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La unidad imaginaria i
está definida por la
propiedad
i  1.
2
La unidad imaginaria i está definida
por la propiedad i  1
2
Es decir,
i  1
Un número complejo es uno de la forma
a  ib
donde a y b son números reales e
i
es la unidad imaginaria con la propiedad
i  1
2
Un número complejo es uno de la forma a  ib
1) El número real a es llamado la
parte real
2) El número real b es llamado la
parte imaginaria
Un número complejo es uno de la forma a  ib
Los números reales pueden ser considerados
como números complejos con la parte
imaginaria igual a cero.
Es decir, el número real a es equivalente al
número complejo a  0i
Si
z  a  ib
es un número complejo,
la parte real, a,
se denota como Re( z )
y la parte imaginaria, b,
se denota
Im( z )
A la totalidad de los números
complejos de le denota
C
A la totalidad de los números
complejos de le denota C
Notese que
RC
a  ib  c  id
ac
y
bd
 a  ib  c  id    a  c  i b  d 
 a  ib  c  id   a  c  i b  d 
 a  ibc  id    ac  bd   i bc  ad 
 a  ibc  id    ac  bd   i bc  ad 
 a  ib  c  id  
 ac  iad  ibc  i bd
 ac  iad  ibc  bd
2
 ac  bd   ad  bc  i
Si c  0 ó d  0,
entonces se define
a  ib ac  bd
bc  ad
= 2

i
2
2
2
c  id c  d
c d
Las leyes de la suma y de la multiplicación
son asociativas,
conmutativas y
distributivas,
así que los numeros complejos son un campo
z1  z2  z2  z1
z1 z2  z2 z1
z1   z2  z3    z1  z2   z3
z1  z2 z3    z1 z2  z3
z1  z2  z3   z1z2  z1z3
El cero es 0  0i y se le denota 0.
El cero es la identidad aditivia,
el elemento neutro aditivo:
z  0  (a  ib)   0  0i   a  ib  z
La unidad es 1  0i y se le denota 1.
El uno es la identidad multiplicativa,
el elemento neutro multiplicativo:
1 z  z
Dado un número complejo z,
su complejo conjugado, o
simplemente su conjugado,
se obtiene cambiando el signo
de la parte imaginaria.
Dado un número complejo z, su complejo conjugado, o
simplemente su conjugado, se obtiene cambiando el signo
de la parte imaginaria.
Al complejo conjugado de z
se le denota z ó z *.
Si z  a  ib entonces
z  a  ib
Dado un número complejo z , su complejo conjugado, o simplemente
su conjugado, se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria.
z1  z2  z1  z2
 z1  z1
 
z
 2  z2
z1 z2  z1 z2
zz
z1  z2  z1  z2
Dado un número complejo z , su complejo conjugado, o simplemente
su conjugado, se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria.
z  z   a  ib    a  ib   2a

zz
Re  z  
2
Dado un número complejo z , su complejo conjugado, o simplemente
su conjugado, se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria.
z  z   a  ib    a  ib   2ib

zz
Im  z  
2i
Dado un número complejo z , su complejo conjugado, o simplemente
su conjugado, se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria.
zz   a  ib a  ib  a  b
2
Es un número real, y veremos
que es el cuadrado de la norma
del número complejo.
2
Dado un número complejo z , su complejo conjugado, o simplemente
su conjugado, se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria.
z1 z1 z2 z1 z2


z2 z2 z2 z2 z2
z  a  ib
El inverso aditivo
 z   a  ib
existe siempre y es único.
Se tiene
z  z   0
z  a  ib
Si z  0, el inverso aditivo
1
z 
z
existe siempre y es único.
1
Se tiene
1
zz  1
Se le llama también recíproco.
1.- No existe orden en los complejos.
2. Cosas que aprecen imposibles en
los reales, son posibles en los complejos,
como
e  4
x
ó
sin x  6
x  iy

 x, y 
x  iy

4  i

6

8i

 x, y 
 4, 1
 6, 0 
 0,8
x  iy

 x, y 
z
 puntos
z

vectores
Y
z  x  iy
 x, y 
x
y
X
Dado el número complejo
z  x  iy
se define su módulo ó valor
absoluto como el número real
z  x y
2
2
Y
 x, y 
z  x  iy
z
X
1) z  zz
2
2) z  zz
3) z1 z2  z1 z2
z1
z1
4)

z2
z2
z
2
 z
2

z1  z2 
 x2  x1    y2  y1 
2
2
1.- z1  z2
2.- z1  z2  z1  z2
3.- z1  z2  z1  z2
El valor absoluto es
Y
 x, y 
r z
r

X
El argumento es
Y
 x, y 
  arg  z 
r

X
El argumento principal es
Y
 x, y 
  Arg  z  con   ( ,  ]
r

X
x  r cos
y  r sin 
Y
z  x  iy
x
r

y
X
z  x  iy
Y
 x, y 
z  r  cos  i sin  
r

X
r
Y
z  a  ib
a
r

b
X
x y
2
2

 y
 arctan  x 
 


 y
arctan    
x


y
arctan    
 
x




2




2


 indefinido
si x  0
Si x  0 y y  0
Si x  0 y y  0
Si x  0 y y  0
Si x  0 y y  0
Si x  0 y y  0
Sean
z1  r1  cos 1  i sin 1 
y
z2  r2  cos  2  i sin  2 
entonces
cos 1 cos  2  sin 1 sin  2

z1 z2  r1r2 

 i  sin 1 cos  2  cos 1 sin  2  
z1 z2  r1r2 cos 1   2   i sin 1   2  
Sean
z1  r1  cos 1  i sin 1 
y
z2  r2  cos  2  i sin  2 
con z2  0, entonces

z1 r1 cos 1 cos  2  sin 1 sin  2
 

z2 r2  i  sin 1 cos  2  cos 1 sin  2  
z1 r1
 cos 1   2   i sin 1   2  
z2 r2
Sean
z1  r1  cos 1  i sin 1 
y
z2  r2  cos  2  i sin  2 
entonces
arg  z1 z2   arg  z1   arg  z2 
y
 z1 
arg    arg  z1   arg  z2 
 z2 
z  r  cos   i sin  
Sea
entonces
z  r  cos 2  i sin 2 
2
2
z  r  cos 3  i sin 3 
3
3
z  r  cos n  i sin n 
n
n
Sea
z  r  cos   i sin  
entonces
1
2
 r cos  2   i sin  2  
2
z
z  r  cos n  i sin n 
n
n
Sea
z  r  cos   i sin  
entonces
z  r  cos n  i sin n 
n
n
con n  Z
z  r  cos   i sin  
Sea
entonces
z  r  cos n  i sin n 
n
n
con n  Z
Para n  0, tenemos
z 1
0
Sea
z  r  cos   i sin  
entonces
z  r  cos n  i sin n 
n
n
con n  Z
Si z  1, entonces
 cos   i sin  
n
 cos n  i sin n
El número complejo w
es la raíz n-esima de un
número complejo diferente
de cero z si w  z , donde
n
n es un entero positivo.
Supongamos que z  r  cos   i sin  
y w    cos   i sin   .
La ecuación w  z queda como
n
  cos n  i sin n   r  cos   i sin  
n
así que
  r y cos n  i sin n  cos   i sin 
n
 r
n
y cos n  i sin n  cos  i sin 
Por lo tanto,
=n r
y
cos n  cos 
de ahí que

  2 k
n
y
sin n  sin 
k  0,1, 2,..., n  1
Por lo tanto,  = n r
y
cos n  cos 
de ahí que  
sin n  sin 
y
  2 k
n
k  0,1, 2,..., n  1

   2 k 
   2 k  
wk  r cos 
  i sin 

n
n





n
k  0,1, 2,..., n  1
w z
n

   2 k 
   2 k  
wk  r cos 
  i sin 

n
n





n
k  0,1, 2,..., n  1
La unidad imaginaria i
está definida por la
propiedad
i  1.
2
La unidad imaginaria i está definida
por la propiedad i  1
2
Es decir,
i  1
Un número complejo es uno de la forma
a  ib
donde a y b son números reales e
i
es la unidad imaginaria con la propiedad
i  1
2
Un número complejo es uno de la forma a  ib
1) El número real a es llamado la
parte real
2) El número real b es llamado la
parte imaginaria
Dado un número complejo z,
su complejo conjugado, o
simplemente su conjugado,
se obtiene cambiando el signo
de la parte imaginaria.
Dado un número complejo z, su complejo conjugado, o
simplemente su conjugado, se obtiene cambiando el signo
de la parte imaginaria.
Al complejo conjugado de z
se le denota z ó z *.
Si z  a  ib entonces
z  a  ib
Y
z  x  iy
 x, y 
x
y
X
El valor absoluto es
Y
 x, y 
r z
r

X
El argumento es
Y
 x, y 
  arg  z 
r

X
El argumento principal es
Y
 x, y 
  Arg  z  con   ( ,  ]
r

X
x  r cos
y  r sin 
Y
z  x  iy
x
r

y
X
z  x  iy
Y
 x, y 
z  r  cos  i sin  
r

X
Sea
z  r  cos   i sin  
entonces
z  r  cos n  i sin n 
n
n
con n  Z
Sea
z  r  cos   i sin  
entonces
z  r  cos n  i sin n 
n
n
con n  Z
Si z  1, entonces
 cos   i sin  
n
 cos n  i sin n
El número complejo w
es la raíz n-esima de un
número complejo diferente
de cero z si w  z , donde
n
n es un entero positivo.
w z
n

   2 k 
   2 k  
wk  r cos 
  i sin 

n
n





n
k  0,1, 2,..., n  1
w z
n

   2 k 
   2 k  
wk  r cos 
  i sin 

n
n





n
k  0,1, 2,..., n  1
Si k  0, obtenemos la raíz principal
  
  
w0  r cos    i sin   
 n 
 n
n
Escribe en forma polar
el número complejo
i
Escribe en forma polar el número complejo i
i  0 1i

 0,1
Escribe en forma polar el número complejo i
i  0 1i

 
 
i  cos    i sin  
2
2
 0,1
Escribe en forma polar el número complejo i
i  0 1i

 
 
i  cos    i sin  
2
2
 5
i  cos 
 2
 9
i  cos 
 2

 5
  i sin 

 2

 9
  i sin 

 2
 13
i  cos 
 2







 13 
  i sin 


 2 
 0,1
w i
3

   2 k 
   2 k 
wk  r cos 
  i sin 

n
n





n
i  cos

2
 i sin
k  0,1, 2,..., n 1

2

   / 2  2 k
wk  1 cos 
3
 
k  0,1, 2
3

  / 2  2 k
  i sin 
3





w3  i

  / 2  2 k
wk  3 1 cos 
3



  / 2  2 k

i
sin


3


 
 
w0  cos    i sin  
6
6
 5 
 5 
w1  cos 
  i sin 

 6 
 6 
 3 
 3 
w2  cos 
  i sin 

 2 
 2 

  k  0,1, 2

w3  i

  / 2  2 k
wk  3 1 cos 
3



  / 2  2 k

i
sin


3



  k  0,1, 2

3 1
 
 
w0  cos    i sin   
i
2
6
6 2
3 1
 5 
 5 
w1  cos 
i
  i sin 

2
2
 6 
 6 
 3 
 3 
w2  cos    i sin    i
 2 
 2 
w3  i

  / 2  2 k
wk  3 1 cos 
3



  / 2  2 k

i
sin


3


3
1
 
 
w0  cos    i sin   
i
2
2
6
6
 5
w1  cos 
 6

 5
  i sin 

 6
3
1

i

2
2

 3
w2  cos 
 2

 3

i
sin



 2

  i


  k  0,1, 2

Escribe en forma polar
el número complejo
 3 i
Escribe en forma polar el número complejo  3  i
r   3i 
 3
2
 12  3  1  2
 1  
  arctan   
 3 6

5
arg  z  
 2 k
6
1
k  0,1, 2,...
3
  5

 5

z  2 cos 
 2 k   i cos 
 2 k  

 6

  6
Saca las raices quintas
del número complejo
 3 i
Saca las raices quintas del número complejo  3  i
  5

 5

z  2 cos 
 2 k   i cos 
 2 k  

 6

  6
  5
z  2 cos 
  6

 5
  i cos 

 6




   2 k 
   2 k 
wk  r cos 
  i sin 

n
n





n
k  0,1, 2,..., n 1
   2 k 
  2 k  
wk  2 cos  
  i sin  

5 
5 
6
 6
5
k  0,1, 2,3, 4
Saca las raices quintas del número complejo  3  i
   2 k 
  2 k  
wk  2 cos  
  i sin  

6
5
6
5



 
5

 
  
w1  2 cos    i sin   
6
 6 


 17 
 17
5
w2  2 cos 
  i sin 
 30 
 30

5




 29 
 29  
w3  2 cos 
  i sin 

30
30






 41 
 41  
5
w4  2 cos 
  i sin 

30
30





5

 53
w5  2 cos 
 30

5

 53
  i sin 

 30



k  0,1, 2,3, 4
Saca las raices quintas del número complejo  3  i
   2 k 
  2 k  
wk  2 cos  
  i sin  

6
5
6
5



 
5
k  0,1, 2,3, 4
 3

1
 
  
5
w1  2 cos    i sin    =  2 
 i 
2
6
 6 

 2

 17 
 17  
w2  5 2 cos 

i
sin



30
30





5

 29 
 29  
w3  2 cos 
  i sin 

30
30






 41 
 41  
w4  5 2 cos 

i
sin



30
30





5

 53
w5  2 cos 
 30

5

 53
  i sin 

 30



Una serie de Taylor es una
representación o una
aproximación de una función
como una suma de términos
calculados de los valores de sus
derivadas en un mismo punto
La serie de Taylor de una función real f  x 
infinitamente diferenciable, definida en un
intervalo abierto  a  r , a  r , es la serie
de potencias


n0
f
 n
a
n!
 x  a
n
df
f  x  f a 
dx
1 d3 f

3! dx 3
2
1 d f
 x  a 
2
2! dx
xa
n
1 d f
f  x  
n
n
!
dx
n 1
 x  a
xa
n

xa
n
1
d
f
3
 x  a   ... 
n
n
!
dx
xa
ó

 x  a
2
 x  a
x a
n
 ...
exp : R  R
y  exp  x   e
x
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
y  exp  x   e x
exp : R  R
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
 
d x
e
dx
 ex
x 0
d2 x
e
2
dx
 
d3 x
e
3
dx
 ex
x 0
 
dn x
e
n
dx
x 0
 ex
x 0
 
1
x 0
1
x 0
x 0
1
1
exp : R  R
y  exp  x   e x
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
1 2 1 3
1 n
e  1  x  x  x  ...  x  ...
2
6
n!
n

x
=
n 0 n !
x
x 2 x3 x 4
x5
x6
x7
x8
1 x 
 




2
6 24 120 720 5040 40320
x9
x10
x11
x12




362880 3628800 39916800 479001600
x13
x14
x15



6227020800 87178291200 1307674368000
x16
x17


20922789888000 355687428096000
x18
x19


6402373705728000 121645100408832000
x 20
x 21


2432902008176640000 51090942171709440000
x 22
x 23


1124000727777607680000 25852016738884976640000
x 24
x 25


 O ( x 26 )
620448401733239439360000 15511210043330985984000000
y  exp  x   eix
exp : R  R
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
ix 
ix 


e 


n!
n 0
n 0  2n  !
n  0  2 n  1 !
n
2n
n
2 n 1


1  x 
1  x 



 i
 2n  !
 2n  1!
n 0
n 0

ix
 ix 
n

2n

2 n 1
sin : R  R
y  sin x
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
sin : R  R
y  sin x
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
sin 0  0
cos 0  1
 sin 0  0
 cos 0  1
y se repite
sin : R  R
y  sin x
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
0,1,0, 1,0,1,0, 1,0,1,0, 1,0,1,0, 1,...
1 x

x
x
x
sin x  x     ...  
3! 5! 7!
n  0  2n  1 !
3
5
7

n
2 n 1
cos : R  R
y  cos x
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
cos : R  R
y  cos x
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
cos 0  1
 sin 0  0
 cos 0  1
sin 0  0
y se repite
cos : R  R
y  cos x
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
1,0, 1,0,1,0, 1,0,1,0, 1,0,1,0, 1,0,1,0, 1,0,...
1 x

x
x
x
cos x  1     ...  
2! 4! 6!
 2n !
n 0
2
4
6

n
2n
y  exp  x   eix
exp : R  R
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
ix 
ix 


e 


n!
n 0
n 0  2n  !
n  0  2 n  1 !
n
2n
n
2 n 1


1  x 
1  x 



 i
 2n  !
 2n  1!
n 0
n 0

ix
 ix 
n

2n

2 n 1
y  exp  x   e
exp : R  R
ix
Hacer el desarrollo de Taylor alrededor del 0.
1  x 


