x - Кафедра прикладной и компьютерной оптики СПбГУ ИТМО
Download
Report
Transcript x - Кафедра прикладной и компьютерной оптики СПбГУ ИТМО
Дискретное преобразование
Фурье
Численные методы в оптике
кафедра
прикладной и компьютерной оптики
2
Одномерное
преобразование Фурье
Прямое преобразование Фурье
~
f f x e 2ix d F f x
Обратное преобразование Фурье
f x
~
2ix
1 ~
f e
dx F f
~
f – Фурье-образ функции
F – оператор преобразования Фурье
где
– пространственная частота
F f x
– сокращенная запись преобразования Фурье
Преобразование Фурье является обратимым:
~
F
f ( x)
f ( )
3
Двумерное
преобразование Фурье
Преобразование Фурье двумерной функции
f x, y e 2ix
~
f x , y
x
y y
dxdy F f x, y
Обратное преобразование Фурье
~
2i x x y y
1 ~
f x, y f x , y e
d x d y F f x , y
4
Использование преобразования
Фурье в оптике
Комплексная амплитуда в изображении точки
U x , y F 1 f x , y
Функция рассеяния точки
h x ,y F
1
f x , y
2
Оптическая передаточная функция
D x , y F h x , y
описывает влияние оптической системы как фильтра пространственных
частот
основа мат.аппарата для описания распространение электромагнитного
поля через оптическую систему и дифракции
5
Преобразование Фурье в
одиночной линзе
Если предмет расположен в передней фокальной
плоскости линзы, то его изображение в задней фокальной
плоскости можно описать преобразованием Фурье
без учета ограничения пучка
передняя фокальная
плоскость
(предмет)
задняя фокальная
плоскость
(изображение)
6
Одномерные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ
, x 0
0, x 0
x
1
f(x)
f(x)
1
1
x
x
4
3
2
1
0
1
2
3
4
дельта-функция = функция Дирака
4
3
2
1
0
1
2
3
4
7
Одномерные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ
comb x
comb x
x n
n
f(x)
f(x)
1
1
x
x
4
3
2
1
0
1
2
3
4
решетка Дирака = гребенка Дирака
4
3
2
1
0
1
2
3
4
8
Одномерные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ
1, x [0.5;0.5];
rect x
0, x [0.5;0.5].
sinc x
sin( x )
x
f(x)
1
f(x)
1
0.5
x
x
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
4
3
2
1
0
0.5
1
2
3
4
9
Одномерные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ
x [1;1];
0,
tr( x) 1 x, x [1;0];
1 x, x [0;1].
sinc 2 x
f(x)
1
f(x)
0.75
1
0.5
0.25
x
x
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
4
3
2
1
0
1
2
3
4
10
Одномерные функции
и их Фурье-образы
Функция
e
Фурье-образ
x 2
e
f(x)
1
x 2
f(x)
1
0.75
0.75
0.5
0.5
0.25
0.25
x
x
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
функция Гаусса
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
11
Одномерные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ
x 0.5 x 0.5
cos x
2
f(x)
1
f(x)
1
0.5
0.5
x
4
3
2
1
0
0.5
1
1
2
3
x
4
1
0.5
0
0.5
1
12
Одномерные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ
x 0.5 x 0.5
sin x
2i
f(x)
1
f(x)
0.5
0.5
x
x
4
3
2
1
0
1
2
3
4
1
0.5
0
0.5
1
0.5
0.5
1
13
Одномерные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ
1, x 0;
sign( x)
1, x 0.
i
x
f(x)
2
2
f(x)
1
1
x
x
2
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
2
1
2
1.5
1
0.5
0
1
2
2
полуплоскость
0.5
1
1.5
2
14
Осесимметричные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ
circ r
Bessinc( r )
J1 2 r
r
f(r)
f( r )
4
1
3
2
1
r
1.5
1
0.5
0
0.5
1
1.5
3
2
1
r
0
1
1
2
3
15
Осесимметричные функции
и их Фурье-образы
Функция
Фурье-образ
1
J o 2r
1 r2
1.5
f( r )
f(r)
1
1
0.5
0.5
r
r
3
2
1
0
0.5
1
2
3
1
0.5
0
0.5
1
16
Свойства Фурье-образа
Функция
линейность
Фурье-образ
~
cn f n x , y
c n f n x, y
n
n
масштаб
смещение
свертка
f ax, by
1 ~ x y
f ,
ab
a b
f x a, y b
~
2i a x b y
f x , y e
f x, y g x, y
~
f x , y g~ x , y
a, b и c – произвольные константы
f (x)
произведение ширины
функции и ширины
спектра постоянно
~
f ( )
17
Свертка и автокорреляция
f(x,y)
Свертка двух функций
f x, y g x, y
f x, y g x x, y y dxdy
x
g(x,y)
f ( x, y) g ( x, y) g ( x, y) f ( x, y)
f ( x, y) g ( x, y) h( x, y) f ( x, y) g ( x, y) f ( x, y) h( x, y)
Автокорелляция – свертка функции самой с собой
f x, y f x, y
для некогерентного освещения интенсивность на изображении – свертка
ФРТ и интенсивности на предмете I ( x, y) I ( x, y) h( x, y)
ОПФ – автокорелляция зрачковой функции D(x , y ) f ( x , y ) f ( x , y )
18
Свертка (пример)
19
Свойства симметрии
Функция
Фурье-образ
вещественная и четная
вещественный и четный
вещественная и нечетная
мнимый и нечетный
вещественная и не симметричная
Комплексный:
вещественная часть четная
мнимая часть нечетная
20
Свойства Фурье-образа
Теорема о центральном значении:
~
