Transcript (физической) задачи - Інститут проблем математичних машин та

ОДИН СПОСОБ КОРРЕКТНОЙ
ФОРМУЛИРОВКИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
МОДЕЛИ ТЕХНИЧЕСКОЙ (ФИЗИЧЕСКОЙ)
ЗАДАЧИ
Волобоев В.П.,Клименко В.П.
Отдел «Интеллектуальные системы
математического моделирования сложных
объектов и процессов» Института
математических машин и систем НАН Украины
Состояние вопроса корректной формулировки
математической модели технической (физической)
задачи
•
Классическое утверждение Ж. Адамара (принцип
Адамара): «Аналитическая задача всегда корректно
поставлена в смысле существования и единственности
решения, непрерывной зависимости от данных задачи,
когда есть механическое или физическое истолкование
вопроса».
•
Существовало мнение, что некорректные задачи не могут
встречаться при решении физических и технических задач.
• Для некорректных задач невозможно построение приближённого
решения в случае отсутствия устойчивости решения.
•
Среди приверженцев исследования технических
(физических) задач исключительно в корректной
постановке такие имена как А.Пуанкаре, Д.Гильберт,
В.А.Стеклов, С.Л.Соболев, В.В.Новожилов,
И.Г.Петровский, И.Пригожин, Р.В.Хемминг [3-8] и другие.
2
2
•
Подходы к формулировке
технических (физических) задач в
корректной постановке.
• Пуанкаре: существует взаимосвязь между
корректной постановкой задач и адекватностью
используемых моделей.
• В.В.Новожилов: обратил внимание на потенциал
видоизменения постановки задачи с целью
упрощения процедуры ее численной реализации.
• Р.В.Хемминг: методы численной реализации
должны адаптироваться к имеющейся
информации, что же касается принципиальных
осложнений, таких как некорректность постановки,
то основное внимание необходимо сосредоточить
3
на видоизменении математических моделей.
• Д. Гильберт: есть возможность корректной постановки
произвольных краевых задач математической физики
посредством специальных требований к граничным
значениям соответствующих функций (типа
непрерывности или кусочной дифференцируемости до
определенного порядка), а при необходимости и
придания понятию решения расширительного
толкования.
• В.А.Стеклов: если дифференциальные уравнения с
упомянутыми выше начальными и предельными
условиями построены не на ошибочных основаниях, не
находятся в явном противоречии с действительностью,
то они должны давать для каждой задачи единственный
и вполне определенный ответ».
• Решение задачи корректной постановки – чисто
математическая задача.
4
А.Н. Тихонов и В.Я. Арсенин: ставится под сомнение
целесообразность изучения некорректных задач, к которым
авторы отнесли:
— решение плохо обусловленных систем линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ), интегральных уравнений
первого рода;
— дифференцирование функций, известных приближенно;
— численное суммирование рядов Фурье, когда их
коэффициенты известны приближенно в метрике l2;
— аналитическое продолжение функций;
— решение обратных задач;
— минимизации функционалов в условиях не сходящихся
последовательностей координатных элементов;
— некоторые задачи линейного программирования и
оптимального управления;
— проектирование оптимальных систем.
Некорректные задачи возникают при исследовании
широчайшего спектра проблем физики и техники.
5
•
Сформулированные Ж.Адамаром на рубеже
начала ХХ столетия условия корректности,
которые он затем настойчиво популяризировал,
относятся к концептуальной основе
математического моделирования физически
содержательных задач, что по существу никем не
оспаривается, и вместе с тем на современном
этапе возобладало мнение о том, что положения
Адамара – ошибочны.
•
Упреки в адрес Адамара, интегративно
выражают позицию: великий ученый затормозил
развитие науки, не признав адекватность
некорректно поставленных задач реалиям
наблюдаемых процессов.
6
•
Разработка методов решения некорректных
задач рассматривается как чисто математическая
задача отдельного независимого направления
вычислительной математики среди приверженцев
исследования технических (физических) задач
исключительно в некорректной постановке.
• Методы решения некорректных задач были
предложены в работах А.Н. Тихонова, М.М.
Лаврентьева, В.К. Иванова. Более подробно с
этими методами можно ознакомиться по
монографиям: М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова,
С.П. Шишатского и А.Н. Тихонова, В.Я. Арсенина.
7
• В системах проектирования CAE ( Computer-Aided
Engineering) –предобусловливание считается
одним из наиболее эффективных методов
приведения плохо обусловленной системы
линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) к
корректному виду.
• Суть предобусловливания - преобразование
исходной СЛАУ
•
Ax  b к виду QAx  Qb ,
• где Q - невырожденная матрица – предобусловливатель.
• Выбор предобусловливателя:
• если
Q  A1 то 1x  A1b
Недостаток данного подхода.
Нет формализованной методики выбора
матрицы – предобусловливателя.
8
Постановка задачи корректной
формулировки задачи
• В данной работе под понятием «корректная
задача» подразумевается, что при формулировке
задачи будет учтено:
• требование невырожденности системы линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ), описывающей
линейный технический (физический) объект.
• условие сходимости итерационного процесса
решения системы нелинейных (линейных)
алгебраических уравнений (СНАУ), описывающей
технический (физический) объект.
9
История возникновения данного подхода
Начало компьютерной эры (60-ые года двадцатого
столетия). Аналоговое моделирование занимает ведущие
позиции в моделировании алгебраических объектов (школа
ак. Пухова Г.Е, ИК АН УССР). Этот результат был достигнут за
счет решения следующих задач:
1. Разработка аналоговых квазианалоговых методов
моделирования.
2. Разработка методов синтеза электрических схем
математических машин для моделирования алгебраических
объектов.
3. Разработка методов расчета электрических цепей.
Расчет линейной электрической цепи при помощи
топологических преобразований, дает устойчивое решение,
даже в том случае, когда электрическая цепь описывается
плохо обусловленной СЛАУ.
10
Расчет электрической цепи
1
G1=1
G 3  1015
2
E1=1
G5=1
3
G2=1
4
G4=1
G6=1
0
Рис. 1 .
Электрическая цепь для расчета
Эпоха ручного счета
Топологические преобразования электрической цепи
1
G1=1
E1=1
2
G 3  1015
3
G2=1
а)
1
G 5G 6
G5  G 6
2
G2=1
G 4(56) 
G4 
G1=1
G G
3 4(56)
 3
2
G G
3
4(56)
E1=1
 3
2
G 3(4(56)) 
б)
G (G  G 3(4(56)))
U 2  E1 1 2
 2
7
G  G  G 3(4(56))
1
2
Рис. 2. Топологические преобразования электрической цепи:
а) удален узел 4; б) удален узел 3
11
Эпоха машинного счета
Метод узловых напряжений
G5  G6
 G5
 G5
0
G3  G4  G5
 G3
 G3
0
U4
0
U3 
0
G1  G2  G3 U 2
G1E1
G
5
U 
U ,
G