 2n  !
n 0

e
ix
n
2n
1  x 

 i
 2n  1!
n 0

n
2 n 1
e  cos x  i sin x
ix
e  cos x  i sin x
ix
Euler ' s formula, named after Leonhard Euler,
is a mathematical formula in complex analysis
that establishes the deep relationship between
the trigonometric functions and the complex
exponential function.
e  cos x  i sin x
ix
The physicist Richard Feynman called
Euler 's formula "our jewel" and
"one of the most remarkable, almost
astounding (asombrosa), formulas
in all of mathematics."
d 2r
m 2 F
dt
2
d x
m 2  kx
dt
dx
x t  0  0 ; v t  0 
 v0
dt t 0
d 2x
m 2  kx
dt
x t  0  0 ;
v t  0 
dx
 v0
dt t 0
2
d x k
 x0
2
dt
m
t
x t   e
k t
 e  e 0
m
k
2
  0
m
2 t
k
k
     i
 i
m
m
d 2x
m 2  kx
dt
x t  0  0 ;
x t   e
x1  t   e
t

v t  0 
dx
 v0
dt t 0
k
  i
 i
m
x2  t   e
it
x  t   Ae
it
 Be
 it
 it
d 2x
m 2  kx
dt
x t  0  0 ;
x  t   et

dx
v t  0 
 v0
dt t 0
  i
k
 i
m
x  t   Aeit  Be  it
x  0  0  A  B  B   A
x  t   Aeit  Ae it  A  eit  e it 
eit  eit  cos t  i sin t   cos t  i sin t   2i sin t
x  t   2iA sin t
d 2x
m 2  kx
dt
x t  0  0 ;
v t  0 
dx
 v0
dt t 0
k
x t   e
   i
 i
m
x  t   Aeit  Be it
t
x  t   2iA sin t
dx
 2iA cos t
dt
v0
dx
 2iA  v0  A  i
dt t  0
2
x t  
v0

sin t
2
d x
m 2  kx
dt
x t  0  0 ;
dx
v t  0 
 v0
dt t 0
x t  
v0

sin t
2
d x
m 2  kx
dt

x t  
v0

sin t
Y
3
2
1
6
4
2
2
1
2
3
4
6
X

E 
0
B
 E  
t
B  0
E
  B   0 J   0 0
t
E  0
B
 E  
t
B  0
E
  B   0 0
t
B
 E  
t
B
    E   
t




 E  E  
0 E  
2
2

  B
t

E 
   0 0

t 

t
2

E
2
 E   0 0 2  0
t

E
  B   0 0
t
E
    B   0 0  
t




   B   B   0 0
2

  E
 1 B 


c t 

2
0   B   0 0
t
2

B
2
 B   0 0 2  0
t
t

 E  0
 B  0
B
 E  
t
E
 B  0 0
t
 E
 E  0 0 2  0
t
2
 B
2
 B  0 0 2  0
t
2
2
 f
 f  0 0 2  0
t
2
2
 2 f  x, y, z, t 
x
2

 2 f  x, y, z, t 
y
2

 2 f  x, y, z, t 
z
2
 0 0
 2 f  x, y, z, t 
t
2
0
E (r , t )  eˆ1 E0 e




i k r t
B (r , t )  eˆ2 B0 e
i k r t
E (r , t )  eˆ1E0e
kˆ  eˆ1  0
kˆ  eˆ  eˆ
1
2

i k  r  t

B (r , t )  eˆ2 B0e

i k  r  t
kˆ  eˆ2  0
kˆ  eˆ2 =  eˆ1
Los vectores (eˆ1 , eˆ2 , kˆ) constituyen una base
ortonormal

kˆ
Z
eˆ1
eˆ2
Y
X
Desplazamiento
Distancia
  Longitud de la onda
y  Amplitud de la onda
y  Amplitud de la onda
  Longitud de la onda
2
k  El número de onda 

  La frecuencuencia angula  2
1
  La frecuencia 
T
T  Periodo
•La longitud de la onda (ó la frecuencia)
determina el color de la luz
•La amplitud de la onda es la intensidad de
la luz
•La dirección de oscilación de los campos
determina la polarización
•Es una onda transversal
Escribe el número complejo
 2  3i 
5
en la forma a  ib.
Escribe el número complejo  2  3i  en la forma a  ib.
5
r  s
 2  3i 

5
2 

5
n
 n  nk k
   r s
k 0  k 
n
k
5
5
 5  5 k


3
k
 
    2  3i   25      i k
k 0  k 
k 0  k   2 
5
2
3
4
5
5
5
5
5
5
5
    3    3  2   3  3   3  4   3  5 
     i     i     i     i     i 
 0 1 2   2 2 
 3  2 
 4 2 
 5   2  

3
9
 27 
 81   243  
 2  1  5   i  10    10   i  5    
 i
2
4
 8 
 16   32  

 15 45 135 405 243 
 25  1  i  
i

i
2
2
4
16
32 

5
 61 597 
2  
i   122  597i
 16 32 
5
Escribe el número complejo
 2  3i 
5
en la forma a  ib.
 2  3i 
5
 122  597i
Escribe el número complejo
 2  3i 
5
en la forma a  ib, pero ahora
usando la forma polar para
hacer la potencia.
Escribe el número complejo  2  3i  en la forma a  ib,
5
pero ahora usando la forma polar para hacer la potencia.



