включительно, то существование для неё n -го
дифференциала обеспечено.
В целях упрощения записи для дифференциалов применяют


n
d
z

(
dx

dy ) n z
символическую запись:
x
y
Примечание. Пусть имеем сложную функцию z  f ( x, y ); x   (t , v), y   (t , v).
В этом случае первый дифференциал в силу инвариантности его формы
z
z
может быть сохранён в прежнем виде:
dz  dx  dy,
x
y
но здесь уже dx, dy , являются дифференциалами функций,
следовательно, сами будут функциями. Вычислив теперь второй
дифференциал сложной функции, будем иметь:
z
z
z
z


z
z
d 2 z  d ( )dx  d ( )dy  d (dx)  d (dy )  ( dx  dy ) 2 z  d 2 x  d 2 y.
x
y
x
y
x
y
x
y
Отсюда следует, что дифференциал второго порядка (и выше) в общем
случае инвариантностью формы не обладает. (Исключением является,
когда x   (t , v), y   (t , v). являются линейными функциями t, v )
4.
Формула Тейлора.
Предположим, что в окрестности некоторой точки M 0 ( x0 , y0 ) функция
z  f ( x, y ) имеет непрерывные производные всех порядков до (n  1) -го
включительно. Придадим x0 , y0 некоторые приращения x, y так, чтобы
прямолинейный отрезок, соединяющий точки ( x0 , y0 )и ( x0  x, y0  y) не
вышел за пределы рассматриваемой окрестности точки ( x0 , y0 ).
Введём в рассмотрение новую независимую переменную t , положив
x  x0  tx,
y  y0  ty,
(28.7)
(0  t  1)
Подставив эти значения x, y в функцию z  f ( x, y ), получим сложную
функцию от одной переменной t :
F (t )  f ( x0  tx, y0  ty)
Введённые формулы (25.7) геометрически выражают прямолинейный
отрезок, соединяющий точки M 0 ( x0 , y0 ) и M ( x0  x, y0  y).
Тогда f ( x0 , y0 )  f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0 )  F (1)  F (0)  F (0)
Но F (t ) является функцией одной переменной и имеет (n  1)
непрерывных производных, следовательно, применив к ней уже
выведенную формулу Тейлора, получим:
1
1
1
F (0)  F (1)  F (0)  dF (0)  d 2 F (0)  ...  d n F (0) 
d n 1 F ( ), (0    1)
2!
n!
(n  1)!
при этом дифференциал
t  1  0  1.
dt , входящий в различных степенях справа равен
Пользуясь теперь тем, что при линейной замене переменных свойство
инвариантности формы имеет место и для высших дифференциалов,
можем написать, что
dF (0)  f x( x0 , y0 )dx  f y ( x0 , y0 )dy  df ( x0 , y0 ),
d 2 F (0)  f xx ( x0 , y0 )d 2 x  2 f xy ( x0 , y0 )dxdy  f yy ( x0 , y0 )d 2 y  d 2 f ( x0 , y0 ),
Наконец, для (n  1) -го дифференциала будем иметь
d n 1 F ( )  d n 1 f ( x0  x, y0  y ).
Следует отметить, что здесь дифференциалы dx, dy ничем не отличаются
от ранее взятых приращений x, y . Действительно,
dx  x  dt  x,
dy  y  dt  y.
Подставив эти формулы в разложение F (0) , получим
f ( x0 , y0 )  f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0 ) 
(28.8)
1 2
1
1
d f ( x0 , y0 )  ...  d n f ( x0 , y0 ) 
d n1 f ( x0  x, y0  y ),
2!
n!
(n  1)!
разложение функции z  f ( x, y )по формуле Тейлора.
 df ( x0 , y0 ) 
Лекция
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
НАИБОЛЬШЕЕ и НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ.
1.
Экстремум функции нескольких переменных.
Определение. Функция z  f ( x, y ) имеет максимум в точке M 0 ( x0 , y0 )
(т.е. при x  x0 , y  y0), если для всех точек ( x, y ) , достаточно близких к
точке ( x0 , y0 ) и отличных от неё выполняется неравенство: f ( x0 , y0 )  f ( x, y)
Определение. Функция z  f ( x, y ) имеет минимум в точке M 0 ( x0 , y0 )
(т.е. при x  x0 , y  y0), если для всех точек ( x, y ) , достаточно близких к
точке ( x0 , y0 ) и отличных от неё выполняется неравенство: f ( x0 , y0 )  f ( x, y)
Определение. Максимум и минимум функции называются
экстремумами функции.
z
z
Пример 1.
Пример 2.
a
z  x2  y 2
z  a  (x2  y2 )
y
y
x
O
zmin  f (0,0)  0
x
zmax  f (0,0)  a
Положив x  x0  x; y  y0  y , и
f ( x, y)  f ( x0 , y0 )  f ( x0  x, y0  y)  f ( x0 , y0 )  f .
тогда данные выше определения можно перефразировать следующим
образом:
1) Если f  0при всех достаточно малых приращениях независимых
переменных, то функция f ( x, y )достигает максимума в точке M 0 ( x0 , y0 )
2) Если f  0при всех достаточно малых приращениях независимых
переменных, то функция f ( x, y )достигает минимума в точке M 0 ( x0 , y0 )
Эти формулировки переносятся без изменения на функции любого числа
переменных.
Теорема (Необходимое условие экстремума).
Если функция z  f ( x, y ) достигает экстремума в точке M 0 ( x0 , y0 ), то
каждая частная производная первого порядка от данной функции или
обращается в нуль в этой точке, или не существует.
Доказательство. Дадим переменному y определённое значение y 0 .
тогда функция f ( x, y0 ) будет функцией одного переменного x . Так как при
z
x  x0 она имеет экстремум, то ( ) x  x0 или равно нулю, или
x y  y0
не существует. Аналогично можно доказать,
что ( z ) x  x или равно нулю
0

