Lógica Nebulosa
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Transcript Lógica Nebulosa
Operações com Conjuntos Nebulosos
Adriano Cruz ©2002
NCE e IM/UFRJ
[email protected]
Nossa vida é desperdiçada em detalhes.
Simplifique, simplifique.
Henry Thoureau
Sumário
Operações de Zadeh
Normas T
Normas S
Propriedades de Conjuntos Nebulosos
Entropia Nebulosa
@2001 Adriano Cruz
NCE e IM - UFRJ
Operações com Conjuntos
Nebulosos 2
Operacões de Zadeh
Lofty Zadeh definiu funções para as
operações básicas entre conjuntos
nebulosos
Estas operações reduzem-se as
operações booleanas quando
utilizamos conjuntos nitidamente
definidos.
@2001 Adriano Cruz
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 3
Operação de União
União: a função de inclusão mU(x) da
união dos conjuntos A e B (AB) é
definida como
m ( x) max(m A ( x), m B ( x)), x X
max(m A ( x), m B ( x))
@2001 Adriano Cruz
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 4
Operação de Interseção
Interseção: a função de inclusão m(x)
da interseção dos conjuntos A e B
(AB) é definida como
m ( x) min(m A ( x), m B ( x)), x X
min(m A ( x), m B ( x))
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 5
Operação de Complemento
Complemento: a função de inclusão
mC(x) do complemento de um conjunto
A é definida como
m A ( x) 1 m A ( x), x X
m A (x)
@2001 Adriano Cruz
1 m A ( x)
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Nebulosos 6
Por que estes operadores?
Para conjuntos nitidamente definidos as
operações básicas estão bem definidas, mas
para conjuntos nebulosos esta definição é
nebulosa
As operações com conjuntos nebulosos devem
obedecer a um conjunto de regras que as
generalizam e são chamadas de normas T e
normas S
Normas T generalizam a operação de Interseção
e Normas S as de união
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 7
Operação de Interseção
Qualquer função que seja empregada para
representar interseção deve respeitar as
Normas T
Normas T mapeiam [0,1]x[0,1] [0,1] e
devem satisfazer os cinco axiomas
mostrados a seguir
Sejam mA(x), mB(x), mC(x) e mD(x) quatro
funções. Para facilitar vamos representá-las
por a, b, c e d.
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 8
Normas T
T .1 T (0,0) 0
T .2
T .3
T .4
T .5
T (a, b) T (b, a )
T (a,1) a
T [T (a, b), c] T [a, T (b, c)]
T (c, d ) T ( a , b )
se c a e d b
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comutativa
elemento neutro
associativa
monotônica
Operações com Conjuntos
Nebulosos 9
Normas T - comentários
Pode ser provado que a operação de mínimo
é uma norma T
A operação de produto também é uma norma
T
Existem outras operações que satisfazem a
estes axiomas
Pode ser provado que para qualquer norma
T temos
T [ m A ( x), m B ( x)] min(m A ( x), m B ( x)]
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 10
Mínimo, norma T?
T .1 min(0,0) 0
T .2 min(a, b) min(b, a )
T .3 min(a,1) a
T .4 min[min(a, b), c] min[a, min(b, c)]
min(a, b, c)
T .5 min(c, d ) min(a, b)
se c a e d b
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 11
Operação de União
Qualquer função que seja empregada para
representar união deve respeitar as Normas
S
Normas S mapeiam [0,1]x[0,1] [0,1] e
devem satisfazer os cinco axiomas
mostrados a seguir
Sejam mA(x), mB(x), mC(x) e mD(x) quatro
conjuntos nebulosos. Para facilitar vamos
chamá-los de a,b,c e d.
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Normas S
S .1 S (1,1) 1
S .2
S .3
S .4
S .5
S (a, b) T (b, a )
S ( a ,0 ) a
S [ S (a, b), c] S [a, S (b, c)]
S (c, d ) S ( a , b )
se c a e d b
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comutativa
elemento neutro
associativa
monotônica
Operações com Conjuntos
Nebulosos 13
Normas S - comentários
Pode ser provado que a operação de
máximo é uma norma S
Existem outras operações que satisfazem a
estes axiomas
A operação de soma não satisfaz a norma
S.1 e não pode ser usada
Pode ser provado que para qualquer norma
S temos
S[ m A ( x), m B ( x)] max(m A ( x), m B ( x)]
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 14
Máximo, norma S?
S .1 max(1,1) 1
S .2 max(a, b) max(b, a )
S .3 max(a,0) a
S .4 max[max(a, b), c] max[a, max(b, c)]
max(a, b, c)
S .5 max(c, d ) max(a, b)
se c a e d b
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Nebulosos 15
Operação de soma limitada, norma S?
m A B ( a, b) a b a b
S .1 1 1 1 1 1
S .2 a b a b b a b a comutativa
S .3 a 0 a 0 a
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Operação de soma limitada, norma S?
