Transcript Čebiševljev polinom

Čebiševljev polinom
Čebiševljev polinom n-tog stupnja
Tn ( x)  cos(n arccosx)
Ili zadano rekurzivnom relacijom
Tn1 ( x)  2xTn ( x)  Tn1 ( x)
T0 ( x)  1
T1 ( x)  x
T2 ( x)  2 x 2  1
T3 ( x)  4 x 3  3x
T4 ( x)  8 x 4  8 x 3  1

Čemu služi?
• Ako uzmemo nultočke Čebiševljevog polinoma za
interpolacijske čvorove za interpolaciju funkcije na
[-1,1], dobit ćemo minimalnu ocjenu greške
t n i  cos
(2i  1)
, i  0,1,...,n
2n  2
• U slučaju interpolacije na proizvoljnom intervalu
[a,b] za čvorove interpolacije uzimamo točke
xn  i
ba ba


t n i
2
2
Primjer 1 - Mathematica
• Zadatak usporedba od prošli puta
x
1
2
3
y
2
3
6
Ocjena greške
n 1
M n1 (b  a)
f ( x)  Pn ( x) 

2 n 1
(n  1)! 2
Newtonow interpolacioni
polinom
Ekvidistantni čvorovi
xi  xi 1  h
1. Newtonow polinom
2 y0
n y0
Pn ( x)  y0  y0 q 
q(q  1)   
q(q  1)(q  (n  1))
2!
n!
x  x0
q
h
yi  yi 1  yi , n yi  n 1 yi 1  n 1 yi
2. Newtonow polinom
2 yn 2
n y0
Pn ( x)  yn  yn 1q 
q(q  1)   
q(q  1)(q  (n  1))
2!
n!
x  xn
q
h
yi  yi 1  yi , n yi  n 1 yi 1  n 1 yi
Tablica konačnih razlika
n yi
xi
yi
y i
 yi
x0
y0
y 0
2 y0
3 y0
....
x1
y1
y1
2 y1
...
...
...
...
...
...
3 y...n3
...
...
xn
yn
yn 1
2
2 yn2
n y0
Primjer 2
• Izračunajte log(1044) razvijajući funkciju
f(x)=logx u Newtonow interpolacijski
polinom na čvorovima
x0=1000,xn=1050, h=10
Newtonow interpolacijski polinom
Pn ( x)  f [ x0 ]  f [ x0 , x1 ](x  x0 )  f [ x0 , x1 , x2 ](x  x0 )(x  x1 )   
f [ x0 , x1 ,..., xn ](x  x0 )(x  x1 )  ( x  xn 1 )
f [ x0 , x1 ,..., xn ]
podijeljena razlika
f [ x0 , x1 ,..., xn ] 
f [ x1 ,..., xn ]  f [ x0 ,..., xn 1 ]
xn  x0
f [ x0 ]  f ( x0 )
Tablica podijeljenih razlika
xi
f ( xi )
x0
y0
f [ x0 , x1 ]
f [ x0 , x1 , x2 ]
x1
y1
f [ x1 , x2 ]
f [ x1 , x2 , x3 ]
...
...
...
f [ xi , xi 1 ] f [ xi , xi 1 , xi 2 ]
......
f [ xn2 , xn1 , xn ]
...
...
xn
yn
f [ xn1 , xn ]
f [ x0 ,...,xn ]
...
...
...
Primjer 3
• Aproksimirajte funkciju f(x)=ex Newtonovim
interpolacijskim polinomom na čvorovima 0,
0.2, 0.5 i ocijenite grešku na x=0.3
Ocjena greške – opći slučaj
M n1
| f ( x)  Pn ( x) |
( x)

(n  1)!
Ocjena greške
1. Newtonow polinom
Rn ( x) 
M n 1 n 1
M n1 n 1
h q(q  1) (q  n) 
 y0
(n  1)!
(n  1)!
2. Newtonow polinom
Rn ( x) 
M n 1 n 1
M n1 n1
h q(q  1) (q  n) 
 yn
(n  1)!
(n  1)!