 3  
 3 
2  3i  13 cos arctan     i sin arctan    
 2  
 2 



 2  3i 
5





 3  
 3 
13 cos 5arctan     i sin 5arctan    
 2  
 2 




 122.0  597.0 i
5
Escribe el número complejo
1  i 
32
en la forma a  ib.
Escribe el número complejo 1  i 
32
en la forma a  ib.
Tenemos que
1  i 
2
 1  2i  i  1  2i  1  2i
2
asi que
1  i 
32
 (1  i )    2i 
2 16
2
16
i 
2 8
 65,536
16
2
16
 1
8
2
16
¿Cuál de estos dos números complejos
está más cerca del origen?
10  8i
11  6i
¿Cuál de estos dos números complejos está
más cerca del origen?: 10  8i y 11  6i
10  8i  10  8  164  2 41  12.80
2
2
11  6i  11   6   121  36  157  12.53
2
2
11  6i
¿Cuál de estos dos números complejos
está más cerca del origen?
10  8i
11  6i
8
6
4
2
2
2
4
6
4
6
8
10
Describe el conjunto de puntos
del plano complejo que satisfacen
la ecuación
Im  z
2
2
Describe el conjunto de puntos del plano complejo
que satisfacen la ecuación Im  z 2   2
z  x  iy
z  x  y  2ixy
2
2
Im  z
2
2
  Im  x
2
 y  2ixy   2 xy  2
2
xy  1
C   x, y  xy  1 ¿Qué es?
Describe el conjunto de puntos del plano complejo
que satisfacen la ecuación Im  z 2   2
C   x, y  xy  1
4
2
0
2
4
4
2
0
2
4
Encontrar las soluciones de la
ecuación
z  z  2i
Encontrar las soluciones de la ecuación z  z  2  i
Escribiendo z  x  iy y sustituyendo
en la ecuación, obtenemos
x 2  y 2  x  iy  2  i
ó bien
x2  y 2  x  2
y  1
Resolviendo
x2  1  x  2
 1  4  4x
3
z   i
4

x2  1  2  x

4x  3  0


x2  1  4  4x  x2
3
x
4
Supongamos que z  cos   i sin  .
Si n es un número entero, evaluar
z z
n
n
y z z
n
z  cos n  i sin n
n
z  z  2 cos n
n
n
z  z  2i sin n
n
n
n
z  cos n  i sin n
n
Escribe una ecuación que relacione
1
el argumento de z con aquel de .
z
z  x  iy
1 1z


z z z
 y
 arg  z   arctan  
x
x  iy
x2  y 2
1
 y
 y
arg    arctan      arctan  
z
 x
x
1
arg     arg  z   2 k
z
Demuestra que las n raices n-esimas
de la unidad son
2 k
2 k
 i sin
1  1  cos
n
n
k  0,1, 2,..., n  1
1/ n
n
Demuestra que las n raices n-esimas de la unidad son
2 k
2 k
1/ n
n
k  0,1, 2,..., n  1
 i sin
1  1  cos
n
n

   2 k 
   2 k  
wk  n r cos 

i
sin



n
n





k  0,1, 2,..., n  1
1  cos 0  i sin 0

1
1/ n
2 k
2 k
 1  cos
 i sin
n
n
n
k  0,1, 2,..., n  1
1
1/ n
2 k
2 k
 1  cos
 i sin
n
n
n
1
1/2
k  0,1, 2,..., n  1
 1  cos  k  i sin  k
Son
cos 0  i sin 0  1
y
cos   i sin   1
k  0,1
1
1/ n
2 k
2 k
 1  cos
 i sin
n
n
n
1
1/3
k  0,1, 2,..., n  1
2 k
2 k
 1  cos
 i sin
3
3
3
Son
cos 0  i sin 0  1
2
2
1
3
cos
 i sin
  i
3
3
2
2
4
4
1
3
cos
 i sin
  i
3
3
2
2
k  0,1, 2
1
1/ n
2 k
2 k
 1  cos
 i sin
n
n
n
1
1/4
 1  cos
4
k
2
 i sin
Son
cos 0  i sin 0  1
cos

2
 i sin

2
i
cos   i sin   1
3
3
cos
 i sin
 i
2
2
k
2
k  0,1, 2,..., n  1
k  0,1, 2,3