f (0) f ( x)dx
f (0)
~
f ( )d
Теорема Парсеваля (закон сохранения энергии):
2
f ( x) dx
~ 2
f ( ) d
Теорема о производной:
n f ( x) F ~
n
f
(
)
2
i
x n
21
Свойства Фурье-образа
Фурье-образ двумерной функций с разделяющимися
переменными можно определить как произведение
Фурье-образов составляющих её множителей:
~
~
~
f x , y F f x, y F f x x F f y y f x x f y y
Модуль Фурье-спектра обычно убывает
~
1
n 1
где n – порядок дифференцируемости исходной функции
чем более гладкая функция, тем быстрее убывает ее Фурье-спектр
22
Спектр периодической функции
Спектр периодической функции (с периодом T)
существует только в отдельных точках, то есть является
дискретным с шагом 1/T
f x g x nT
f x
F
T
T
f x g ( x) com b x
~
f
1
T
~
~ combT
f g
огибающая дискретного спектра – Фурье-образ одного периода функции
23
Спектр дискретной функции
Спектр дискретной функции с шагом дискретизации x ,
есть периодическая функция с периодом T 1x , а в
пределах одного периода – спектр огибающей выборки
Частота Найквиста 12x – предельная частота, на
которой еще имеет смысл говорить о спектре выборки
f x
x
F
~
f
1
2 x
T 1/ x
24
Принципы дискретизации функций
Непрерывная функция
Точность (адекватность)
Экономичность (объем памяти)
выбор шага
выбор количества элементов в выборке
выборка
25
Теорема о выборке
теорема о выборке = теорема Уиттекера-Шеннона = теорема Котельникова
Любая двумерная функция с финитным Фурье-образом
однозначно определяется выборкой с шагами Δx и Δy ,
величина которых удовлетворяет неравенствам:
1
Δx
2 x
Δy
1
Δx
2 y
1
N Δν x
1
Δy
N Δν y
если Nвыборки = Nспектра
где x и y – предельные частоты в Фурье-образе этой функции
~
f
f x
x
x
T 1
x
Финитная функция – функция, отличная от нуля только на конечном интервале
26
Дискретное
преобразование Фурье (ДПФ)
Прямое дискретное преобразование Фурье
1
~
fm
N
N 1
k 0
fk e
2 i
km
N
Обратное дискретное преобразование Фурье
1
fk
N
N 1 ~
m 0
fm e
2 i
mk
N
где m – номер элемента в выборке функции,
k – номер элемента в выборке Фурье-спектра
N – размерность выборок
27
Алгоритмы быстрого
преобразования Фурье (БПФ)
Алгоритмы БПФ:
алгоритм Кули-Тьюки
алгоритм Гуда-Томаса
алгоритм Винограда
другие
FFTW – библиотека БПФ, выполненная на С++
быстрые алгоритмы работают наиболее эффективно с выборками,
размерность которых является 2n, т.е.
2, 4, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048 и т.д.
28
Проблемы ДПФ
Непрерывное преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурье
необходимо циклическое смещение на N/2
29
Сдвиговое дискретное
преобразование Фурье (СДПФ)
Сдвиговое дискретное преобразование Фурье
~
fm
N 1
k 0
fk e
2 i
k k s m ms
N
где ms – величина сдвига функции, ks – величина сдвига спектра
для получения Фурье-образов с расположением начала координат в
центре выборки ms N 2 ks N 2
СДПФ легко выражается через ДПФ
kms
N
1
2
i
~
N
fm fk e
k 0
2 i km 2 i k s m
e
N e
N
30
Вычисление СДПФ
Домножение функции на сдвиговую экспоненту e
обеспечивающие смещение спектра
2 i
kms
N
,
Выполнение ДПФ, с использованием любого алгоритма
БПФ
Домножение спектра на сдвиговую экспоненту e
компенсирующие смещение выборки
2 i
ksm
N
,
31
Двумерное СДПФ
Двумерное сдвиговое дискретное преобразование Фурье
~
fm
N 1
k 0
fk e
2 i
k k s m ms
N
e
2 i
l ls n ns
N
где ms, ns – величина сдвига функции; ks , l s – величина сдвига спектра
для получения Фурье-образов с расположением начала координат в
центре выборки ms N 2 ns N 2
ks N 2 ls N 2
Двумерное СДПФ через ДПФ
kms
lns
N
1
2
i
2
i
~
N e
N
fm fk e
k 0
2 i km 2 i ln 2 i k s m 2 i ls n
e
N e
N e
N e
N
32
Вычисление двумерного СДПФ
Домножение функции на сдвиговые экспоненты,
обеспечивающие смещение спектра
km
ln
2 i s
2 i s
N
N
e
e
Выполнение ДПФ, с использованием любого алгоритма
БПФ
Домножение спектра на сдвиговые экспоненты,
компенсирующие смещение выборки
e
2 i
ksm
N
e
2 i
ls n
N
Преобразование Фурье.
Задачи
Численные методы в оптике
кафедра
прикладной и компьютерной оптики
34
Смещение и масштабирование
функций
f (x)
вращение вокруг OX
f ( x)
вращение вокруг OY
f ( x a)
смещение вправо на a вдоль OX
f ( x / a)
растяжение в a раз вдоль OX
f ( a x)
сжатие в a раз вдоль OX
xa
f1 rect
b
x
f 2 rect a
b
f3 rectbx a
f4 rectbx a
35
Дельта-функция
, x 0
x
0, x 0
f(x)
1
x
x dx 1
4
3
2
1
0
1
2
3
4
f x x a f a x a
f(x)
1
f x x a f a
x
f x x a f ( x a)
4
3
2
1
0
1
2
3
4
36
Пример
Описать функцию и найти ее преобразование Фурье
f(x)
1
0.5
x
a
0
a
ix
Формула Эйлера e cos( x) i sin( x)