Transcript 1Введение_ТВ_Школьники

Введение в теорию
вероятностей
Случайные события
СОБЫТИЕ

Под СОБЫТИЕМ понимается
явление, которое происходит в
результате осуществления
какого-либо определенного
комплекса условий.
ПРИМЕР. Бросаем шестигранный игральный кубик.
Определим события:
А {выпало четное число очков};
В {выпало число очков, кратное 3};
С {выпало более 4 очкков}.
Эксперимент (опыт)

ЭКСПЕРИМЕНТ (или опыт)
заключается в наблюдении за
объектами или явлениями в
строго определенных условиях
и измерении значений заранее
определенных признаков этих
объектов (явлений).
ПРИМЕРЫ
сдача экзамена,
 наблюдение за дорожно-транспортными
происшествиями,
 выстрел из винтовки,
 бросание игрального кубика,
 химический эксперимент,
 и т.п.

СТАТИСТИЧЕСКИЙ

Эксперимент называют
СТАТИСТИЧЕСКИМ, если он
может быть повторен в
практически неизменных
условиях неограниченное
число раз.
СЛУЧАЙНОЕ СОБЫТИЕ

Событие называется случайным, если
при одних и тех же условиях оно может,
как произойти, так и не произойти.
А = {При подбрасывании монеты выпала
решка}
Опыт 1:

Подбрасывание монеты.
Испытание – подбрасывание
монеты; события – монета
упала «орлом» или «решкой».
«решка» - лицевая
сторона монеты (аверс)
«орел» - обратная
сторона монеты (реверс)
Опыт 2:

Подбрасывание кубика.
Это следующий по
популярности после монеты
случайный эксперимент.
Испытание – подбрасывание
кубика; события – выпало 1,
2, 3, 4, 5 или 6 очков (и
другие).
Опыт 3: 
Выбор перчаток. В коробке лежат 3 пары
одинаковых перчаток. Из нее, не глядя,
вынимаются две перчатки.
Опыт
4:

«Завтра днем – ясная погода».
Здесь наступление дня – испытание, ясная
погода – событие.
Типы событий
СОБЫТИЕ
ДОСТОВЕРНОЕ
НЕВОЗМОЖНОЕ
СЛУЧАЙНОЕ
Типы событий
ДОСТОВЕРНОЕ
Событие
называется
достоверным,
если оно
обязательно
произойдет в
результате
данного
испытания.
СЛУЧАЙНОЕ
Случайным
называют
событие которое
может
произойти или
не произойти в
результате
некоторого
испытания.
НЕВОЗМОЖНОЕ
Событие
называется
невозможным,
если оно не
может
произойти
в результате
данного
испытания.
Примеры событий
достоверные
1. ПОСЛЕ ЗИМЫ
НАСТУПАЕТ
ВЕСНА.
2. ПОСЛЕ НОЧИ
ПРИХОДИТ
УТРО.
3. КАМЕНЬ
ПАДАЕТ ВНИЗ.
4. ВОДА
СТАНОВИТСЯ
ТЕПЛЕЕ ПРИ
НАГРЕВАНИИ.
случайные
1. НАЙТИ КЛАД.
2. БУТЕРБРОД
ПАДАЕТ
МАСЛОМ ВНИЗ.
3. В ШКОЛЕ
ОТМЕНИЛИ
ЗАНЯТИЯ.
4. ПОЭТ
ПОЛЬЗУЕТСЯ
ВЕЛОСИПЕДОМ.
5. В ДОМЕ
ЖИВЕТ КОШКА.
невозможные
1. З0 ФЕВРАЛЯ
ДЕНЬ РОЖДЕНИЯ.
2. ПРИ
ПОДБРАСЫВАНИИ
КУБИКА ВЫПАДАЕТ
7 ОЧКОВ.
3. ЧЕЛОВЕК
РОЖДАЕТСЯ
СТАРЫМ И
СТАНОВИТСЯ С
КАЖДЫМ ДНЕМ
МОЛОЖЕ.
ИСХОД

Исходом (или элементарным
исходом, элементарным событием)
называется один из взаимоисключающих
друг друга вариантов, которым может
завершиться случайный эксперимент.
Число возможных исходов в каждом из
рассмотренных выше опытах.
 Опыт 1. – 2 исхода: «орел», «решка».
 Опыт 2. – 6 исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Опыт 3. – 3 исхода: «обе перчатки на
 левую руку», «обе перчатки на правую
руку», «перчатки на разные руки».

