Transcript SBVL – Slide nhóm 3

TÍNH DẦM DÀI HỮU HẠN
TRÊN NỀN ĐÀN HỒI
Lớp: Cầu đường bộ A-k49
Nhóm: III
Xét một dầm dài có độ
cứng EJx không đổi đặt
trên nền đàn hồi. Tùy
theo sự phân bố tải
trọng và liên kết, ta chia
dầm thành nhiều đoạn.
Doan i-1
Mai
Doan i
Qai
qai
vi-1
vi-
1
vai
Ta sẽ đi thiết lập công
thức tổng quát của
đường đàn hồi, góc
quay, mômen uốn và lực
cắt → Phương pháp:
THÔNG SỐ BAN ĐẦU
vi
vi
f
ai
• Công thức tổng quát của đường đàn hồi viết dưới
dạng truy hồi như sau:
vi = vi-1 + ∆vi
Trong đó:
vi - hàm đường đàn hồi đoạn thứ i
vi-1 - hàm đường đàn hồi đoạn thứ i-1
∆vi - hàm số gia đường đàn hồi của đoạn thứ i so với đoạn
thứ i-1. Hàm số gia đường đàn hồi lấy đối số (z-ai), với ai là
tọa độ đầu đoạn thứ i
Ta có phương trình vi phân:
viIV + 4m4.vi =
-qi
EJx
vi-1IV + 4m4 vi-1 = -
qi-1
EJx
(a)
(b)
Trừ 2 phương trình với nhau ta được:
∆q
∆viIV + 4m4 ∆vi = - i (*)
EJx
Với : ∆qi = qi - qi-1 là hàm số gia của tải trọng phân bố giữa đoạn thứ i vào
đoạn thứ i-1
Nghiệm của phương trình (*) có dạng:
m(z-ai)
∆vi = e
[C1 cos m(z-ai) + C2 sin m(z-ai )] +
-m(z-ai)
+e
[C3 cos m(z-ai) + C4 sin m(z-ai )] -
∆qi
k
(c)
Để đơn giản việc tính toán tiếp theo và cũng phù hợp với thực tế kỹ thuật,
ở đây ta han chế tải trọng phân bố là bậc nhất. Khi đó:
∆qi = ∆qai + ∆q’ai (z - ai)
Trong đó:
(d)
∆q’ai -số gia của độ dốc tải trọng phân bố đoạn thứ i so với độ dốc tải
trọng phân bố đoạn thứ i-1
Nếu thay : e
m(z-ai)
= chm(z - ai) + shm(z - ai)
-m(z-ai)
e
= chm(z - ai) - shm(z - ai)
và định nghĩa các hàm có đối số mz gọi là hàm Crưlốp như sau:
Amz = chmz cosmz
1
Bmz = (sin mz chmz + cos mz shmz)
2
1
Cmz = (shmz sin mz)
2
1
Dmz = (sin mz chmz - cosmz shmz)
4
thì (c) được viết dưới một dạng mới:
∆vi = G1 Am(z-ai) +G2 Am(z-ai) + G3 Am(z-ai) + G4 Am(z-ai) -
1
[∆qai + ∆q’ai (z - ai )]
k
trong đó G1, G2, G3, G4 là những hằng số tích phân của nghiệm viết theo
dạng mới.
Ta có quan hệ:
A’mz = -4mDmz ;
B’mz = mAmz ;
C’mz = mBmz ;
D’mz = mCmz ;
Khi đối số của các hàm Crưlốp bằng 0 thì ta có:
A0 = 1,
B0 = C0 = D0 = 0
(h)
Giá trị các hàm Crưlốp thường được tính thành bảng trong các sổ tay hoặc
có thể tính trực tiếp bằng máy tính.
Ta sẽ xác định các hằng số tích phân theo các thông số ban đầu:
1
∆v’i = ∆φi = -4mG1Dm(z-ai) + mG2Am(z-ai) + mG3Bm(z-ai) + mG4Cm(z-ai) - ∆q’ai
k
;
∆Mi = -EJx∆v’’i = EJx4m2G1Cm(z-ai) + EJx4m2G2Dm(z-ai) - EJxm2G3Am(z-ai) +
- EJxm2G4Bm(z-ai)
;
∆Qi = -EJx∆vi’’’= EJx4m3G1Bm(z-ai)+EJx4m3G2Cm(z-ai)+EJx4m3G3Dm(z-ai)-EJxm3G4Am(z-ai)
;
Thay z=ai vào các biểu thức trên và chú ý tới (h), ta được:
1
∆vai = G1 - ∆qai
;
k
∆φai = mG2 -
1
∆q’ai
k
;
∆Mai = -EJxm2 G3
;
∆Qai = -EJxm3 G4
;
Trong đó: ∆vai ,∆φai ,∆Mai ,∆Qai là những số gia về độ võng, góc quay,mômen
uốn và lực cắt ở đầu đoạn thứ i. Giải hệ phương trình trên ta rút ra hằng số
tích phân tính theo các số gia:
∆qai
G1 = ∆vai +
k
∆Mai
G3 =
EJxm2
;
∆φai ∆q’ai
G2 =
+
m
k
;
;
∆Qai
G4 =
EJxm3
;
Thay các giá trị này vào biểu thức của ∆vi ta được:






