Transcript Ligne d`influence de T

LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
1 DEFINITION
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
1 DEFINITION
 Ligne de d’incluence de la réaction d’appui V0
Pente -1/L

1
P=1
L- 

G0
G1
V0
M / B  0  V0 L  PL     0
 V0  1 

L
G0
G1
Ligne d’influence de V0
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
1 DEFINITION
 Ligne de d’incluence de la réaction d’appui V1
Pente 1/L

1
P=1
L- 

G0
G1
V1
M / A  0  V1L  P  0
 V1 

L
G0
G1
Ligne d’influence de V1
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
1 DEFINITION
 Ligne de d’incluence de l’effort tranchant dans une section  d’abscisse x
Ligne d’influence de T



P=1
Pentes -1/L
T,max  1  x / L
L- 

+
G0
V0
x
G1
G0
T,min   x / L
V1
Cas  < x (charge à gauche de )
Coupure par les efforts de droite :
Cas  < x (charge à droite de )
Coupure par les efforts de gauche :
G1
 T ( )  V1  
 T ( )  V0  1 

L

L
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
1 DEFINITION
 Ligne de d’incluence du moment fléchissant dans une section  d’abscisse x
Ligne d’influence de M


P=1
x- 

G0
V0

Pente 1-x/L
Pente -x/L
L-x
+
x
G1
V1
Cas  < x (charge à gauche de )
Coupure par les efforts de droite :
Cas  < x (charge à droite de )
Coupure par les efforts de gauche :
G0
 x G
M ,max  x1   1
 L
 x
 M  ( )  V1 L  x    1  
 L
 
 M  ( )  V0 x  1   x
 L
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
2 APPLICATIONS
 Utilisation pour calculer l’effet de plusieurs charges ponctuelles

Pi
Effet dans une section  de charges P1, Pi,
Pn
1 P1 
Pn placées en 1, i, n

i
n
T   Pi .T ( i )
G1
G0
T (1 )
T (i )
T,max  1  x / L
T ( n )
i
M    Pi .M  ( i )
i
+
Ligne d’influence de T
G0
M  (1 )
T,min   x / L
M  (i )
 x
M ,max  x1  
 L
G1
M  ( n )
+
G0
Ligne d’influence de M
G1
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
2 APPLICATIONS
 Utilisation pour calculer l’effet d’une charge répartie quelconque

p ( )
Effet dans une section  d’une charge
0
répartie quelconque p() entre les

1
abscisses 0 et 1
G1
G0
T ( 0 )
T ( )
T,max  1  x / L
T (1 )
+
G0
M  (0 )
T,min   x / L
M  ( )
 x
M ,max  x1  
 L
G1
M  (1 )
+
T 
1
 p( ).T ( )d

0
Si p est constant, T correspond à p x l’aire
délimitée par la courbe T () entre 0 et 1
M 
1
 p( ).M

( )d
0
Si p est constant, M correspond à p x l’aire
délimitée par la courbe M () 0 et 1
G0
G1
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE
 Définition
Un convoi est un ensemble de charges Pi
dont les distances entre elles restent fixes
(exemples : camions, trains).
Le convoi peut être caractérisé par sa
résultante
   Pi

P1
Pi
d1
di
dn
Pn
La position de chaque charge Pi peut être
caractérisée par sa distance di à la
résultante 
 Objectif
L’objectif est de déterminer la position du convoi qui donne le moment
fléchissant maximal dans la poutre sur 2 appuis simples que parcourt le convoi
et la valeur de ce moment maximal.
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE


 Démonstration
On note δ la distance de la
résultante à l’axe la poutre.
P1
On calcule la réaction d’appui à
gauche en écrivant l’équilibre en
G1 :
L

V0     
L2

G0
Pi
d1
L / 2    di
V0 
di

M   V0 L / 2    di    Pg (d g  di ) 
M
Pn
L / 2 
G1
L

  
L2

On calcule le moment dans la section  au droit de la charge Pi
Pg
dn

L / 2   L / 2    di    Pg (d g  di )
L
Pg
Moment des provoqué par les
charges à gauche de Pi =
Constante
pour une position du convoi telle que :
dM 
0
d
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE


 Démonstration
M
P1
pour une position du convoi telle que :
dM 
 0  2  d i  0
d
di
dM 
0 
d
2
Le moment est maximum en
 lorsque la charge Pi et la
résultante  sont placées de
manière symétrique par
rapport à l’axe de la poutre.
G0
Pi
di  2

L / 2    di
V0 
dn
Pn
L / 2 
L

  
L2


M   L / 2   L / 2    di    Pg (d g  di )
L
Pg
Alors, le moment maxi vaut :
2
M max
G1

L  d i 
2
 L / 2  d i / 2   Pg (d g  d i ) 
1     Pg (d g  d i )
L
4 
L
Pg
Pg
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE
 Exemples de convois (EC1-3)
Convois routiers
Convoi ferroviaire UIC 71
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3 EFFET D’UN CONVOI – THEOREME DE BARRE
 Exemples de convois (BS)A
1.0m
1.0m
Position
of HB
Load to
produce
Maximum
Moment
1.0m
A
1.5m
1.8m
Maximum
moment
occurrs here
1.5m
3.0m 1.8m
cL of HB
cL of bridge
1.0m 1.0m 1.0m
Section A-A
cL of bridge
Depends on
judgement of
designer.
~400mm
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
4 COURBES ENVELOPPES
 Définition
La courbe enveloppe de l’effet F est la courbe des effets maximaux dans
l’ensemble des sections  de la poutre lorsque la charge P=1 mobile évolue sur
la poutre (ie c’est la courbe des maximums des lignes d’influence).
 Courbe enveloppe du moment fléchissant dû a une charge ponctuelle

