Transcript Bab2 Rangkaian Logika Kombinasi

Logic and Computer Design Fundamental
Chapter 2
Rangkaian Logika Kombinasi
Bagian 1 : Rangkaian Gerbang dan
Persamaan Boolean
M. Mano & Charles R. Kime
2008, Pearson Education, Inc
1
Overview
 Bagian 1 – Rangkaian Gerbang dan Persamaan
Boolean.
• Logika Biner dan Gerbang
• Aljabar Boolean
• Standard Forms
 Bagian 2 – Optimasi Rangkaian
•
•
•
•
Optimasi 2 – level
Manipulasi Peta
Optimasi Praktis (Espresso)
Optimasi Rangkaian Multi-Level
 Bagian 3 – Gerbang2 tambahan dan rangkaian
• Tipe2 gerbang yang lain
• Operator Exclusive-OR dan Gerbang
• Outputs High-Impedance
Chapter 2 - Part 1
2
Logika Biner dan Gerbang
 Variabel Biner : salah satu dari 2 nilai
 Operator Logika : Beroperasi pada nilai biner dan variabel
biner.
 Dasar operator logika adalah merupakan fungsi logika
AND, OR and NOT.
 Gerbang Logika mengimplementasikan fungsi logika
 Aljabar Boolean : Suatu sistem matematika yang sangat
berguna untuk menspesifikasikan dan mentransformasikan
fungsi
 Aljabar Boolean dipakai sebagai dasar untuk mendesain
dan menganalisa sistem digital.
Chapter 2 - Part 1
3
Variabel Biner.
 Dua nilai biner disebut dengan beberapa nama
berbeda:
• True/False
• On/Off
• Yes/No
• 1/0
 Digunakan 1 dan 0 untuk menyatakan 2 nilai.
 ContohVariable identifier :
• A, B, y, z, or X1
• RESET, START_IT, atau ADD1 (y.a.d)
Chapter 2 - Part 1
4
Operasi Logikal
 Tiga dasar operasi logikal adalah:
• AND
• OR
• NOT
 AND dinyatakan dengan titik (·).
 OR dinyatakan dengan tambah (+).
 NOT dinyatakan dengan overbar ( ¯ ),
single quote mark (') sesudah, atau (~)
sebelum variabel.
Chapter 2 - Part 1
5
Contoh:
 Contoh:
• Y = A  B dibaca “Y adalah : A AND B.”
• z = x + y dibaca “z adalah : x OR y.”
• X = A dibaca “X adalah : NOT A.”
 Catatan: Pernyataan:
1 + 1 = 2 (dibaca “one plus one equals two”)
tidak sama dengan :
1 + 1 = 1 (read “1 or 1 equals 1”).
Chapter 2 - Part 1
6
Definisi Operator
 Operasi penerapan untuk nilai
"0" and "1" untuk masing2 operator :
AND
0·0=0
0·1=0
1·0=0
1·1=1
OR
NOT
0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=1
0=1
1=0
Chapter 2 - Part 1
7
Truth Tables/Tabel Kebenaran
 Truth table - Suatu daftar tabular dari nilai suatu
fungsi untuk semua kemungkinan kombinasi.
 Contoh: Truth tables untuk operasi dasar :
X
0
0
1
1
AND
Y Z = X·Y
0
0
1
0
0
0
1
1
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
OR
Z = X+Y
0
1
1
1
NOT
X
0
1
Z=X
1
0
Chapter 2 - Part 1
8
Implementasi Fungsi Logika.
 MenggunakanSwitch
Switches in parallel => OR
• Untuk inputs:
 logic 1 is switch closed
 logic 0 is switch open
• Untuk outputs:
 logic 1 is light on
 logic 0 is light off.
Switches in series => AND
• NOT menggunakan switch
Normally-closed switch => NOT
seperti:
 logic 1 is switch open
 logic 0 is switch closed
C
Chapter 2 - Part 1
9
Implementasi Fungsi Logika. (Continued)
 Contoh: Logic Using Switches
B
C
A
D
 Lampu nyala (L = 1) untuk:
L(A, B, C, D) = L (A, B, C, D) = A ((B C') + D) =
A B C' + A D
Dan bila tidak, mati (L = 0).
