Теория вероятности

Задачи для подготовки к ГИА и ЕГЭ

Введение

В настоящее время основой описания научной картины мира стали вероятностно – статистические законы.

Современная физика, химия, биология, демография, социология, лингвистика, весь комплекс социально – экономических наук развиваются на вероятностно-статистической базе.

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Приказом Минобразования России "Об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования" от 5 марта 2004 г. № 1089 Элементы теории вероятности и математической статистики были введены в программы по математике Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

«элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей становятся обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение».

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Что изучает теория вероятности?

 Закономерности, возникающие при многократном повторении случайных явлений  Вероятность — числовая характеристика возможности появления случайного события в определенных условиях, которые могут быть воспроизведены неограниченное число раз.

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Современная Теория вероятности

  ушла от азартных игр также далеко, как геометрия от задач землеустройства, но их реквизит по-прежнему остается наиболее простым и надежным источником случая.

Поэтому материалом для экспериментов чаще всего служат монета, кубик, рулетка, колода карт.

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Понятия

   Эксперимент (опыт), результат которого нельзя точно предсказать до его осуществления, называют случайным Взаимоисключающие друг друга результаты случайного эксперимента называют исходами или элементарными событиями, их совокупность – эксперимента.

множеством исходов Любое подмножество множества исходов событие Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Событие

 невозможное   случайное достоверное  Бросаем два кубика.

  А={сумма очков на кубиках равна 20 } B={сумма очков на кубиках равна 11 }  C={на двух кубиках выпало число очков, больше 1, но меньше 13} Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Что вероятнее?

А={вытянуть пиковую даму из перетасованной колоды карт} В = {вытянуть шестерку из перетасованной колоды карт} С = {получить шестерку при подбрасывании кубика} Шансы имеет смысл сравнивать как дроби: 1 шанс из 6 лучше, чем 4 шанса из 36 Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Математическая модель опыта

 Построение математической модели эксперимента предполагает описание:  Возможных исходов  Событий  Вероятности наступления этих событий Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Множество исходов эксперимента

 Ваня два раза подбрасывает монету и после каждого броска записывает на листе, что выпало – герб или цифра. Описать множество исходов эксперимента.

 Маша рисует в тетради отрезок ОА длиной 10 см, произвольно ставит на нем точку В, после чего измеряет длину отрезка ОВ. Описать множество исходов данного эксперимента.

 Ω = { ГГ,ГЦ,ЦГ,ЦЦ }  Ω = { х | 0 ≤ х ≤ 10 } Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Множество исходов эксперимента

 В коробке лежат три шара: К, С, Б. Извлекаются два из них и фиксируются их цвета. Описать множество исходов.

Возвращается шар?

Учитывается порядок?

Учитывается порядок?

1 2 3 4   1.Ω ={ кс,ск,кб,бк,сб,бс } 2.Ω ={ кс,кб,сб} нд - РБП нн – СБП  3.Ω ={кс,ск,кб,бк,сб,бс,кк,сс,бб} дд – РП  4.Ω ={кс,кб,сб,кк,сс,бб} дн - СП

Аксиоматическое определение вероятности (А.Н. Колмогоров)

 Ω = { ω 1 , ω 2 …ω n эксперимента.

 } множество всех исходов Р ( Ω) – неотрицательная числовая функция, для которой   р( ω 1 )+ р( ω 2 )+…+ р( ω n )=1 вероятности на Ω распределение Событие А – любое подмножество Ω  Р(А) – сумма вероятностей входящих в него исходов Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Как часто происходит событие?

   Абсолютная частота повторений данного события в серии испытаний – количество Относительная частота –доля экспериментов, завершившаяся наступлением данного события Относительную частоту можно найти, поделив абсолютную частоту на число экспериментов Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Статистическое определение вероятности

 За вероятность случайного события можно приближенно принять его относительную частоту, полученную в длинной серии экспериментов.

 После десяти бросаний двух кубиков сумма 12 не была получена ни разу. Можно ли утверждать, что вероятность этого события равна нулю?

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Статистическая вероятность

   Оценить вероятность того, что диод способен проработать свыше 10 тыс. часов На стенде испытаний: 1000 диодов Через 10 тыс. часов 100 штук «сгорели»  Искомая вероятность ≈ 9/10 Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Классическое определение вероятности

 Пусть все исходы равновозможны .

    A — событие из числа равновозможных случаев N – число всех возможных исходов эксперимента M – число исходов, благоприятных для события А Вероятность случайного события А Р(А) = M : N Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Какова вероятность встретить белого медведя на улице?

