Transcript diagramma - Dipartimento di Ingegneria e Architettura

ATTENZIONE !
per visualizzare le formule
occorre avere installato
l’Equation Editor di Office
oppure il programmino
Math Type
...
Uno schema di
classificazione
per le teorie fisiche
Prof. Enzo Tonti
...
Perché in fisica si usa la matematica ?
Fra le scienze della natura
fisica
chimica
biologia
botanica
zoologia
la fisica spicca per il fatto che la sua trattazione esige
l’uso massiccio della matematica.
Come mai ?
Il fatto è che in fisica gli attributi di un sistema sono
in gran parte attributi quantitativi, a differenza delle
altre scienze naturali nelle quali gli attributi sono, in
maggior parte, qualitativi.
Gli attributi quantitativi rendono possibile la nascita
delle grandezze fisiche.
...
Le grandezze fisiche
Massa m
Densità massa r
Energia potenziale V
Energia cinetica T
Quantità di moto p
Momento angolare L
Velocità angolare w
Momento di una forza M
Impulso della forza J
Forza F
Dal momento che ci proponiamo di analizzare la descrizione
matematica della fisica, sarà naturale partire da una analisi delle
grandezze fisiche.
Fase f
Vettore d’onda k
Numero d’onda s
Lunghezza d’onda l
Frequenza n
Accelerazione gravità g
Riflettanza r
Peso specifico g
Indice di rifrazione n
Lunghezza L
Area A
Volume V
intervallo T
Istante t
Angolo a
Le grandezze fisiche,
che sono le protagoniste della fisica,
sono solitamente presentate
man mano che vengono usate,
spesso definite frettolosamente
e talvolta date per scontate.
Temperatura T
Pressione p
Lavoro W
Energia interna U
Entropia S
Energia libera F
Funzione di Gibbs G
entalpia H
Potenziale chimico m
Potenziale elettrico f
Potenziale vettore magnetico A
Campo elettrico E
Spostamento elettrico D
Densità flusso magnetico B
Intensità campo magnetico H
Densità di corrente J
Densità di carica r
Polarizzazione P
Magnetizzazione M
Vettore di Poynting S
Densità energia elettrica w
Densità energia magnetica w
Spostamento u
Tensore di deformazione e
Tensore degli sforzi s
Velocità di deformazione d
Forza di volume F
Flusso magnetico F
Forza di superficie T
Viscosità m
Flusso elettrico Y
Momento flettente M
Dilatazione cubica q
Azione J
Velocità v
Modulo di rigidità G
Lagrangiana L
Deformazione di taglio g
Modulo elastico E
Hamiltoniana H
Sforzo di taglio t
Curvatura g
Funzione di Jacobi S
Funzione di gauge c Numero di Reynolds Re
Non ci si sofferma sulla loro genesi,
sulle loro caratteristiche,
sulla loro classificazione.
Costante di Planck h
Coefficiente di Poisson n
Velocità della luce c Coefficiente di trasmissione t
Costante di Boltzman k
Conducibilità termica l
Resistenza elettrica R
Carica elettrone e
Numero di Avogadro A
Resistività r
Costante di Rydberg R
Conducibilità s
...
Tre classificazioni
delle grandezze fisiche
...
classificazione delle grandezze fisiche
costanti
fisiche
Sono quelle grandezze che
descrivono le caratteristiche
di un sistema:
le costanti materiali,
i parametri del mezzo,
i parametri di un sistema,
i diversi coefficienti, fattori, moduli,
le costanti fondamentali, ecc.
variabili
fisiche
Sono quelle grandezze che
caratterizzano lo stato di un
sistema, la sua configurazione,
i potenziali e le sorgenti del campo,
le energie, ecc.
grandezze
fisiche
...
classificazione delle grandezze fisiche
GLOBALI
costanti
fisiche
resistenza: R
rigidezza: k
capacità termica: C
variabili
fisiche
tensione elettrica: V
flusso magnetico: F
allungamento: DL
carica elettrica: Q
flusso materia: F
forza di superficie: T
energia elettrom: E
potenza: P
azione di campo: J
locali
resistività: r
modulo elastico: E
calore specifico: c
altre costanti:
A, k, e, c
vettore campo elettrico: E
densità flusso magnetico: B
tensore di deformazione: e
densità di carica: r
vettore densità corrente: q
tensore degli sforzi: s
densità energia elettrom: w
densità flusso di energia: q
densità lagrangiana: L
...
classificazione delle grandezze fisiche
costanti fisiche
Peso specifico g
Riflettanza r
Indice di rifrazione n
Costante di Planck h
Velocità della luce c
Costante di Boltzman k
Carica elettrone e
Numero di Avogadro A
Costante di Rydberg R
Coefficiente di Poisson n
Coefficiente di trasmissione t
Conducibilità termica l
Resistenza elettrica R
Resistività r
Conducibilità eletrica s
Viscosità m
Modulo di rigidità G
Modulo elastico E
….