Однозначные
исходы
предполагают
единственный
результат того или
иного события:
смена дня и ночи,
смена времени года и
т.д.
Неоднозначные исходы
предполагают несколько различных
результатов того или иного события:
при подбрасывании кубика выпадают
разные грани; выигрыш в Спортлото;
результаты спортивных игр.
Задание
Запишите множество исходов для следующих
испытаний.
а) В урне четыре шара с номерами два, три, пять,
восемь. Из урны наугад извлекают один шар.
б) В копилке лежат три монеты достоинством в 1
рубль, 2 рубля и 5 рублей. Из копилки достают
одну монету.
в) В доме девять этажей. Лифт находится на
первом этаже. Кто-то из жильцов дома вызывает
лифт на свой этаж. Лифтовый диспетчер
наблюдает, на каком этаже лифт остановится.
Задание
Найдите количество возможных исходов.
а) За городом N железнодорожные станции
расположены в следующем порядке: Луговая, Сосновая,
Озёрная, Дачная, Пустырь. Событие А – пассажир купил
билет не далее станции Озёрная.
б) Один ученик записал целое число от 1 до 5, а другой
ученик пытается отгадать это число. Событие В –
записано чётное число.
в) Вини Пух думает, к кому бы пойти в гости: к Кролику,
Пяточку, ослику Иа-Иа или Сове? Событие А – Вини Пух
пойдёт к Пяточку; событие В – Вини Пух не пойдёт к
Кролику.
Задачи
№1.
Объясните, что такое достоверное, невозможное и случайное событие.
Приведите примеры.
№2.
Укажите, какое из следующих событий достоверное, какое –
невозможное и какое случайное:
а) летних каникул не будет;
б) бутерброд упадет маслом вниз;
в) учебный год когда-нибудь закончится.
№3.
Петя и Толя сравнивают свои дни рождения. Укажите, какое из
следующих событий достоверное, какое – невозможное и какое
случайное. Событие состоит в следующем:
а) их дни рождения не совпадают;
б) их дни рождения совпадают;
в) Петя родился 29 февраля, а Толя – 30 февраля;
г) дни рождения обоих приходятся на праздники – Новый год (1 января)
и День независимости России (12 июня);
д) дни рождения в этом году.
№4.
Случайный опыт состоит в выяснении пола детей в семьях с тремя
детьми. Сколько возможных исходов у этого опыта? Какие?
Типы событий
Противоположное событие (по
отношению к рассматриваемому
событию А) – это событие ,
которое не происходит, если А
происходит, и наоборот.
Например, событие А – «выпало четное число очков» и B
– «выпало нечетное число очков» при бросании
игрального кубика – противоположные.
Придумайте два противоположных события.
Примеры противоположных событий:
 если
сейчас день, то сейчас не
ночь;
 если человек спит, то в данный
момент он не читает;
 если число иррациональное, то
оно не является четным.
Задание
Назовите событие противоположное данному:
1. при бросании монеты выпала решка;
2. Алеша вытащил выигрышный билет в
розыгрыше лотереи;
3. в нашем классе все умные и красивые;
4. мою соседку по парте зовут или Таня, или
Аня;
5. явка на выборы была от 40% до 47%;
6. сегодня хорошая погода.
Типы событий
Два события А и В называют совместными,
если они могут произойти
одновременно, при одном исходе
эксперимента, и несовместными,
если они не могут произойти
одновременно ни при одном исходе
эксперимента.
Пример. А – «идет дождь», В – «на небе нет ни облачка»
– несовместные.
Пример. Коля и Саша играют в шашки. А – «Коля
проиграл», В – «Саша выиграл», С – «Витя наблюдал за
игрой» – совместные.
Задание
Укажите совместность – несовместность случайных
событий:
а) (Катя со Славой играли в шахматы)
А – «Катя выиграла», В – «Слава проиграл»;
б) (Катя со Славой играли в шахматы)
А – «Катя проиграла», В – «Слава проиграл»;
в) (бросили кубик)
А – «выпала шестерка», В – «выпала пятерка»;
г) (бросили кубик)
А – «выпала шестерка», В – «выпало четное число очков»;
д) (взяли кость домино)
А – «одно число 2», В – «сумма обоих чисел 9»;
е) (взяли кость домино)
А – «оба числа больше трех», В – «сумма чисел = 8»;
ж) А – «квадратное уравнение имеет два корня», В – «дискриминант больше
нуля»;
з) А – «квадратное уравнение не имеет корней», В – «дискриминант равен
нулю».
Действия над событиями
1. Суммой нескольких событий называется
событие, состоящие в
наступлении хотя бы одного из них в
результате испытания.( A  B , A  B, AилиB )
Если события А и В совместны, то сумма А+В
означает, что наступает событие А, или событие
В, или оба события вместе.
Если события несовместны, то событие А+В
заключается в том, что должны наступить А или
В, тогда + заменяется словом «или». .
Диаграммы Венна
На диаграмме Венна сумму событий можно изобразить
так (прямоугольник – изображение множества
всех возможных исходов опыта ):


