Transcript Vetores
VETORES
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DEFINIÇÃO:
É um segmento de reta orientado que pode representar uma Grandeza Física.
Exemplos: A B Lemos: Vetor A e Vetor B 2
OBSERVAÇÃO:
Algumas Grandezas Físicas
não
ficam bem compreendidas somente com um valor e sua unidade. Essas Grandezas são chamadas de
Grandezas Vetoriais
.
Portanto:
Grandezas Vetoriais são aquelas que para ficarem bem representadas necessitam de:
Módulo
,
Direção
e
Sentido.
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Módulo:
É representado graficamente através do tamanho do vetor ou através de um valor numérico acompanhado de unidade.
Direção:
É a reta que dá suporte ao vetor e pode ser informada através de palavras como: horizontal, vertical, etc.
Sentido:
É a orientação do vetor dada pela seta e também pode ser informada através de palavras como: para esquerda, para direita, do ponto A para o ponto B, para baixo, etc.
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Exemplo 1:
A 3 cm Vetor A Módulo: 3 cm Direção: Vertical Sentido: Para cima 5
Exemplo 2:
B Vetor B Módulo: 5,5 cm Direção: Horizontal Sentido: Para esquerda 6
Vetores Iguais:
É necessário que estes possuam as mesmas características para que sejam ditos IGUAIS.
Exemplo: A C Nesse caso:
Vetor A
igual ao
Vetor C
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Vetores Opostos:
São ditos opostos quando a única diferença entre eles é a oposição de sentido.
Exemplo: A - A Nesse caso:
Vetor A
oposto ao
Vetor - A
Observação: Repare a utilização do sinal “ – “ 8
Vetores Diferentes:
possuem uma ou mais características.
A São aqueles que diferenças em suas B Nesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem
módulos
diferentes.
A A B B Nesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem
direções e sentidos
diferentes.
Nesse caso, o vetor A e o Vetor B possuem diferentes.
sentidos
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Operações com Vetores
É possível realizarmos alguma operações com vetores, aquelas que iremos estudar no ensino médio são: • Multiplicação e divisão de vetores por números reais; • Soma e subtração de vetores.
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Multiplicação de vetores por números reais
Tomemos como exemplo um vetor A: A Se desejamos obter o vetor 3A, teremos: 3 A
Comprove:
A A A 11
Veja outro Exemplo
Tomemos como exemplo o mesmo vetor A: A Se desejamos obter o vetor -2 A, teremos: -2 A
Comprove:
-A -A 12
Divisão de vetores por números reais
Tomemos como exemplo um vetor B: B Se desejamos obter o vetor B
/
2, teremos: B / 2 13
Soma e subtração de vetores – Casos Especiais Vetores de Direções e Sentidos iguais:
A B A + B O sentido do vetor soma de B.
é o mesmo de A e O dos módulo do resultante é dado pela soma módulos dos dois vetores.
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Soma e subtração de vetores – Casos Especiais Vetores de mesma Direção e Sentido opostos:
A B A + B Nesse caso o vetor soma terá o sentido do maior deles - o sentido do vetor B O módulo da soma será dado por seja,
o maior menos o menor
.
B – A
, ou 15
Soma e subtração de vetores – Casos Gerais
Para efetuarmos somas e subtrações vetoriais podemos utilizar duas regras, a do
polígono
e a do
paralelogramo
.
A
regra do polígono
precisamos somar é muito útil quando três ou mais vetores; A
regra do paralelogramo
deve ser aplicada com grupo(s) de dois vetores.
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Regra do Polígono
Sejam os vetores abaixo: C A D B Vamos iniciar com o vetor C, poderíamos iniciar com qualquer um deles, veja como se utiliza a regra do polígono: D C A Soma B Após terminarmos ocorre a formação de um polígono.
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Regra do Paralelogramo
Sejam os vetores abaixo: A B Vamos fazer “coincidir” o início dos dois vetores: A Vamos fazer traços paralelos aos lados opostos.
B Soma = A + B 18
Teorema de Pitágoras
Não importa a regra utilizada, se tivermos dois vetores perpendiculares entre si, teremos o mesmo vetor resultante e seu módulo pode ser determinado utilizando o TEOREMA DE PITÁGORAS: Regra do Polígono: Regra do Paralelogramo: B A S A S B S 2 = A 2 + B 2 19
1. Dados os vetores V 1 , V 2 e V 3 da figura a seguir, obtenha graficamente o vetor soma vetorial:
V 2 V 1 V 3
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a) V 1 + V 2
V 1 V R V 2
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b) V 1 + V 2 + V 3
V 1 V R V 2 V 3
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2. A soma de dois vetores ortogonais, isto
perpendiculares entre si
, um de é,
módulo 12
e outro de
módulo 16
, terá módulo igual a: 16 Alternativas: a) 4 b) Entre 12 e 16 c) 20 12 20
Triângulo de Pitágoras
d) 28 e) Maior que 28 Verifique: 20 2 = 12 2 + 16 2 400 = 144 + 256 23
3.
A figura a seguir representa os deslocamentos de um móvel em várias etapas. Cada vetor tem módulo igual a 20 m.
A
distância percorrida
pelo móvel e o
módulo do vetor deslocamento
são, respectivamente: A B 24
Distância percorrida: 20 m A 20 m 20 m 20 m 20 m B Total = 5 x 20 = 100 m 25
Módulo do vetor deslocamento: A
40 m ΔS
B
20 m Pelo Teorema de Pitágoras:
ΔS 2 ΔS 2 ΔS 2 = 40 2 + 20 = 1600 + 400 = 2000 2 ΔS = 2000 ΔS = 20 5 m Resposta: 100 m e 20 5 m 26
DECOMPOSIÇÃO DE VETORES
Um vetor V pode ser decomposto em dois vetores componentes: V x horizontal) e V y (componente (componente vertical), de modo que:
y
V
X
= cos
a
. V V
y
= sen
a
. V
a
V V X V Y x