Transcript 6. Persamaan Diferensial

METODE NUMERIK
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Metode Euler

Menghitung persamaan differensial melalui
taksiran langsung dari slope xi diberi turunan
pertama.
y i 1  y i  f x i , y i h
Metode Euler (Ex.)
dy
x y
 Selesaikan persamaan differensial
dx
pada interval x = 0 s/d x = 1, h = ¼. Pada
saat x = 0, nilai y = 1. Hitung kesalahan
sebenarnya!
Metode Euler (Ex.)



Untuk x = 0
y=1
Untuk x = 0,25
yi+1 = yi + f(xi, yi).h
= 1 + f(0,1).0,25
= 1  0 1  0,2 5
=1
Untuk x = 0,5
yi+1 = yi + f(xi, yi).h
= 1 + f(0,25;1).0,25
= 1  0,2 5 1  0,2 5
= 1,0625
Metode Euler (Ex.)


Untuk x = 0,75
yi+1 = yi + f(xi, yi).h
= 1,0625 + f(0,5;1,0625).0,25
= 1,0 6 2 5 0,5 1,0 6 2 5 0,2 5
= 1,1914
Untuk x = 1
yi+1 = yi + f(xi, yi).h
= 1,1914 + f(0,75;1,1914).0,25
= 1,1 9 1 4 0,7 5 1,1 9 1 4 0,2 5
= 1,3961
Metode Euler (Ex.)
x
y
0
1
0,25
1
0,5 1,0625
0,75 1,1914
1 1,3961
Metode Euler (Ex.)

Nilai eksak
dy
 x y  dy  x y  dx
dx
dy
y
y
y
1
1
2
2
 x.dx  0
 dy  x  dx  0
 dy   x  dx   0
1 2
2 y  x C
2
Metode Euler (Ex.)

Pada saat x = 0; y = 1
1 2
2 1  0  C  C  2
2

Persamaan
1 2
2 y  x 2
2
Metode Euler (Ex.)

Untuk x = 0,25
1
2
2 y  0,2 5  2
2
2 y  2,0 3 2 5
y  1,0 1 5 6 2 5
y  1,0 3 1 5
Metode Euler (Ex.)

Untuk x = 0,5
1
2
2 y  0,5  2
2
y  1,0 6 2 5
y  1,1 2 8 9
Metode Euler (Ex.)

Untuk x = 0,75
1
2
2 y  0,7 5  2
2
y  1,1 4 0 6 2 5
y  1,3 0 1 0
Metode Euler (Ex.)

Untuk x = 1
1 2
2 y  1  2
2
y  1,2 5
y  1,5 6 2 5
Metode Euler (Ex.)
x
yEuler ysebenarnya
t
0
1
0,25
1
0,5 1,0625
1
1,0315
1,1289
0%
3,0538 %
5,8818 %
0,75 1,1914
1 1,3961
1,3010
1,5625
8,4243 %
10,6496 %
t 
y Euler  y sebenarnya
y sebenarnya
 1 0 0%
Metode Heun


Untuk memperbaiki Metode Euler, digunakan
Metode Heun dengan cara perbaikan dari
perkiraan nilai slopenya.
Perbaikan perkiraan slope tersebut, ditempuh
melalui nilai turunan dari slope-nya pada titik
awal. Kemudian mencari turunan slope-nya
pada titik akhir dan nilai tersebut dirataratakan.
Metode Heun
Langkah-langkah Metode Heun:

1.
2.
Mencari slope awal = f(xi, yi)
Slope awal pada no.1 digunakan untuk
o
ekstrapolasi nilai y , dengan rumus
i 1
o
y i 1  y i  f x i , y i   h
Metode Heun
o
3.
Persamaan prediktor (y ) digunakan untuk
i 1
|
mencari slope akhir (sebut dengan y ), dengan
i 1
rumus
|
y i 1
4.
o


 f  x i 1; y i 1 


Mencari slope rata-rata (sebut dengan y )
o


f x i , y i   f  x i 1 , y i 1 



y 
2
Metode Heun
5.
Slope rata-rata ini yang sebenarnya digunakan
untuk mengekstrapolasikan yi ke yi+1
yi+1 = yi + (slope rata-rata).h
y i 1
o


f x i , y i   f  x i 1 , y i 1 

 h
 yi 
2
Metode Heun (Ex.)
dy
x y
 Selesaikan persamaan differensial
dx
pada interval x = 0 s/d x = 1, h = ¼. Pada
saat x = 0, nilai y = 1. Hitung kesalahan
sebenarnya!
Metode Heun (Ex.)
Metode Heun (Ex.)
Metode Heun (Ex.)
Metode Heun (Ex.)
Metode Heun (Ex.)
x
0
yHeun ysebenarnya
1
0%
0,25 1,0313
1,0315
0,01939 %
0,5 1,1284
1,1289
0,0443 %
0,75 1,3001
1,3010
0,06918 %
1,5625
0,1088 %
1
1
t
1,5608