Transcript Spektro Tankis

Spektras
Prancūzų matematikas Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830)
J.Furjė idėja – išskaidyti (dekompozicija) vieną sudėtingą signalą
į sinuso ir kosinuso funkcijas
Spektras
Ortogonalių ir Ortonormuotų Funkcijų Aibė
Kodėl į sinuso ir kosinuso f – jas, o ne į kitas?
Signalą galima išskaidyti į bet kokias (pvz.:stačiakampio ar trikampio) funkcijas kurios sudaro
Ortogonalių ir Ortonormuotų funkcijų aibę.
Ortogonalios funkcijos, tai tarpusavyje nekoreliuojančios funkcijos.
Ortogonalios funkcijos, kurių amplitudė =1, vadinamos Ortonormuotomis.
Sinuso ir Kosinuso funkcijos, į kurias išskaidomas signalas, sudaro bazinių funkcijų aibę.
Bazinės funkcijos viena nuo kitos skiriasi tik dažniu, todėl dažnis yra nepriklausomas kintamasis
Be to,Sinuso ir Kosinuso funkcijos turi atkartojamumo savybę (angl. Sinusoidal fidelity)
Atkartojamumo savybė – sinuso signalui sklindant tiesine sistema jo forma išlieka. Keičiasi amplitudės ir
fazės skaitinės reikšmės.
Sinuso ir kosinuso bazinės funkcijos skaičiuojamos:
ck i  cos2ki N ;
sk i  sin2ki N ;
Spektras
Bazinių funkcijų pavyzdžiai
Bazinių funkcijų pavyzdžiai: ck 

kosinuso k – toji bazinė funkcija
sk 

sinuso k – toji bazinė funkcija.
Spektras
Norint atlikti N=32 reikšmių signalo dekompoziciją, reikia sudaryti (N/2 + 1) bazinių funkcijų
Išskaidydami signalą (nepriklausomas kintamasis laikas) į bazines funkcijas (jų nepriklausomas kintamasis
dažnis) atvaizduojame jį iš laiko srities į dažnių sritį.
Laiko srities signalo atvaizdavimas į dažnių sritį vadinamas FURJĖ TRANSFORMACIJA
Laiko srities signalo (nepriklausomas kintamasis laikas) atvaizdis dažnių srityje (nepriklausomas kintamasis
dažnis) vadinamas SPEKTRU
Dažnių ašies vaizdavimas stačiakampėse koordinatėse
Pirmas būdas
Reikšmės dažnių srityje, gali būti numeruojamos didėjimo tvarka
k  0
N
;
2
Antrasis būdas
Eilės numerius k padalinti iš laiko srities reikšmių skaičiaus N ir gautus rezultatus atidėti horizontalioje
ašyje. Taip gaunama normuota dažnių ašis
k
f norm k  
N
;
Trečias būdas - sužymėti horizontalią ašį kampinio dažnio reikšmėmis
 k  
2
 k; 0     ;
N
Ketvirtas būdas
Sužymėti horizontalią ašį taip, kad kiekvienos atskaitos vertė atitiktų dažnį matuojamą
hercais (svyravimų skaičiumi per sekundę)
f k  
k
 Fd ;
N
Spektras
Dažnių ašies vaizdavimo stačiakampėse koordinatėse pavyzdžiai
Pirmas būdas
Antras būdas
Dažnių ašies reikšmių numeriai (k)
Trečias būdas
Dažnių ašies reikšmės
radianais per sekundę 
Normuota dažnių ašis
f norm k 
Ketvirtas būdas
k 
Dažnių ašies reikšmės Hercais
f k 
Spektras
Spektro skaičiavimo būdai
Skaičiuojant spektrą sprendžiamas uždavinys:
kiekvienai laiko srities reikšmei rasti ją atitinkančią dažnio srities reikšmę.
Šį uždavinį galima spręsti keliais būdais.
Pirmas sprendimo būdas.
Sudaryti N tiesinių lygčių sistema su N nežinomųjų. N – laiko srities reikšmių skaičius.
Lygtys sudaromos taip:
pirmoji lygtis: visų bazinių funkcijų pirmųjų reikšmių suma prilyginama pirmajai signalo reikšmei
antroji lygtis : visų bazinių funkcijų antrųjų reikšmių suma prilyginama antrajai signalo reikšmei