y
y  y0
или не существует.
Определение. Точки, в которых z x  0, z y  0 (или не существуют)
называются критическими точками функции.
Если функция достигает экстремума в какой-либо точке, то это может
случиться только в критической точке.
Теорема (Достаточное условие экстремума).
Пусть функция z  f ( x, y ) :
а) определена в некоторой окрестности критической точки M 0 ( x0 , y0 ), в
которой zx ( x0 , y0 )  0, zy ( x0 , y0 )  0,
б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго
порядка: zxx ( x0 , y0 )  A, zyy ( x0 , y0 )  C , zxy ( x0 , y0 )  zyx ( x0 , y0 )  B.
Тогда, если   AC  B 2  0 , то в точке M 0 ( x0 , y0 )функция z  f ( x, y )имеет
экстремум; причём, если A  0, то максимум, если A  0, то минимум.
Если   AC  B 2  0 , то экстремума нет, если   AC  B 2  0то
, вопрос
об экстремуме остаётся открытым.
(Без доказательства).
2.
Условный экстремум.
Пусть требуется найти экстремум функции z  f ( x, y )
( 29.1)
при условии, что x и y связаны уравнением
 ( x, y )  0.
(29.2)
Если бы нам удалось разрешить уравнение (29.2) относительно y ,
то, вставляя в равенство z  f ( x, y ) вместо y найденное выражение,
получили бы функцию одного переменного x и свели бы задачу к задаче
об исследовании на максимум и минимум функции одного независимого
переменного x .
Но можно решить поставленную задачу, не разрешая уравнения (29.2)
относительно y или x .
При тех значениях x , при которых функция z  f ( x, y ) может иметь
максимум или минимум, производная от z по x должна обращаться в нуль.
Из (29.1), помня, что y есть функция x , находим
dz df f dy


,
dx dx y dx
df f dy

0
(29.3)
следовательно, в точках экстремума
dx y dx
Из равенства (29.2) находим   dy
(29.4)

0
x y dx
Равенство (29.4) удовлетворяется для всех x и y , удовлетворяющих
уравнению (29.2).
Умножив члены равенства (29.4) на неопределённый пока коэффициент
 и сложив их с соответствующими членами равенства (29.3), получим:
f f dy
  dy
( 
)  ( 
)0
x y dx
x y dx
или
f

f
 dy
(29.5)
( 
)( 
)  0.
x
x
y
y dx
Равенство (29.5) выполняется во всех точках экстремума.
Подберём  так, чтобы для значений x и y , соответствующих
экстремуму функции z , вторая скобка в равенстве (29.5) обратилась в
f


 0.
нуль
y
y
Но тогда при этих значениях x и y из равенства (29.5) следует равенство
f


 0.
x
x
Таким образом, получается, что в точках экстремума удовлетворяются
три уравнения:
f

f

 ( x, y )  0 (29.6)

 0,

 0,
x
x
y
y
с тремя неизвестными x, y ,  . Из этих уравнений определяем x, y и
которое играло вспомогательную роль.