А
А
В
Диаграмма,
иллюстрирующая сумму
несовместных событий.
В
С
Диаграмма,
иллюстрирующая сумму
трех совместных событий.
Действия над событиями
2. Произведением нескольких событий
называется событие, состоящие в
совместном наступлении всех этих
событий в результате испытания.
( A * B , A  B , AиB ).
Означает союз «и» (АВС, это означает, что
наступило событие А и В и С).
Пример. Пусть имеются следующие события: А – «из колоды карт
вынута дама», В – «из колоды карт вынута карта пиковой
масти». Значит, А*В означает «вынута дама пик».
Пример. Бросается игральный кубик. Рассмотрим следующие события: А
– « число выпавших очков < 5», В – «число выпавших очков >
2», С – «число выпавших очков четное». Тогда А*В*С –
«выпало 4 очка».
Диаграммы Венна
На диаграмме Венна пересечение
(произведение) изображают так:

Примеры произведения событий:
пусть А - из урны вытянули белый
шар, В - из урны вытянули белый
шар, то АВ - из урны вытянули два
белых шара;
 А - идет дождь, В - идет снег, то АВ дождь со снегом;
 А - число четное, В - число кратное 3,
то АВ - число кратное 6.

Задание Опишите,
3
в чем состоит сумма
следующих несовместных
событий.
1. А – учитель вызвал к доске ученика,
В – учитель вызвал к доске ученицу, А+В –
учитель вызвал к доске ученика или ученицу.
2. Родила царица в ночь:
А – не то сына,
В – не то дочь
А+В – царица родила сына или дочь.
Диаграммы Венна
Графические изображения на плоскости
соотношений между множествами
называются диаграммами Венна.
Вероятность
В толковом словаре С.И. Ожегова и Н.Ю. Шведовой:
«Вероятность – возможность исполнения,
осуществимости чего-нибудь».
Основатель современной теории вероятностей
А.Н.Колмогоров:
«Вероятность математическая – это числовая
характеристика степени возможности появления
какого-либо определенного события в тех или
иных определенных, могущих повторяться
неограниченное число раз условиях».
Известно, по крайней мере, шесть
основных схем определения и
понимания вероятности. Не все они в
равной мере используются на практике
и в теории, но, тем не менее, все они
имеют за собой разработанную
логическую базу и имеют право на
существование.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ
КЛАССИЧЕСКОЕ
СТАТИСТИЧЕСКОЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ
КЛАССИЧЕСКОЕ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ВЕРОЯТНОСТИ
– ЭТО ЧИСЛЕННАЯ МЕРА ОБЪЕКТИВНОЙ ВОЗМОЖНОСТИ
ПОЯВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ.
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДАЕТ СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ
ЧИСЛЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ:
А – некоторое событие,
P ( A) 
m
n
m – количество исходов, при которых событие А появляется,
n – конечное число равновозможных исходов.
P – обозначение происходит от первой буквы французского слова
probabilite – вероятность.
КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.
Вероятностью Р наступления случайного
события А называется отношение
m
n
n – число всех возможных исходов
эксперимента, а m – число всех
благоприятных исходов:
P ( A) 
m
n
, где
Классическое
определение
вероятности было
впервые дано в
работах
французского
математика Лапласа.
Пьер-Симо́н Лапла́с
ЭКСПЕРИМЕНТ
Бросаем
монетку
Вытягиваем
экзаменационный
билет
Бросаем
кубик
Играем в
лотерею
ЧИСЛО
ВОЗМОЖНЫХ
ИСХОДОВ
ЭКСПЕРИМЕНТ
А (n)
2
24
6
250
СОБЫТИЕ А
Выпал
«орел»
Вытянули
билет №5
На кубике
выпало
четное
число
Выиграли,
купив один
билет
ЧИСЛО
ИСХОДОВ,
БЛАГОПРИЯТНЫХ ДЛЯ
ЭТОГО
СОБЫТИЯ (m)
ВЕРОЯТНОСТЬ
НАСТУПЛЕНИЯ
СОБЫТИЯ А
Р(А)=m/n
1
1
1
2
1
1
24
3
3

