VETORES

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DEFINIÇÃO:

É um segmento de reta orientado que pode representar uma Grandeza Física.

Exemplos: A B Lemos: Vetor A e Vetor B 2

OBSERVAÇÃO:

Algumas Grandezas Físicas

não

ficam bem compreendidas somente com um valor e sua unidade. Essas Grandezas são chamadas de

Grandezas Vetoriais

.

Portanto:

Grandezas Vetoriais são aquelas que para ficarem bem representadas necessitam de:

Módulo

,

Direção

e

Sentido.

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Módulo:

É representado graficamente através do tamanho do vetor ou através de um valor numérico acompanhado de unidade.

Direção:

É a reta que dá suporte ao vetor e pode ser informada através de palavras como: horizontal, vertical, etc.

Sentido:

É a orientação do vetor dada pela seta e também pode ser informada através de palavras como: para esquerda, para direita, do ponto A para o ponto B, para baixo, etc.

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Exemplo 1:

A 3 cm Vetor A Módulo: 3 cm Direção: Vertical Sentido: Para cima 5

Exemplo 2:

B Vetor B Módulo: 5,5 cm Direção: Horizontal Sentido: Para esquerda 6

Vetores Iguais:

É necessário que estes possuam as mesmas características para que sejam ditos IGUAIS.

Exemplo: A C Nesse caso:

Vetor A

igual ao

Vetor C

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Vetores Opostos:

São ditos opostos quando a única diferença entre eles é a oposição de sentido.

Exemplo: A - A Nesse caso:

Vetor A

oposto ao

Vetor - A

Observação: Repare a utilização do sinal “ – “ 8

Vetores Diferentes:

possuem uma ou mais características.

A São aqueles que diferenças em suas B Nesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem

módulos

diferentes.

A A B B Nesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem

direções e sentidos

diferentes.

Nesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem diferentes.

sentidos

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Operações com Vetores

É possível realizarmos alguma operações com vetores, aquelas que iremos estudar no ensino médio são: • Multiplicação e divisão de vetores por números reais; • Soma e subtração de vetores.

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Multiplicação de vetores por números reais

Tomemos como exemplo um vetor A: A Se desejamos obter o vetor 3A, teremos: 3 A

Comprove:

A A A 11

Veja outro Exemplo

Tomemos como exemplo o mesmo vetor A: A Se desejamos obter o vetor -2 A, teremos: -2 A

Comprove:

-A -A 12

Divisão de vetores por números reais

Tomemos como exemplo um vetor B: B Se desejamos obter o vetor B

/

2, teremos: B / 2 13

Soma e subtração de vetores – Casos Especiais Vetores de Direções e Sentidos iguais:

A B A + B O sentido do vetor soma de B.

é o mesmo de A e O dos módulo do resultante é dado pela soma módulos dos dois vetores.

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Soma e subtração de vetores – Casos Especiais Vetores de mesma Direção e Sentido opostos:

A B A + B Nesse caso o vetor soma terá o sentido do maior deles - o sentido do vetor B O módulo da soma será dado por seja,

o maior menos o menor

.

B – A

, ou 15

Soma e subtração de vetores – Casos Gerais

Para efetuarmos somas e subtrações vetoriais podemos utilizar duas regras, a do

polígono

e a do

paralelogramo

.

A

regra do polígono

precisamos somar é muito útil quando três ou mais vetores; A

regra do paralelogramo

deve ser aplicada com grupo(s) de dois vetores.

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Regra do Polígono

Sejam os vetores abaixo: C A D B Vamos iniciar com o vetor C, poderíamos iniciar com qualquer um deles, veja como se utiliza a regra do polígono: D C A Soma B Após terminarmos ocorre a formação de um polígono.

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Regra do Paralelogramo

Sejam os vetores abaixo: A B Vamos fazer “coincidir” o início dos dois vetores: A Vamos fazer traços paralelos aos lados opostos.

B Soma = A + B 18

Teorema de Pitágoras

Não importa a regra utilizada, se tivermos dois vetores perpendiculares entre si, teremos o mesmo vetor resultante e seu módulo pode ser determinado utilizando o TEOREMA DE PITÁGORAS: Regra do Polígono: Regra do Paralelogramo: B A S A S B S 2 = A 2 + B 2 19

1. Dados os vetores V 1 , V 2 e V 3 da figura a seguir, obtenha graficamente o vetor soma vetorial:

V 2 V 1 V 3

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a) V 1 + V 2

V 1 V R V 2

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b) V 1 + V 2 + V 3

V 1 V R V 2 V 3

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2. A soma de dois vetores ortogonais, isto

perpendiculares entre si

, um de é,

módulo 12

e outro de

módulo 16

, terá módulo igual a: 16 Alternativas: a) 4 b) Entre 12 e 16 c) 20 12 20

Triângulo de Pitágoras

d) 28 e) Maior que 28 Verifique: 20 2 = 12 2 + 16 2 400 = 144 + 256 23

3.

A figura a seguir representa os deslocamentos de um móvel em várias etapas. Cada vetor tem módulo igual a 20 m.

A

distância percorrida

pelo móvel e o

módulo do vetor deslocamento

são, respectivamente: A B 24

Distância percorrida: 20 m A 20 m 20 m 20 m 20 m B Total = 5 x 20 = 100 m 25

Módulo do vetor deslocamento: A

40 m ΔS

B

20 m Pelo Teorema de Pitágoras:

ΔS 2 ΔS 2 ΔS 2 = 40 2 + 20 = 1600 + 400 = 2000 2 ΔS = 2000 ΔS = 20 5 m Resposta: 100 m e 20 5 m 26

DECOMPOSIÇÃO DE VETORES

Um vetor V pode ser decomposto em dois vetores componentes: V x horizontal) e V y (componente (componente vertical), de modo que:

y

V

X

= cos

a

. V V

y

= sen

a

. V

a

V V X V Y x