Transcript Aulão UDESC MATEMÁTICA - Mural do Guiba
Prof. GUIBA
http://muraldoguiba.wordpress.com
Uma PA é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma determinada constante (razão).
Ex.: (4, 7, 10, 13,16, ...) é uma PA de primeiro termo igual a 4 e razão 3.
Ex.: (21, 16, 11, 6, 1, –4, –9, ...) é uma PA de primeiro termo igual a 21 e razão –5.
a) Termo geral da PA
a n a n a
1
a k
n
1
r
b) Se tivermos 3 termos (a,b,c) em PA, afirma-se que 2
b
ou
b
2 c) A soma do primeiro termo mais o último é igual ao segundo mais o penúltimo e assim por diante.
também: representação genérica de PA de 3 termos de razão r.
(UDESC – 2009.1) Sejam soma x+y+z é: x , y , z números reais tais que a seqüência abaixo, nesta ordem, uma progressão aritmética, então o valor da a) -3/8 b) 21/8 c) 15/8 d) 2 e) -19/8
x
1 ,1, , , 4
z
Se a soma do primeiro termo mais o último é igual ao segundo mais o penúltimo, então 4 1 5 Além disso, como os termos então
x z
2 1
y
4 1 4 4 5 4 4 1, y e ¼ estão em PA,
y
5 8 Assim ,
x z y
4 5 8 8 15 8
(UDESC – 2009.1) Sejam valor da soma x+y+z é: x , y , z números reais tais que a seqüência abaixo formam, nesta ordem, uma progressão aritmética, então o a) -3/8 b) 21/8 c) 15/8 d) 2 e) -19/8
x
1 ,1, , , 4
z
A soma do três primeiros termos de uma PA é 27 e o quinto termo também é 27. Determine o sexto termo dessa PA.
Resolução: Se os três primeiros termos têm soma 27, então, colocando a forma (x – r, x, x + r), temos que:
x
x
x
r
27 3
x
27
x
27 9 3 O segundo termo da PA vale 9. Se o quinto é 27, temos:
a
5 27
a
2
r
18 3
r r
6 Se o quinto termo é 27 e a razão 6, o sexto termo é 33.
r
Resposta: O sexto termo é 33.
A soma dos termos de uma PA é dada por:
S n
a
1
a n
n
2 Ex.: Calcular a soma dos termos de uma PA de 40 termos, sendo o primeiro igual a –3 e o último, 77.
S n
S n
74 40 2
40 2
No projeto de uma sala de cinema, um arquiteto desenhou a planta projetando 16 fileiras de poltronas.
A primeira poltronas terá na sala?
terá 20 poltronas, enquanto da segunda em diante, serão duas poltronas a mais que na fileira anterior. Quantas a) b) c) d) e) 348 380 420 720 560
Pelo enunciado, a fileira 1 tem 20 cadeiras, a 2, 22 cadeiras, a 3, 24 cadeiras, e assim por diante, até a fileira 16, que terá a poltronas. Logo, temos a seguinte PA, de razão 2 e de 20 termos.
20, 22, 24, 26,...,
a
16 n Para podermos calcular descobrir o termo a 16 .
a
16 1
r a
16
r S
16
a
1
a
16
n
2
a
16 ainda resta-nos 50 Assim, o podemos calcular a soma dos termos da PA, que será o total de poltronas na sala.
S
16
a
1
a
16
n
2
S
16 16 2
S
16 70 16 2
No projeto de uma sala de cinema, um arquiteto desenhou a planta projetando 16 fileiras de poltronas.
A primeira poltronas terá na sala?
terá 20 poltronas, enquanto da segunda em diante, serão duas poltronas a mais que na fileira anterior. Quantas a) b) c) d) e) 348 380 420 720 560
Uma PG é uma sequência de números em que cada termo, a partir do segundo, é o produto do anterior com uma determinada constante (razão).
Ex.: (2, 4, 8, 16, 32,...) é uma PG de primeiro termo igual a 2 e razão 2.
Ex.: (27, 9, 3, 1, 1/3, 1/9, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 27 e razão 1/3.
