Transcript prezentacije s predavanja

Matematička fizika II
Prof. Tatjana Vuković
asistent: Saša Dmitrović
soba: 658
Kurs pokriva više oblasti:
Elementi opšte topologije
Hilbertovi prostori
kvantna mehanika
Teorija konačnih grupa
fizika molekula
fizika kondenzovanog stanja
Lijeve algebre
Mnogostrukosti
Lijeve grupe
kvantna mehanika
Diferencijalna
geometrija
fizika
elementarnih
čestica
Teorija fizika
relativnosti
nuklearna
i kvantna
teorija
kvantna
teorija
poljapolja
Elementi opšte topologije
Topologija je grana matematike koja
izučava osobine geometrijskih objekata
koje ostaju nepromenjene pod
“deformacijama”
koristi koncepte iz matematičke analize:
• konvergencija,
• limesi nizova i funkija (kako f-ja više
promenljivih tako i vektorskih funkcija)
• razni tipovi neprekidnosti
Elementi opšte topologije
• U realnoj analizi svi ovi pojmovi intuitivno
su vezani za pojam bliskosti tačaka
• Opsta topologija polazi od teorije skupova
• Dakle prvo treba definisati pojam bliskosti
tačaka u skupu.
Zgodno je uvesti pojam rastojanja
Metrički prostori
Metrički prostori
Uređeni par (X,d) skupa X i metrike d
naziva se metrički prostor
Elementi skupa X se nazivaju tačke a
d(x,y) rastojanje između tačaka x i y.
Primer: Skup relanih brojeva X=R sa metrikom
zadatom kao d(x,y)=|x-y|
R
x
y
Metrički prostori

Ako je metrički prostor sa metrikom d a
Y X, onda je i Y takođe metrički prostor sa
istom metrikom.
Metrički prostor (Y,d) naziva se potprostorom od (X,d).
Posmatrajmo rastojanje između dve proizvojljne tačke x, y Y
Ako postoji konačna gornja granica r = sup d(x; y)
x, y Y
kaže se da je Y ograničen a r se naziva dijametrom od Y .
Metrički prostori
Rastojanje između dva podskupa Y1 i Y2 skupa X:
d(Y1 ,Y2 )=inf d( y1 , y2 )
y1 Y1 , y2  Y2

Okolina radijusa r sa centrom u tački x je skup
B(x,r)={y  X | d(x,y) < r}
Granična tačka x  X podskupa Y je svaka tačka za koju
važi da je d(x,Y)=0
Zatvarač Y je unija svih graničnih tačaka od Y.
Metrički prostori
Y je zatvoren skup: Y=Y
Komplement zatvorenog skupa je otvoren skup.
B (x,r) je primer otvorenog skupa
Druga definicija otvorenog skupa preko unutrašnje tačke
skupa Y: to je tačka xY za koju postoji okolina
B(x,e)  Y
IntY -unutrašnjost skupa Y je skup svih unutrašnjih tačaka
Ako je Int Y = Y skup Y je otvoren skup.
Definicija Grupe
10 April, 2015
11
Lema preuređenja
U svakoj vrsti i svakoj koloni tablice
množenja grupe svaki element je javlja
tačno jedanput.
10 April, 2015
12
Primeri grupa
Beskonačne grupe linearnih operatora u Vn(F) :
1. GL(n,F) grupa nesingularnih operator u Vn(F)
2. SL(n,F)={ A GL(n,F) | det A=1}
bitna u specijalnoj teoriji relativnosti
vezana za Lorencovu grupu
10 April, 2015
13
Primeri grupa
Beskonačne grupe linearnih operatora u Vn(F) :
3.
U(n) grupa automorfizama unitarnog
prostora Un u odnosu na množenje operatora
4. SU(n)={ A U(n) | det A=1}
specijalna unitarna grupa
SU(2) -kvantna, nuklearna (opisuje izotopski
spin), teorija elementarnih čestica
SU(3) 4,5,6,…
10 April, 2015
14
Primeri grupa
Beskonačne grupe linearnih operatora u Vn(F) :
5. O(n) grupa automorfizama euklidskog
prostora En u odnosu na množenje operatora
6. SO(n)={ A O(n) | det A=1}
specijalna ortogonalna grupa
10 April, 2015
15
Grupa SO(n)
SO(2) - rotacije u ravni
10 April, 2015
16
Grupa SO(n)
SO(3) - rotacije u E3
10 April, 2015
17
Primeri grupa
Konačne grupe:
•
•
Sn grupa svih permutacija n elemenata
operacija množenja permutacija |Sn|=n!
važna kod identičnih čestica
Tačkaste grupe G O(3)
elementi su: rotacije
inverzija
ravni refleksije
10 April, 2015
18
Primeri grupa
Tačkaste grupe
tako se zovu jer ostavljaju jednu tačku
prostora nepokretnom
to je koordinantni početak
Aksijalne Tačkaste grupe:
ostavljaju jednu čitavu osu nepokretnom!