(NUMEROSE ALTRE)
variabili fisiche
Lunghezza L
Area A
Volume V
intervallo T
Istante t
Angolo a
Potenziale elettrico f
Potenziale vettore magnetico A
Campo elettrico E
Spostamento elettrico D
Densità flusso magnetico B
Intensità campo magnetico H
Densità di carica r
Densità di corrente J
Polarizzazione P
Magnetizzazione M
Vettore di Poynting S
Densità energia elettrica w
Densità energia magnetica w
Fase f
Vettore d’onda k
Dilatazione cubica q
Numero d’onda s
Lunghezza d’onda l
Frequenza n
Accelerazione gravità g
Flusso magnetico F
Flusso elettrico Y
Azione J
Lagrangiana L
Hamiltoniana H
Funzione di Jacobi S
Funzione di gauge c
Spostamento u
Tensore di deformazione e
Tensore degli sforzi s
Velocità di deformazione d
Forza di volume F
Forza di superficie T
Momento flettente M
Velocità v
Deformazione di taglio g
Sforzo di taglio t
Curvatura g
Numero di Reynolds Re
Temperatura T
Pressione p
Lavoro W
Energia interna U
Entropia S
Energia libera F
Funzione di Gibbs G
Entalpia H
Potenziale chimico m
Massa m
Densità massa r
Energia potenziale V
Energia cinetica T
Quantità di moto p
Momento angolare L
Velocità angolare w
Momento di una forza M
Impulso della forza J
Forza F
……
(NUMEROSE ALTRE)
...
classificazione delle grandezze fisiche
costanti fisiche
Passiamo dai parametri globali (parametri concentrati)
a quelli locali (parametri distribuiti) spogliandoli della geometria.
parametri concentrati
resistenza
rigidezza
parametri distribuiti
resistività
modulo elastico
V  RI
L
V r
I
A
F  k DL
A
F  E DL
L
...
classificazione delle grandezze fisiche
Cosa si misura?
in generale noi misuriamo
grandezze globali
(funzioni di dominio)
non grandezze locali (funzioni di punto).
misuriamo una tensione V e poi valutiamo il campo elettrico E,
misuriamo una massa M e poi valutiamo la densità r
misuriamo una forza F e poi valutiamo la pressione p
misuriamo una corrente elettrica I e poi valutiamo j
misuriamo un allungamento DL e poi valutiamo e
...
classificazione delle variabili fisiche
Variabili
globali
massa
M V 
Variabili
locali
 r (P) dV
Variabili
globali
entropia
S V 
S    J (P)  dS
flusso
magnetico
F S  
E L 
 E(P)  dL
L
temperatura
T  P   T(P)
Funzioni
di dominio
Funzioni
di punto
circolazione
della velocità
 B(P)  dS
S
S
forza
elettromotrice
 s(P) dV
V
V
Intensità I
di corrente
Variabili
locali
 L 
 v(P)  dL
L
potenziale
f
(elettrico,
gravitazionale)
 P  f  P 
Funzioni
di dominio
Funzioni
di punto
...
classificazione delle variabili fisiche
Questo consente di estendere la nozione di “associazione” alle
variabili di punto.
La densità è associata al volume ed è funzione del punto
M V 
 r (P) dV
r  V   r (P)
V
La densità di flusso magnetico B è associato alla superficie e funzione del punto
F S  
 B(P)  dS
B S  B(P)
S
L’intensità del campo elettrico E è associato alla linea e funzione del punto
E L 
 E(P)  dL
E  L  E(P)
L
La temperatura termodinamica T è associata al punto e funzione del punto
T  P   T(P)
...
classificazione delle variabili fisiche
In ogni teoria fisica (del macrocosmo) le variabili fisiche si possono
classificare in una delle tre classi seguenti:
Variabili
energetiche
Variabili di
configurazione
Variabili di
sorgente
...
classificazione delle variabili fisiche
Sono quelle che descrivono la configurazione del campo.
Tali sono le variabili geometriche e cinematiche.
Variabili di configurazione
raggio vettore
spostamento
velocità
temperatura
gradiente termico
potenziale elettrico
vettore induzione magnetica
fase di un’onda
gradiente dello spostamento
tensore di deformazione
circolazione della velocità
potenziale chimico
ecc.
...
classificazione delle variabili fisiche
Sono quelle che descrivono le sorgenti del campo
quali le variabili statiche e dinamiche.
Variabili di configurazione
Variabili di sorgente
raggio vettore
spostamento
velocità
temperatura
gradiente termico
potenziale elettrico
vettore induzione magnetica
fase di un’onda
gradiente dello spostamento
tensore di deformazione
circolazione della velocità
potenziale chimico
ecc.
forza
impulso di una forza
carica elettrica
corrente elettrica
quantità di moto
funzione di corrente
momento angolare
pressione
tensore degli sforzi
intensità campo magnetico
massa
vettore induzione elettrica
ecc.
...
classificazione delle variabili fisiche
Sono tutte quelle variabili che si ottengono facendo il prodotto
di una variabile di sorgente per una variabile di configurazione.
variabile
energetica
variabile
di sorgente
variabile di
configurazione
lavoro = forza spostamento
energia potenziale = peso
altezza
energia cinetica = quantità di moto velocità
potenza = forza velocità
entalpia = U + pressione volume
...
classificazione delle variabili fisiche
Sono quelle che risultano dal prodotto di una variabile di sorgente per una
variabile di configurazione.
Variabili di configurazione
Variabili
energetiche
raggio vettore
lavoro
spostamento
potenza
velocità
energia potenziale
temperatura
energia cinetica
gradiente termico
energia interna
potenziale elettrico
entalpia
vettore induzione magnetica
energia libera
fase di un’onda
funzione di Gibbs
gradiente dello spostamento
vettore di Poynting
tensore di deformazione
azione
circolazione della velocità
ecc.
potenziale chimico
ecc.
Variabili di sorgente
forza
impulso di una forza
carica elettrica
corrente elettrica
quantità di moto
funzione di corrente
momento angolare
pressione
tensore degli sforzi
intensità campo magnetico
massa
vettore induzione elettrica
ecc.
...
classificazione delle variabili fisiche
GLOBALI
costanti
fisiche
variabili
fisiche
rigidezza: k
resistenza: R
capacità termica: C
locali
modulo elastico: E
resistività: r
calore specifico: c
tensione elettrica: V
flusso magnetico: F
allungamento: DL
vettore campo elettrico: E
densità flusso magnetico: B
tensore di deformazione: e
carica elettrica: Q
flusso materia: F
forza di superficie: T
densità di carica: r
vettore densità corrente: q
tensore degli sforzi: s
energia elettrom: E
potenza: P
azione di campo: J
densità energia elettrom: w
densità flusso di energia: q
densità lagrangiana: L
altre costanti:
A, k, e, c
configurazione
sorgente
energetiche
...
classificazione delle variabili fisiche
variabili di
configurazione
Lunghezza L
Area A
Volume V
intervallo T
Istante t
Angolo a
Potenziale elettrico f
Potenziale vettore magnetico A
Campo elettrico E
Densità flusso magnetico B
Numero d’onda s
Lunghezza d’onda l
Frequenza n
Accelerazione gravità g
Flusso magnetico F
Temperatura T
Velocità angolare w
Velocità v
Deformazione di taglio g
Curvatura g
Velocità di deformazione d
Funzione di gauge c
Spostamento u
Tensore di deformazione e
Fase f
Vettore d’onda k
Dilatazione cubica q
Potenziale chimico m
……
(NUMEROSE ALTRE)
variabili
energetiche
variabili di
sorgente
Lavoro W
Energia potenziale V
Energia cinetica T
Azione J
Lagrangiana L
Hamiltoniana H
Funzione di Jacobi S
Energia interna U
Vettore di Poynting S
Densità energia elettrica w
Densità energia magnetica w
Energia libera H
Funzione di Gibbs G
Entalpia H
……
(POCHE ALTRE)
Forza F
Forza di volume F
Forza di superficie T
Pressione p
Entropia S
Massa m
Densità massa r
Quantità di moto p
Momento angolare L
Momento di una forza M
Impulso della forza J
Spostamento elettrico D
Intensità campo magnetico H
Densità di corrente J
Densità di carica r
Polarizzazione P
Magnetizzazione M
Momento flettente M
Sforzo di taglio t
Tensore degli sforzi s
Flusso elettrico Y
……
(NUMEROSE ALTRE)
Numero di Reynolds Re dove va?
A questo punto
entra in campo
la geometria
...
Elementi spaziali
Chiameremo “elementi spaziali”
i punti (P), le linee (L), le superfici (S), i volumi (V);
4 elementi spaziali
Punto P
Nasce allora la necessità di fare
una classificazione
degli elementi spaziali.