6
10
10
250
1
2

1
25
Пример
В школе 1300 человек, из
них 5 человек хулиганы.
Какова вероятность того, что
один из них попадётся директору
на глаза?
Пример
При игре в нарды бросают 2
игральных кубика. Какова
вероятность того, что на обоих
кубиках выпадут одинаковые
числа?
Составим следующую таблицу
1
2
3
4
5
6
1
11
21
31
41
51
61
2
12
22
32
42
52
62
3
13
23
33
43
53
63
4
14
24
34
44
54
64
5
15
25
35
45
55
65
6
16
26
36
46
56
66
Вероятность:
P(A)=6/36=
=1/6.
Пример
Из карточек составили слово
«статистика». Какую карточку
с буквой вероятнее всего
вытащить? Какие события
равновероятные?
Проверка
Всего 10 букв.
Буква «с» встречается 2 раза –
P(с) = 2/10 = 1/5;
буква «т» встречается 3 раза –
P(т) = 3/10;
буква «а» встречается 2 раза –
P(а) = 2/10 = 1/5;
буква «и» встречается 2 раза –
P(и) = 2/10 = 1/5;
буква «к» встречается 1 раз –
P(к) = 1/10.
Свойства вероятности
1 P(u) = 1 (u – достоверное событие);
2 P(v) = 0 (v – невозможное
событие);
3 Вероятность случайного события
0  P(A)  1.
1.
P(u) = 1 (u – достоверное событие);
2.
P(v) = 0 (v – невозможное событие);
3.
0  P(A)  1.
Самостоятельная
работа
Задача 1.
В коробке 4 синих, 3 белых и 2
желтых фишки. Они тщательно
перемешиваются, и наудачу
извлекается одна из них. Найдите
вероятность того, что она окажется:
а) белой; б) желтой; в) не желтой.
а) Мы имеем всевозможных случаев 9.
Благоприятствующих событий 3. Вероятность равна:
P=3:9=1/3=0,33(3)
б) Мы имеем всевозможных случаев 9.
Благоприятствующих событий 2. Вероятность равна
P=2:9=0,2(2)
в) Мы имеем всевозможных случаев 9.
Благоприятствующих событий 7 (4+3). Вероятность
равна P=7:9=0,7(7)
Задача 2.
В коробке лежат 10 одинаковых
шаров, на каждом из которых
написан его номер от 1 до 10.
Найдите вероятность следующих
событий: а) извлекли шар № 7;
б) номер извлеченного шара –
четное число; в) номер извлеченного
шара кратен 3.
Всевозможных событий 6 (красный №1 красный №2; красный №1 - белый;
красный №2 - белый; красный №3 красный №2; красный №3 - красный №1;
красный №3 - белый) из них
благоприятных 3. Выигрывает тот, кто
вытаскивает 2 красных шара.
Задача 3.
Мальчики играли в “Орлянку”. Но
монетка куда-то закатилась.
Предложите, как заменить ее
игральным кубиком?
Считать "орел" - четное число, а
"решка" - не четное число.
Задача 4.
Какую справедливую игру можно
предложить двум девочкам, у
которых есть 3 красных и 1 белый
шарик и мешок?
Всевозможных событий 6 (красный №1 красный №2; красный №1 - белый;
красный №2 - белый; красный №3 красный №2; красный №3 - красный №1;
красный №3 - белый) из них
благоприятных 3. Выигрывает тот, кто
вытаскивает 2 красных шара.
Задача 5.
В настольной игре сломалась
вертушка с тремя разными
секторами: красным, белым и синим,
но есть кубик. Как заменить
вертушку?
Считать на кубике 1 и 2 - красный
сектор, 3 и 4 - синий сектор, 5 и 6 белый сектор.
Задани
Задача 1. В урне находятся 3 синих, 8 красных и
9 белых шаров одинакового размера и веса,
неразличимых на ощупь. Шары тщательно
перемешаны. Какова вероятность появления
синего, красного и белого шаров при одном
вынимании шара из урны?
Задача 2. Наташа купила лотерейный билет,
который участвует в розыгрыше 100 призов на
50000 билетов, а Лена – билет, который
участвует в розыгрыше трех призов на 70000. У
кого больше шансов выиграть?
Задание 3. В настольной игре потеряли кубик.
Как заменить его с помощью разноцветных
фишек?
Статистическое определение
вероятности
ЧАСТОТА
Абсолютная частота показывает,
сколько раз в серии экспериментов
наблюдалось данное событие.
Относительная частота (её иногда
называют просто частотой) показывает,
какая доля экспериментов завершилась
наступлением данного события, или
проще говоря, это частота выпадения
данного исхода. v=n/N
ЭКСПЕРИМЕНТ