 Ответ:

½

(либо встретишь, либо не встретишь)  Где ошибка?

 События не равновозможные Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Ошибка Даламбера

      Какова вероятность, что подброшенные вверх две правильные монеты упадут на одну и ту же сторону?

Опыт имеет три равновозможных исхода 1) Обе монеты упали на «орла» 2) Обе монеты упали на «решку» 3) одна из монет упала на «орла», другая – на «решку» Вероятность равна 2:3 ?

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Геометрическая вероятность

  Множество исходов – некоторое множество точек на числовой прямой, на плоскости или в пространстве, имеющее меру (длину, площадь, объем) Вероятность попадания в любую часть множества пропорциональна мере этой части 

Р(А) = m(А) : m(Ω)

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Геометрическая вероятность

   Выберем на географической карте Европы случайную точку. Какова вероятность, что эта точка окажется в России?

Для ответа нужно знать, какую часть площади всей карты составляет площадь России.

Отношение этих площадей даст искомую вероятность.

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Геометрическая вероятность

 На светофоре одну минуту горит зеленый свет, две минуты красный, одну минуту зеленый, две минуты красный и т.д. В случайный момент времени к перекрестку подъезжает автомобиль. Какова вероятность того, что он проедет перекресток без остановки?

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Решение задачи о светофоре

   Опыт состоит в случайном выборе момента t из промежутка от 0 до 3 минут Множество исходов Ω = [0;3] Событие А={автомобиль проезжает перекресток без остановки} задается неравенством 0≤ t ≤ 1  Р(А) = 1 : 3 (отношение длин отрезков) Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

№1



В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

   

Решение задачи №1:

Событие А – «в сумме выпало 8 очков» Рассмотрим возможные исходы при двух бросках. Количество вариантов различных чисел, выпавших на первой кости равно 6. Каждому из них соответствует любой из 6 вариантов, выпавших на второй кости. Значит, количество возможных исходов равно 6*6=36 Рассмотрим благоприятные исходы. Сумма в 8 очков могла получиться при следующих вариантах двух бросков: 1бросок 2 3 4 5 6 2 бросок 6 5 4 3 2  Количество благоприятных исходов равно 5 Найдем вероятность события А Р(А)= 5:36 Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

№2



В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно один раз

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга



Решение задачи № 2:

Событие А – «орел выпал ровно один раз» Рассмотрим возможные исходы после двух бросков монеты.

1бросок 2 бросок орел орел орел решка решка орел решка решка  Количество возможных исходов равно 4  Количество благоприятных исходов - 2 Найдем вероятность события А:

Р(А)= 2:4 = 0,5

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

№3



Миша, Рома, Олег, Паша и Дима бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Рома.

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга



Решение задачи № 3:

Рассмотрим возможные исходы:      «Игру начинает Миша» «Игру начинает Рома» «Игру начинает Олег» «Игру начинает Паша» «Игру начинает Дима»  Количество возможных исходов равно 5  Количество благоприятных исходов - 1  Событие А – «Игру начинает Рома»  Найдем вероятность события А:  Р(А)= 1:5 = 0,2 Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

№4

 Конкурс исполнителей проводится в 3 дня. Всего заявлено 40 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 30 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Решение задачи № 4:      Событие А: «Представитель России выступит в третий день конкурса» Всего заявлено 40 выступлений – это количество всех возможных исходов.

В третий день состоится (40 - 30) : 2 = 5 выступлений – это количество благоприятных исходов для события А Значит, Р(А) = 5 : 40 = 0,125 Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

№5



Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало менее 4 очков?

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Решение задачи №5:

  Событие А – «выпало 1, 2 или 3 очка» Все возможные исходы:   1, 2, 3, 4, 5, 6 Благоприятные исходы: 1, 2, 3. Вероятность события А: Р(А) = 3 : 6 = 0,5 Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

№6

 На соревнования по метанию ядра приехали 2 спортсмена из Великобритании, 2 из Испании и 4 из Швейцарии. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что восьмым будет выступать спортсмен из Испании.

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Решение задачи №6:

 Событие А – «восьмым выступает спортсмен из Испании»  Восьмым может выступать с равной вероятностью любой из восьми спортсменов. Число всех исходов – 8.

 Число благоприятных исходов – 2 (2 спортсмена из Испании) Р(А) = 2 : 8 = 0,25 Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

№7

 Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Витязь» по очереди играет с командами «Атлант» и «Титан». Найдите вероятность того, что команда «Витязь» не выиграет право первой владеть мячом ни в одном матче.

