Уравнения Максвелла

1. Закон полного тока.

2. Ток смещения.

3. Единая теория электрических и магнитных полей Максвелла. Система уравнений Максвелла.

4. Пояснения к теории классической электродинамики.

5. Скорость распространения электромагнитного поля.

1. Закон полного тока.

Если в каком либо проводнике течет переменный ток – ток проводимости, то внутри есть и переменное электрическое поле, т.е.

ток смещения

.

Магнитное поле проводника определяется полным током:



j

полн

 

j

пров

   

D

t

 

j

пров

 

j

см

.

В зависимости от электропроводности среды и частоты (поля) оба слагаемых играют разную роль:

в металлах

и на низких частотах j см

в диэлектриках

основную роль.

<< j пров и на высоких частотах j см играет

•Оба слагаемых в уравнении полного тока могут иметь

одинаковые

знаки и

противоположные

. •Поэтому

j полн

может быть как больше, так и меньше тока проводимости или равен нулю.

•Если мы имеем разомкнутый проводник, то на его концах обрывается лишь ток проводимости.

•Если под током понимать полный ток, то окажется что

в природе все переменные электрические токи – замкнуты.

•Этот вывод сделан Дж. Максвеллом.

Максвелл Джеймс Клерк

(1831 – 1879) – величайший английский физик

.

Его молекулярной физике, общей статике, оптике, механике, теории упругости.

Самым работы посвящены большим электродинамике, достижением Максвелла является

теория электромагнитного поля

система нескольких уравнений, выражающих все основные закономерности электромагнитных явлений.

2. Ток смещения

Если замкнуть ключ (рис.) , то лампа при

постоянном токе

– гореть не будет: емкость C – разрыв в цепи постоянного тока.

Но вот в моменты включения лампа будет вспыхивать .

•

При переменном токе – лампа горит, хотя нам ясно, что

электроны из одной обкладки в другую не переходят

– между ними изолятор (или вакуум). •

В промежутке между обкладками магнитное поле

появляется

• Для установления отношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел понятие

ток смещения.

• Такой термин имеет смысл в таких веществах, как например диэлектрики. Там смещаются заряды под действием электрического поля. • Но в вакууме зарядов нет – там смещаться нечему, а магнитное поле есть.

•

Максвелл сделал вывод

:

всякое переменное электрическое поле порождает переменное магнитное поле

.

• •

Токи проводимости в проводнике замыкаются токами смещения в диэлектрике или в вакууме.

• •Переменное электрическое поле в конденсаторе создает такое же магнитное поле, как если бы между обкладками существовал ток проводимости, имеющий величину равную току в металлическом проводнике.

Найдём величину тока смещения.

• Поверхностная плотность поляризационных зарядов σ равна – вектору электрического смещения:  

D

• Полный заряд на поверхности диэлектрика и, следовательно, на обкладках конденсатора

q =

σ

S (S –

площадь обкладки), тогда  

E

 0 ,

D



E

 0

,

D

  .

I см

 d

q

d

t

 d ( σ

S

) .

d

t

Отсюда

I ñì



S

δ

D

δ

t

, т. е.

ток смещения пропорционален скорости изменения вектора электрического смещения

Поэтому он и получил такое название – ток смещения.



Плотность тока смещения D



j

см

  

D



t

.

Вихревое магнитное поле направлением вектора - правилом правого винта.

 

D

t



B

образующееся при

Известно, что Поэтому: ε  1  χ ,  0

D

 εε 0

E

 ( 1  χ ) ε 0

E

,

D

 ε 0

E

 ε 0

E

χ Следовательно  

E



t

– 

j

ñì

  0   

E

t

   

P

t l

.

плотность тока смещения в вакууме;

.

 

P

l



t

–

плотность тока поляризации – плотность тока, обусловленная перемещением зарядов в диэлектрике

.

3. Единая теория электрических и магнитных явлений

• Переменное магнитное поле вызывает появление вихревого электрического поля.