Linea L
Il modo migliore di fare questo
Superficie S
è di costruire un complesso di celle
ed un suo duale.
Volume V
...
Complesso di celle primale e duale
P
L
S
S
L
P
complesso
primale
complesso
duale
P
S
L
L
S
P
...
Complesso di celle primale e duale
P
L
S
S
complesso
primale
complesso
duale
P
S
L
L
S
P
L
P
...
Classificazione degli elementi spaziali
complesso primale
complesso duale
P
Punto
Volume
V
L
Linea
Superficie
S
S
Superficie
Linea
L
V
Volume
Punto
P
...
Qui c’è un fatto fondamentale:
le variabili globali
sono associate
agli elementi spaziali
...
Variabili GLOBALI ed elementi spaziali
Global variables are naturally referred to space elements:
Point (P)
Line (L)
Surface (S)
Volume (V)
Thermal conduction
Electromagnetism
Solid mechanics
Fluid mechanics
temperature is referred to points
electrical potential is referred to points
displacement is referred to points
velocity is referred to points
P
P
P
P
Electromagnetism
Solid mechanics
Fluid mechanics
Electromagnetism
voltage is referred to lines
stretching is referred to lines
velocity circulation is referred to lines
magnetomotive force is referred to lines
L
L
L
L
Electromagnetism
Electromagnetism
Fluid mechanics
Thermal conduction
Solid mechanics
magnetic flux is referred to surfaces
charge flow is referred to surfaces
discharge is referred to surfaces
heat is referred to surfaces
surface force is referred to surfaces
S
S
S
S
S
Mechanics
Mechanics
Mechanics
Thermodynamics
mass content is referred to volumes
momentum content is referred to volumes
energy content is referred to volumes
entropy content is referred to volumes
V
V
V
V
...
classificazione delle grandezze fisiche
Dal momento che le variabili fisiche
sono associate agli elementi spaziali,
la precedente classificazione degli elementi spaziali
induce a fare una corrispondente
classificazione delle variabili fisiche:
è sufficiente inserire le variabili fisiche
nelle caselle dei corrispondenti elementi spazialiE’ in questo modo che nasce
uno schema di classificazione
delle variabili di ogni teoria fisica.
...
classificazione delle variabili fisiche
Empiricamente si fa la seguente constatazione:
Se le variabili di configurazione
si associano
agli elementi
del complesso primale
allora le variabili di sorgente
risultano associate
agli elementi
del complesso duale.
(Questa constatazione è, solo in parte, giustificata da considerazioni
riguardanti le due nozioni di orientazione di un elemento spaziale,
l’orientazione interna e quella esterna, che qui non trattiamo per brevità)
...
classificazione delle variabili fisiche
Dal momento che le grandezze fisiche globali sono associate
ad un elemento spaziale, del complesso primale o duale,
possiamo inserire le grandezze nelle relative caselle.
complesso primale
complesso duale
P
V
L
S
S
L
V
P
...
Conduzione termica
variabili di configurazione
complesso primale
T = temperatura
P = produzione
termica
P
L
R = salto termico
T
R
variabili di sorgente
complesso duale
P
Q
~
V
~
S
S
~
L
V
~
P
Q = calore
...
Elettrostatica
variabili di configurazione
complesso primale
f
potenziale
elettrico
Q
Carica
elettrica
P
L
V
tensione
elettrica
Y
flusso
elettrico
f
V
variabili di sorgente
complesso duale
Q
Y
~
V
~
S
S
~
L
V
~
P
...
Fluidi perfetti
variabili di configurazione
complesso primale
f
Potenziale
cinetico
P
Produzione
di massa
P
L

circolazione
della velocità
f

variabili di sorgente
complesso duale
P
Q
~
V
~
S
S
~
L
V
~
P
Q flusso di massa
...
Meccanica solidi deformabili
variabili di configurazione
complesso primale
uspostamento
di
F forza
volume
P
L
h
spostamento
relativo
T
forza di
superficie
u
h
variabili di sorgente
complesso duale
F
T
~
V
~
S
S
~
L
V
~
P
...
Dinamica fluidi viscosi
variabili di configurazione
complesso primale
v velocità
F
forza di
volume
P
L
d
velocità
relativa
forza di
T superficie
v
d
variabili di sorgente
complesso duale
F
T
~
V
~
S
S
~
L
V
~
P
...
Equazioni
...
Le equazioni della fisica
Le leggi fisiche sono descrivibili come relazioni quantitative
tra grandezze fisiche ovvero con equazioni.
Questo non è possibile, ad esempio, in biologia ove le
leggi biologiche sono quasi sempre espresse a parole.