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга



Решение задачи №7:

Событие С – «команда «Витязь» не выиграет право первой владеть мячом ни в одном матче.

 Найдем число всех исходов. Возможные исходы жеребьевок : ВВ, АВ, АТ, ВТ  Благоприятные исходы: АТ  Вероятность события С: Р(С) = 1 : 4 = 0,25 Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

№8

 В сборнике билетов по географии всего 25 билетов, в 6 из них встречается вопрос о водоемах. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику встретится вопрос о водоемах.

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

№9



Люда дважды бросает игральный кубик. В сумме у нее выпало 9 очков. Найдите вероятность того, что при первом броске выпало 5 очков.

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Решение задачи №9:

Событие С – «Выпало 5 очков при первом броске».

 Найдем число всех исходов. Возможных исходов 4: 1 бросок 2 бросок 6 3 5 4 4 5 3 6  Число благоприятных исходов – 1.

 Р(С) = 1 : 4 = 0,25 Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга



№10

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 50 спортсменов, среди них 3 прыгуна из России и 5 прыгунов из США. Порядок выступлений определяется жребием. Найдите вероятность того, что сорок вторым будет выступать прыгун из России.

 Ответ: 0,06 Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга



Решение задачи №10:

Событие С – «сорок вторым будет выступать прыгун из России»  Число всех исходов – 50, так как каждый из 50 спортсменов может выступать сорок вторым.  Число благоприятных исходов - 3  Вероятность события С: Р(С) = 3 : 50 = 0,06 Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

№11

 В среднем из 500 фонариков, поступивших в продажу, 5 неисправны. Найдите вероятность того, что один купленный фонарик окажется исправным.

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга



Решение задачи №11:

Статистическая вероятность.

 На стенде испытаний – 500 фонариков  Неисправных среди них 5  Вероятность купить неисправный фонарик 5 : 500 = 0,01  Значит, исправный можно купить с вероятностью 1- 0,01 = 0,99 Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

№12

 Лена и Саша играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Если очков выпало поровну, то наступает ничья. В сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что Лена выиграла.

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Решение задачи №12:

Событие С – «выпало больше очков при броске Лены».

 Найдем число исходов с суммой очков 8. Возможных исходов 5: бросок Лены бросок Саши 6 2 5 3 4 4 3 5  Из них благоприятных исходов - 2.

 Р(С) = 2 : 5 = 0,4 2 6 Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

№13

 В чемпионате мира участвует 15 команд. С помощью жребия их нужно разделить на пять групп по три команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1,1,1,2,2,2,3,3,3,4,4,4,5,5,5 Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда Италии окажется в третьей группе? Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Решение задачи №13:

 Событие С – «капитан Италии вытащил карточку с номером 3» Число всех исходов – 15 Число благоприятных исходов – 3 Вероятность события С: Р(С) = 3 : 15 = 0,2 Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Развитие теории вероятности

 На первом этапе истории этой науки она рассматривалась как собрание курьезных задач, связанных в первую очередь с азартными играми в кости и карты.

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

 Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий и они формулировались в наглядных представлениях. Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Во второй половине основной вклад внесли русские учёные XIX П. Л. Чебышев века , А. А. Марков и А. М. Ляпунов благодаря . Современный вид теория вероятностей получила аксиоматизации , предложенной А. Н. Колмогоровым . В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала одним из разделов математики.

Пономарева Ирина Николаевна, МОУ гимназия 9 г.Екатеринбурга

Основатели «Теории вероятности»

Б. Паскаль

Х. Гюйгенс Я. Бернулли П. Ферма

Литература:

  Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятность. Статистика: Дополнительные материалы к курсу алгебры для 7-9 кл. – М.: Мнемозина, 2002. (к учебникам А.Г. Мордковича) Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Алгебра, 7-9: Элементы статистики и вероятность. - М.: Просвещение, 2007. (к учебникам А.Ш. Алимова и др.)   Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика, 5-9 кл. – М.: Дрофа, 2006.

Бунимович Е.А. Вероятностно-статистическая линия в базовом школьном курсе математики. Математика в школе, №4, 2002.

    3000 задач с ответами по математике, - М.: Экзамен, 2012 Мордкович А.Г., Семенов П.В. События, вероятности, статистическая обработка данных.- Математика (приложение к газете «Первое сентября»), №34, 35, 41, 43, 44, 48, 2002, №11, 17, 2003.

Материалы с сайта урок» www.1september.ru

, фестиваль педагогических идей «Открытый Материалы с сайта www.mathege.ru