Sürekli Olasılık Dağılımları

• Bir rassal değişkenin sayılamayacak sayıda sınırsız değerler alabiliyorsa bu değişkene aldığı değerler sayılabilir olmayıp, “Sürekli rassal değişken” adı verilmektedir. Sürekli rassal değişkenin gerçek sayılar eksenindeki bütün değerleri alabilir.

• Sürekli rassal bir değişkenin tanım aralığındaki herhangi bir değeri tam olarak alması imkansızdır. Çünkü gerçek sayılar ekseninin her aralığında sonsuz sayıda sayı (nokta) mevcuttur. Sonsuz noktadan birinin çekilmesi olasılığı 1/∞=0 dır. O halde sürekli tesadüfi bir değişkenin her hangi bir değeri tam olarak alma olasılığı sıfır olduğundan, her hangi bir olasılıktan bahsedebilmek için belli bir aralığın olasılığının araştırılması gerekir.

Sürekli Olasılık Dağılımları

• X sürekli rassal değişkenin dağılım fonksiyonu F(x) (kümülatif yoğunluk fonksiyonu) olsun. Bunun türevi olan F’(x)=f(x) ’e olasılık fonksiyonu (olasılık yoğunluk fonksiyonu ) diyebilmek için şu iki şartın birlikte sağlanması gerekir.

• 1)

f

(

x

)  0 • 2)    

f

(

x

)

dx

 1 • 1. şart X’in olasılığının sıfır veya pozitif alacağını • 2. şart ise bütün örnek uzayın olasılığının 1’e eşit olacağını ifade eder.

• Buradan hareketle , a ve b aralığında bulunan X değişkenin olasılığı şöyle tarif edilir.

b P

(

a



X



b

) 

F

(

b

) 

F

(

a

)  

a f

(

x

)

dx

Sürekli Olasılık Dağılımları

Örnek:

Aşağıdaki fonksiyonun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için a) k sabiti ne olmalıdır ?

b) P(1

c) Grafiğini çiziniz.

f

(

x

)    

kx

0 2 x 0   x  0; x 4  4

Çözüm:

a) fonksiyonun olasılık fonksiyonu olabilmesi için şu iki şartı sağlaması gerekli idi 1 )

f

(

x

) 

o

2 )    

f

(

x

)

dx

 1 Şartlardan 1. si için k>0 şartı yeterlidir. 2. Şart için şu işlem yapılarak k bulunur.

    f ( x ) dx  1  4 0  kx 2 dx  1  kx 3 3 4 0  1  64 k 3  1 k  3 64

Sürekli Olasılık Dağılımları

b

)

P

( 1 

x

 3 )  3 1 

f

(

x

)

dx

 3 1  3 64

x

2

dx

 3 64

x

3 3 1 3  3 64 27 3  1 3  3 64

x

26 3  26 64  13 32

olasılık yoğunluk fonksiyonu

0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0

X Olasılık dağılım fonksiyonu

0,6 0,4 0,2 1,2 1 0,8 0 -0 ,8 -0 ,4 0 0, 4 0, 8 1, 2 1, 6 2 2, 4 2, 8 3, 2 3, 6 4 4, 4 4, 8

X

5, 2

Sürekli Olasılık Dağılımları

Örnek:

Aşağıda verilen fonksiyonunun olasılık yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için • a) k ne olmalıdır.

• b) P(X>0,5) i bulunuz.

f

(

x

)    

kx



kx

0 2 x 0  x  0;  x 1  1

Çözüm: a)

   

f

(

x

)

dx

 1  1 0  (

kx



kx

2 )

dx

 1

kx

2 2 -

kx

3 3 1 0 

k

2 

k

3  3

k

 6 2

k



k

6  1 k  6

b)

P(0,5  x  1) = 0 , 1 5  ( 6

x

 6

x

2 )

dx

 6

x

2 2  3 2 0,75  0,25  0,5  6

x

3 3 1 0 , 5  3

x

2  2

x

3 1 0 , 5

Sürekli Olasılık Dağılımları

Örnek:

X tesadüfi değişkenin dağılım fonksiyonu aşağıdaki şekildedir.

F ( x )     1 e -2x 0 x x   0 0 a) Olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulunuz.

b) P(X>2) olasılığını, c) P( 3

Çözüm:

a) b)

f

(

x

)

P

(

X

  2 )

d dx



F

(

x

)    2 2

e

 2

u du

 2

e

 2

x

x   0 x   0 0  

e

 2

u

 2 

e

 4  0 , 018 1 

e

 2  4  1 

e

 8  1  0 , 00034 c) P(-3

Sürekli Düzgün (Uniform) dağılım

• X sürekli değişkeninin tanım aralığındaki olasılıkları eşit ise X in dağılımı uniform dağılım olarak kabul edilir.

• Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir.

f

(

x

)     1    0 x  

x

   • Burada  ve  dağılımın parametreleri olup gerçek sabitlerdir. (  ) • Bu dağılımın dağılım fonksiyonu şöyle yazılır.

F

(

x

) 

P

(

X



x

)     0   1

x

 x      x     

x

 

Sürekli Düzgün (Uniform) dağılım Örnek:

X tesadüfi değişkeni -2

a) P(X<1) olasılığını bulunuz.

b) yi hesaplayınız.