 Model yang berguna untuk rangk relay dan
untuk rangk gerbang CMOS , merupakan
dasar dari teknologi logika digital saatChapter
ini. 2 - Part 1
10
Gerbang Logika(Logic Gates)
 Pada awal komputer, switches terbuka dan tertutup
menggunakan medan magnit yang dihasilkan oleh
energi dari koil pada relays. Switches secara bergantian
membuka dan menutup jalan arus.
 Kemudian, vacuum tubes membuka dan menutup jalan
arus secara elektronik, menggantikan relays.
 Saat ini, transistors dipakai sebagai electronic switches
yang membuka dan menutup jalannya arus.
 Optional: Chapter 6 – Part 1: The Design Space
Chapter 2 - Part 1
11
Simbol Gerbang Logika dan
perilakunya.
 Gerbang Logika mempunyai simbol khusus,
X
Z5
= X ·Y
Y
X
Z 5= X 1+ Y
Y
X
NOT gate or
inverter
OR gate
AND gate
Z5
= X
(a) Graphic symbols
 And waveform behavior in time as follows:
X
0
0
1
1
Y
0
1
0
1
X ·Y
0
0
0
1
(OR)
X1 Y
0
1
1
1
(NOT)
X
1
1
0
0
(AND)
(b) Timing diagram
Chapter 2 - Part 1
12
Delay pada Gerbang .
 Secara aktual, physical gates, bila satu atau
lebih input berubah menyebabkan output
berubah, perubahan tersebut tidak terjadi
secara instan.
 Delay antara perubahan input dan perubahan
hasil output adalah gate delay dinyatakan : tG
1
Input
0
1
Output
0
0
tG
tG
0.5
1
tG = 0.3 ns
1.5
Time (ns)
Chapter 2 - Part 1
13
Diagram Logika dan Ekspresi-nya.
Tabel Kebenaran
XYZ
000
001
010
011
100
101
110
111
F = X + Y Z
0
1
0
X
0
1
Y
1
1
Z
1
Persamaan:
F = X +Y Z
Diagram Logika
F
 Persamaan Boolean, tabel kebenaran dan Diagram Logika
mentayakan Fungsi yang sama!
 Tabel Kebenaran adalah unik; ekspresi dan diagram logika
tidak. Ini memberikan fleksibilitas dalam implementasi
fungsi.
Chapter 2 - Part 1
14
Evaluasi Fungsi Boolean
F1 = xy z
F2 = x + yz
F3 = x y z + x y z + x y
F4 = x y + x z
x y z
F1
F2
0 0 0
0
0
0 0 1
0
1
0 1 0
0
0
0 1 1
0
0
1 0 0
0
1
1 0 1
0
1
1 1 0
1
1
1 1 1
0
1
F3
F4
Chapter 2 - Part 1
15
Aljabar Boolean
 Struktur Aljabar didefinisikan pada satu set atau minimum 2
elemen, A, B, dengan tiga operator biner (denoted +, · and
yang dirumuskan secara mendasar sbb:
1.
3.
5.
7.
9.
X+0= X
X+1 =1
X+X =X
X+X =1
X=X
10. X + Y = Y + X
12. (X + Y) + Z = X + (Y + Z)
14. X(Y + Z) = XY + XZ
16. X + Y = X . Y
2.
4.
6.
8.
X .1 =X
.
X 0 =0
X .X = X
)
1-4 :Existence of 0 and 1
5-6 :Idempotence
X . X = 0 7-8 :Existence of complement
9 :Involution
11. XY = YX
Commutative
Associative
13. (XY) Z = X(YZ)
15. X + YZ = (X + Y) (X + Z) Distributive
De Morgan’s
17. X . Y = X + Y
Chapter 2 - Part 1
16
Beberapa properti dari identitas dan Aljabar.