Pente 1-x/L
M env,max
Pente -x/L
+
+
G0
 x
M ,max  x1  
 L
Ligne d’influence de M
L

4
G1
G0
G1
Enveloppe des moments fléchissants
 x
M

x
1  
Dans une section  d’abscisse x, le moment maximum en  vaut : ,max
 L
La courbe enveloppe du moment fléchissant provoqué par P=1 est donc une
 x
parabole d’équation : M env  x1  L  . Le maximum de la courbe enveloppe


donne le moment maximum absolu dans la poutre.
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
4 COURBES ENVELOPPES
 Courbe enveloppe de l’effort tranchant dû à une charge ponctuelle
Enveloppe des efforts tranchants positifs
Pentes -1/L

1
Tenv  1 x / L
T,max  1  x / L
+
+
G0
G1
T,min   x / L
G0
G1
Enveloppe des efforts tranchants négatifs
Ligne d’influence de T
G0

env
T
 x / L
G1
-1
2 courbes enveloppes :

-Courbe enveloppe des efforts tranchants positifs : Tenv  1 x / L

Tmax
1

- Courbe enveloppe des efforts tranchants négatifs Tenv
 x / L

Tmax
 1
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
4 COURBES ENVELOPPES
 Courbes enveloppes provoquées par un convoi (allures)

env
T
+
+
G0
G0
M env
G1

Tenv
G1
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
4 COURBES ENVELOPPES
 Courbe enveloppe du moment fléchissant dû à une charge répartie d’étendue
quelconque
Problématique : on considère une charge répartie d’intensité p appliquée entre les
abscisses variables 1 et 2.
Question : quelle étendue donner à la charge (ie valeurs 1 et 2) pour qu’on
obtienne les efforts tranchants et moments fléchissants maxi dans une section 
puis dans la poutre ?
1

p
Constat : la ligne d’influence M est
toujours positive. Cela signifie qu’on aura
le moment maxi en  lorsqu’on charge
toute la poutre et
2
L
G0
G1
 x
M ,max  x1  
 L
M  (1 )
0
M  ( n )
p  x
p
x1   L  xL  x 
2  L
2
La courbe enveloppe du moment est la
p
parabole d’équation y  x( L  x)
2
+
G0
M ,max  p  M  ( )d 
provoquée par un chargement sur toute la
poutree.
G1
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
4 COURBES ENVELOPPES
 Courbe enveloppe de l’effort tranchant T+ dû à une charge répartie d’étendue
quelconque
1

p
2
G0
T,max  1  x / L
T (1 )
G1
T ( 2 )
+

 , max
T
G0

env , max
T
T,min   x / L
pL

2
G0
p
L  x 2
2L
L
 p  T ( )d 
x
p x
p
L  x 2
1  L  x  
2  L
2L
G1
La courbe enveloppe du moment est la
parabole d’équation : T   p ( L  x) 2
env
2L
+

Tenv

Constat : la ligne d’influence T est
positive si on applique une charge à droite
de . Cela signifie qu’on aura l’effort T+
maxi en  lorsqu’on charge toute la poutre
à droite de  et
G1
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
4 COURBES ENVELOPPES
 Courbe enveloppe de l’effort tranchant T- dû à une charge répartie d’étendue
quelconque
1

p
2
G0
T (1 )
T,max  1  x / L
G1
Constat : la ligne d’influence T est
négative si on applique une charge à
gauche de . Cela signifie qu’on aura
l’effort T- maxi en  lorsqu’on charge
toute la poutre à gauche de  et
T ( 2 )
+

 , max
T
G0
 p  T ( )d 
0
T,min   x / L

Tenv

x
p x
p 2
x
  x  
2  L
2L
G1
La courbe enveloppe du moment est la
p 2

parabole d’équation :
Tenv

x
2L
p 2
x
2L

Tenv
, max  
G0
G1
pL
2
LIGNE D’INFLUENCE DES POUTRES ISOSTATIQUES
4 COURBES ENVELOPPES
 Courbes enveloppes de l’effort tranchant dû à une charge répartie d’étendue
pL
quelconque

Tenv, max 
2

Tenv

+
p
L  x 2
2L
-
G0

Tenv

p 2
x
2L
G1

Tenv
, max  
pL
2
On remarquera que, contrairement au moment fléhissant, on n’obtient pas les effets
maximaux de T en chargeant la poutre sur toute la longueur, mais en la chargeant en
partie (à droite ou à gauche).
En particulier, au milieu de la poutre :
pL
 L
Tenv


 
obtenu par le chargement de la moitié gauche
8
2
pL
 L
Tenv

 
2 8
obtenu par le chargement de la moitié droite
L
2
Alors que si l’on charge toute la poutre, T    0