Левые части уравнений (29.6) есть частные производные функции
(26.7)
F ( x, y,  )  f ( x, y )   ( x, y )
Таким образом, для того, чтобы найти значения x и y ,
удовлетворяющие условию (29.2), при которых функция z  f ( x, y ) может
иметь условный экстремум, нужно составить вспомогательную функцию
(29.7), приравнять нулю её частные производные по x, y и  и из
полученных трёх уравнений (29.6) определить искомые x, y .
Кстати условия (29.6) есть необходимые условия условного экстремума;
при решении конкретных задач иногда удаётся установить характер
критической точки (решение (29.6)) на основании существа задачи.
Рассмотренный метод распространяется на исследование экстремума
функции любого числа переменных.
3. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Наибольшее и наименьшее значения (глобальный экстремум) функции
нескольких переменных непрерывной на некотором замкнутом множестве
достигается или в точках экстремума, или на границе множества.
Определение. Множество называется замкнутым, если оно включает
все свои граничные (предельные) точки, т.е. точки, окрестности которых
содержат точки как принадлежащие множеству, так и не
принадлежащих ему.
Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в
замкнутой области D можно руководствоваться правилом:
1) найти критические точки, лежащие внутри области D , и вычислить
значения функции в этих точках (при этом можно не вдаваться в
исследование, есть в них экстремум или нет);
2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области
;
D
3) из полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее .
Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
y
2
2
y5
z  x  2 xy  10 в области y  x  4; y  5.
5
Решение. 1) Найдём критические точки,
лежащие внутри данной области
x
0
3
3
4
 z
 x  2 x  2 y
критическая точка, лежащая
2 x  2 y  0
 z
 
 O (0,0)
внутри данной области, и
  2x
2x  0

 y
z (0,0)  10
2) Найдём наибольшее и наименьшее значения функции на границе
области:
[3;3]
а) на прямой y  5 : z  z ( x)  x 2  10 x  10,
z ( x)  2 x  10, z (x)  0  2x 10  0  x  5  [3;3],
z (3)  31; z (3)  29;
3
2
б) на параболе y  x  4 : z  z ( x)  2 x  8x  10, [3;3]
z( x)  6 x 2  2 x  8; z (x)  0  x1  1; x2  4 3  [3;3],
z (1)  15; z ( 4 )   62 ; z (3)  31; z (3)  29;
3
27
3) Сравнивая значения функции, полученные в пунктах 1) и 2), найдём,
что наибольшее значение z  29 функция достигает на границе области в
точке (3;5), а наименьшее значение z  31 - на границе области в
точке (3;5)
Лекция
ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ СКАЛЯРНОГО АРГУМЕНТА.
1. Определение вектор-функции.
Пусть в трёхмерном пространстве введена прямоугольная декартова
система координат и пусть OA  r - вектор, начало которого совпадает с
началом координат, а концом является некоторая точка A( x, y, z ) .
Такой вектор называется радиус-вектором точки A.
(30.1)
r  ( x, y , z )  r  xi  y j  z k .
Из векторной алгебры известно, что
Пусть проекции вектора r являются функциями некоторого параметра t
(30.2)
x   (t ),
y   (t ),
z   (t ).
Тогда формулу (27.1) можно записать в виде:
(30.3)
r  r (t )
r   (t )i  (t ) j   (t )k
или коротко
Определение. Если каждой точке t  [a, b] поставлен в соответствие
вектор r  r (t ) , то говорят, что на отрезке [a, b] задана векторфункция (или векторная функция) скалярного аргумента.
Из (30.3) следует, что задание вектор-функции r (t ) равносильно заданию
трёх числовых функций x   (t ), y   (t ), z   (t ).
При изменении t изменяются x, y, z и точка A (конец вектора r )
опишет в пространстве некоторую линию, которую называют
годографом вектора r (t ) .
2.
Предел и непрерывность вектор-функции.
Определение. Вектор r 0 называется пределом вектор-функции r  r (t )при
r (t )
r (t )  r 0  0 , и пишут: r 0  lim
t  t0, если lim
tt 0
t t0
Как видим, в определении
предполагается, что r  r (t ) определена в