 “Dual” dari ekspresi suatu ekspresi aljabar didapat
dengan menggantikan + and · dan menggantikan 0’s dan
1’s.
 Unless it happens to be self-dual, the dual of an
expression does not equal the expression itself.
 Example: F = (A + C) · B + 0
dual F = (A · C + B) · 1 = A · C + B
 Example: G = X · Y + (W + Z)
dual G =
 Example: H = A · B + A · C + B · C
dual H = (A + B)(A + C)(B + C). Using the Boolean
identities,
= (A +BC) (B+C) = AB + AC + BC. So H is self-dual.
Chapter 2 - Part 1
17
Beberapa properti dari identitas dan Aljabar.
(Continued)

Kemungkinan dapat lebih dari 2 elemen in B,
yaitu elemen selain1 and 0. Umumnya disebut
apa Aljabar Boolean dengan lebih dari 2
elemen?
Algebra of Sets
Algebra of n-bit binary vectors

Bila B terdiri hanya 1 dan 0, maka B disebut
switching algebra yang merupakan aljabar
yang sering digunakan.
Chapter 2 - Part 1
18
Operator Boolean
 Urutan Evaluasi pada Ekspresi Boolean
adalah :
1. Parentheses/kurung
2. NOT
3. AND
4. OR
 Akibatnya: Kurung muncul sekitar
ekspresi OR
 Contoh : F = A(B + C)(C + D)
Chapter 2 - Part 1
19
Contoh 1: Pembuktian Aljabar Boolean
 A + A·B = A
Proof Steps
A + A·B
= A·1+A·B
= A · ( 1 + B)
= A·1
= A
(Absorption Theorem)
Justification (identity or theorem)
X=X·1
X · Y + X · Z = X ·(Y + Z)(Distributive Law)
1+X=1
X·1=X
 Alasan melakukan pembuktian untuk mempelajari:
• Ber-hati2 dan secara efisien menggunakan rumus dan teorema
Aljabar Boolean.
• Bagaimana memilih identitas dan teorema yang cocok untuk
diterapkan, untuk melanjutkan penyelesaian berikutnya.
Chapter 2 - Part 1
20
Contoh 2: Pembuktian Aljabar Boolean
 AB + AC + BC = AB + AC (Consensus Theorem)
Proof Steps
Justification (identity or theorem)
AB + AC + BC
= AB + AC + 1 · BC
?
= AB +AC + (A + A) · BC
?
= (lanjutkan!)
Chapter 2 - Part 1
21
Contoh 3: Pembuktian Aljabar Boolean
 ( X + Y ) Z + X Y = Y( X + Z )
Proof Steps
Justification (identity or theorem)
( X + Y )Z + X Y
= (lanjutkan!)
Chapter 2 - Part 1
22
Teorema yang berguna.





xy + xy = y
(x + y )(x + y )= y
Minimization
x + xy = x
x  (x + y ) = x
Absorption
x + x  y = x + y x  (x + y )= x  y
xy + xz + yz = xy + xz
Simplification
Consensus
(x + y ) (x + z ) (y + z ) = (x + y ) (x + z )
x + y = xy
xy = x + y
DeMorgan' s Laws
Chapter 2 - Part 1
23
Pembuktian dengan penyederhanaan.
xy +xy = y
(x + y )(x + y ) = y
Chapter 2 - Part 1
24
Proof of DeMorgan’s Laws
x + y = xy
xy = x + y
Chapter 2 - Part 1
25
Evaluasi Fungsi Boolean
F1 = xy z
F2 = x + yz
F3 = x y z + x y z + x y
F4 = x y + x z
x y z
F1
F2
0 0 0
0
0
0 0 1
0
1
0 1 0
0
0
0 1 1
0
0
1 0 0
0
1
1 0 1
0
1
1 1 0
1
1
1 1 1
0
1
F3
F4
Chapter 2 - Part 1
26
Penyederhanan Ekspresi
 Suatu Penerapan Aljabar Boolean
 Sederhanakan agar didapat jumlah
literal terkecil. (variabel complemen dan
tidak complemen):
A B + ACD + A BD + AC D + A BCD
= AB + ABCD + A C D + A C D + A B D
= AB + AB(CD) + A C (D + D) + A B D
= AB + A C + A B D = B(A + AD) +AC
= B (A + D) + A C 5 literals
Chapter 2 - Part 1
27
Fungsi Complemen
 Gunakan Teorema DeMorgan's untuk
mengkomplemen-kan fungsi:
1. Saling ditukar operators AND dan OR
2. Komplemen-kan masing2 nilai konstan
dan literal.
