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VETORES
Marcos Germano Degenhardt
Definição
Ente matemático representado por um segmento
de reta orientado:
A
Elementos
•Direção:
Reta r suporte onde o vetor é traçado
•Sentido:
Lado sobre a reta r para o qual o vetor aponta
•Módulo:
Valor numérico associado ao vetor
•Ponto de aplicação:
Local inicial o vetor
Exemplo
Observe o vetor:
12,92 cm
Direção: horizontal
Sentido: para direita
Módulo: 12,92 cm
Aplicação: Objeto O
Componentes dos Vetores
Se os vetores estiverem inclinados, faz-se a
projeção dos mesmos sobre eixos horizontais
e verticais:
A
A
A
Ay
Ax
Valores das Componentes
• Componente Horizontal
Vx V cos
• Componente Vertical
Vy V sen
Expressão de um Vetor
Depois de calcular as componentes de um
vetor, pode-se escrevê-lo em termos delas, por
meio da expressão:
V Vxiˆ Vy ˆj
Exemplo
Dado o vetor abaixo, determinar:
(a) suas componentes ortogonais
(b) sua expressão vetorial.
V 100 N
30 º
(a) suas componentes
Vx V cos
Vx 100cos30º 86,6 N
V y V sen
V y 100sen 30º 50N
(b) sua expressão
V Vx iˆ V y ˆj
V 86,6iˆ 50 ˆj N
Adição de Vetores
Pode ser feita de três modos:
• regra do polígono
• regra do paralelogramo
• regra das componentes
Regra do polígono
• Os vetores são unidos de modo que o vetor
seguinte esteja conectado à extremidade do
vetor anterior;
• O vetor soma inicia-se junto ao primeiro e
termina junto ao último vetor.
Exemplo
Dados os vetores a seguir,
determine a soma:
A
S A B C
B
C
B
A
S
C
Regra do Paralelogramo
• Os vetores são iniciados a partir de um
ponto comum;
• Da extremidade de cada vetor se traça uma
linha paralela ao outro vetor;
• O vetor soma inicia no ponto comum e
termina onde as paralelas se encontram
Exemplo
Dados os vetores a seguir,
determine a soma:
A
S A B
B
A
B
S
Regra das Componentes
• Decompor o vetor nas componentes horizontal e
vertical;
• Efetuar a soma das componentes, separadamente.
Exemplo
Dados
os vetores a seguir, determine a soma:
S A B C
A
B
C
Solução:
•Escrever cada vetor na
forma das componentes:
A 2i 3 j
B 2i 2 j
C i 2j
•Somar
as componentes:
A 2i 3 j
B 2i 2 j
C i 2j
S 5i 3 j
•Representar o vetor soma:
S
Módulo de um Vetor
Dado o vetor:
S
Seu módulo será dado aplicando-se o
Teorema de Pitágoras:
2
2
ˆ
ˆ
S S xi S y j
2
Exemplo
Seja o Vetor S, representado a seguir. Qual seu módulo?
S
Solução:
2
2
ˆ
ˆ
S S xi S y j
2
S 5 3 25 9
2
2
2
S 34 5,83u
Produto Vetorial
Pode ocorrer de três modos distintos:
• produto de vetor por escalar
• produto escalar entre vetores
• produto vetorial entre vetores
Produto por escalar
Quando se multiplica um vetor por uma
grandeza escalar qualquer:
m k .v
Exemplo
Determine o produto:
P 3B
B
B
B
B
P
Produto escalar
Quando se multiplica um vetor por outro
vetor e se obtém uma grandeza escalar, tal
como o trabalho:
P A.B
Que tem como módulo:
P A . B . cos
Exemplo
Dados os vetores a seguir, determine seu produto escalar:
A
B
A 4i 4 j A 4 2 4 2
A 5,67u
Ay j
4
arctg arctg arctg1
Ax i
4
45º
P A.B
P A . B . cos 5,67.3. cos 45º
P 12,02u
Produto Vetorial
Quando se multiplica um vetor por outro
vetor e se obtém novo vetor, tal como o torque:
P A B
Que tem como módulo:
P A . B . sen
Exemplo
Dados os vetores a seguir, determine seu produto vetorial:
A
B
A 4i 4 j A 4 2 4 2
A 5,67u
Ay j
4
arctg arctg arctg1
Ax i
4
45º
P A.B
P A . B . sen 5,67.3. sen 45º
P 12,02u