Подкинем две монеты 50 раз. Свои
результаты запишите в таблицу,
указанную ниже
Гистограммы
Удобным графическим способом
представления абсолютных и
относительных частот служат
столбчатые диаграммы - гистограммы,
на которых каждая из частот
изображается в виде столбика
соответствующей высоты.
 histos — столб и gramma — запись.


Была продолжена серия опытов с
кубиком, но относительная частота
шести исходов вычислялась после
каждой очередной сотни экспериментов.
В результате была получена следующая
таблица.
Количес Частота исходов
тво
1
2
испы
тании
3
4
5
6
50
0,18
0,12
0,16
0,22
0,18
0,14
100
0,16
0,16
0,2
0,15
0,19
0,14
200
0,16
0,135
0,185
0,16
0,18
0,18
300
0,167
0,16
0,163
0,153
0,183
0,173
400
0,168
0,153
0,175
0,163
0,185
0,158
500
0,164
0,146
0,182
0,16
0,186
0,162
600
0,152
0,157
0,183
0,153
0,188
0,167
700
0,153
0,164
0,18
0,151
0,186
0,166
800
0,159
0,164
0,181
0,155
0,18
0,161
900
0,156
0,164
0,183
0,166
0,171
0,16
1000
0,158
0,17
0,182
0,165
0,168
0,157
Cтатистическое определение
вероятности
за вероятность случайного события можно
приближенно принять его
относительную частоту, полученную в
длинной серии экспериментов
Ошибка Даламбера.
Жан Лерон Даламбер
(1717 -1783)
Великий французский
философ и математик
Даламбер вошел в
историю теории
вероятностей со своей
знаменитой ошибкой,
суть которой в том, что
он неверно определил
равновозможность
исходов в опыте всего с
двумя монетами!
Ошибка Даламбера.
Опыт. Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова
вероятность того, что они упадут на одну и ту же
сторону?
Решение Даламбера:
Опыт имеет три
равновозможных исхода:
1) обе монеты упадут на «орла»;
2) обе монеты упадут на «решку»;
3) одна из монет упадет на «орла»,
другая на «решку».
Из них благоприятными
будут два исхода.
n  3, m  2, P( A) 
m
n

2
3
Правильное решение:
Опыт имеет четыре
равновозможных исхода:
1) обе монеты упадут на «орла»;
2) обе монеты упадут на «решку»;
3) первая монета упадет на «орла»,
вторая на «решку»;
4) первая монета упадет на
«решку», вторая на «орла».
Из них благоприятными будут
два исхода.
n  4, m  2, P ( A) 
m
n

2
4

1
2
А можно ли вычислить вероятность события с
помощью ряда экспериментов?
Частота случайного события.
Относительной частотой случайного
события называют отношение числа
появлений этого события к общему числу
проведенных экспериментов:
W ( A) 
NA
N
где А – случайное событие по отношению к некоторому
испытанию,
N раз проведено испытание и при этом событие А
наступило в NA случаях.
Примеры
Пример 1. Наблюдения показывают,
что в среднем среди 1000
новорожденных детей 515 мальчиков.
Какова частота рождения мальчика в
такой серии наблюдений?
W ( A) 
515
1000
Ответ: 0,515
 0 ,515
Примеры
Пример 2. За лето на Черноморском
побережье было 67 солнечных дней.
Какова частота солнечных дней на
побережье за лето? Частота
пасмурных дней?
W ( A) 
67
92
 0 , 728
W (B) 
25
 0 , 272 .
92
Ответ: 0,728; 0,272.
Может быть, относительную частоту и нужно
принять за вероятность?