∆qai

∆φai ∆q’ai 
 ∆Mai

∆vi = ∆v +
Am(z-ai) + 
B
m(z-a
)
i



+
2Cm(z-a ) 
a
i
i 
k 
mk 

 m
EJxm
∆Qai
1
D
[∆qai + ∆q’ai(z-ai)]
EJxm3 m(z-ai) k
;


∆Mai
∆Qai
∆q’ai

∆φi = ∆φ +
 Am(z-ai) - EJxm Bm(z-ai) - EJxm2 Cm(z-ai) a
i
k 



∆q’ai
∆qai

- 4m ∆v +
 Dm(z-ai) - k
a
i
k 

∆Qai

1 
∆Mi = ∆Mai Am(z-ai) +
Bm(z-ai) + 2 k∆vai+∆qai Cm(z-ai) +
m
m

1 
 D
k∆φ
+∆q’
3 
a
a

m(z-ai)
i
i
m


1 
1 

∆Qi = ∆Qai Am(z-ai) + k∆vai+∆qai Bm(z-ai) + 2 k∆φai+∆q’ai Cm(z-ai) m
m
- 4m∆Mai Dm(z-ai)
;
;
;
Từ các hàm số gia này và công thức tổng quát của đường đàn hồi :
vi = vi-1 + ∆vi
ta có thể dễ dàng viết được hàm độ võng, góc quay, … của đoạn thứ i cho toàn
bộ dầm
Từ các hàm độ võng, góc quay, lực cắt, … và các thông số ban đầu của
dầm, ta có thể xác định được các thông số ẩn, từ đó ta viết được hàm độ võng,
góc quay, lực cắt, mômen cho toàn bộ dầm.
Sau khi đã biết các hàm độ võng, góc quay,…. ta có thể vẽ được biểu đồ
chuyển vị và nội lực của dầm.
Cũng như trình tự tính dầm thông thường bằng
phương pháp thông số ban đầu, đối với dầm trên
nền đàn hồi, trình tự giải bài toán cũng tương tự:
1. Lập bảng thông số ở đầu dầm và mỗi đoạn, trong
đó có thông số chưa biết (ẩn) và thông số đã biết.
2. Lần lượt viết các hàm độ võng, góc quay, mômen
uốn và lưc cắt từ đoạn 1 đến đọa cuối bằng
phương pháp truy hồi theo các công thức ở trên.
Cần chú ý rằng, tùy theo sự cần thiết đẻ giải các
ẩn, không nhất thiết phải viết tất cả các hàm nói
trên.
3. Xác định các điều kiện để giải ra các thông số ẩn.
Với các thông số đã giải ra, bài toán coi như đã
giải quyết.
Ví dụ: tìm hàm độ võng cho đoạn dầm bên
Với k = 520 daN/cm2
EJx = 1.05 1011 daN/cm2
Giải:
4
m=
k
=1.8758 .10-2 (1/cm)
EJx
Ta có thể tính được 1 số giá trị của hàm Crưlốp ứng với z= 0;100
(SGK trang 203)
1. Lập bảng thông số ban đầu:
z=0
v0 = 0
z = 100
∆v2 = 0
φ0 = 0
∆φ2 = 0
M0 = ?
∆M2 = 100
Q0 = ? ∆Q2 = -100
q0 = 0
∆q2 = 100
2. Viết biểu thức v, M cho 2 đoạn dầm:
Đoạn 1: (0 ≤ z ≤ 100):
M0
Q0
v1 = C D
EJxm2 mz EJxm3 mz
M1 = M0 Amz +
Q0
B
m mz
Đoạn 2 (100 ≤ z ≤ 200):
v 2 = v1 -
100
100
100
Am(z-100) C
D
k
EJxm2 m(z-100) EJxm3 m(z-100)
M2 = M1 + 100Am(z-100) +
100
100
Bm(z-100) - 2 Cm(z-100)
m
m
;
3. Tính các thông số ẩn:
Ta có 2 thông số chưa biết là M0 & Q0 . Các thông số này được xác
định dựa vào 2 điều kiện sau:
vc = 0
&
Mc = 0
Từ 2 điều kiện trên ta xác định được M0 & Q0
 Xác định được hàm độ võng
;