некоторой окрестности U (t 0 ).
Определение предела вектор-функции r  r (t ) как и для числовой функции
можно записать на языке    :

lim r (t )  r 0    0,  ( )  0, t U  (t0 ) : r (t )  r 0   .
t t0
Если r (t )  ( x(t ), y (t ), z (t )) и r 0  ( x0 , y0 , z0 ) , то
r (t )  r 0  ( x(t )  x0 ) 2  ( y (t )  y0 ) 2  ( z (t )  z0 ) 2
Из этого равенства следует, что существование предела
равносильно существованию трёх пределов числовых функций:
lim x(t )  x0 ,
lim y(t )  y0 ,
lim z (t )  z0 .
t t0
t t0
t t0
Теорема 1. Пусть существуют пределы
lim f (t )  f 0 ,
lim r 1 (t )  r 10,
lim r 2 (t )  r 20,
t t
t t 0
t t 0
0
где f (t )  числовая функция, тогда существуют пределы:
1) lim (r 1 (t )  r (t ))  lim r 1 (t )  lim r 2 (t );
t t 0
t t 0
t t 0
2) lim (r 1 (t )  r (t ))  lim r 1 (t )  lim r 2 (t );
t t 0
t t 0
t t 0
3) lim [r 1 (t ), r (t )]  [lim r 1 (t ), lim r 2 (t )];
t t 0
t t 0
t t 0
4) lim ( f (t )  r 1 (t ))  lim f (t )  lim r 1 (t );
t t 0
t t 0
t t 0
Доказательство. Эти свойства следуют из свойств числовых функций,
если перейти к соответствующим равенствам для компонент векторов.
Определение. Вектор r 0 называется пределом функции r (t ) справа в точке
если a,
r 0  lim r (t )  r (a  0)
lim r (t )  r 0 ипишут:
0
t a  0
t a 0
Аналогично определяется предел слева: lim r (t )  r (b  0)
t b  0
Определение. Вектор-функция r (t ) , определённая в U (t 0 ) называется
непрерывной в точке t 0 , если lim r (t )  r (t0 ).
t t 0
Из определения следует, что непрерывность вектор-функции равносильна
непрерывности трёх числовых функций – её компонент.
Теорема 2. Пусть вектор-функции r 1  r 1 (t ), r 2  r 2 (t ) и числовая
функция f  f (t ) непрерывны в точке t 0 , тогда r 1  r 2 , f r 1 , r 1  r 2 , [r 1 , r 2 ]
непрерывны в точкe t 0 .
Доказательство следует из определения непрерывности и свойств
пределов.
3.
Производная вектор-функции.

U (t 0 )
Определение. Вектор-функция r  r (t ), определённая в окрестности

называется дифференцируемой в точке t 0 , если при t  t0  t  U (t0 )
r  r (t0  t )  r (t0 )  At   (t )t ,
где  (t )  0  (0,0,0) при t  0.
Рассмотрим отношение r / t приращения векторной функции к
приращению скалярного аргумента. Это, очевидно, есть вектор
коллинеарный вектору  r , при этом
 r (t )  (t  t )   (t )  (t  t )  (t )
 (t  t )   (t )