N-toji lygtis : visų bazinių funkcijų N-tųjų reikšmių suma prilyginama N-tajai signalo reikšmei
Sudarytą lygčių sistemą galima spręsti GAUSO metodu
Šiam sprendimo būdui realizuoti reikalinga daug skaičiavimo resursų, todėl praktinių uždavinių
sprendimui jis netaikomas.
Antras sprendimo būdas pagrįstas nenormuotos koreliacijos koeficiento skaičiavimu.
Galime manyti, kad taikant šį būdą ieškomas žinomos formos signalas tiriamame signale.
Žinomos formos signalu pasirenkamos skirtingo dažnio ir vienodo ilgio bazinės sinuso ir kosinuso funkcijos,
kurios sudaro ortogonalių ir ortonormuotų bazinių funkcijų sistemą.
Spektras
Spektro skaičiavimas koreliacijos metodu
Spektrui skaičiuoti sudaroma (k = 0..N/2) sinuso ir (k = 0..N/2) kosinuso bazinių funkcijų
Kiekviena bazinė funkcija turi N reikšmių.
i = 0..N-1


Bazinės funkcijos skaičiuojamos pagal formules: sk i   sin 2 
k 
k 

 i ; ck i   cos 2   i ;
N 
N 

Koreliacijos reikšmės su kosinuso bazinėmis funkcijomis vadinamos REALIĄJA spektro dalimi
ir žymima Re(k), o koreliacijos reikšmės su sinuso bazinėmis funkcijomis vadinamos MENAMA
spektro dalimi ir žymima Im(k).
N 1
N 1
k 

Imk    xi sin 2 i 
N 

i 0
k 

Rek    xi  cos 2 i 
N 

i 0
Pereinant iš Laiko srities į dažnių sritį gaunama (k = (N/2 + 1) ) realiosios Ir menamosios
dalies reikšmių.
Spektras
Tarkime turime signalą sudarytą iš dviejų bazinių funkcijų
y1  A1 sin2  f1  t  1 
A1  2; A2  6; f1  1.875 Hz;
y2  A2 cos2  f 2  t  2 
f 2  4.375 Hz;
Skaičiuojame šio spektro realiąją ir menamąją dalis
Dažnio srities signalas
Re()
Laiko srities signalas
y  y1  y2 ;
Rek  
N 1

 xi cos 2
i 0
k 
i
N 
Dažnio reikšmių indeksai
Dažnio srities signalas
N 1
k 

Imk     xi sin 2
i
N 

i 0
Im()
Laiko reikšmių indeksai
Dažnio reikšmių indeksai
Spektro Tankis (Spectrum Density)
Keičiant spektro amplitudžių reikšmes į reikšmes, reikalingas perėjimui iš dažnio srities į laiko sritį, jos
Dalinamos iš (N/2)
Rek  
Rek 
;
N 2
Imk   
Im X k 
;
N 2
Spektro Tankis
Pirma ir paskutinė reikšmės skaičiuojamos
pagal formules
Re X 0 
Re X 0
;
N
Re X N 2 
Re X N 2
;
N
plotis
plotis
2 N
1N
Dažnio reikšmių indeksai
plotis
1N
Spektro Tankis
Šios lygtys parodo skirtumą tarp vienos ir kitos srities, tačiau nepasako kodėl jos skiriasi
Skirtumas atsiranda, nes dažnio sritis apibrėžiama kaip spektro tankis.
Spektro tankis pasako kiek signalo (amplitudės) tenka atskirai dažnio juostai
Dažnių ašis dalinama atkarpomis. Kiekvienos atkarpos vidurį atitinka bazinės funkcijos dažnis.
Spektro Tankis
Šios atkarpos vadinamos dažnių juostomis.
Nagrinėjamas signalas užima 2/N dažnių juostą.
Kiekvienai bazinės funkcijos galios reikšmei tenka
1
N 2 visos dažnių juostos:
plotis
plotis
2 N
1N
Skaičiuojant Spektro tankį reikia bazinės funkcijos
amplitudę dalinti iš ją atitinkančios dažnių juostos
Dažnio reikšmių indeksai
plotis
1N
Spektro Tankis
Spektro Tankis
Spektras
Re()
Re()
Rek  
Rek 
;
N 2
Dažnio reikšmių indeksai
Dažnio reikšmių indeksai
Spektro Tankis
Spektras
Im()
Im()
Imk   
Dažnio reikšmių indeksai
Im X k 
;
N 2
Dažnio reikšmių indeksai
Spektras
Atvirkštinė Furjė Transformacija
Uždavinys: iš dažnių srities grįžti į laiko sritį (sintezės uždavinys)
Sintezės lygtis:
N 2
N 2
k 0
k 0
xi    Rek   cos2ki N    Imk   sin2ki N ;
x[i] sintezuojamas signalas, kur i reikšmių skaičius i= 0…N-1.
Spektras
Spektras Polinėse Koordinatėse
Spektras gali būti vaizduojamas tiek stačiakampėje koordinačių sistemoje, tiek
Polinėjė koordinačiųs sistemoje
Polinėje koordinačių sistemoje spektro Realiosios (kosinusų) ir Menamosios (sinusų) dalies
amplitudžių reikšmės vaizduojamos viena reikšme.
Kaip tai įmanoma, dviejų skirtingų funkcijų su skirtingas amplitudes pavaizduoti vienu skaičiumi?
A cos x   B sin x   M cos x  ;
Matome, sudėjus to paties dažnio sinuso ir kosinuso funkcijas, gaunama viena M amplitudės ir  fazės
to paties dažnio kosinuso funkcija.
Vadinasi, kiekvieną realiosios ir menamosios dalies reikšmių porą galime pavaizduoti dviejų reikšmių:
M – amplitudės ir  – fazės pora.
Spektras
Spektras Polinėse koordinatėse
Spektras tankis
Stačiakampėse koordinatėse
Spektro tankis
polinėse koordinatėse
A  Re( x )
B  Im( x )
dažnis
dažnis
dažnis
Fazinis spektras
dažnis
X ( k )  Re ( k )2  Imk  ;
2
Spektras
Spektras Polinėse koordinatėse. Pastabos
Im x 