Ex.: (4, –12, 36, –108, 324, –972, ...) é uma PG de primeiro termo igual a 4 e razão igual a –3.
a) Termo geral da PG:
a n
a q
1 .
n
1
a n
k
Cuidado: aqui q 0 b) Se tivermos 3 termos (a,b,c) em PG, afirma-se que
b
2 c) O produto do primeiro termo vezes o último é igual ao segundo termo vezes o penúltimo e assim por diante.
Dica extra: A propriedade b) pode ser colocada da seguinte forma também: representação genérica de PG de 3 termos de razão q.
x q
q
0
(UDESC – 2008.1) O primeiro termo de uma progressão geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão dessa progressão é: a) b) c) d) e) 2 10 5 4 6
Pelas informações, a 1 = 10 e a 4 = 80. Podemos calcular a razão da PG partindo de
a n
a q
1 .
n
1
a
4 a) b) c) d) e) 2 10 5 4 6
.
80 10.
80 10.
q q
3
80
q
3
10 8
q
3
q
3 8 2
O produto entre o segundo, o quarto e o sexto termos de uma PG (de razão ½) é 125.
Qual é o primeiro termo?
a) b) c) 62,5 25 5 d) e) 20 40
O segundo, o quarto e o sexto termos (a formam uma PG.
2 , a 4 , a 6 ) Assim,
a
4 2
a
4 3 .
125 6 125
a
4 2 . .
6 4 3 125 5
a
4 2 .
a
4
a
4 3 Se a razão é ½ , ocorre: a) b) c) d) e) 62,5 25 5 20 40
a
1
a
1 .
5.
1 3 5.2
3 5.8
40
A soma dos dada por n primeiros termos de uma PG é
S n
a
1
q n q
1 1 Ex.: Calcula a soma dos nove primeiros termos de uma PG de razão 3 e primeiro termo igual a 1.
S
9
a
1 3 9 1
S n
1.
2 19682 2 9841
Se colocarmos 3 grãos de arroz na primeira cada de um tabuleiro de xadrez, 6 na segunda, 12 na terceira, 36 na quarta e assim por diante, quantos grãos de arroz serão necessários para encher as oito primeiras casas do tabuleiro?
Nesse caso, teremos que considerar a PG (3, 6, 12, 24, ..., a 8 ), de primeiro termo igual a 3 e razão 2. A quantidade de grãos será a soma dos termos da PG.
S n
a
1
q n q
1 1
S n
3 2 8 1
3.255
765 Resposta: Precisaremos de 765 grãos para encher as oito primeiras casas do tabuleiro.
Quando tivermos uma PG com infinitos termos, mas seus termos estiverem se aproximando de zero (que implica –1 < q < 1), podemos dizer que a soma limite será dada por, fazendo q n = 0:
S n
a
1
q n
1
q
1
S
lim
n
a
1
q
1
q
a
1
1
1
a
1
q S
lim
n
a
1
1
q
Guiba dirige seu simpático Chevrolet Celta quando avista uma vaca no meio da pista. Ele aciona os freios, a 60 metros de distância do animal. Então, o carro percorre 30 metros no primeiro segundo, e em cada segundo seguinte, 2/3 da distância percorrida no segundo anterior.
Calcule o susto da vaca! (brincadeirinha... hehe) Qual seria a soma limite das distâncias percorridas em cada segundo?
Dependendo do tempo até o carro parar, poderá haver a colisão entre o carro e o mamífero?
Considerando as distâncias percorridas em cada segundo, considerando “infinitos segundos”, teremos uma PG de primeiro termo 30 e razão 2/3. A soma desses “infinitos termos” será
S
lim
n
1
a
1
q S
lim
n
30 1 2 3 30 1 3 30.
3 1 90 Resposta: A soma limite é 90 m (maior que a distância entre os corpos), e Guiba está em maus lençóis!
“I know what I want I say what I want And no one can take it away”.
“Eu sei o que quero Eu digo o que quero E ninguém pode tirar isso de mim” Refrão da canção “Journeyman”, da banda inglesa Iron Maiden.