i
j
k.
t
t
t
t
Если функции  (t ), (t ),  (t ) имеют производные, то существуют пределы,
стоящие множителями при i, j , k . Отсюда, существует предел
 r (t )
(30.4)
lim
  (t )i  (t ) j   (t )k .
t 0 t
Определение. Вектор, определяемый равенством (27.4) называется
производной от вектора r (t ) по скалярному аргументу t и пишут:
dr
A
dr
 r    (t )i  (t ) j   (t )k
dt
dt
 r (t ) M
Так как при t  0 точка M приближается к точке A ,
r (t )
то направление секущей AM в пределе даёт
r (t  t )
O
направление касательной.
dr
Следовательно, вектор производной
направлен
dt
по касательной к кривой в точке A .
Как и в случае числовой функции показывается, что существование
производной r(t0 )и дифференцируемость r (t ) в точке t 0 - эквивалентные
свойства и что A  r (t0 ) .
Дифференцируемость r (t ) в точке t 0влечёт непрерывность r (t )в точке t 0
(Показывается это также как для числовой функции).
Аналогично, как для числовой функции, определяется дифференциал
векторной функции r (t ) и вычисляется по формуле:
d r (t )  r(t0 )dt.
Теорема 3. Пусть в точке t 0 существуют производные функций r 1  r 1 (t )
r 2  r 2 (t )и числовой функции f  f (t ) , тогда в точке t 0 существуют:
1) (r 1  r 2 )  r1  r2;
2) (r 1  r 2 )  r1r2  r2 r1 ;
3) [r 1 , r 2 ]  [r1r2 ]  [r2 r1 ];
4) ( f  r 1 )  f r1  r1 f ;
Пусть r  r (t ( ))  ( x(t ( )), y (t ( )), z (t ( ))) есть сложная векторная функция
переменного  . Дифференцированием получаем
d r d r (t ( ))

 ( x(t ( ))t ( ), y(t ( ))t ( ), z(t ( ))t ( ))  r (t ( ))t ( ).
d
d
Из этой формулы получаем выражение для дифференциала сложной
вектор-функции:
d r  r (t ( ))t ( )d  r dt
Как видим, дифференциал d r записывается в том же виде, как и в
случае, когда t - независимая переменная, т.е. дифференциал первого
порядка векторной функции обладает свойством инвариантности.
Производные и дифференциалы высших порядков вектор-функции
определяются аналогично тому, как и для числовой функции:
( n)
r   (r (t )),..., r (t )  (r
( n 1)
(t )); d 2 r (t )  d (d r (t )),..., d n r (t )  d (d n1 r (t )).
Лекция
КАСАТЕЛЬНАЯ ПЛОСКОСТЬ и
НОРМАЛЬ к ПОВЕРХНОСТИ.
1.
Касательная плоскость.
Пусть имеем поверхность, заданную уравнением вида F ( x, y, z )  0 (31.1)
Определение. Прямая линия называется касательной к поверхности
в некоторой точке P( x, y, z ), если она является касательной к какой – либо
кривой, лежащей на поверхности ( 28.1) и проходящей через точку P( x, y, z )
z
Так как через точку P проходит бесконечное число
P
различных кривых, лежащих на поверхности, то
и касательных к поверхности, проходящих
через эту точку будет, вообще говоря,
y
x
бесконечное множество.
F F F
,
,
Определение. Если в точке M ( x, y, z )все три производные x y z
равны нулю или хотя бы одна из этих производных не существует, то
точка M называется особой точкой поверхности.
F F F
,
,
Определение. Если в точкеM ( x, y, z ) все три производные x y z
существуют и непрерывны, причём хотя бы одна из них отлична от нуля,
то точка M называется обыкновенной точкой поверхности.
Теорема 1. Все касательные к данной поверхности (31.1) в её
обыкновенной точке P лежат в одной плоскости.
Доказательство. Рассмотрим на поверхности некоторую линию L ,
проходящую через данную точку P поверхности.
Пусть рассматриваемая кривая задан параметрическими уравнениями:
(31.2)
x   (t ),
y   (t ),
z   (t ).
Касательная к кривой будет касательной к поверхности.
Уравнения этих касательных имеют вид: X  x Y  y Z  z
(31.3)


.



x (t )
y (t )
z (t )
Если выражения (31.2) подставить в уравнение (31.1), то это уравнение
превратиться в тождество относительно t , так как кривая (31.2) лежит на
поверхности (31.1). Дифференцируя его по t , получим (в силу
непрерывности всех частных производных от функции F ( x, y, z ):
F dx F dy F dz
(31.4)


0
x dt y dt z dt
dr
Рассмотрим далее векторы N,
, проходящие через точку P .
dt
F
F
F
(31.5)
N
i
j
k
x
y
z
F F F
Проекции вектора N  ( x , y , z ) зависят от x, y, z - координат точки P
(заметим, что точка P - обыкновенная), то эти проекции в точке P
одновременно не обращаются в нуль и потому
F
F
F
N  ( )2  ( )2  ( )2  0
x
y
z
d
r
dx
dy
dz
Вектор
 i
j k
(31.6)
dt dt
dt
dt
- касательный к кривой, проходящей через точку P и лежащей на
поверхности. Проекции этого вектора, вычисляются на основании
уравнений (31.2) при значении параметра t , соответствующим точке P .
dr
Вычислим скалярное произведение векторов N,
, которое равно
dt
сумме произведений одноимённых координат:
N
d r F dx F dy F dz



dt x dt y dt z dt
На основании равенства (31.4) выражение, стоящее в правой части,
dr
N
0
равно нулю, следовательно,
dr
dt
Из последнего равенства следует, что вектор N и касательный вектор
dt
P
к кривой (31.2) в точке взаимно перпендикулярны. Проведённое
рассуждение справедливо для любой кривой, проходящей через точку P
и лежащей на поверхности.
Следовательно, каждая касательная к поверхности в точке P
перпендикулярна к одному и тому же вектору N и потому все эти
касательные лежат в одной плоскости, перпендикулярной к вектору N ч.т.д.
Определение. Плоскость, в которой расположены
все касательные прямые к линиям на поверхности,
проходящим через данную точку P , называется
касательной плоскостью к поверхности в точке P .
Замечание 1. В особых точках поверхности может
не существовать касательной плоскости. В таких точках
касательные прямые к поверхности могут не лежать
в одной плоскости. Так, например, вершина конической
поверхности является особой точкой. Касательные к конической
поверхности в этой точке не лежат в одной плоскости (они образуют
коническую поверхность).
Напишем уравнение касательной плоскости к поверхности F ( x, y, z )  0
в обыкновенной точке P ( x, y, z ). Так как эта плоскость перпендикулярна к
вектору N (нормальный вектор плоскости), то её уравнение имеет вид:
F
F
F
(31.7)
( X  x) 
(Y  y ) 
( Z  z )  0.
x
y
z
Если уравнение поверхности задано в форме: z  f ( x, y ) или z  f ( x, y )  0,
F
f
F
F
f
то
 ,
 1,
 ,
x
x

z
y
y
и уравнение касательной плоскости в этом случае примет вид:
f
f
(31.8)
Z  z  ( X  x)  (Y  y ).
x
y
Замечание 2. Если в формуле (31.8) положить X  x  x, Y  y  y , то эта
f
f
x  y.
x
y
Правая часть этой формулы представляет собой полный дифференциал
функции z  f ( x, y ) , следовательно, Z  z  dz
Таким образом, полный дифференциал функции двух независимых
переменных в точке M ( x, y ) , соответствующий приращениям x, y
независимых переменных x, y , равен соответствующему приращению
аппликаты z касательной плоскости к поверхности, которая является
графиком данной функции.
формула примет вид:
Zz
2.
Нормаль к поверхности.
Определение. Прямая, проведённая через точку P( x, y, z ) поверхности
перпендикулярно к касательной плоскости, называется нормалью к
поверхности F ( x, y, z )  0.
N
Так как направление нормали совпадает с направлением вектора
F F F
N ( ,
, ), то уравнение нормали имеет вид:
x y z
X x Y y Zz


P
Fx
Fy
Fz
Если уравнение поверхности задано
в форме z  f ( x, y ) , то уравнение
X x Y y Zz


нормали имеет вид:
 f x
 f y
1
Замечание. Если поверхность (31.1) есть поверхность уровня для
некоторой функции u  u ( x, y, z ) , т.е. F ( x, y, z )  u ( x, y, z )  C  0
то вектор N  ( Fx, Fy, Fz), направленный по нормали к поверхности
уровня будет иметь координаты: N  (ux , uy , uz ),
Пример. Написать уравнение касательной плоскости и уравнение
нормали к поверхности шара x 2  y 2  z 2  14 в точке P(1,2,3).
Уравнение касательной плоскости: 2( x  1)  4( y  2)  6( z  3)  0
x 1 y  2 z  3
Уравнение нормали: x  1  y  2  z  3 или