G
4
5
6 3
U3 
G
3
G2
5
(G  G  G ) 
3
4
5
(G  G )
5
6
GE
1 1
U2 

G2
3
G
5
(G  G  G ) 
3
4
5 (G  G )
5
6
 15 3 
10  
2

U2 

30
15
15
 10  (10  2)(10  3 )
2
U2
.
 (G  G  G )
1
2
3
 15 3 
10  
2

2
30
30
15 3
15
7
 10  10  2 *10  10  6 2
2
12
Результаты анализа расчета
Эпоха ручного счета: много методов описания
электрической цепи.
В случае применения топологических преобразований при
расчете электрической цепи специалист- прикладник:
1. использовал при топологических преобразованиях
напряжения и токи двухполюсных компонент, а не узловые
напряжения электрической цепи;
2. учитывал топологию конкретной электрической цепи и
параметры функциональных зависимостей компонент.
Эпоха машинного счета: один метод описания, много
методов решения.
Постановка задачи
1. сформулировать критерий корректной формулировки
математической модели объекта;
2. предложить метод составления математической модели
объекта, реализующий этот критерий.
13
Существующий подход к решению
некорректной математической модели
объекта, описываемой СЛАУ
• Как следует из исследований, все трудности решения
неустойчивых или плохо обусловленных СЛАУ
связаны лишь с трудностями решения систем с
матрицами неполного ранга либо очень близкими к
таковым в условиях возмущения входных данных и
влияния ошибок округления.
• Если фиксированы уровень ошибок входных данных и
точность вычислений, то всегда найдутся СЛАУ с настолько
большими значениями чисел обусловленности, что для них
нельзя будет гарантировать в решении (псевдорешении)
точность.
14
• Согласно многочисленным рецептам можно решать
любую систему, например, методом Гаусса с выбором
главного элемента по всей матрице. Если матрица
имеет не полный ранг, то в процессе реальных
преобразований, по-видимому, получится система с
треугольной матрицей, у которой все элементы
последних строк будут малы.
• Для обеспечения гарантированной точности
нормального решения (достоверности результатов)
необходимо привлечение дополнительной информации
о задаче.
• Все отличия рецептов друг от друга связаны лишь с
использованием различных преобразований исходной
системы и применением различных критериев замены
малых элементов преобразованной системы нулями. На
основе этой идеи было опубликовано огромное число
работ.
• В качестве примера можно привести рассмотренное
выше применение обусловливания при решении плохо
обусловленной СЛАУ.
15
Суть предлагаемого подхода
В качестве дополнительной информации,
необходимой для обеспечения гарантированной
точности нормального решения (псевдорешения)
СЛАУ(системы нелинейных алгебраических
уравнений (СНАУ)), описывающей техническую
(физическую) задачу, предлагается учитывать
при составлении математической модели
требование невырожденности СЛАУ (условие
сходимости итерационного процесса решения
СЛАУ/СНАУ).
Цель: обеспечить устойчивое решение
математической модели на этапе составления
модели.
16
Прямые методы решения СЛАУ
Критерий корректной формулировки составления СЛАУ,
описывающей линейный объект, вытекает из
следующей леммы (Воеводин В.В.).
Для того чтобы матрица была невырожденной,
достаточно выполнение неравенств
n
aii  aij , для
i  1,2,...,n
j 1
j i
• где n - порядок матрицы.
17
Итерационные методы решения
СЛАУ/СНАУ
СЛАУ Ax  f
Метод решения простой итерации xn1   xn  f ,
  E  A , E - единичная матрица, n - номер итерации.
Если A  SQ, где S - любая неособенная диагональная матрица,
где
Q
- симметричная положительно (отрицательно) определенная матрица,
то достаточным признаком сходимости будет:  1.
Для электрических цепей Пухов Г.Е. сформулировал
j n
как
2 aii   aij (i  1,...,n)
j 1
18
СНАУ
f ( x)  0
Метод простой итерации xn1  xn  f ( xn )
' - матрица Якоби,
x
Условие сходимости
1  f x'  1,
Метод Ньютона
xn1  xn  xn
где
где
f
xn определяется из решения СЛАУ
- норма.
f ( xn ) xn  f ( xn )
'
x
1
Условие сходимости : h0  B0 0 k 
2
_
где
B0  f x' ( xn ) 1 
Ã0 ,   Ã0 f ( x )
k max f ( xn ) .
"
x
_
0
,
19
Требование невырожденности матрицы СЛАУ
(матрицы Якоби) является общим как для прямых
методов решения СЛАУ, так и для итерационных
методов решения СЛАУ и СНАУ.
Формулировка критерия
Диагональные коэффициенты матрицы СЛАУ
(матрицы Якоби СНАУ) математической модели
линейного (нелинейного) объекта по модулю
должны быть больше суммы модулей
коэффициентов, образующих эти строки или, в
крайнем случае, максимально возможными.
20
Метод составления математической
модели объекта
Реализация критерия корректного составления
математической модели объекта рассмотрена
применительно к методу составления
математической модели электрической цепи.
Суть метода
Построение математической модели электрической цепи
базируется на основной системе уравнений электрической
цепи, куда входят уравнения, составленные на основе
законов Кирхгофа, и компонентные уравнения.
Для описания графа электрической цепи и уравнений на
основе законов Кирхгофа применяются топологические
матрицы контуров и сечений.
21
Переменные составляемой системы
уравнений выбираются из напряжений
и/или токов компонентов в результате анализа
основной системы уравнений.
Из основной системы уравнений выделяется
система уравнений, соответствующая
выбранным переменным, и система
уравнений связи, с помощью которых
вычисляются остальные напряжения и токи
компонент.
Предполагается, что цепь содержит
двухполюсные компоненты типа источника
напряжения, тока и проводимости.
22
Компонентное уравнение проводимости имеет вид
I i  fi (Ui ), i  1,2,...k ,
I
где i - ток i-ой компоненты, f i () - условное обозначение
компонентного уравнения i - ой компоненты, U - напряжение
i
i-ой компоненты, k - количество компонент типа
проводимости в цепи.
Граф цепи совпадает с электрической цепью.
Составление топологических матриц контуров и сечений
включает выбор дерева графа цепи и составление
контуров для выбранного дерева.
Дерево графа электрической цепи выбирается таким
образом, чтобы все источники напряжения включались в
дерево, а все источники тока в хорды.
23
Напряжения, токи и компонентные уравнения компонентов
цепи группируются в элементы вектора, которые входят в
дерево (д), и не входящие в дерево (х) - хорды
U
UД
UХ
,
I
IД
IХ

f Д (U Д )
f Х (U Х )
,
I
где U - вектор напряжений компонент,
- вектор токов
компонент.
t
Топологическая матрица контуров 1 F , где
- единичная
подматрица хорд.
Топологическая матрица сечений 1  F , где
- единичная
подматрица дерева.
t
1
U Х  F U Д ,
1
I Д  FIХ
f Д (U Д )  F(fХ (F U Д ))  0
t
24
Реализация критерия корректной
формулировки математического описания
электрической цепи
Дерево графа электрической цепи необходимо выбирать
таким образом, чтобы присоединяемая к дереву хорда
имела (динамическую) проводимость меньше
(динамических) проводимостей ветвей контура.
I  f (U )
Динамическая проводимость компоненты: i
i
i
Матрица частных производных (матрица Якоби) СНАУ, на n – ом
итерационном шаге,
'
'

f 11 U Д n
f ' (U Д n ) 
'
f m1

UДn



f 1m U Д n



UДn

.