2

Çözüm:

a) P(X  1)   1  2 1 4

dx

 1 4

x

1  2  1 4  2 4  3 4

b

)

P

(

X

 1  1 2 ) 

P

(  2 

x

 0 , 5 ) 

P

( 1 , 5 

x

 2 )  1 

P

( 0 , 5 

x

 1 , 5 )  1  1 , 0 5  , 5 1 4

dx

 1  ( 1 4

x

) 1 , 5 0 , 5  1     4 0 , 5    1  1 4  3 4

0,03 0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0 Düzgün dağılım olasılık fonksiyonu grafikleri

Olasılık Yoğunluk Fonk X

0,6 0,4 0,2 0 1,2 1 0,8

Olasılıkdağılım fonksiyonu X

Düzgün dağılımın beklenen değer ve varyansı

• Düzgün dağılım fonksiyonu:

f

(

x

)   1    

x

  • Düzgün dağılımın beklenen değeri:

E

(

X

)    

x

 1  

dx

 2 ( 

x

2   )     2 ( 2      2 )

E

(

X

)  (    )(  2 (     )  )

E

(

X

)     2 olur .

Düzgün dağılımın varyansı

• Varyans için önce E(X 2 ) hesaplanır.



E

(

X

2 )    

x

2  1  

dx

 3 ( 

x

3   )    3 3 (    3   )

E

(

X

2 )  (    )(  3 (  2     )   2 )

E

(

X

2 )   2     2 3 • Düzgün dağılımın varyansı:

Var

(

X

) 

E

(

X

2 )  [

E

(

X

)] 2

idi Var

(

X

)   2     2 3  [    ] 2 2

Var

(

X

)  (    ) 2 12

•

2. Üstel (Exponential) dağılım

Bu dağılımın olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyledir.

f

(

x

)     1 

e

 (

x

 ) x  0 diger 0 için haller Dağılımın tek parametresi µ olup, dağılımın ortalamasıdır (beklenen değeri). µ>0 olduğundan f(x)>0 olup olasılık fonksiyonunun 1.

şartı yerine gelmiş olur.

2.

Şart için dağılımın tanım aralığında integrali alınır.

    0     0    0   0  1 

e

 (

x

 )

dx

 

e

 (

x

 ) 0   1 Böylece fonksiyonun olasılık fonksiyonu olduğu görülür.

Üstel (Exponential) dağılım

Üstel dağılımın olasılık dağılım fonksiyonu F ( x )    1  e  x  0 x  aksi 0 durum Üstel dağılımın olasılık yoğunluk ve dağılım fonksiyonu grafikleri

Üstel (Exponential) dağılım

• • •

Örnek:

Bir işletmenin üretilmiş olduğu elektronik cihazların arızasız çalışma sürelerinin (saat cinsinden ) ve ortalama üstel dağılıma uyduğu görülmüştür arızasız çalışma süresinin 24 saat olduğu hesaplanmıştır. Buna göre a )Rastgele seçilen bir cihazın en az 12 saat arızasız çalışma olasılığını hesaplayınız b) En fazla 36 olasılığını bulunuz ?

saat arızasız çalışması c) Seçilen cihazın 30 saatten fazla çalışma olasılığı %80 olabilmesi için bu cihazların ortalama arızasız çalışma süresi ne olmalıdır?

Üstel (Exponential) dağılım Çözüm: a)

f

(

x

)  1 24

x e

 24 x  0 P (

X

 12 )   12  1 24

e



x

24

dx

 

e



x

24  12 

e

 12 24 

e

 0 , 5  0 , 6065

b)

P ( 0 

x

 36 )  36 0  1 24

e



x

24

dx

 

e



x

24 0 36  1 

e

 1 , 5  1  0 , 2231  0 , 7769

c)

 30  1 

e

 (

x

 )

dx

 -e    

e

 30  1  

e

 (

x

 )  0,8 e  30   30  0,8  

e

 (

x

 )  0,8  30   ln 0,8  30  0,8 134

saat

Üstel dağılımın beklenen değer ve varyansı

• Üstel dağılım fonksiyonu:

f

(

x

)  1 

e



x



x

 0 • Beklenen değer:

E

(

X

)  0  

x

1 

e



x



dx

 1  0  

xe



x



dx u



x dv



e



x



dx



udv



uv

 

vdu

kismi integrasyo n islemi

E E

( (

X X

) )   1      

x



e elde

 

x

 0 

edilir

.

0   

e



x



dx

    ile

xe



x

  0

du



dx v

  

e



x

  

e



x

  0

Var

(

X

)   olur.

Üstel (Exponential) dağılım

• Problem: Bir otomobil servis istasyonuna gelen otomobillerin servis süresinin üstel olduğu ve en çok 60 dk servis görme olasılığı %40 olduğuna göre; • a) Ortalama servis süresini hesaplayınız

Üstel (Exponential) dağılım

• b) En az 100 dk. süreyle servis görme olasılığını bulunuz.

• c) Servis süresinin en az 20dk. ve ortalamasının 70dk olan uniform dağılıma uyması durumunda en fazla servis süresi ve herhangi bir otomobilin 85 dk. dan fazla servis görme olasılığını bulunuz.