Con le grandezze fisiche espresse da numeri
e da insiemi di numeri ( vettori, tensori, matrici, ecc.)
e con le leggi fisiche, espresse da equazioni,
… fa il suo ingresso trionfale in fisica, la matematica !
Ci proponiamo di dare una visione d’assieme
delle grandezze e delle equazioni fisiche
al fine di cogliere alcune caratteristiche generali
che sono di solito sottovalutate.
...
Equazioni di “struttura”
Tali sono tutte le equazioni che legano fra loro le variabili di
configurazione o le variabili di sorgente di una teoria fisica.
variabili di configurazione
complesso primale
variabili di sorgente
complesso duale
P
~
V
L
~
S
EQUAZIONI
DI STRUTTURA
S
~
L
V
~
P
EQUAZIONI
DI STRUTTURA
...
Equazioni di “struttura”
Col nome (nuovo) di “equazioni di struttura” intendiamo le equazioni
che legano le variabili di una stessa teoria che sono associate agli
elementi di uno stesso complesso di celle.
variabili di configurazione
complesso primale
P
Equazione di
formazione delle
differenze
L
Equazione
circuitale
S
variabili di sorgente
complesso duale
~
V
~
S
~
L
Equazione
di bilancio
V
~
P
Equazione
di bilancio
Equazione
circuitale
Equazione di
formazione delle
differenze
...
Equazioni costitutive
Sono le equazioni che legano
le variabili di sorgente
con le variabili di configurazione
variabili di
configurazione
equazioni
costitutive
variabili
di sorgente
...
Equazioni costitutive
Tali sono tutte le equazioni che legano le variabili di configurazione
con le variabili di sorgente di una teoria fisica.
variabili di configurazione
complesso primale
variabili di sorgente
complesso duale
P
~
V
L
~
S
S
~
L
V
~
P
...
Esempi di quazioni costitutive
Fourier
q = - k grad T
k = conducibilità termica
Fick
q = - D grad c
D = diffusività
Darcy
q = - k grad H
k = conducibilità idraulica
Ohm
j =sE
s = conducibilità elettrica
Newton
t=mg
m viscosità
Hooke
s=Ee
E modulo di elasticità
Coulomb
D=eE
e = permeabilità
H = 1/m B
m = permittività
p=mv
m = massa
Come si vede una equazione costitutiva lega una variabile di configurazione
con una variabile di sorgente.
...
Conduzione termica stazionaria
Poisson
Variabili di configurazione
Complesso primale
k T  p
2
Variabili di sorgente
Complesso duale
Equazione fondamentale
P
V
Sorgente
termica
T
p
R  T
q  p
temperatura
L
gradiente
temperatura
R
S
Fourier
q  k R
q
Densità di
flusso
...
elettrostatica
Poisson
Variabili di configurazione
Complesso primale
e  f  r
2
Variabili di sorgente
Complesso duale
Equazione fondamentale
potenziale
elettrico
f
V
P
L
E
densità di
carica
D  r
E  f
intensità
campo
elettrico
r
De E
S
D
Spostamento
elettrico
...
moto fluido perfetto
Laplace
Variabili di configurazione
Complesso primale
r  f  0
2
Variabili di sorgente
Complesso duale
Equazione fondamentale
potenziale
cinetico
f
V
P
0
q  0
v  f
L
velocità
v
qr v
S
q
Densità
di flusso
di massa
...
Riassunto
Partendo dalla constatazione che la formulazione matematica della fisica
è resa possibile dall’esistenza delle grandezze fisiche,
si procede ad una analisi delle grandezze ed alla loro classificazione.
Si richiamano tre classificazioni:
• costanti / variabili
(tradizionale)
• globali / locali
(nota ma poco utilizzata)
• configurazione / sorgente / energetiche (nuova)
Si constata che le variabili fisiche presentano una naturale associazione
agli elementi spaziali.
Essendo possibile fare uno schema di classificazione degli elementi spaziali,
si può utilizzare lo stesso schema
per ottenere una classificazione delle variabili fisiche.
In tal modo si fornisce una spiegazione delle analogie
tra teorie fisiche diverse.
...
Variabili di
configurazione
Variabili di
sorgente
equazioni di struttura
equazioni di struttura
equazioni costitutive
Fiume della
fenomenologia
...
indirizzi
Diagrammi relativi a differenti teorie fisiche
si possono scaricare dal sito:
http://discretephysics.dic.units.it
alla voce
“Diagrams of Physical Theories”
Prof. Enzo Tonti, Dipartimento di Ingegneria Civile
dell’Università di Trieste, Piazzale Europa 1, 34127 Trieste
Tel: 040 558 3846
e-mail:
[email protected]