 Contoh:Komplemen-kan F = xy z + x y z
F = (x + y + z)(x + y + z)
 Contoh:Komplemen-kan G = (a + bc)d + e
G = ((a (b' + c'))+ d ) e' = (a (b' + c') + d) e'
Chapter 2 - Part 1
28
Overview
Bentuk Fungsi Kanonik
 Apa itu Bentuk Kanonik?
 Minterms and Maxterms
 Index Merepresentasikan Minterms dan
Maxterms
 Representasi Sum-of-Minterm (SOM)
 Representasi Product-of-Maxterm (POM)
 Representasi Fungsi Komplemen
 Konversi antar Representasi
Chapter 2 - Part 1
29
Bentuk Kanonik
 Sangat berguna untuk menspecify Fungsi
Boolean dalam bentuk seperti:
• Allows comparison for equality.
• Has a correspondence to the truth tables
 Bentuk Kanonik yang umum digunakan :
• Sum of Minterms (SOM) = Sum of Product
(SOP)
• Product of Maxterms (POM)= Product of Sum
(POS)
Chapter 2 - Part 1
30
Minterms
 Minterms adalah AND terms dengan adanya
setiap variabel baik itu ‘true’ atau bentuk
komplemen form.
 Diketahui masing2 variabel biner adalah normal
(e.g., x) atau komplemen (e.g.,x), maka ada 2n
minterms untuk n variable.
 Contoh: Dua variable (X and Y) akan didapat
 2 x 2 = 4 kombinasi:
XY
XY
XY
XY
(both normal)
(X normal, Y complemented)
(X complemented, Y normal)
(both complemented)
 Berarti ada empat minterms dari dua variabel.
Chapter 2 - Part 1
31
Maxterms
 Maxterms adalah OR terms dengan setiap
variable ‘true’ atau bentuk complemen .
 Diketahui masing2 variabel biner adalah
normal (e.g., x) atau komplemen (e.g., x), maka
ada 2n maxterms untuk n variable.
 Contoh: Dua variable (X and Y) menghasilkan
2 x 2 = 4 kombinasi:
X + Y (both normal)
X + Y (x normal, y complemented)
X + Y (x complemented, y normal)
X + Y (both complemented)
Chapter 2 - Part 1
32
Maxterms and Minterms
 Contoh: Dua variable minterms dan
maxterms.
Index
Minterm
Maxterm
0
xy
x+y
1
xy
x+y
2
xy
x+y
3
xy
x+y
 Indeks diatas sangat penting untuk
menentukan variabel yang mana dalam terms
tersebut ‘true’ dan yang mana komplemen.
Chapter 2 - Part 1
33
Urutan Standard.
 Minterms dan maxterms didisain dengan subscript
 Subscript adalah angka , tergantung pada binary pattern-nya
 Bit pada pattern menyatakan komplemen atau kondisi
normal untuk masing2 variable yang ditulis dalam urutan
standard.
 Semua variabel akan ada dalam minterm atau maxterm dan
akan ditulis dalam urutan yang sama (umumnya
alphabetically)
 Contoh: Untuk variable a, b, c:
• Maxterms: (a + b + c), (a + b + c)
• Terms: (b + a + c), a c b, dan (c + b + a) TIDAK dalam
urutan standard.