Фундаментальным свойством относительных
частот является тот факт, что с увеличением
числа опытов относительная частота
случайного события постепенно
стабилизируется и приближается к вполне
определенному числу, которое и следует
считать его вероятностью.
Проверка
Жорж Бюффон
Пример 5. Французский
естествоиспытатель
Бюффон (XVIII в.) бросил
монету 4040 раз, и при
этом герб выпал в 2048
случаях. Следовательно,
частота выпадения герба в
данной серии испытаний
равна:
2048

4040
 0,50693...
Проверка
Карл Пирсон
Пример 5. Английский
математик Карл Пирсон
(1857-1936) бросал монету
24000 раз, причем герб
выпал 12012 раз.
Следовательно, частота
выпадения герба в данной
серии испытаний равна:
 
12012
24000
 0 ,5005 .
Результаты
P( A) 
1
 0,5
2
 
12012
24000

2048
4040
 0,50693...
 0 ,5005 .
Вывод
Пример 5 подтверждает естественное
предположение о том, что вероятность
выпадения герба при одном бросании монеты
равна 0,5.
Статистическая вероятность
Вероятность случайного события
приближенно равна частоте этого
события, полученной при проведении
большого числа случайных
экспериментов: P( A)  N A ,
N
где N A - число испытаний, в которых
наступило событие А,
N – общее число испытаний.
Задача
По статистике, на каждые 1000
лампочек приходится 3 бракованные.
Какова вероятность купить исправную
лампочку?
Решение:
3/1000 = 0,003
1 – 0,003 = 0,997
Задача
Демографы утверждают, что вероятность
рождения близнецов равна 0,012. в
скольких случаях из 10 000 рождений
можно ожидать появление близнецов?
Решение:
P ( A )  0 , 012
N  10000
P ( A) 
N
A
N
N
A
 0 , 012
10000
N
A
случаях.
 0 , 012  10000  120
Ответ: в 120
Геометрическое определение
вероятности
Опыт 1. Выберем на географической карте
мира случайную точку (например, зажмурим глаза
и покажем указкой). Какова вероятность, что эта
точка окажется в России?
Число исходов бесконечно.
Вероятность будет зависеть от размера карты (масштаба).
Общий случай: в некоторой ограниченной
области  случайно выбирается точка. Какова
вероятность, что точка попадет в область А? На
прямую L?
L
А

P ( A) 
S ( A)
S ( )
S ( L )  0; P ( L ) 
0
S ( )
0
Геометрическое определение
вероятности
Если предположить, что попадание в любую точку
области  равновозможно, то вероятность
попадания случайной точки в заданное множество
А будет равна отношению площадей:
Если А имеет нулевую площадь, то вероятность
попадания в А равна нулю.
Можно определить геометрическую вероятность в
пространстве и на прямой:
P( A) 
V ( A)
V ()
; P( A) 
L( A)
L()
Опыт 2. В квадрат со стороной 4 см «бросают»
точку. Какова вероятность, что расстояние от
этой точки до ближайшей стороны квадрата
будет меньше 1 см?
P( A) 
12
16

3
4
 0,75
Опыт 3. На тетрадный лист в линейку наудачу
бросается монета. Какова вероятность того, что
монета пересекла две линии?
1
рубль
Число исходов зависит от размеров
монеты, расстояния между линиями.
Задача Оконная решетка состоит из клеток со
стороной 20см. В решетку 100 раз бросили наугад
один и тот же мяч. В 50 случаях он пролетел через
решетку не задев ее. Оцените приближенно
радиус мяча.
P ( A) 
N

A
N
P ( A) 
50
100
S м яча
R

S кв
R
2

400
R
2
R 

1
2
2
400
1
2

400
2 
200


200

10


2
 4 , 5 ( см )
Задача.
Внутри квадрата со стороной 10см выделен круг радиусом
2см. Случайным образом внутри квадрата отмечается
точка. Какова вероятность того, что она попадет в
выделенный круг?
А
