Transcript KD 4
KD 4 HOMOMORFISMA, ISOMORFISMA, TEOREMA DASAR HOMOMORFISMA
Definisi Pemetaan f dari grup (G,*) ke grup (H,@) disebut homomorfisma jika untuk setiap a,b
G, berlaku f(a*b)=f(a)@f(b). Untuk mengecek apakah f homomorfisma dari G ke H, yang dilakukan: 1.
Cek apakah f fungsi/pemetaan dari G ke H 2.
Cek apakah berlaku untuk setiap a,b
G, berlaku f(a*b)=f(a)@f(b).
Ingat fungsi?
f : A B dikatakan fungsi jika x,y dengan x=y , maka f(x)=f(y) A f : A B dikatakan fungsi injektif ( satu-satu) jika x,y f(x)=f(y) maka x = y A, dengan f : A B dikatakan fungsi surjektif atau pada jika y B, x A, f(x) = y f : A B dikatakan fungsi bijektif jika f merupakan fungsi satu-satu dan pada
Misal G grup himpunan bilangan real terhadap operasi penjumlahan dan H grup bilangan real tak nol dengan operasi perkalian . Definisikan fungsi f : G
H, dengan f(a)=2 a , untuk setiap a
G. Apakah f homomorfisma apakah pada? Apakah satu-satu?
Misal G grup bilangan real tak nol terhadap operasi perkalian dan H={1,-1} terhadap operasi perkalian. Pemetaan f: G
H yang didefinisikan sebagai
f
(
x
) 1
,
-
1
, x positif x negatif
apakah merupakan homomorfisma? Apakah f isomorfisma? Pada? Satu-satu?
Teorema Misal G grup dan N subgrup normal G. Definisikan pemetaan f dari G ke G/N dengan f(g)=Ng. Maka f merupakan homomorfisma.
Misal G grup bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan dan untuk suatu bilangan bulat m, H ={km | m bilangan bulat} yang disertai dengan operasi penjumlahan. Didefinisikan pemetaan f dari G ke H dengan f(a)=ma, untuk setiap a
G. Apakah f homomorfisma? Satu-satu? Pada?
Definisi Kernel (Inti) Homomorfisma Jika f merupakan homomorfisma dari G ke H, kernel dari f atau Ker(f) adalah himpunan {x
G|f(x)=e’ , dengan e’ unsur identitas H}.
Teorema Jika f merupakan homomorfisma dari G ke H, maka (1) f(e)=e’, jika e dan e’ masing-masing unsur identitas G dan H. (2) f(x -1 )=(f(x)) -1 untuk setiap x
G. Teorema Jika f homomorfisma dari G ke H dengan kernel K, maka K merupakan subgrup normal G. Homomorfisma f: G
H merupakan isomorfisma jhj Ker f={e}, e unsur identitas G.
Definisi Isomorfisma Suatu homomorfisma f dari G ke H disebut isomorfisma, jika f merupakan pemetaan satu-satu dan pada.
Jika terdapat isomorfisma dari grup G ke grup H, dikatakan G isomorfik dengan H.
Sifat-sifat Homomorfisma Misal f suatu homomorfisma dari grup G ke grup G’, H subgrup G dan g ∈ G. 1.
f memetakan identitas G ke identitas G’. 2.
f(g n )=(f(g)) n 3.
f(H) merupakan subgrup G’ 4.
Jika G grup siklik maka f(G) juga grup siklik 5.
6.
Jika G abelian maka f(G) juga abelian Jika H subgrup normal G, maka f(H) juga subgrup normal G 7.
Jika f pada dan Ker(f)={e}, e identitas G, maka f merupakan isomorfisma 8.
Ker(f) merupakan subgrup normal dari G.
Teorema Dasar I Misal f: G
H homomorfisma grup yang pada dengan Ker f = K, maka G/K isomorfik dengan H Buktikan pemetaan g : G/K
H dengan g(Ka) = f(a) untuk setiap Ka
G/K merupakan isomorfisma. Sehingga G/K isomorfik dengan H. f G H g G/K
TEOREMA DASAR II
Misal H subgrup normal dari G, dan K subgrup normal dari G yang memuat H, maka G/K
(G/H)/(K/H). Bukti: (1) Tunjukkan H subgrup normal K (sehingga K/H terdefinisi). (2) Tunjukkan K/H subgrup normal G/H (3) Buat pemetaan
: G/H
G/K dengan
(Hg)=Kg, dan tunjukkan Ker( (G/H)/(K/H)
G/K.
)=K/H. Menurut teorema sebelumnya maka
Teorema Jika K subgrup normal dari G dan H subgrup G, maka berlaku (HK)/K
H/(H
K) Buat
: H
(HK)/K dengan
(h)=Kh, tunjukkan ini homomorfisma dengan Ker
= H
K.