; Šiuo atveju tenka nuspęsti fazės reikšmė lygi  ar
Re x 
2
2
Dalyba iš nulio   arctan
Fazinio spektro skaičiavimo klaidos
Im x  
  450 ;
Re x  4
Tarkim: Im( x)  1; Re( x )  1; tada
  arctan
Tarkim: Im( x )  1; Re( x )  1; tada
  arctan
Nors turėtų būti:
 

4
Im x  
  450 ;
Re x  4
 1350 ;
Klaida įvyksta dėl neigiamos realiosios dalies. Norint išvengti klaidų, reikia tikrinti realiosios ir menamos
dalių ženklus.
Jei Re(x) < 0 ir Im(x) < 0, tai
   paskaiciut a   ;
Jei Re(x) < 0 ir Im(x) > 0, tai
   paskaiciut a   ;
Jei matote, kad fazinio spektro reikšmės kinta tarp 

2
ir

, tai pamiršote atlikti fazės korekciją
2
Spektras
Spektras Polinėse Koordinatėse
Fazinis spektras esant l. Mažoms Re(x) ir Im(x) amplitudėms.
X()
dažnis
dažnis
Jei tam tikroje dažnių juostoje spektro reikšmės mažos, tai šioje juostoje į fazinio spektro
dažniausiai galima nekreipti dėmesio.
Jei spektro reikšmės “paskendusios” triukšme, tai fazinio spektro reikšmės bus nuo  iki –,
O pats fazinis spektras bus panašus į atsitiktinį signalą.
Spektras
Fazinio spektro trūkio taškai ties 2 ir - 2.
Spektras Polinėse Koordinatėse
Fazinio spektro dviprasmiškumas taške 2
Trūkio taškai atsiranda, nes sinuso ir kosinuso funkcijų
periodas yra lygus 2:.
    2    4    6 ir t.t.
Fazinį spektrą patogiau interpretuoti kai nėra trūkio taškų.
dažnis
Fazinio spektro tiesinimas
Ištiesinto fazinio spektro reikšmės viršija  reikšmę.
Neištiesinta ir Ištiesintas fazinis spektras
Atliekant fazinio spektro tiesinimą, prie paskaičiuotos
Reikšmės pridedama arba atimama 2 .
dažnis
Spektras
Re()
Fazinio spektro dviprasmiškumas taške 
Jei spektro menamos dalies reikšmės lygios nuliui, tai spektras
polinėse koordinatėse turi trūkio taškus.
X ( k )  Re ( k )2  Imk  ;
2
Jei spektro Re() dalie reikšmės svyruoja apie nulį, tai X() reikšmės lieka
Teigiamos, o fazinio spektro reikšmės “šokinėja” tarp  ir -, nes:
dažnis
Im()
sin x   0, kai
x  -  , x  0, x   .
fazė
dažnis
X()
dažnis
dažnis