po konvenciji to je z-osa
10 April, 2015
19
Aksijalne Tačkaste grupe
Najlakše ih je shvatiti kao grupe simetrija
nekih pravilnih geometrijskih tela
Grupa Cn : grupa rotacija oko z-ose za ugao
koji je umnožak od 2ps/n s=0,1,…n-1
Oznaka za takav element: Cns
generatorske relacije: (Cn)n=e
Abelova grupa
10 April, 2015
20
Aksijalne Tačkaste grupe
Primer Grupa C3
10 April, 2015
21
Aksijalne Tačkaste grupe
Grupa Dn : grupa ima dva generatora
Prvi je Cn: rotacija oko z-ose za ugao 2p/n
Grugi generator: rotacija p oko ose normalne na z,
obično se ona izabere za x-osu
oznaka za takav element: U
generatorske relacije: (Cn)n=e U2=e (U Cn)2=e
10 April, 2015
22
Aksijalne Tačkaste grupe
Primer Grupa D4
10 April, 2015
23
Aksijalne Tačkaste grupe
Grupa Cnv : grupa ima dva generatora
Prvi je Cn: rotacija oko z-ose za ugao 2p/n
Grugi generator: vertikalna ravan refleksije
obično se izabere da je to xOz-ravan
oznaka za takav element: sv
generatorske relacije: (Cn)n=e
10 April, 2015
24
sv2=e (sv Cn)2=e
Aksijalne Tačkaste grupe
Primer Grupa C4v
10 April, 2015
25
Aksijalne Tačkaste grupe
Grupa Cnh : grupa ima dva generatora
Prvi je Cn: rotacija oko z-ose za ugao 2p/n
Grugi generator: horizontalnu ravan refleksije
tj. xOy-ravan
oznaka za takav element: sh
generatorske relacije: (Cn)n=e
sh2=e sh Cn= Cn sh
Abelova grupa
10 April, 2015
26
Aksijalne Tačkaste grupe
Primer Grupa C4h
10 April, 2015
27
Aksijalne Tačkaste grupe
Primer Grupa D4h
10 April, 2015
28
Aksijalne Tačkaste grupe
Grupa Dnd : grupa ima tri generatora
Prvi je Cn: rotacija oko z-ose za ugao 2p/n
Drugi generator: vertikalna ravan refleksije sv
Treći generator: rotacija Ud
generatorske relacije: (Cn)n=e
10 April, 2015
(svCn)2=e
sv2=e
(svUd)2= Cn-1
29
Ud 2=e
Aksijalne Tačkaste grupe
Primer Grupa D3d
10 April, 2015
30
Aksijalne Tačkaste grupe
Primer Grupa D  h
10 April, 2015
31
Aksijalne Tačkaste grupe
Grupa S 2n : generator
sh C2n
Primer
10 April, 2015
32
S4
Tačkaste grupe
Grupa O : samo rotacije
10 April, 2015
33
Tačkaste grupe
Grupa Oh : rotacije i dodata inverzija
10 April, 2015
34
Tačkaste grupe
Grupa T : samo rotacije
10 April, 2015
35
Tačkaste grupe
Grupa Th : rotacije i dodata sh
10 April, 2015
36
Tačkaste grupe
Grupe Td, I , Ih ....
10 April, 2015
37
Koseti
Def. Neka je H<G. Podskup
aH={a, a h2, a h3, …}, gde aH ,
naziva se levim susednim kosetom
podgrupe H (levi koset). Analogno
Ha ={a, h2 a, h3 a, …} je desni koset
Koseti
• H se smatra kosetom određenim sa a=e
• Svaki element iz H može biti uzet za
predstavnika koseta
• Koseti su ili jednaki ili disjunktni

H<G Imamo razbijanje cele grupe na
kosete
Transverzala podgrupe H
Skup koji sadrži po jednog predstavnika iz
svakog koseta od H:
{t1=e,t2, t3, …, tm}
Očigledno transverzala nije jednoznačno
određena!
Lagranžova teorema
Red podgrupe je delitelj reda grupe
Dokaz ....
|G|=m |H|
m se naziva indeksom podgrupe H u G
posledice
• Svaki element g reda p konačne grupe G
je generator ciklične podgrupe
H=Cp={e=gp, g, g2,…, gp-1}
Red svakog elementa konačne grupe je
delitelj reda grupe!
posledice
• Ako je red grupe prost broj ona nema
netrivijalnih podgrupa
Takva grupa je dakle ciklična
Klase konjugacije
• Def. međusobno konjugovanih elemenata
• Skup svih međusobno koljugovanih
elemenata naziva se klasom konjugacije
• Red klase je broj elementa u klasi
• Koljugacija je relacija ekvivalencije!
Dokaz
Klase konjugacije
• Klase konjugacije su najmanji podskupovi G koji
su invarijantni pod dejstvom cele grupe
unutrašnjih automorfizmom
• Broj klasa konjugacije u konačnoj grupi je
konačan i obeležava se sa p
C1,C2,C3,...,Cp
Druga oznaka C(a)
C(e)=C1
Lema o redu klasa
Red klase je delitelj reda grupe.