2
4
6
1
2
3
Лекция
ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ. РАДИУС КРИВИЗНЫ.
1.
Длина дуги кривой.
Пусть в прямоугольной системе координат на плоскости задана кривая
уравнением y  f (x) .
y
Возьмём на дуге AB кривой y  f (x) точки A, M1 , M 2 ,..., B
Mi
M i 1 yi B
и проведём хорды AM1 , M1M 2 ,..., M n1B , длины
xi
которых обозначим соответственно s1 , s2 ,..., sn
тогда получим ломаную AM1M 2 ...M n1B , вписанную в дугу AB.
n
Длина ломаной равна:
A
x
s n    si
xi 1 xi
i 1
O
Определение. Длиной дуги AB кривой называется предел, к которому
стремится длина вписанной ломаной,n когда длина её наибольшего звена
(32.1)
стремится к нулю:
s  lim  si
max si  0
i 1
Обозначим: yi  f ( xi )  f ( xi 1 ),
yi 2
2
2

s

(

x
)

(

y
)


x
1

(
).
тогда по теореме Пифагора
i
i
i
i
xi
По теореме Лагранжа имеем: y
f ( xi )  f ( xi 1 )
i

 f ( i ), xi 1  i  xi .
xi
xi  xi 1
n
(32.2)
Следовательно, s 
 1  ( f (i )) 2
n
i 1
Предполагая, что f (x )непрерывна, имеем, что функция 1  ( f ( x)) 2 тоже
непрерывна, поэтому существует предел интегральной суммы (32.2),
который равен определённому интегралу:
n
s  lim
max si 0

i 1
1  ( f ( x)) 2 xi  
b
a
1  ( f ( x)) 2 dx
Таким образом, если на отрезке [a, b](a, b -абсциссы соответственно точек A, B)
функция f (x ) и её производная f (x ) непрерывны, то предел (32.1)
существует, и длина дуги кривой вычисляется по формуле:
s
b
a
1  ( f ( x)) 2 dx  
b
a
1  ( y( x)) 2 dx
(32.3)
Замечание 1. Если верхний предел интегрирования будем считать
переменным и обозначим через x (переменную интегрирования менять
x
не будем), длина дуги будет функцией x:
s   1  ( y( x)) 2 dx
Дифференцируем этот интеграл по верхнему пределу a
(32.4)
s( x)  1  ( y( x)) 2  ds  1  ( y( x)) 2 dx
получили соответственно производную и дифференциал дуги кривой.
Пример 1. Найти длину окружности x 2  y 2  r 2
Решение. Уравнение дуги AB окружности, лежащей в первом квадранте:
y  r 2  x 2  y( x)   x / r 2  x 2 .
Следовательно,
r
r
r
1
r
x

2
2 2
s   1  ( x / r  x ) dx  
dx  r arcsin
 r  s  2r.
0
0
4
r0
2
r 2  x2
Следствие 1. Если уравнение кривой задано в параметрической форме:
(32.5)
 t 
x   (t ),
y   (t ),
где  (t ), (t ) - непрерывные функции с непрерывными производными,
причём  (t ) на заданном промежутке не обращается в нуль. В этом
случае (32.5) определяют некоторую функцию y  f (x) , непрерывную и
имеющую непрерывную производную y( x)   (t ) /  (t ),
Пусть a   ( ), b   (  ), тогда, сделав в интеграле (32.3) подстановку:
x   (t ),
dx   (t )dt


получим: s   1  ( (t ) /  (t )) 2  (t )dt , или s   ( (t )) 2  ( (t )) 2 dt. (32.6)


Замечание 2. Можно показать, что формула (32.6) остаётся в силе и для
кривых, которые пересекаются вертикальными прямыми более чем в
одной точке (в, частности, для замкнутых кривых), лишь бы во всех
точках кривой были непрерывны обе производные  (t ), (t ) .
Замечание 3. Если задана пространственная кривая уравнениями:
 t 
x   (t ),
y   (t ),
z   (t ).
(32.7)
причём функции  (t ), (t ),  (t ) непрерывны вместе со своими
производными на отрезке [ ,  ], то длина кривой вычисляется по

(32.8)
формуле s 
( (t )) 2  ( (t )) 2  (  (t )) 2 dt.

