Transcript С2 - uCoz
20.12.2012 Угол между скрещивающимися прямыми Урок стереометрии в 10 классе учитель математики МБОУ СОШ № 8 Рузаевского муниципального района Республики Мордовия Н.В.Перепелова В математике есть своя красота, как в живописи и поэзии. Эта красота проявляется иногда в отчетливых, ярко очерченных идеях, где на виду всякая деталь умозаключений, а иногда поражает она нас в широких замыслах, скрывающих в себе кое-что недосказанное, но многообещающее. Н.Е.Жуковский Вопросы для повторения • Взаимное расположение прямых в пространстве • Какой из четырех углов, полученных при пересечении двух прямых, мы называем углом между пересекающимися прямыми • Дайте определение угла между скрещивающимися прямыми Повторение: Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися. b a n M a b m Повторение: При нахождении угла между пересекающимися прямыми используют b c a 2 формулу cos 2 2bc 2 (теорема косинусов) Устные упражнения В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и CB1 D1 A1 C1 B1 D A C B Ответ: 9 0 В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми А1В и CB1 D1 A1 C1 B1 D A C B Ответ: 6 0 В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми А1В и AC D1 A1 C1 B1 D A C B Ответ: 6 0 В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми CА и BD1 D1 A1 C1 B1 B3 D A C3 D B C C2 B2 В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми CА и BD1 D1 A1 D1 C1 B1 C3 B3 D D C C2 C2 A B B B2 В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми CА и BD1 D1 C2 B В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми CА и BD1 D1 A1 B1 D1 D 5 C1 A C3 B3 D C B C2 B2 3 2 B C2 Ответ: 9 0 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и CС1 E1 D1 F1 C1 A1 E B1 F D A C B Ответ: 9 0 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и DE1 E1 D1 F1 C1 A1 E B1 F D A C B Ответ: 4 5 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми АВ и A1С1 E1 D1 F1 C1 A1 E B1 F D A C B Ответ: 3 0 В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми А1В и ED1 E1 D1 F1 C1 A1 E B1 F D A C B Ответ: 4 5 Практикум В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра которой равны 1. Постройте сечение, проходящее через точку А1 параллельное плоскости В1ВС1 Е1 D1 О1 F1 А1 1 В1 Е А пересекаются 4. Плоскость АА1D1D параллельна плоскости D О F 1. АА1 параллельно ВВ1 С1 2. А1D1 параллельно В1С1 3. АА1 и A1D1 1 С В 1 ВВ1С1С В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра которой равны 1. Постройте в плоскости АА1D1 прямую, параллельную прямой ВС1 Е1 D1 О1 F1 А1 1 В1 окружности вписанной в правильный шестиугольник) 3. АО1=ВС1 и параллельны Е D О F А 1. Плоскость (АА1D1) параллельна плоскости С1 (ВВ1С1) 2. А1О1 =В1С1 (радиус 1 С В 1 Решите задачи В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1 В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1 Е1 D1 О1 F1 С1 А1 1 В1 Е D О F А 1 В 1 1) Построим плоскость АА1D1D параллельную плоскости ВВ1С1С. Тогда прямая AO1 параллельна прямой BC1, и искомый угол φ между прямыми AB1 и BC1 С равен B1AO1. В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1 А 3) По теореме косинусов 2 2 2 AO1 + AB1 - B1O1 Cos B1AO1 = 2 2 2 AO1 AB1 2 Cos B1AO1 =0,75 В1 1 О1 Ответ: 0,75 Самостоятельная работа Критерии оценивания выполнения задания С2 баллы Критерии оценивания 2 Правильный ход решения. Верно построен или описан искомый угол. Получен верный ответ 1 1) Правильный ход решения. Получен верный ответ, но имеется ошибка в построении и описании искомого угла, не повлиявшая на ход решения 2) Правильный ход решения. Верно построен и описан искомый угол, но имеется ошибка в одном из вычислений, допущенная из-за невнимательности, в результате чего получен неверный ответ 0 1) Ход решения правильный, но оно не доведено до конца, или решение отсутствует. Нет ответа 2) Ход решения правильный, но имеются существенные ошибки в вычислениях, приведшие к неправильному ответу 3) Неправильный ход решения, приведший к неверному ответу 4) Верный ответ получен случайно при неверном Способы решения задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми №1 С помощью параллельного переноса Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимися. b a m M a b Точку М можно выбрать произвольным образом. В качестве точки М удобно взять любую точку на одной из скрещивающихся прямых. №1 В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите угол между прямыми АВ1 и ВС1. 