 
'
f
где m – порядок матрицы Якоби, ij U Д
n
'
f mm

– частная производная i – го
уравнения по j - ой переменной, определяется аналитически или численным
25
методом из СНАУ .
Составление и решение СЛАУ (СНАУ) рассматривается
как единый вычислительный процесс моделирования
математической модели объекта.
Для реализации процесса предлагается составление
СЛАУ в итерационном процессе метода Ньютона (матрицы
Якоби) рассматривать как составление математической
модели линеаризованной эквивалентной схемы нелинейной
электрической цепи рассмотренным методом.
В процессе составления СЛАУ выполняется контроль на
невырожденность матрицы.
Предложенный способ корректной формулировки
математической модели применим при моделировании
электрических цепей:
- во временной области;
- в частотной области;
- с динамически изменяемой конфигурацией.
26
Пример расчета электрической цепи.
1
G1 =1
E1 =1
G3  1015
2
G2 =1
G5 =1
3
4
G4 =1
G6 =1
0
Рис. 3. Электрическая цепь
.
• Компоненты: E1, G2, G3, G6 выбраны в
дерево графа цепи .
27
U E1
U G1
I E1
I G1
-1 0 0
1
UÄ 
, UÕ  UG , IÄ 
, I Õ  I G , Ft = 0 0 1  1 ,
UG
IG
UG
IG
0 1 1 1
UG
IG
U G6
I G6
4
3
4
3
5
2
5
2
G5  G6
G5
G5
G3  G4  G5
 G5
 (G4  G5 )
2
1
1
 G5
 (G4  G5 )
6
UG 
3
G1  G2  G4  G5 U G
2
1
1 UG
0
6
15
10  2  2 U G  0
2
UG
3
4 UG
2
1
-1 0 0
0 0 1
F=
,
0 1 1
1 -1 -1
0
0
,
G1U E1
1  1.58578643
76253,
2  5.0E 14 j5.0E 14,
3  5.0E 14 j5.0E 14.
28
Аппробация способа корректной
формулировки математической модели
1. Моделирование операционных усилителей
в течение 70-80 годов, НПО «Кристалл»;
2. Моделирование полупроводниковых
приборов и технологических процессов
(уравнение полупроводника – одномерный
случай, эпизодически) , НПО «Кристалл».
29
3. Разработан и тестирован алгоритм
схемотехнического моделирования КМОП
- БИС для SIMD ЭВМ (Зеленоград, НПО
«Микрон»).
4. Моделирование распределения потоков
электроэнергии в энергосистеме.
5. Разработка методов и алгоритмов
решения задач для РЛС .
30
Выводы
Предложен способ корректной формулировки
математической модели технической (физической)
задачи.
1. Разработан критерий корректной формулировки
математической модели технического (физического)
объекта, описываемого СЛАУ/СНАУ:
- критерий учитывает требования невырожденности СЛАУ,
и условие сходимости итерационного метода решения
СЛАУ/СНАУ;
- учет невырожденности СЛАУ при составлении
математической модели обеспечивает устойчивость
решения плохо обусловленной СЛАУ.
31
2.
3.
-
4.
Предложен метод составления математической модели
электрической цепи, реализующий критерий.
Реализация критерия при составлении математической
модели достигнута за счет:
применения топологических матриц контуров и сечений
для описания графа электрической цепи;
выбора напряжений компонент ветвей дерева
топологической матрицы контуров графа электрической
цепи в качестве независимых переменных;
учета параметров компонент конкретной электрической
цепи при выборе дерева топологической матрицы
контуров графа электрической цепи.
Предложено рассматривать составление и решение
математической модели электрической цепи как единый
вычислительный процесс с целью проверки и
корректировки математической модели в процессе
моделирования.
32
5.
Предложено определять матрицу Якоби при решении
математической модели методом Ньютона
составлением СЛАУ, описывающией линеаризованную
нелинейную электрическую цепь.
6.
Способ прошел апробацию:
- моделирование операционных усилителей;
- моделирование полупроводниковых приборов и
технологических процессов (одномерный случай);
- разработан и тестирован алгоритм схемотехнического
моделирования КМОП - БИС для SIMD ЭВМ;
моделирование распределения потоков
электроэнергии в энергосистеме.
7. Способ применим к электротехнической аналогии не
электротехнического объекта.
33
Благодарю
за внимание