Пример 2. Найти длину дуги винтовой линии x  a cos t , y  a sin t , z  amt,
0  t  2
Решение. По формуле (32.8) находим:
s
2
0
a 2 sin 2 t  a 2 cos 2 t  a 2 m2 dt  
2
0
1  m2 dt  2 a 1  m2 .
Следствие 2. Если кривая задана в полярной системе координат
уравнением   f ( ) , где  - полярный радиус,  - полярный угол.
Подставив выражение   f ( ) в формулы перехода от полярных
координат к декартовым, получим уравнения
x   cos  , y   sin   x  f ( ) cos  , y  f ( ) sin  ,
которые можно рассматривать как параметрические уравнения кривой, и
для вычисления длины дуги применим формулу (32.6):
x( )  f ( ) cos   f ( ) sin  , y( )  f ( ) sin   f ( ) cos  ,
( x( )) 2  ( y( )) 2  ( f ( )) 2  ( f ( )) 2 .
1
(32.9)
s    2   2 d
Следовательно,
0
Пример 3. Найти длину кардиоиды   a(1  cos  ).
Решение. При изменении полярного угла 0     получим половину
искомой длины. Следовательно,

s  2
0

a (1  cos  )  a sin  d  2a 
2
2
2
2
0




2  2 cos  d  4a  cos d  8asin
 8a.
0
2
20
2.
Радиус кривизны.
Одной из характеристик формы кривой является степень её
искривлённости, изогнутости.
Пусть имеем кривую, которая не пересекает саму себя и имеет
определённую касательную в каждой точке. Проведём касательные к
кривой в каких-нибудь двух точках A, B и обозначим через   2  1 ,
угол, образованный этими касательными, или точнее – угол поворота
касательной при переходе от точки A к точке B . Этот угол называется
углом смежности дуги AB .
У двух дуг, имеющих одинаковую длину, больше изогнута та дуга, у
которой угол смежности больше.
С другой стороны, у дуг различной длины s  s2  s1 , нельзя оценить
степень их искривлённости только углом смежности.
Отсюда следует, что полной характеристикой изогнутости кривой будет
отношение угла смежности к длине соответствующей дуги.
Определение. Средней кривизнойK cp дуги AB называется отношение
соответствующего угла смежности  к длине дуги s :

(32.10)
K cp 
s
Для одной и той же кривой средняя кривизна её различных частей(дуг)
может быть различной.
Для того, чтобы охарактеризовать степень искривлённости данной линии
в непосредственной близости к данной точке A вводится кривизна кривой
в данной точке.
Определение. Кривизной кривой K в данной точке A называется предел
средней кривизны дуги K cp , когда длина этой дуги стремится к нулю (т.е.
точка B приближается к точке A ):

K  lim K cp  lim
B A
s  0 s
Так как величины  , s обе зависят от x (являются функциями от x), то 
можно рассматривать как функцию от s . Можно считать, что эта функция
задана параметрически с помощью параметра x, тогда
 d
d
(32.11)
lim

K

s  0 s
ds
ds
Воспользуемся формулой производной
параметрически заданной функции: d d / dx
(32.12)

ds ds / dx
Выразим производную d / dx через функцию y  f (x) , воспользовавшись
тем, что tg  dy / dx и, следовательно,   arctg ( y( x)).
Дифференцируя по x последнее равенство и подставляя его вместе с
(32.4) в формулу (32.12), получим:
y( x)
d  ( x) y( x) /(1  ( y( x)) 2 )
 ( x) 



1  ( y( x)) 2
ds s( x)
1  ( y( x)) 2
Таким образом,
y( x)
(1  ( y( x)) 2 )3 / 2
- кривизна кривой, заданной в декартовой прямоугольной системе
координат уравнением y  f (x) , в любой её точке, где существует
непрерывная вторая производная y (x ) .
Следствие. Если кривая задана параметрически: x   (t ), y   (t )
то можно показать, что кривизна вычисляется по формуле:
 (t ) (t )   (t ) (t )
K
(( (t )) 2  ( (t )) 2 )3 / 2
K
Если кривая задана уравнением   f ( )в полярной системе
координат, то можно показать, что
 2  2 2   
K
(  2   2 )3 / 2
Определение. Величина R , обратная кривизне K линии в данной точке
называется радиусом кривизны этой линии в рассматриваемой точке:
R  1/ K