1 D1 1 С1 2 А1 В1 2 1 2 D А 1 1) Прямая AD1 параллельна прямой ВС1, Угол между прямыми АВ1 и ВС1 равен углу В1AD1. 2) Треугольник В1AD1 – равносторонний, В1AD1 = 600 С В Ответ: 600 С помощью тетраэдра №2 D В А С 2 2 2 2 (AC + BD )-(CD + AB ) Cos AD,CB 2 AD CB С помощью тетраэдра №2 В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите угол между прямыми АВ1 и ВС1. D D1 А А1 С С1 В 1.Построим тетраэдр с противоположными ребрами AB1 и BC1 2.Применяя формулу, получаем Cos AB1,BC1 =0.5 AB1,BC1=60 В1 2 2 2 2 (BB1 + AC1 )-(AB + B1C1) Cos AB1, BC1 2 AB1 BC1 Способ «в три косинуса» №3 b a a b1 b 1) Построим плоскость, которой принадлежит прямая а, прямая b ее пересекает b1 проекцию прямой b на плоскость 3)Прямые a и b1 пересекаются, прямые b и b1 пересекаются Cos ab =Cos ab1 Cos bb1 2) Построим Способ «в три косинуса» №3 В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите угол между прямыми АВ1 и ВС1. D1 А1 С1 В1 D А В 1.Прямая BC1 лежит в плоскости (B1BC) 2.Построим проекцию ребра АВ1 на плоскость (B1BC) 3.Применяя формулу, С получаем Cos AB1,BC1 =0.5 AB1,BC1=60 Cos AB1,BC1 =Cos AB1B Cos B1BC1 Векторный способ №4 1 D1 В единичном кубе АВСДА1В1С1Д1 найдите угол между прямыми АВ1 и ВС1. 1 А1 В1 С1 1) Введем систему координат, считая началом координат (·) А, осями координат – прямые АВ, АD, АА1. А(0;0;0) АВ 1 (1;0;1) В1 (1;0;1) В(1;0;0) ВС1 (0;1;1) С1 (1;1;1) 1 D С cosα А 1 В х1 х 2 у 1 у 2 z 1 z 2 x12 y 12 z 12 x 22 y 22 z 22 cos = 1/2, (АВ1;AD1) = 600. Ответ: 600 Жизнь не спросит, что ты учил. Жизнь спросит, что ты знаешь. Домашнее задание • Презентация урока Электронный журнал https://sc8ruz.eljur.ru • Статья В.И.Рыжика «Об углах между скрещивающимися прямыми и немного о прочих углах» Сайт учителя http://perepelovanv.ucoz.ru/ Домашнее задание В кубе ABCDA1B1C1D1 все ребра равны 1, найдите угол между прямыми : • • • • • • CА и B1D C1B и CA1 C1B и DB1 CА1 и DC1 BD1 и DC1 BA1 и AC1 • • • • • BA1 и DB1 AD1 и CA1 AD1 и DB1 C1A1 и DB1 C1A1 и BD1 Домашнее задание В правильной четырехугольной пирамиде SАВСД, все ребра которой равны 1, точка Е – середина ребра SD. Найдите тангенс угла между прямыми АЕ и SВ. Видео-лекции и уроки • Учитель высшей категории, лауреат премии Фонда Сороса Тер-Ованесян Геворк Левонович http://uchu24.ru/video/ugol-mezhdu-skreschivayuschimisja-prjamymi.html • Решение задач С2 http://www.youtube.com/watch?v=rDFqNztvOTg http://ege-ok.ru/2012/03/26/ugol-mezhdu-skreshhivayushhimisyapryamyimi-zadanie-s2/ http://www.egetrener.ru/view_tema.php?tema=skre http://www.cleverstudents.ru/angle_between_skew_lines.html Литература • В.А.Смирнов Готовимся к ЕГЭ. Геометрия. Стереометрия./ – М.:МЦНМЩ,2011 • В.А.Смирнов ЕГЭ 2011. Математика. Задача С2. Геометрия. Стереометрия./ Под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко – М.:МЦНМЩ,2011 Подведение итогов урока: • Сегодня на уроке я повторил … • Сегодня на уроке я научился … • Мне необходимо еще поработать над … Проверка решения S В правильной четырехугольной пирамиде SАВСД, все ребра которой равны 1, точка Е – середина ребра SD. Найдите тангенс угла между прямыми АЕ и SВ. 1 Р Р 1 К Д D М С К О А 3 2 2 2 1 1 1 2 М В Ответ: 2 В правильной шестиугольной призме A … F1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и BC1 Е1 D1 О1 F1 С1 А1 1 В1 Е А 1 С В 1 AO1 = 2 (диагональ квадрата) AB1 = 2 (диагональ квадрата) D О F 2) Рассмотрим треугольник АВ1О1. B1O1= 1 (радиус описанной окружности)