Dokaz
Posledice:
• Svi elementi iz iste klasu su istog reda
• Dakle svi imaju iste osobine vezane za grupnu
strukturu
• Bilo koji element iz C(a) može biti uzet za
generator
Lema o proizvodu klasa
Skup proizvoda elemenata iz dve klase konjugacije sastoji
se od celih klasa kolugacije:
CiCj=Sij ckijCk
ckij su konstante, tj. prirodni brojevi
Ci={a,b,…}
Ci’={a-1,b-1,…}
Ako je Ci= Ci’ onda se C i naziva ambivalentnom klasom
Invarijantne podgrupe
H<G
gG
gHg-1<G
Def. N je invarijantna podgrupa u G ako za svako
gG gNg-1=N
Alternativne definicije:
1. N0G ako
"gG
gN=Ng
2. N0G ako sa svakim svojih elementom sadrži
i celu njegovu klasu konjugacije.
Prosta grupa
Nema invarijantnih podgrupa sem trivijalnih
Poluprosta
Click togrupa
edit
Master title style
Nema invarijantnih abelovih podgrupa,
sem trivijalnih.
Faktor grupa
N0G aN bN
Skup svih koseta je i sam grupa
Def. Grupa čiji su elementi koseti od neke
invarijantne podgrupe N, a grupno
množenje definisano sa (aN)(bN)=abN za
svako a,bG , naziva se faktor grupom i
označava sa G/N
Faktor grupa
• Red faktor grupe jednak je indeksu
podgrupe
Lema: Jezgro homomorfizma f (f : G->G’)
je invarijantna podgrupa u G.
Dokaz
Faktor grupa
Teorema: Neka je f homomorfizam G na G’.
Tada se svi elementi jednog koseta od
ker f preslikavaju u isti element f(G), a
različiti koseti se slikaju u različite
elemente iz f(G). Ova bijekcija faktor grupe
G/ker f na podgrupu f(G) je izomorfizam.
Dokaz
Indukcija reprezentacija
Teorema: Neka je N0 G, a D(l)(G) jedna ir-a
od G. Subdukovana reprezentacija D(m)(G)Nje
visestruki direktni zbir (ili multipl) cele jedne orbite
reprezentacija od N:
D(m)(G)N=clmS (m)D(n)(N)
nO
Indukcija reprezentacija
Teorema: Reprezentacija D(m)(N) G grupe G indukovana
pomoću ireducibilne reprezentacije D(m)(N) invarijantne
podgrupe N može biti redukovana u obliku
D(m)(N) G=SclmD(l)(G)
l
gde je clmbroj pojavljivanja ir-e D(m)(N) u razlaganju
D(m)(G)N.
Teorema: Svaka ir-a iz O(m) indukuje reprezentaciju
ekvivalentnu a D(m)(N) G.
Indukcija reprezentacija
• Dakle govorimo o reprezentaciji
idukovanoj pomoću orbite
• Reprezentacije D(l)(G) koje se javljaju u
razlaganju D(m)(N) G nazivaju se
asocirane reprezentacije od G u odnosu
na orbitu O(m).
Indukcija reprezentacija
• Asocirani skupovi ir-a od G čine jednu
particiju skupa svih ir-a od G.
• Nažalost nemogu se uvek sve ir-e grupe G
dobiti indukcijom sa N.
• Moramo da posmatramo malu grupu L(m) za
D(m)(N)
Indukcija reprezentacija
Def. Ireducibilna reprezentacija d(m,a)(L(m))
male grupe L(m) je dozvoljena
reprezentacija ako je njeno suzenje na N
visestruka reprezentacija D(m)(N), tj.
d(m,a)(L(m)) N= c D(m)(N).
Indukcija reprezentacija
Teorema: Neka je N0 G, a L(m) i O(m) mala
grupa i orbita ir-e D(m)(N)
i {d(m,a)(L(m)) | a=
1, 2, ... } skup sih dozvoljenih reprezentacija male
grupe. Tada su reprezentacije D(m,a)(G)=
d(m,a)(L(m))G
indukovane iz dozvoljenih reprezentacija male
grupe neekvivalentne ireducibilne reprezentacije
grupe G i cine ceo skup A(m) asociran orbiti O(m)
Indukcija reprezentacija
Isti asocirani skup se dobija iz dozvoljenih
reprezentacija male grupe bilo koje od
reprezentacija iz orbite O(m)
Algoritam za konstrukciju IR-a
Polazeci od skupa neekvivalentnih ir-a N0G:
1. Grupisu se ir-e D(m)(N) od N u orbite skonjugacije.
2. Izabere se po jedna iz svake orbite i odredi
se njena mala grupa.
3. Odrede se dozvoljene reprezentacije malih
grupa
4. Indukcijom iz dozvoljenih reprezentacija
male grupe dobijaju se ir-e od G.
Algoritam za konstrukciju IR-a
• Kada je L(m)=N tacka 3 je nepotrebna
• Procedura se neprimenjuje za L(m)=G