Transcript Схема FTCS для уравнения диффузии, зависящего от времени и

Решение задачи диффузии,
зависящей от времени
• Рассмотрим простейшее уравнение в
частных производных параболического
типа, описывающее процесс диффузии
или теплопроводности в зависимости от
времени
FTCS схема для уравнения диффузии,
зависящего от времени
Применение критерия фон Неймана к
этой схеме приводит к следующему
выражению для ξ :
Условие стабильности для схемы
FTCS для уравнения диффузии
• Выполнение условия
• Приводит к следующему критерию
стабильности схемы:
Условие стабильности для схемы
FTCS для уравнения диффузии (2)
• Физический
смысл
приведенного
условия состоит в том, что шаг по
времени при решении диффузионной
задачи должен быть не больше времени
диффузии через ячейку сетки размером
Δх, или, иначе, время диффузии τ на
расстояние λ порядка
Методы численного решения
эллиптических уравнений
• Это уравнение в частных производных
эллиптического типа, решение этого уравнения
можно представить как предел к которому
стремится при бесконечно больших t решение
следующего уравнения (например, некоторое
начальное
распределение
температур
стремится к равновесному распределению)
Схема FTCS для уравнения диффузии
в двумерной области (1)
• Рассмотрим двумерное уравнение
диффузии
Схема FTCS для уравнения диффузии
в двумерной области (2)
Схема FTCS для уравнения диффузии
в двумерной области (3)
Как было показано ранее одномерная
схема
для
уравнения
диффузии
устойчива,
если
t/(*)1/2,
в
двумерном случае t/(*)1/4, возьмем
максимально возможный шаг, при
котором t/(*)=1/4, тогда приведенная
схема получит название схемы Якоби и
примет вид
Схема Якоби для уравнения диффузии
в двумерной области
Эта схема теперь используется для
решения стационарного уравнения
диффузии (граничной задачи)
Метод Якоби
Эта классическая разностная схема была
предложена в конце прошлого века и
называется методом Якоби. Этот метод
редко используется на практике из-за
медленной сходимости, однако он
служит основой для понимания многих
современных методов.
Метод Гаусса-Зейделя (1)
Второй классический метод называется
методом Гаусса-Зейделя; этот метод
используется в многосеточных методах
решения граничных задач. В этом методе
два значения неизвестной функции в
правой части берутся в момент времени
n+1, как только они становятся известны.
Метод Гаусса-Зейделя (2)
Этот метод также медленно сходится,
однако анализ этого метода может быть
полезен.
Рассмотрим методы Якоби и ГауссаЗейделя с точки зрения представления
матриц в виде суммы. Заменим
обозначение u на x, чтобы получить
стандартный вид матричного уравнения.
Разбиение матрицы А
Мы можем представить матрицу A в виде
Здесь –D –диагональная часть матрицы A, L –
нижняя треугольная часть матрицы A, U –
верхняя треугольная часть матрицы A,
матрицы L, U содержат нули на диагонали.
Метод релаксации для схемы Якоби
При использовании метода Якоби
итерацию на r –м шаге можно записать в
виде:
• Матрица –D-1*(L+U) – итерационная
матрица при помощи которой находится
следующее итерационное приближение.
Скорость сходимости метода Якоби
(1)
• Мы не будем проводить детальный анализ
скорости сходимости этого метода, Для оценки
скорости сходимости вводится параметр,
называемый спектральным радиусом
оператора релаксации
• При увеличении размерности сетки J
спектральный радиус стремится к единице.
Скорость сходимости метода Якоби
(2)
Была произведена оценка числа итераций,
необходимых для достижения точности
10-p
Скорость сходимости метода Якоби (3)
Для данного конкретного уравнения, граничных
условий и геометрии сетки спектральный
радиус, в принципе, можно вычислить
аналитически, так для сетки размерности J*J с
условиями Дирихле на всех четырех границах,
асимптотическая формула для больших J имеет
вид:
Оценка необходимого числа итераций
в методе Якоби
При этом необходимое число итераций для
достижения точности можно оценить по
формуле:
Другими словами, число итераций
пропорционально числу точек сетки
Метод релаксации для схемы ГауссаЗейделя
• Методу Гаусса-Зейделя соответствует
следующее матричное уравнение:
Оценка необходимого числа итераций
в методе Гаусса-Зейделя
Для рассматриваемой нами модели
спектральный радиус и число итераций
можно оценить по формулам: