Transcript 中级微观经济学4

消费者选择理论
• 目标：市场需求曲线
• 方法：个人需求曲线加总
– 目标函数－偏好公理（第3章）
– 约束－预算约束线（第4章）
– 最优化－选择理论（第4章）
– 参数变化－个人需求曲线（第5、6章）
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第4讲
效用最大化和选择
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偏好公理
原问题
对偶
Min px x  p y y
Max U  x, y 
s.t. px x  p y y  I
s.t. U  x, y   U
间接效用函数
支出函数
E*  E( px , py ,U )
U*  V ( px , py , I )
希克斯需求
马歇尔需求
X  hx  px , p y ,U 
X  d x  px , p y , I 
斯卢茨基方程
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对于经济学方法的抱怨
• 在现实中没有人进行效用最大化所要求的
“计算”
• 效用最大化模型预言了选择行为的许多方
面
• 因此, 经济学家假设人们的行为是仿佛 他
们在进行这种计算
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对于经济学方法的抱怨
• 关于选择的经济学模型是极端自私的，而
现实中没有人的目标是完全自我为中心的
• 效用最大化模型没有禁止人们从 “做好
事”中获得满足
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最优化原理
• 为了最大化效用, 在给定能够花费的收入
的条件下, 消费者将要购买商品和服务:
– 花光总收入
– 两种商品之间的心理替代率 (MRS) 等于市场
上的替代率
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一个数值例子
• 假设消费者的 MRS = 1
– 愿意用1单位 x 换一单位 y
• 假定价格为 x = ￥2 和 y = ￥1
• 消费者可以变得更好
– 在市场上将1单位x换成2单位y
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预算约束
• 假设消费者可以利用 I 在商品 x 和 y 之
间配置
pxx + pyy  I
y的数量
I
py
如果所有收入花费给 y, 这是所能够
买的数量
消费者仅仅能够承担阴影部分三
角形内的x和y的组合
如果所有收入花费给 x, 这是所能够买的数量
I
px
x的数量
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最大值的一阶条件
• 我们可以利用消费者的效用图来表示效
用最大化的过程
y的数量
消费者可以通过重新配置他的预算做得
好于 A点
A
C
消费者不能获得 C 点，因为收入不够
B
U3
U2
点 B 是效用最大化的所在
U1
x的数量
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最大值的一阶条件
• 在无差异曲线和预算约束线的切点获得了最
大效用
y的数量
预算约束线的斜率  
px
py
无差异曲线的斜率 
B
U2
dy
dx U  constant
px
dy
 MRS
py
dx U  常数
x的数量
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最大值的二阶条件
• 相切仅仅是必要条件，而不是充分条件，除
非我们假设MRS 是递减的
– 如果 MRS 是递减的, 那么无差异曲线是严格凸
的
• 如果 MRS 不是递减的, 那么我们必须检查
二阶条件以保证我们获得的是最大值。
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最大值的二阶条件
• 相切仅仅是一个必要条件
– 我们需要 MRS 是递减的
y的数量
在 A 点相切,但是消费者可以在 B点获得
更高的效用
B
A
U2
U1
x的数量
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角点解
• 在有些情况中, 消费者的偏好可能使得他们
仅仅在选择消费一种商品的时候才能获得最
大效用
y的数量
U1
U2
在 A 点, 无差异曲线和预算约束线
没有相切
U3
在 A 点效用最大化
A
x的数量
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n种商品情况
• 消费者的目标是最大化
效用 = U(x1,x2,…,xn)
服从预算约束
I = p1x1 + p2x2 +…+ pnxn
• 建立拉各朗日函数:
L = U(x1,x2,…,xn) + (I - p1x1 - p2x2 -…- pnxn)
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n种商品情况
• 内点最大值解的一阶条件:
L/x1 = U/x1 - p1 = 0
L/x2 = U/x2 - p2 = 0
•
•
•
L/xn = U/xn - pn = 0
L/ = I - p1x1 - p2x2 - … - pnxn = 0
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一阶条件含义
• 对于任意两种商品,
U / xi
pi

U / x j p j
• 这意味着在收入处于的最优配置的时候
pi
MRS (xi 对 x j ) 
pj
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解释拉各朗日乘子
U / x1 U / x2
U / xn


 ... 
p1
p2
pn

MUx1
p1

MUx2
p2
 ... 
MUxn
pn
•  是消费支出额外增加一元的边际效用
– 收入的边际效用
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解释拉各朗日乘子
• 在边际点, 商品的价格表示了消费者对于
最后一单位商品效用的评价
– 消费者愿意为最后一单位付多少钱
pi 
MUxi

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角点解
• 当考虑角点解的时候, 必须修改一阶条件:
L/xi = U/xi - pi  0 (i = 1,…,n)
• 如果L/xi = U/xi - pi < 0, 那么 xi = 0
• 这意味着
U / xi MUxi
pi 



– 任何其价格超过其对于消费者边际价值的商
品消费者都不会购买
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柯布－道格拉斯需求函数
• 柯布－道格拉斯效用函数:
U(x,y) = xy
• 建立拉各朗日函数:
L = xy + (I - pxx - pyy)
• 一阶条件:
L/x = x-1y - px = 0
L/y = xy-1 - py = 0
L/ = I - pxx - pyy = 0
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柯布－道格拉斯需求函数
• 一阶条件意味着:
y/x = px/py
• 因为  +  = 1:
pyy = (/)pxx = [(1- )/]pxx
• 替换进预算约束:
I = pxx + [(1- )/]pxx = (1/)pxx
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柯布－道格拉斯需求函数
• 解出 x
I
x* 
px
• 解出 y
I
y* 
py
• 消费者配置收入中  的比率给商品x ，
比率给商品 y
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柯布－道格拉斯需求函数
• 柯布－道格拉斯效用函数在对于实际消
费行为的解释力上有局限
– 收入中配置到某种商品上的比率经常随着经
济条件的变化而改变
• 一个更加一般的函数形式可能在解释消
费决策的时候更有用
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CES需求
• 假设  = 0.5
U(x,y) = x0.5 + y0.5
• 建立拉各朗日函数:
L = x0.5 + y0.5 + (I - pxx - pyy)
• 一阶条件:
L/x = 0.5x -0.5 - px = 0
L/y = 0.5y -0.5 - py = 0
L/ = I - pxx - pyy = 0
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CES 需求
• 这意味着
(y/x)0.5 = px/py
• 代换进预算约束, 我们可以解出需求函数
x* 
I
px
px [1  ]
py
y* 
I
py
py [1  ]
px
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CES 需求
• 在这些需求函数中, 花在 x 和 y上的收入
百分比不是一个常数
– 依赖于两种价格的比率
• x (或y)的相对价格越高，花费在 x (或 y)
上的比率越小
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CES 需求
• 如果  = -1,
U(x,y) = -x -1 - y -1
• 一阶条件意味着
y/x = (px/py)0.5
• 需求函数是
x* 
I
  py
px 1  
  px



0.5



y* 
I
 p
py 1   x
  py





0. 5




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CES 需求
• 如果  = -,
U(x,y) = Min(x,4y)
• 人们仅仅选择组合 x = 4y
• 这意味着
I = pxx + pyy = pxx + py(x/4)
I = (px + 0.25py)x
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CES 需求
• 因此, 需求函数是
I
x* 
px  0.25 py
I
y* 
4 p x  py
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间接效用函数
• 经常可以利用一阶条件解出x1,x2,…,xn的
最优值
• 这些最优值依赖于所有商品的价格和收
入
x*1 = x1(p1,p2,…,pn,I)
x*2 = x2(p1,p2,…,pn,I)
•
•
•
x*n = xn(p1,p2,…,pn,I)
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间接效用函数
• 我们可以利用这些x的最优值获得间接效
用函数
效用最大值 = U(x*1,x*2,…,x*n)
• 替换每一个 x*i, 得到
效用最大值 = V(p1,p2,…,pn,I)
• 效用的最优水平间接依赖于价格和收入
– 如果价格或者收入改变, 效用的最大值也随
之改变
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总量原理
• 对于消费者一般购买力上的税收优于对于
某种特定商品的税收
– 收入税允许消费者自由决定如何配置剩下的收
入
– 对于某种商品的税收会减少消费者的购买力，
扰乱消费者的选择
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总量原理
• 对于商品 x 的税收将会把效用最大化的选
择从 A 点移到 B 点
y的数量
B
A
U1
U2
x的数量
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总量原理
• 相同数量的收入税将会把预算约束线移到
I’
y的数量
现在在 C 点获得最大化的效用 U3
I’
A
B
C
U3 U1
U2
x的数量
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间接效用和总量原理
• 如果效用函数是柯布－道格拉斯形式的， 
=  = 0.5, 我们知道
I
x* 
2 px
I
y* 
2 py
• 因此间接效用函数是
V ( px , py , I )  (x*) (y*)
0.5
0.5