• Переменное электрическое поле вызывает появление магнитного поля. • Взаимно порождаясь они могут существовать независимо от источников заряда или токов которые первоначально создали одно из них.

• В сумме это есть

электромагнитное поле

(ЭМП) • Превращение одного поля в другое и распространение в пространстве – есть способ существования ЭМП.

В 1860г. знаменитый английский физик Джеймс Клерк Максвелл создал единую теорию электрических и магнитных явлений, в которой он использовал понятие

ток смещения

, дал определение ЭМП и предсказал существование в свободном пространстве электромагнитного излучения, которое распространяется со скоростью света.

Конкретные проявления ЭМП – радиоволны, свет,  лучи и т.д.

–

Система уравнений Максвелла

Теорию ЭМП Максвелл сформулировал в виде системы нескольких уравнений.

Первое уравнение:



L



H

d

l

  

S

   

j

  

D



t

    d

S

.

Это следует из теоремы о циркуляции вектора напряжённости магнитного поля:  

H

d

l

  

I i



I пр

.



I см

.



I макро

.



I см

.

,

L

но:

I см

.

 

S

 d

D

d

t

 d

S

;

I пр

.

 

S



j

d

S

(

1

)



L



H

d

l

  

S

  

j

  

D



t

   d

S

.

(

1

) •

Это уравнение является обобщением закона Био-Савар-Лапласа и показывает, что циркуляция вектора H по произвольному замкнутому контуру L равна сумме токов проводимости и токов смещения сквозь поверхность, натянутую на этот контур.

В дифференциальной форме Лапласа выглядит так

: rot 

H

 

j

  

D



t

.

закон Био-Савара-

Для явления электромагнитной индукции 

i

 

L



E

'

l

d

l

 Перейдем от вихревого электрического поля к магнитному:  

E

'

l

d  

i

  d 

Ô

d

t

  d d

t S

 

B

 d

S

  

S

 d

B

d

t

 d

S

,

L

 

E

' d

l

   

S

 

B



t

d 

S

.

(

2

) Это уравнение описывает электрическое поле магнитное поле и наоборот.

порождает явление электромагнитной устанавливает индукции ( закон количественную электрическими и магнитными полями : Фарадея связь ) и между переменное переменное

В дифференциальной форме выглядит так: rot 

E

  

B



t

 , закон Фарадея (2) где rot 

E



i

   

E z



y

 

E y



z

   

j



E



z x

 

E



x z

 

k

  

E y



x

 

E



y x

  .

Различие в знаках соответствует Ленца.

этого уравнения Максвелла закону сохранения энергии и правилу

Третье уравнение выражает теорему Остроградского-Гаусса для электрического (статического поля) поля  

D

 d

S



q ñâ

   d

V

.

(3)

S

замкнутую поверхность S

V



D

равен сумме зарядов внутри этой поверхности.

Силовые линии векторов и начинаются и заканчиваются на зарядах.



E

В дифференциальной форме  div 

D

  , (

3

) div 

D

 

D x



x

 

D y



y

 

D z



z

.

Четвертое уравнение теорема Остроградского Гаусса для магнитного поля: (4) 

S

 

B

d

S

 0 всегда замкнуты и что магнитных зарядов нет.



B

В дифференциальной форме

(

4

)

div 

B

 0 .

Величины, входящие в эти четыре уравнения не независимы, и между ними существует связь : 

B D j

     ε 0 0

E

 

E

 

H



j

стор

.

(5) (6) (7) 

j

стр

.

– плотность сторонних токов.

Эти уравнения называются

уравнениями состояния или материальными уравнениями. Вид этих уравнений определяется электрическими и магнитными свойствами среды

.

• Уравнения (1-7) составляют полную систему уравнений Максвелла. • Они являются наиболее общими для электрических и магнитных полей в покоящихся средах. • Уравнения Максвелла – инвариантны относительно преобразований Лоренца.

• Физический смысл уравнений Максвелла в дифференциальной и интегральной формах полностью эквивалентен.

Таким образом, полная система уравнений Максвелла в дифференциальной и интегральной формах имеет вид: обобщенный закон Био-Савара-Лапласа rot div  rot

H



E



E

       

t

0  

B

, , 

t

,

L S

     

L

      

V



S

d

l

  

B

  d

t



V



S



d

S

  

j

 

D



t

  

d



S

закон Фарадея теорема Гаусса div 

B



B

  0 ,  0   

S

 

H

,  0 отсутствие магнитных зарядов 

D

 ε 0 

E

,



j

  

E

 

j

стор

.

4. Пояснение к теории классической электродинамики

1.

Теорией Максвелла называется последовательная токов.

теория единого поля ЭМП, создаваемого произвольной системой зарядов и В этой зарядов и теории токов решается основная задача электродинамики – по заданному распределению отыскиваются характеристики электрического и магнитного полей.

2. В теории Максвелла рассматриваются макроскопические поля, которые создаются макрозарядами и макротоками. Расстояния от источников полей до рассматриваемых точек много больше размеров атомов. Периоды изменения переменных электрических и магнитных полей много больше периодов внутренних процессов.

3.

Теория Максвелла имеет феноменологический характер. В ней не рассматривается внутренний механизм явлений в среде. Среда описывается с помощью трёх величин

ε

,

μ

и

σ

.

4. Теория Максвелла является теорией

близкодействия

, согласно которой электрические и магнитные взаимодействия происходят в электрических и магнитных полях и распространяются с конечной скоростью, равной скорости света в данной среде.

5. Скорость распространения ЭМП

Максвелл вычислил скорость распространения ЭМП.

Магнитное поле, создаваемое зарядом, движущимся в вакууме со скоростью

v

равно (из закона Био – Савара – Лапласа): 

B

  4  0

q

[ 

v

,

r

3 

r

] Но точечный заряд создаёт и электрическое поле на расстоянии r: 

E

 4  

q

r

ε 0

r

3 .



B

  0  0 [ 

v

, 

E

].



v

движется и электрическое поле с той же скоростью.

• Раз поле перемещается следовательно оно переменное, а переменное электрическое поле 

v

E

 

v



B

электрического поля.

  0 ε 0 [ 

v

E

, 

E

] • С другой стороны при рассмотрении явления 

B



E



E

'   [ 

v

B

, 

B

' ]

Если переменное электрическое и магнитное поля порождают друг друга, то они обязаны двигаться с одинаковой скоростью (в противном случае явление электромагнитной индукции, и ток смещения мы наблюдали от случая к случаю, изредка, а не всегда, в любом случае).

Итак 

v

E

 

v

B

 

v

ЭМП

Теперь, заменив 

E



B



H

' ' '     μ

ε

[ 

v

0 0

[

ε 

v

0

B

, 

B

[

,



v



E

, ' '

]

] 

E

'  ], 

B

 μ на 0 [ 

v

, 

H



H

, ] можно записать  μ 0 [ 

H

, 

v

], (знак ' указывает, что одно вихревое поле порождает другое и наоборот).

Поскольку вектор выражаемый векторным перемножаемым векторам, то 

v

, 

E

 взаимно перпендикулярны.

Причём все три вектора образуют правовинтовую систему в направлении 

E

'  

H

'  

v

' Так как векторы взаимно перпендикулярны, то sin( 

v

, 

E

' )  sin( 

H

' , 

v

)  sin 90 0  1 Тогда абсолютные значения векторов

E

' 

H

' υμ 0

H

' 

E

' υ ε 0

Следовательно

E

'

H

' 

H

'  0  0 

E

'  1   1  0  0 

c

скорость распространения ЭМП в вакууме равная скорости света с.

 

1 8 , 85



10

 12 

4

 

10

 7 

2 , 99792458



10

8

м



с

 1

• При распространении ЭМП

в среде

  1 εε 0  0 

с

ε  , а т.к. ε > 1 и μ >1 то всегда

υ < c

.

• В отличие от других форм материи ЭМП не может находиться в состоянии покоя.

• Оно всегда движется, причём в вакууме скорость распространения ЭМП всегда равна с , независимо от системы отчёта.