S .4 (a b ab) c (a b ab)c
a (b c bc) a (b c bc)
a b c ab ac bc abc
a b c ab ac bc abc
S .5 Se c a, d b, a, b, c, d 1
a b ab c d cd
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Nebulosos 17
Outros testes
Provar que T(a,b)<= min(a,b)
T .5
T .2
T .5
T .5
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T (a, b) T (a,1) a
T (a, b) T (b, a )
T (b, a ) T (b,1) b
T (a, b) min(a, b)
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 18
Pairs of T-norms and S-norms
T-norm - Drastic Product:
min( x, y ) if max( x, y ) 1
DP( x, y )
0
x, y 1
S-norm - Drastic Sum:
max( x, y ) if min( x, y ) 0
DS ( x, y )
1
x, y 0
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Nebulosos 19
Pairs of T-norms and S-norms
T-norm - Bounded Difference:
BD( x, y) max( 0, x y 1)
S-norm - Drastic Sum:
BS ( x, y) min(1, x y)
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Pairs of T-norms and S-norms
T-norm – Einstein Product:
xy
EP( x, y )
2 [ x y ( xy )]
S-norm - Einstein Sum:
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x y
ES ( x, y )
1 x. y
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Pairs of T-norms and S-norms
T-norm – Algebraic Product:
AP( x, y ) xy
S-norm - Algebraic Sum:
AS ( x, y ) x y xy
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Operações com Conjuntos
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Pairs of T-norms and S-norms
T-norm – Hamacher Product:
xy
HP( x, y )
x y xy
S-norm - Hamacher Sum:
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x y 2 xy
HS ( x, y )
1 xy
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Pairs of T-norms and S-norms
T-norm – Dubois-Prade:
xy
DPrT ( x, y )
max( p, x, y )
Obs. p is a parameter that ranges from 0 to 1.
S-norm – Dubois-Prade:
x y xy min(1 p, x, y)
DPrS ( x, y)
max( p,1 x,1 y)
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 24
Dubois-Prade Operators
When p=1
– Dubois-Prade T-norm becomes the Algebraic
Product (xy)
– Dubois-Prade S-norm becomes the Algebraic
Sum (x+y-xy)
When p=0
– Dubois-Prade T-norm becomes the min(xy)
– Dubois-Prade S-norm becomes the max(xy)
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 25
Pairs of T-norms and S-norms
T-norm – Yager:
YT ( x, y ) 1 min(1, [(1 x) p (1 y ) p ]1 p )
Obs. p is a parameter that ranges from 0 to .
S-norm – Yager:
YT ( x, y ) min(1, [ x p y p ]1 p )
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Yager Operators
When p=1.0
– Yager T-norm becomes the bounded
difference (max(0,x+y-1))
– Yager S-norm becomes the bounded sum
(min(1,x+y))
When p->
– Yager T-norm converges to min(x,y)
– Yager S-norm converges to max(x,y)
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Propriedades de Conjuntos Nebulosos
Comutatividade
A B B A
A B B A
Associatividade A ( B C ) ( A B ) C
A ( B C ) ( A B) C
Distributividade A ( B C ) ( A B ) ( A C )
A ( B C ) ( A B) ( A C )
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Propriedades de Conjuntos Nebulosos
Idempotência
A A A
A A A
Identidade
A A
A
A X X
A X A
De Morgan A B A B
A B A B
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Operações com Conjuntos
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Verificando propriedades
Lembrar que
e
a se a b
min(a, b)
b se b a
ab ab
min(a, b)
2
b se a b
max(a, b)
a se b a
ab a b
max(a, b)
2
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 30
Verificando propriedades
Vamos verificar a propriedade de Absorção
A ( A B) A
max[m A ( x), min(m A ( x), m B ( x)] m A ( x)
ab ab
A B
2
ab ab
ab ab
a
a
2
2
A ( A B)
2
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Operações com Conjuntos
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Verificando propriedades
3a b a b a b a b
2
2
A ( A B)
2
3a b a b a b a b
4
Se a b
3a b (a b) (a b) (a b)
4
A ( A B) a
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 32
Verificando propriedades
3a b a b a b a b
A ( A B)
4
se a b
3a b (a b) (a b) (a b)
4
A ( A B) a
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 33
Leis de Aristóteles
Lei da não contradição: Estabelece que
um elemento ou pertence a um
conjunto ou ao seu complemento.
Como a interseção entre um conjunto e
seu complemento pode não ser vazia
temos o seguinte resultado
A A
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Nebulosos 34
Leis de Aristóteles
Lei da exclusão do meio: Estabelece
que a união de um conjunto ao seu
complemento fornece o conjunto
Universo
O resultado pode não ser o universo
domínio
A A X
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 35
Interseção entre conjuntos
Não adultos
adultos
adulto não adulto
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Operações com Conjuntos
Nebulosos 36
Entropia Nebulosa
A entropia de um conjunto é definida pela
fórmula
c( A A)
E ( A)
c( A A)
c refere-se a uma contagem (adição ou
integração) sobre o suporte do conjunto.
Observar que para um conjunto nítido o
numerador é sempre 0 e a entropia de um
conjunto nítido é sempre igual a 0.
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Nebulosos 37
Entropia Nebulosa
A entropia dos conjunto dos adultos é igual a
c( A A) 5
c( A A) 20 20 5 35
5
E ( A)
0.14
35
Não adultos
adultos
1
adulto não adulto
10
@2001 Adriano Cruz
20
30
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