• Minterms: a b c, a b c, a b c
• Terms: (a + c), b c, and (a + b) tidak terdiri dari semua
variables
Chapter 2 - Part 1
34
Tujuan dari Index
 Index untuk minterm atau maxterm,
menyatakan sebagai bil biner, yang dipakai
untuk menentukan apakah variable yang ada
bentuk ‘true’ atau bentuk komplemen.
 Untuk Minterms:
• “1” berarti var ini “Bukan komplemen” dan
• “0” berarti var ini “Komplemen”.
 Untuk Maxterms:
• “0” berarti var ini “Bukan komplemen” dan
• “1” berarti var ini “Komplemen”.
Chapter 2 - Part 1
35
Contoh Index untuk Tiga Variabel




Contoh: (Untuk tiga variabel)
Misalkan Variabel tersebut adalah : X, Y, and Z.
Urutan standard-nya adalah : X, then Y, then Z.
Index 0 (basis 10) = 000 (basis 2) untuk tiga
variables). Ketiga var tersebut adalah komplemen
utk minterm 0 ( X , Y, Z ) dan tidak ada var yang
komplemen untuk Maxterm 0 (X,Y,Z).
•
•
•
•
Minterm 0, disebut m0 = X Y Z .
Maxterm 0, disebut M0 = (X + Y + Z).
Minterm 6 ?
Maxterm 6 ?
Chapter 2 - Part 1
36
Contoh Indeks– Empat Variable.
Index
i
0
1
3
5
7
10
13
15
Binary Minterm
Pattern mi
0000
abcd
0001
abcd
0011
?
0101
abcd
0111
?
1010
abcd
1101
abcd
1111
abcd
Maxterm
Mi
a+b+c+d
?
a+b+c+d
a+b+c+d
a+b+c+d
a+b+c+d
?
a+b+c+d
Chapter 2 - Part 1
37
Hubungan Minterm and Maxterm
 Mengulangi: DeMorgan's Theorem
x · y = x + y and x + y = x  y
 Contoh Dua Variabel:
M 2 = x + y dan m 2 = x·y
Jadi M2 adalah komplemen dari m2 dan
sebaliknya.
 Bila DeMorgan's Theorem terdiri dari n variabel,
maka term diatas juga terdiri dari n variabel.
 Bila :
Mi = mi
dan
mi = M i
Maka Mi adalah komplemen dari mi.
Chapter 2 - Part 1
38
Tabel Fungsi ke-dua2-nya.
 Minterms dari
2 variabel
xy
00
01
10
11
m0
1
0
0
0
m1 m2 m3
0
0 0
1
0 0
0
1 0
0
0 1
Maxterms dari
2 variabel
x y M0
00 0
01 1
10 1
11 1
M1
1
0
1
1
M2
1
1
0
1
M3
1
1
1
0
 Masing2 kolom pada tabel fungsi maxterm adalah
komplemen dari kolom tabel fungsi minterm,
maka Mi adalah komplemen dari mi.
Chapter 2 - Part 1
39
Observasi
 Pada Tabel fungsi:
• Masing2 minterm mempunyai satu dan hanya satu, 1 berada
pada 2n terms ( minimum dari 1s). Selain itu adalah 0.
• Masing2 maxterm mempunyai satu dan hanya satu, 0 berada
pada 2n terms ( maximum of 0s). Selain itu adalah 1.
 Kita dapat mengimplementasikan dengan "ORing"
minterms dengan memasukkan "1" kedalam tabel
fungsi. Ini disebut Fungsi dari minterm.
 Kita dapat mengimplementasikan dengan "ANDing"
maxterms dengan memasukkan "0" kedalam tabel
fungsi. Ini disebut Fungsi dari maxterm.
 Jadi ada dua bentuk kanonik:
• Sum of Minterms (SOM) – Jumlah sukumin
• Product of Maxterms (POM) – Hasil kali sukumax
untuk menyatakan Fungsi Boolean.