I
2px0.5 py0.5
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间接效用和总量原理
• 假设px=1,py=4,I=8
• 如果对于商品 x 每单位征收1元的税
– 消费者购买 x*=2
– 间接效用从 2降到1.41
• 同样的税收将会使得收入减少到￥6
– 间接效用从 2 下降到1.5
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间接效用和总量原理
• 如果效用函数是固定比率的，U = Min(x,4y),
我们得到
I
x* 
px  0.25 py
I
y* 
4 p x  py
• 因此间接效用函数是
I
V ( px , py , I )  Min( x *,4 y *)  x* 
px  0.25 py
4
I
 4y * 

4 px  py px  0.25 py
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间接效用和总量原理
• 如果对于商品 x 每单位征收1元的税
– 间接效用从 4 降为 8/3
• 相同数量的收入税将收入减少到 ￥16/3
– 间接效用从 4降为 8/3
• 因为偏好是刚性的, 对于 x 的税收不会扰乱
选择
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礼品赠送
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支出最小化
• 效用最大化的对偶是支出最小化
– 镜像，即目标和约束互换
– 配置收入使得消费者花费最小的支出获得一定
的效用水平
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支出最小化
• 点 A 是对偶问题的解
y的数量
支出水平 E2 足够达到 U1
支出水平 E3 允许消费者获得 U1 但是不是做到这点
的最小支出
A
支出水平 E1 太小了达不到 U1
U1
x的数量
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支出最小化
• 消费者的问题是选择 x1,x2,…,xn 最小化
总支出 = E = p1x1 + p2x2 +…+ pnxn
服从约束
效用 = U1 = U(x1,x2,…,xn)
• x1,x2,…,xn 的最优数量依赖于商品价格和要
求的效用水平
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支出函数
• 支出函数 刻画了在特定价格下达到给定效
用水平所需要的最小支出
最小支出 = E(p1,p2,…,pn,U)
• 支出函数和间接效用函数互相联系
– 都依赖于市场价格但是涉及不同的约束
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两个支出函数
• 在两种商品、柯布－道格拉斯函数下的间
接效用函数为
V ( p x , py , I ) 
I
2px0.5 py0.5
• 如果我们调换效用和收入 (支出) 的角色,
我们将获得支出函数
E(px,py,U) = 2px0.5py0.5U
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两个支出函数
• 对于固定比率的情况, 间接效用函数是
I
V ( px , py , I ) 
px  0.25 py
• 如果我们再次掉换效用和支出的角色, 我们
将获得支出函数
E(px,py,U) = (px + 0.25py)U
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支出函数的性质
• 齐次性
– 同时扩大所有商品的价格也会同比例扩大支
出
• 一次齐次
• 对于价格非递减
– 对于所有的商品 I ，E/pi  0
• 对于价格是凹的
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支出函数的凹性
在p*1, 消费者花费 E(p*1,…)
E(p1,…)
如果当 p*1 变化后仍然买
相同的商品组合, 消费者的
支出函数是 Epseudo
Epseudo
E(p1,…)
E(p*1,…)
因为消费者的消费模式会
改变, 实际支出会小于
Epseudo ，正如 E(p1,…)
p*1
p1
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支出函数和间接效用函数
•
•
•
•
V(px, py, I0) = U0
E(px, py, U0) = I0
V(px, py, E(px, py, U0) ) = U0
E(px, py, V(px, py, I0) ) = I0
应用
• 支出函数是分析公共政策的重要工具
• 通过支出函数，我们可以货币化替代关
系，从而评价成本和收益
• 这可以规避测量效用
要点回顾:
• 为了获得约束下的最大值，消费者必须:
– 花掉所有可得收入
– 选择商品束使得任意两种商品之间的 MRS
等于两种商品价格之比
• 在所有产生消费的商品上，消费者会使得商品
的边际效用与其价格之比都相等
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要点回顾:
• 相切仅仅是一阶条件
– 消费者的无差异曲线图必须保证 MRS 递
减
– 效用函数必须是严格拟凹的
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要点回顾:
• 必须修改相切条件来包含角点解
– 边际效用与价格之比将会小于所有实际消
费商品的边际收益与边际成本之比
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要点回顾:
• 消费者的最优选择依赖于预算约束线的
参数
– 观察到的选择是价格和收入的隐函数
– 效用也是价格和收入的间接函数
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要点回顾:
• 约束条件下效用最大化问题的对偶问题是
最小化能达到要求的效用值所花费的支出
– 和原问题具有相同的最优解
– 导出了支出函数，其中支出是目标效用和价
格的函数
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