Transcript 植物生长模型

植物生长模型
问题的提出
植物生长的因素：碳元素和氮元素
植物生长过程的要素
（1）碳由叶吸收，氮由根吸收；
（2）植物生长对碳、氮元素的需求有固定比例；
（3）碳可由叶送到根部，氮可又根送到叶部；
（4）碳元素需求量和叶系的大小有关，
氮元素需求量和根系的尺寸有关。
单枝植物生长的数学模型
（1）叶部的光合作用
（2）根部的土壤吸收
植物生长的能量转换
（1）工作能—根部吸收氮和植物输送碳氮
（2）转化能—氮转化为蛋白质和糖转化脂肪
（3）结合能—分子结合成为组织
（4）维持能—维持蛋白质结构稳定
植物生长模型简化
（1）假设碳和氮比例大固定。
（2）植物的根、茎、叶简化为
根部和叶部二部分
初等模型
根部和叶部合并，碳和氮合并。
植物的质量为W， 体积为V。
植物吸收的养料和体积成正比：
模型
dW
W
k
dt

W0 为初始时植物的质量
W  W0 e
k
t

模型的结果和改进-1
模型解是个指数函数，随时间增长无限增长。
模型改进，k取为随植物的长大而变小。
取k=a-bW，a,b为正数。
dW
W
 (a  bW )
dt

得到
dW
W
 k (1 
)W
dt
Wm
a
k
k  , Wm 

b
初值为 W0 解为
Wm
W (t ) 
Wm  kt
1  (1 
)e
W0
W(t)是t的单调增加函数
当t→∞时，W(t)→ Wm
Wm 是植物的极大质量
模型的结果和改进-2
考虑碳氮需求比例
假设：
（1）植物根和叶视作整体。
（2）植物生长依赖碳和氮。
（3）植物生长消耗的碳依赖碳和氮。
（4）部分总能量用于产生新组织。
依赖碳氮生长模型
C(t)植物中碳浓度。N(t)植物中氮浓度。
植物消耗碳的速率是Vf(C,N)，V植物的体积。
植物消耗氮的速率为λVf(C,N)
碳和氮的比例 1：λ
R1 为结合能在总能量中所占比例。
r 植物组织中碳转化为质量的转化系数：
dW
dt
= r
R1
f(C(t),N(t))
W (t )

f(C,N)的形式和质量守恒
函数f(C,N) 满足两个条件：
（1）碳和氮之一供给量减少时，消耗速
度随之下降。
（2）碳和氮供给十分充足时，植物消耗
碳的速率确定。
CN
f (C , N ) 
1  CN
f 恒等于常数得到初等模型。
一般情形包含碳和氮的浓度影响。
C(t)和N(t）的模型建立
t+∆t碳=
t碳+光合作用形成的碳-转化能消耗的碳。
光合作用形成的碳与植物表面积成正比。
V(t+∆t)C(t+∆t) =
V(t)C(t) + R3W(t)∆t – Vf(C,N)∆t
C(t)和N(t）的方程
V (t  t )C (t  t )  V (t )C (t )
 R3W (t )  Vf (C , N )
t
W (t )
v(t) =

，令∆t→0，则
d (WC )
 R3W  Wf (C , N )
dt
氮的质量守恒方程
V(t+∆t)N(t+∆t)=
V(t)N(t)+ R5 W(t)∆t-λVf(C,N)∆t
第三项是根吸收的氮，
第四项是转变能消耗的氮。
消耗碳系数为λ。
d (WN )
 R5W  Wf (C , N )
dt
植物生长模型-常微分方程组
R1W
dW
r
f (C , N )
dt

d (WC )
 R3W  Wf (C , N )
dt
d (WN )
 R5W  Wf (C , N )
dt
r,λ,ρ, R1 , R3 ,.R5 均为正数
植物生长模型求解
R1 =0.5，
R3 =0.0002,
R5=0.00002.ρ=100kg/ m 3 ,r=30。
α、β表示碳和氮的消耗速率。

（1）碳和氮十分丰富是，f(C,N)→
,有：
R1
dW
r
W
dt

解得：W  W0 e
r
t
R1


 W0 e
0.15
t

植物生长计算结果
matlab数值解
1.1
1
质量
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0
50
100
150
时间
200
250
300
（2）氮的摄入水平较低
日照充分，氮肥不足的情况。 R5很小或
R5 =0。
0.9
0.85
质量
0.8
0.75
0.7
0.65
0.6
0.55
0
50
100
150
时间
200
250
300
（3）碳摄入水平较低
R3很小或
R3=0。植物生长很快停止
0.64
0.635
0.63
质量
0.625
0.62
0.615
0.61
0.605
0.6
0
50
100
150
时间
200
250
300
模型的改进3-根叶模型
模型扩充为将植物分为叶和根两部分，叶摄取碳，根摄取氮。
叶和根之间的碳和氮互相输送。
碳
叶部
叶部
氮库
碳库
 
根部
根部
氮库
碳库
氮
根叶模型的建立
六个变量：叶重 Ws，根重Wr ；
叶部和根部碳的浓度为 C s , Cr ；
叶部和根部氮的浓度为 N s , N r 。
叶部和根部分别建立三个方程，函数f(C,N)与上相同。
叶重和根重 两个生长方程：
dWs
rR1Ws

f (C s , N s )
dt
s
dWr
rR1Wr

f (C r , N r )
dt
r
叶部和根部的碳方程
部分碳从叶部输送到根部，
叶部和根部碳方程为：
d (Ws C s )
  s R3Ws   s R2 (C s  C r )  Ws f (C s , N s )
dt
d (Wr C r )
  r R2 (C s  C r )  Wr f (C r , N r )
dt
叶部和根部的氮方程
氮从根部流向叶部，
根部和叶部氮的方程为
d (Wr N r )
  r R5Wr   r R4 ( N r  N s )  Wr f (C r , N r )
dt
d (Ws N s )
  s R4 ( N r  N s )  Ws f (C s , N s )
dt
一阶非线性常微分方程组。
根叶模型求解
对于初值，
Ws (0)  0.5,Wr (0)  0.1, Cs (0)  0.2

Cr (0)  0.15, N s (0)  0.22, N r (0)  0.24
matlab来求解
（1）碳和氮供应充足
实线表示叶，虚线表示根。叶和根生长均衡。
1.12
1.1
质量
1.08
1.06
1.04
1.02
1
0
10
20
30
40
时间
50
60
70
80
90
（2）碳摄入不足
根生长影响较大，生长基本均衡。
R3 =
R2 =0。
1.025
1.02
1.015
1.01
1.005
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
（3）氮摄入不足
叶生长影响大，生长基本均衡。
R5  0 或很小
1.15
1.1
1.05
1
0
50
100
150
植物生长模型的结论
实验一致
没有分形