Transcript 怎样搞好数学学习

怎样搞好数学学习
梁开华
数学是高考三大主科之一，且
更费时间精力，师生都很重视
题外话：
胡适送给毕业学生的三件礼物
──问题，信心，兴趣
怎样理解成功
爱迪生说：天才就是1%的灵感，
加上99%的汗水。韩田鹿指出，
人们忽略了爱迪生还有后半句
话：但那1%的灵感恰恰是最重
要的。世界上所有的汗水加起
来还是汗水。
我还得对半句话+半句
话后面再加半句话：也
许那99%的汗水，真能
激发1%的灵感。
正像当下对“梦”加进了新的
含义与内容，使字义更增添了
褒义与活力。人类的文明史，
几乎就是化梦幻为现实的奋斗
史。多少不可能成为实实在在
的真实。
怎样才能学好数学呢？我认为
概略地说起来，就是“四个字，
三句话，两要点，一头脑”。
这四个字是：
“勤、准、熟、细”。
勤
准
熟
细
三句话就是，
“接受信息的效果要
好”，“加工信息的效
果要好”，“巩固信息
的效果要好” 。
所谓两要点，就是
“及时”与“到位”。
要真正做到及时与到位，对意
志对个性都是考验，怕困难，
爱面子，等等，都是障碍。
一头脑，就是
“要有一颗数学头脑”
来看一个具体的例子，感觉体会问
题解决的全过程
题例：对相关学生进行应用数学测
试，问题如下：若干个分组（不妨
理解为无数个）分头制作半径分别
为 a 2  b 2 及 a  b 的空柱形导管，
试问能否总有不同的数据选择，使
导管的形状完全相同（其实即半径
相同）；且证明数据都可以是有理
数，试举出其中二例。
其实题例相当于这样：
a b  ab
2
2
能否有无穷多有理数解，试举出
适合方程的两个解。
解：视a为变量，由
由a
a
2
1
 a  b  b  0,
2
1  4b  4b
不妨设
2
 0,
2
1  4b  4b  m ,
2
b
2

4
则 4b
16 1  m  1
2
2
 4 b  m  1  0,
2

8

1
2m
2
2
 0.
再设
2m  n ,
2
2
简单起见，不妨 a 
1 m
,b 
2
2
1 n
.
2
2
v
对于勾股数u,v,w，显然 u 
 1,
2
2
w
w
所以
 u2  v2 
2  2

2
 w

1
2
2

 2 (u  v )  (u  v )  .

w 
m 
uv
w
,n 
uv
w
,
不妨令
显然有无穷多解。
王明雷网上问：椭圆
x
2
a
2

y
2
b
2
 1( a  b  0)
上一点P与中心O、右焦点F张开
45°角，则椭圆离心率的变化范
围是
。
|OF|与|OA|=|BF|的比，就是
c
离心率 e  a  1. e 越大，
椭圆越扁；其大小取决于
|OB |=b 。P是两曲线的交点。
笔者解：如图1，不妨c=1，则b
越小，e越大；b越大，e越小。
设正方形OFDC与椭圆内切，
|OP|→0或|OF|，e最大，几乎
为圆；显然本题e<1，即没有上
确界。
圆方程为
 2 
1
1



x  y  
2
2


 2 
2
2
2
，即
。
居然与编拟题一致。形成了奇妙关
联。
x  x y  y0
2
2
 x  a cos  ,
设椭圆P参数表示为 
 y  b sin  .
代入圆，得 a cos   b sin 
2
2
2
2
 a cos   b sin  .
由 a 2  b 2  1 ，结合选择解，使b最大
即可。所以，
a cos  
1 m
2
, b sin  
1 n
2
. m  n  2.
2
2
由
2
2
1 m 
1 n 

 
  1,
 2a 
 2b 
(1  m )
b 1
2
2

(1  n )
2
b 11
2
 4.
化简，考虑b最大，得 b 2  1
 1
mn
(6  3 m  n )(2  m  n )
。
代换 n 
4
2m ,
2
得
e
c
a
2

4m
2m
2


6  3m 
2m
2

2m
2m
2

设为函数……
可得 e m in  0.608
如上解之 b 2  1, b 2 , 再开根号，
得 a  1.645, b  1.305 。对照图1，精确状
况是相当令人满意的。
所以， 0.608  e  1 。
左边的数据追求更精确下界表
示，比如带根号的关系式，是
没有意义的。
图2表明相关函数图象e和a的
数据确定情况。纵轴有缩小。
有人说，左边的数据
是 e
5 1
 0.618 ，
2
因为这个值太诱人，是名声贯耳的黄金
分割数。那么，
1
5 1

5 1
2
2

b 

2
2
5 1
 1
2 
5 1
2
。
 a,
看看对应的图3：
黄金分割数明显不是离心率的
最小值吧！
问渠哪得清如许，
只缘源头活水来。
数学学得好的人，
叫做“有数学头脑”。
……
什么叫做有数学头脑呢？简言
之，就是，第一，会使相应问
题数学化；第二，再使之数据
化，然后由对应的模式，通过
已知条件转化为问题解决的具
体过程与步骤，最终简化为最
理想的结论。
特别在高中阶段，就是要解
决好关于函数与方程的思想，
数形集合的思想，分类讨论
的思想以及变形、代换、转
化的思想等等。
让我们像合格公务员那样对
待勤奋吧！让我们像地质工
作者那样对待准确吧！让我
们像军人那样对待扎实吧！
让我们像会计员那样对待细
致吧！
你会知道“问题”概念的价
值，你因之学习过程中特别
是培养加深了对数学学习的
兴趣，你应该对搞好数学学
习抱有信心。
你一定能学好数学！
•谢谢大家！