Chapter 2 - Part 1
40
Contoh Fungsi Minterm
 Example: Find F1 = m1 + m4 + m7
 F1 = x y z + x y z + x y z
x y z index m1 + m4 + m7 = F1
000
0
0
+
0
+
0
=0
001
1
1
+
0
+
0
=1
010
2
0
+
0
+
0
=0
011
3
0
+
0
+
0
=0
100
4
0
+
1
+
0
=1
101
5
0
+
0
+
0
=0
110
6
0
+
0
+
0
=0
111
7
0
+
0
+
1
=1
Chapter 2 - Part 1
41
Contoh Fungsi Minterm
 F(A, B, C, D, E) = m2 + m9 + m17 + m23
 F(A, B, C, D, E) = A’B’C’DE’ +
A’BC’D’E + AB’C’D’E + AB’CDE
Chapter 2 - Part 1
42
Contoh Fungsi Maxterm
 Contoh: Implementasikan F1 dalam maxterms:
F1 =
M0 · M2 · M3 · M5 · M6
F1 = (x + y + z) ·(x + y + z)·(x + y + z )
·(x + y + z )·(x + y + z)
xyz
000
001
010
011
100
101
110
111
i
0
1
2
3
4
5
6
7
M0  M2  M 3  M5  M6
0  1  1  1  1
1  1  1  1  1
1  0  1  1  1
1  1  0  1  1
1  1  1  1  1
1  1  1  0  1
1  1  1  1  0
1  1  1  1  1
= F1
=0
=1
=0
=0
=1
=0
=0
=1
Chapter 2 - Part 1
43
Contoh Fungsi Maxterm
 F( A, B, C, D) = M 3  M8  M11  M14
 F(A, B,C,D) = (A + B + C’ + D’) (A’ + B + C + D)
(A’ + B + C’ + D’) (A’ + B’ + C’ + D)
Chapter 2 - Part 1
44
Kanonikal Jumlah dari Minterms
 Setiap fungsi Boolean dapat dinyatakan dalam
: Sum of Minterms.
• For the function table, the minterms used are the
terms corresponding to the 1's
• For expressions, expand all terms first to explicitly
list all minterms. Do this by “ANDing” any term
missing a variable v with a term (v + v ).
 Example: Implement f = x + x y as a sum of
minterms.
First expand terms: f = x ( y + y ) + x y
Then distribute terms: f = xy + x y + x y
Express as sum of minterms: f = m3 + m2 + m0
Chapter 2 - Part 1
45
Another SOM Example
 Example: F = A + B C
 There are three variables, A, B, and C which
we take to be the standard order.
 Expanding the terms with missing variables:
 Collect terms (removing all but one of duplicate
terms):
 Express as SOM:
Chapter 2 - Part 1
46
Shorthand SOM Form
 From the previous example, we started with:
F=A+BC
 We ended up with:
F = m1+m4+m5+m6+m7
 This can be denoted in the formal shorthand:
F ( A , B , C ) =  m (1,4 ,5 ,6 ,7 )
 Note that we explicitly show the standard
variables in order and drop the “m”
designators.
Chapter 2 - Part 1
47
Canonical Product of Maxterms
 Any Boolean Function can be expressed as a Product of
Maxterms (POM).
• For the function table, the maxterms used are the terms
corresponding to the 0's.
• For an expression, expand all terms first to explicitly list all
maxterms. Do this by first applying the second distributive
law , “ORing” terms missing variable v with a term equal to
and then applying the distributive law again.
v v
 Example: Convert to product of maxterms:
f ( x, y , z ) = x + x y
Apply the distributive law:
x + x y = (x + x )(x + y ) = 1  (x + y ) = x + y
Add missing variable z:
x + y + z  z = ( x + y + z ) (x + y + z )
Express as POM: f = M2 · M3
Chapter 2 - Part 1
48
Another POM Example
 Convert to Product of Maxterms:
f(A, B, C) = A C + B C + A B
 Use x + y z = (x+y)·(x+z) with x = (A C + B C), y = A ,
and z = B to get:
f = (A C + B C + A )(A C + B C + B )
 Then use x + x y = x + y to get:
f = ( C + BC + A )(A C + C + B )
and a second time to get:
f = ( C + B + A )(A + C + B )
 Rearrange to standard order,
f = ( A + B + C)(A + B + C) to give f = M5 · M2
Chapter 2 - Part 1
49
Function Complements
 The complement of a function expressed as a
sum of minterms is constructed by selecting the
minterms missing in the sum-of-minterms
canonical forms.
 Alternatively, the complement of a function
expressed by a Sum of Minterms form is simply
the Product of Maxterms with the same indices.
 Example: Given F ( x , y , z ) = m ( 1, 3 , 5 , 7 )
F( x, y , z ) = m(0, 2,4,6)
F( x, y , z ) = PM(1, 3,5,7 )
Chapter 2 - Part 1
50
Conversion Between Forms
 To convert between sum-of-minterms and productof-maxterms form (or vice-versa) we follow these
steps:
• Find the function complement by swapping terms in the
list with terms not in the list.
• Change from products to sums, or vice versa.
 Example:Given F as before: F ( x , y , z ) =  m ( 1 , 3 , 5 , 7 )
 Form the Complement: F( x, y , z ) = m( 0, 2,4,6)
 Then use the other form with the same indices – this
forms the complement again, giving the other form
of the original function: F ( x , y , z ) = P M ( 0 , 2 , 4 , 6 )
Chapter 2 - Part 1
51
Standard Forms
 Standard Sum-of-Products (SOP) form:
equations are written as an OR of AND terms
 Standard Product-of-Sums (POS) form:
equations are written as an AND of OR terms
 Examples:
• SOP: A B C + A B C + B
• POS: (A + B) · (A+ B + C )· C
 These “mixed” forms are neither SOP nor POS
• (A B + C) (A + C)
• A B C + A C (A + B)
Chapter 2 - Part 1
52
Standard Sum-of-Products (SOP)
 A sum of minterms form for n variables
can be written down directly from a truth
table.
• Implementation of this form is a two-level
network of gates such that:
• The first level consists of n-input AND gates,
and
• The second level is a single OR gate (with
fewer than 2n inputs).
 This form often can be simplified so that
the corresponding circuit is simpler.
Chapter 2 - Part 1
53
Standard Sum-of-Products (SOP)
 A Simplification Example:
 F ( A , B , C ) =  m (1,4 ,5 ,6 ,7 )
 Writing the minterm expression:
F = A B C + A B C + A B C + ABC + ABC
 Simplifying:
F=
 Simplified F contains 3 literals compared to 15 in
minterm F
Chapter 2 - Part 1
54
AND/OR Two-level Implementation
of SOP Expression
 The two implementations for F are shown
below – it is quite apparent which is simpler!
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A
F
B
C
F
Chapter 2 - Part 1
55
SOP and POS Observations
 The previous examples show that:
• Canonical Forms (Sum-of-minterms, Product-ofMaxterms), or other standard forms (SOP, POS)
differ in complexity
• Boolean algebra can be used to manipulate
equations into simpler forms.
• Simpler equations lead to simpler two-level
implementations
 Questions:
• How can we attain a “simplest” expression?
• Is there only one minimum cost circuit?
• The next part will deal with these issues.
Chapter 2 - Part 1
56
Terms of Use
 All (or portions) of this material © 2008 by Pearson
Education, Inc.
 Permission is given to incorporate this material or
adaptations thereof into classroom presentations and
handouts to instructors in courses adopting the latest
edition of Logic and Computer Design Fundamentals
as the course textbook.
 These materials or adaptations thereof are not to be
sold or otherwise offered for consideration.
 This Terms of Use slide or page is to be included within
the original materials or any adaptations thereof.
Chapter 2 - Part 1
57
Logic and Computer Design Fundamental
Chapter 2
Rangkaian Logika Kombinasi
Bagian 1 : Rangkaian Gerbang dan
Persamaan Boolean
M. Mano & Charles R. Kime
2008, Pearson Education, Inc
58
Logic and Computer Design Fundamental
Chapter 1
Digital and Computer Information
M. Mano & Charles R. Kime
2008, Pearson Education, Inc
59